Гетерогенные среды с отрицательным акустическим показателем преломления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.18; 534.1

ГЕТЕРОГЕННЫЕ СРЕДЫ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ АКУСТИЧЕСКИМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Е. А. Виноградов, Н. В. Суязов, К. Ф. Шипилов

Проанализированы условия реализации и параметры акустических сред, подходящих для проявления эффекта отрицательного преломления звуковых волн, обусловленного многократным резонансным рассеянием на сферических включениях. Рассчитаны частотные диапазоны резонансных окон прозрачности, в которых величины эффективных сжимаемости и плотности принимают отрицательные значения и достаточно мал относительный уровень излучательных потерь.

В последние десять лет большое внимание уделяют искусственным средам с отрицательным показателем преломления, которые обладают рядом уникальных свойств [1, 2]. Впервые концепция сред, обладающих в электромагнитном диапазоне волн одновременно отрицательными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостями (е и /х) была предложена в работе В. Г. Веселаго [3], где отмечено, что такая изотропная среда будет иметь отрицательный показатель преломления в некотором частотном диапазоне. При прохождении волновым пучком границы раздела такой среды со средой с традиционным положительным показателем преломления, согласно закону Снеллиуса, падающий и преломленный пучки будут расположены по одну сторону от нормали к поверхности раздела двух сред. Здесь отрицательное преломление обусловлено тем, что как показано в [3], волновой вектор электромагнитной волны направлен антипараллель-но вектору Пойтинга. Впервые основные положения работы [3] были экспериментально подтверждены в [4, 5], где сообщалось о практической реализации композитных материалов, необычные электродинамические свойства которых в сантиметровом диапазоне длин волн могут быть хорошо объяснены, если принять, что коэффициент преломления таких материалов отрицателен. После этой публикации появилось большое количество

работ, например [6-8], где исследовали свойства веществ с отрицательным коэффициентом преломления в СВЧ и оптическом диапазонах длин волн и оценивали их возможные практические применения.

Необходимо отметить, что отрицательное преломление можно наблюдать также в таких средах как фотонные или фононные кристаллы, в условиях брегговского рассеяния в некоторых зонах Бриллюэна, однако эти среды не тождественны средам с двумя отрицательными проницаемостями, но близки к ним по некоторым свойствам и проявлениям.

В работе [9] теоретически рассмотрена возможность создания композиционных сред, которые будут обладать в акустическом диапазоне длин волн одновременно отрицательными значениями эффективной плотности и эффективной объемной упругости. В такой среде формально определенный вектор Пойтинга и волновой вектор для акустической волны будут иметь противоположные направления. Физически это означает, что среда должна обладать одновременно двумя аномальными характеристиками в некотором частотном диапазоне: она расширяется при сжатии (отрицательная объемная упругость) и движется, например, налево, когда ее толкают направо (отрицательная плотность). В [9] теоретически показано, что такую среду можно реализовать с помощью сфер из мягкой резины, распределенных в воде. В условиях резонанса на низких частотах, когда длина волны внутри резиновой сферы сравнима с ее характерными размерами, а длина волны в окружающей сферу водной среде много больше средних расстояний между сферами, могут наблюдаться монопольные и дипольные резонан-сы Ми и становится возможной реализация отрицательной эффективной упругости и отрицательной эффективной плотности. В работе [9], используя метод когерентного потенциала [10], получены соотношения, описывающие поведение параметров среды в условиях монопольного и дипольного резонансов. Выполнены оценки для сфер из очень мягкой силиконовой резины (модуль объемной упругости ас ~ 6.27 • 105 Па, плотность р ~ 1300 кг-м~3) распределенных в воде с коэффициентом заполнения ~0.1, которые показали, что в некотором узком диапазоне частот, но выше частот монопольного и дипольного резонансов, реализуются отрицательные значения модуля объемной упру гости и плотности. Монопольный резонанс создает отрицательный отклик среды, так что объемное расширение сферы происходит в противофазе с полем гидростатического давления. Дипольный резонанс происходит так, что движение центра масс сферы осуществляется в противофазе с полем падающей волны акустического давления. Кроме того, в [9] проведены расчеты зон с отрицательными параметрами для коллоидного

кристалла, образованного восемью слоями сфер из силиконовой резины в воде.

К сожалению, сплошные резины с такими низкими модулями объемной упругости уникальны, поэтому были проведены уточнения полученных в [9] соотношений и сделаны оценки частотных зависимостей параметров композиционных сред со сферами из других материалов.

Расчет области проявления отрицательного преломления акустических волн в жидкой среде со сферическими включениями мы выполняем на основе результатов, приведенных в работе [9], где представлены формулы для эффективного модуля объемной упругости Keff и эффективной плотности ред, полученные для такой среды в рамках приближения эффективного когерентного потенциала [10]:

m

Kefr - о;ЗДЗ _ ЗгсзJD0*m' _ ^Д3 - Зг/4 А

— ш3Н? + ßifc^Di [ '

Здесь кт и рт - модуль объемной упругости и плотность окружающей жидкой среды; Ли/- радиус и объемный коэффициент заполнения сферических включений (отношение объема, занятого включениями к объему среды); ст — у кт/рт - скорость звуковой волны, распространяющейся в чистой жидкой среде, свободной от включений; Do и Di - коэффициенты рассеяния плоской акустической волны на одном сферическом включении в жидкой среде в монопольное и дипольное излучения, соответственно. Эти

коэффициенты рассеяния с точностью до множителя ш/ст совпадают с коэффициенте

тами разложения dn амплитуды рассеяния d(6) = J2 (2n + l)dnPn(cosd) по полиномам

п=0

Лежандра, Dn = iu>c^dn, для п = 0, 1.

Явление отрицательного преломления может проявляться в некоторой частотной полосе при условии, если в этой полосе действительные части эффективных величин /ceff и рем одновременно принимают отрицательные значения. Для выполнения условия двойной отрицательности частота акустической волны должна попасть в области резонансов монопольного и дипольного типа.

Поскольку величина коэффициента объемного заполнения / ограничена сверху, для смены знака Re(«;eff) и Ке(/зея) требуется достаточно большое резонансное значение величин коэффициентов рассеяния Д}д, то есть высокая добротность соответствующих резонансов и, следовательно, малые потери на излучение; при этом первое слагаемое Re(«eff) ü/3R3 должно быть достаточно малым, u>3R3c<<1. Последнее условие также

Рис. 1. Первое низкочастотное окно прозрачности, отвечающее полосе частот двойной (одновременной) отрицательности эффективных величин Keff и РеЯ> для жидкой среды с резонансными включениями в виде сплошных шаров с низкой скоростью продольной звуковой волны: сц/ст = 0.017, / = 0.1, р,/рт = 1.3. Сплошные и разрывные линии здесь - частотные зависимости действительной и мнимой частей отношения cm/ceff, соответственно; (а) -с±/сц —» 0; (Ь) - сх/сц = 0.2. В случае водной среды (ст = 1500 м/с; рт = 1 г/сл?) рассчитанный пример соответствует шарам из резины с характеристиками, приведенными в [11] (сц = 25 м/с; с± = 5 м/с).

необходимо для выполнения условия применимости приближения эффективной однородной среды, шЛс"1/-1/3 << 1. Указанные требования выполняются, если характерные величины скоростей звука внутри включения с, определяющие соответствующие резонансные частоты, значительно (в десятки и до сотни раз) ниже скорости звука в окружающей жидкости,

с << ст. (3)

Здесь можно предложить, например, использовать включения в виде шаров из микропористой резины, для которой величина с, достигает величины порядка 25 м/с. Результаты расчета частотного окна прозрачности, отвечающего отрицательному преломлению (двойной отрицательности эффективных величин /ceff и рек) для таких шаровых

включений в воде, приведены на рис. 1. В частотном окне прозрачности затухание (величина 1т(с^) = 1т ^РеЯ/«еЯ^), связанное с излучением, имеет относительно малые значения, и рассчитанный вариант представляется привлекательным, однако микропористая резина может иметь достаточно сильное собственное вязкое затухание, которое может значительно ухудшить перспективы практической реализации данного варианта частотного окна двойной отрицательности. Учет вязкого затухания составит предмет дальнейших исследований.

Другой возможный вариант резонансов, соответствующих малым скоростям распространения звука во включениях - использование полых шаров. Для полых шаров резонансные частоты определяются главным образом сдвиговыми напряжениями и, следовательно, скоростью поперечного звука с±, которая для сред типа монолитной резины почти на два порядка меньше скорости продольного звука сц (сц ~ 103 м/с; с± ~ 30 - 80 м/с).

Для расчета коэффициентов рассеяния Ио и рассмотрим падение плоской звуковой волны из бесконечности на помещенный в окружающую жидкость шар с внешним радиусом В, и концентрической сферической полостью радиуса а. Введем сферическую систему координат с началом отсчета в центре шара и с осью, направление которой совпадает с направлением распространения падающей плоской волны. В жидкости вектор смещения ит можно записать в виде ит = УФт, где потенциал Фт удовлетворяет уравнению Гельмгольца

ДФт + = 0. (4)

Ст

Внутри шара вектор смещения и представим в виде суммы потенциальной и соленои-дальной частей [12]

и = иц + их, (5)

удовлетворяющих волновым уравнениям

ы2 ш2

ЛиН + 7ГиП = + =

СН

Потенциальная составляющая здесь также представляется в виде иц = ^7Фц, где

Лф11 + = (6)

с,,

В рамках задачи определения коэффициентов Во и обе составляющие смещения иц и их зависят только от двух сферических координат г, в - радиуса и широтного угла.

В этом случае и соленоидальную и_|_ составляющую смещения можно выразить через одну скалярную функцию Фх, удовлетворяющую уравнению Гельмгольца,

их = [V х [гег х УФх]], (7)

и;2

ДФх + ^-Фх = 0, (8)

сх

где квадратными скобками обозначены векторные произведения, аег- единичный вектор в радиальном направлении.

Граничные условия здесь формулируются следующим образом. На внешней поверхности шара при г = И непрерывны две компоненты тензора напряжения агг и сгдГ, а также радиальная компонента вектора смещения ыг; а на границе с полостью при г — а

- равны нулю обе компоненты тензора напряжения сгТТ и овг- Последние условия означают, что мы рассматриваем здесь приближение пустой внутренней полости. Имея в виду расчет коэффициентов рассеяния Б0 и решения уравнений Гельмгольца (4), (6), (8) ищем в виде Фт = Мп(г)Рп(со80), Ф„ = ^п(г)Р„(соз0), Фх = £п(г)Рп(со80), где п = 0,1 и Рп(соав) - соответствующие полиномы Лежандра. Тогда с учетом разложения падающей плоской волны по сферическим гармоникам получаем:

= вш«г) + Доехр(^г)

ШС^Г 1ШС~гГ

вт^сйМ со8(и>с|Г1г)

ЗД = Ац,о _1 + Д||,0 (9)

07Сц Г ШС\\

Со (г) = А±<0-—зу- + В±, О К 1 *

о;сц г (х?Сц г

- для монопольного рассеяния, и

МЛг) = з1-г"п(и,с"г) - шсшгсо^шст г) + зд (! - го;с-1г)ехр(га;с^1г)

Ш2С-2Г2 1 Ш2С-2Г2

8т(ыс|Г1г) — шсй1гсо5(шс^1г) созГиюГМ + ыС|7^8т(и7Сн1г)

—" ^ф " " Чф " ■ <10)

вш^с^г) — шс^гсоэ^с^г) ««(ЫС^Г) + шс]}г зт^с]]1?-)

ЬЦН = Лц-2 -2 2---7 -2 о-

г1 шгс± г2

- для дипольного. Внутри шара соответствующие мультипольные составляющие (п = О, 1) для компонент тензора напряжения и вектора смещения, входящих в граничные

В этом случае и соленоидальную составляющую смещения можно выразить через одну скалярную функцию Ф_|_, удовлетворяющую уравнению Гельмгольца,

и± = [V х [гег х УФх]], (7)

и;2

ДФ± + ^-Ф± = 0, (8)

с±

где квадратными скобками обозначены векторные произведения, а ег - единичный вектор в радиальном направлении.

Граничные условия здесь формулируются следующим образом. На внешней поверхности шара при г = Л непрерывны две компоненты тензора напряжения оТТ и <тдг, а также радиальная компонента вектора смещения иг; а на границе с полостью при г = а - равны нулю обе компоненты тензора напряжения атт и авт- Последние условия означают, что мы рассматриваем здесь приближение пустой внутренней полости. Имея в виду расчет коэффициентов рассеяния Б0 и решения уравнений Гельмгольца (4), (6), (8) ищем в виде Фт = Мп(г)Рп(соъв), Ф„ = Рп(г)Рп (совв), Фх = (7„(г)Р„(совЯ), где п — 0,1 и Рп(соъ0) - соответствующие полиномы Лежандра. Тогда с учетом разложения падающей плоской волны по сферическим гармоникам получаем:

= 8ш(ок£'г) + Доехр(го;с-У);

шс~гг гшс-^г

зт^сйМ созГиюГ1»*) ВД = ЛМ,0 _1 + %о . 1 (9)

о;Сц г шс\\ г

зтГигсй1?") сов(а;с,71г)

<?о(г) = _{' * + Bj.fi- 1 11 '

шс„'г шс^г

для монопольного рассеяния, и

М](г) = ^М^с^г) - ш^гсоъ^с^г) + - гыст1г)ехр(г'о;ст1г-)

ш2с-2г2 ш2с-2г2 тп тп

втГшс.. V) — шеи 1гсоз(о;с|| V) соз^с,, V) + ыс„ 1г вт(и;см V) ВД = А|,д 11 2 _ 2-—-—- + Ви У 11 } _И -(10)

ОГСц Г2 Ы2Сц г2

з1п(а;с71г) — ыс71гсоз(о;с71г) соз^с]]1?*) + шс^г зт^с^г) Ьх{г) = Л_1_,1-2 _2 2---? -2 9-

ШгС± V Ш2С± Г2

- для дипольного. Внутри шара соответствующие мультипольные составляющие (п = 0, 1) для компонент тензора напряжения и вектора смещения, входящих в граничные

условия на поверхностях шара, с учетом уравнений Гельмольца (б), (8) можно записать в виде (компоненты тензора деформации в сферических координатах можно найти, например, в [4]):

&ТТ,П — Pi

&6т,п = Pi \ 2

. -\dFn í ^dG., 4г —--h 2n(n + 1) r

Fn + Gn

-i

dr

'd_K dG.

dr

UT

dr

Fn + (n2 + n- 1 )Gn

cl+oj2Fn^Pn{coSe), 1 dPn{ cosfl)

"J dO '

¿ + uj2G

n(n + 1)

Gn \ Рп(созв),

dr г

где pi - плотность материала шара. Аналогичные величины для окружающей шар жидкости имеют вид:

<7тт,п = -PmU2MnPn(cOs0), (Твт,п = 0, Ur,n = -^-Pn(cOS0).

ar

(12)

Подставляя (11), (12) при п = 0 и и = 1 с учетом (9) и (10) в сформулированные выше граничные условия на поверхностях шара, можно получить явные выражения для искомых коэффициентов рассеяния D0 и Di. Затем с помощью (1), (2) определяем эффективный модуль объемной упругости кед и эффективную плотность реа сложной среды - жидкости с включениями в виде полых шаров.

Результаты расчетов представлены на рис. 2. Здесь показаны зависимости действительной и мнимой частей величины, обратной эффективной скорости распространения волны в жидкой среде с включениями, ст/сея = \J Кщ реп/к-eftpm- Значение cmRec¡^ = Am/Aeff при этом характеризует уменьшение эффективной длины волны по сравнению со средой без включений, а значение cmImc~^ - затухание волны на длине, равной Ат/27г. Отношения мнимой и действительной частей характеризуют здесь эффективную добротность волны (затухание на длине, равной Аея/27г), то есть процесс распространения волны имеет смысл только если это отношение много меньше единицы. Такое неравенство может выполняться только если действительные части эффективных величин Kefr и имеют одинаковые знаки, это реализуется, в том числе, в частотной полосе (окне) двойной отрицательности этих величин. Отметим, что в окне двойной отрицательности величина ст1тс^ также отрицательна - это соответствует тому, что направление распространения энергии здесь противоположно направлению волнового вектора.

ЯеС^/СеАг),

1ш(ст/се£Г) _

(а)

2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

10

5

0

2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

.5

0

-5

2

1

О

-1

8

Рис. 2. Окно прозрачности, отвечающее полосе частот двойной отрицательности и рея, для жидкой среды (воды) с резонансными включениями в виде полых шаров из обычной монолитной резины (скорость продольной звуковой волны сравнима со скоростью звука в воде): сц/ст = 0.7; Pi|рт = 1.3; сх/сц = 0.05. Сплошные и разрывные линии - частотные зависимости действительной и мнимой частей отношения ст/сея, соответственно. Показаны изменения первого низкочастотного окна двойной отрицательности при изменении относительного радиуса полости а/В. и коэффициента / заполнения среды включениями: (а) - а/Л = 0.8, / = 0.3; (Ь) - а/Л = 0.8, / = 0.1; (с) - а/Л = 0.6, / = 0.1; (д.) - а/Л = 0.33, / = 0.1.

Результаты расчетов (рис. 2) показывают, что жидкая среда (вода) с включениями в виде полых резиновых шаров имеет ярко выраженные окна прозрачности, соответствующие двойной отрицательности эффективной упругости и эффективной плотности составной среды. Ширина первого низкочастотного окна при этом достаточна для экспериментальной реализации эффекта даже при небольших значениях коэффициента заполнения / ~ 0.1. При этом внутри окна имеется интервал частот, в котором выполняется условие эффективного распространения Ьпс"^/Кес^1 <<1. Следует отметить, что

1 -

^ .......-.......'

(С)

^—.__ V

3.5 4.0 4.5 5.0 5.5

) 1 №

—

.4 8.5 8.6 8.7 СО Я/с,

полученные результаты справедливы при условии малости вязких потерь. Это условие, по-видимому, должно выполняться при достаточном увеличении линейного масштаба системы (увеличении радиуса шаров и длины волны). Приведенные на рис. 2 результаты показывают, что ширина окна прозрачности, как и ширина интервала эффективного распространения, возрастают с ростом относительного размера полости; при этом окно сдвигается в низкочастотную область. Предельный случай тонкой оболочки требует, однако, дополнительного анализа с учетом упругости газа внутри полости.

Рис. 3. Частоты первого монопольного (сплошная линия) и дипольных (разрывные линии) резонансов полых шаров в зависимости от относительного радиуса полости а/Я.

При изменении параметров материала полых шаров и окружающей жидкости для предварительного расчета положения окон двойной отрицательности можно воспользоваться представленными на рис. 3 зависимостями нормированных резонансных частот от относительного радиуса полости. Эти зависимости получены в приближении сх << сц,ст, то есть, согласно (3), при условии, наиболее благоприятном для таких окон. Для выполнения условия двойной отрицательности частота волны должна одновременно попасть в области резонансов монопольного и дипольного типа. При этом величина К,е(ке^) становится отрицательной в высокочастотной "половине" широкой области монопольного резонанса (ш > и>рез,п=о). Таким образом, положение окон двойной

отрицательности на рис. 3 соответствует частотам дипольных резонансов (разрывные линии), расположенным выше сплошной линии (кривая первого монопольного резонанса). При этом самое высокодобротное первое низкочастотное окно локализовано вблизи части нижней штриховой линии на рис. 3, расположенной выше сплошной.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты 06-02-16830 и 06-02-16926.

ЛИТЕРАТУРА

[1] J. В. Pendry et al., Phys. Rev. Lett. 76, 4773 (1996).

[2] D. R. Smith, N. Kroll, Phys. Rev. Lett. 85, 2933 (2000).

[3] В. Г. Веселаго, УФН 92, 517 (1967).

[4] D. R. Smith et al., Phys. Rev. Lett. 84, 4184 (2000).

[5] R. A. Shelby, D. R. Smith, S. Shultz, Science 292, 77 (2001).

[6] J. B. Pendry, Phys. Rev. Lett. 85, 3966 (2000).

[7] V. P. Drachev et al., Laser Phys. Lett. 3, 49 (2006).

[8] W. Cai et al., Opt. Express 15, 3333 (2007).

[9] J. Li, С. T. Chan, Phys. Rev. E 70, 055602 (2004).

[10] P. Shen, Introduction to Wave Scattering, Localization and Mesoscopic Phenomena (Academic, New York, 1995).

[11] Z. Lui, X. Zhang, Y. Mao, et al., Science 289, 1734 (2000).

[12] Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Теория упругости (Наука, Москва, 1987).

Институт общей физики

им. A.M. Прохорова РАН Поступила в редакцию 21 декабря 2007 г.