CC BY
45
УДК 721.012.6
БЕЛЯЕВА ЗОЯ ВЛАДИМИРОВНА, zoeshna@yandex.ru
МИТЮШОВ ЕВГЕНИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ, докт. ф.-м. наук, профессор, mityushov-e@mail.ru
Уральский государственный технический университет - УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина,
620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ. СВОДЫ
В статье рассмотрены оригинальные алгоритмы построения некоторых поверхностей. Предложен способ задания поверхностей, позволяющий моделировать пространственные объекты, используя векторно-матричный аппарат, и создавать изображение моделируемых объектов непосредственно на экране компьютера с помощью прикладных пакетов. Предложенный метод позволяет достаточно легко перейти к следующим этапам проектирования - статическому и конструктивному расчетам конструкции и получению чертежей конструкции.
Ключевые слова: геометрическое моделирование, своды, поверхности второго порядка.
BELYAEVA, ZOYA VLADIMIROVNA, zoeshna@yandex.ru
MITYUSHOV, EUGENIYALEKSANDROVICH, Dr. of phys.-math. sc., prof.,
mityushov-e@mail.ru
Ural State Technical University,
19 Mira st., Ekaterinburg, 620002, Russia
GEOMETRIC MODELLING OF SPATIAL STRUCTURES (VAULTS)
The paper describes original algorithm of designing some surfaces. The method of surface definition, allowing to model spatial objects with the use of vector-matrix device, and to create the image of modeled objects directly on the screen of the computer by means of application software is offered. The suggested method allows to pass rather simply to following design stages - statistical and constructive calculations of design and obtaining the design drawings.
Keywords: geometric modelling, vaults, quadric surface
Введение
Особое место среди всего разнообразия строительных конструкций занимают тонкостенные пространственные конструкции, их использование служит одним из средств обогащения архитектуры. Тонкостенные пространственные покрытия широко применяются в мировой строительной практике,
© З.В. Беляева, Е.А. Митюшов, 2010
так как в их конструктивных решениях удается сочетать архитектурные задачи и принципы рациональной статической работы конструкции [1].
В тонкостенных системах используются различные типы поверхности: цилиндрические оболочки и складки, оболочки вращения (купола), оболочки переноса - положительной и отрицательной кривизны, волнистые своды (многоволновые и многоскладчатые покрытия), составные оболочки, образованные из отдельных фрагментов пересекающихся поверхностей, висячие покрытия, разнообразные по форме в пространстве и плане [2, 3].
Большинство используемых поверхностей относятся к поверхностям вращения с образующими в форме кривых второго порядка и поверхностям второго порядка. Запись уравнения таких поверхностей в канонической форме не дает возможности непосредственно, без дополнительного достаточно громоздкого расчета, получить уравнение элемента поверхности, удовлетворяющее заданным архитектурным требованиям. Кроме того, существуют поверхности вращения с образующими в форме более сложных кривых, чем кривые второго порядка, а также поверхности, не имеющие аналитического представления. В связи с этим возникают проблемы математического моделирования и расчета соответствующих элементов строительных конструкций.
В статье рассмотрены оригинальные алгоритмы построения некоторых поверхностей. Предлагаемый способ задания поверхностей позволяет моделировать пространственные объекты, используя векторно-матричный аппарат, и создавать изображение моделируемых объектов непосредственно на экране компьютера с помощью прикладных пакетов [4]. Варьируя параметры, входящие в математическую модель элемента поверхности, можно получать ряд однотипных, но разнообразных по форме поверхностей и выбирать из них наиболее выразительную, удовлетворяющую архитектурному замыслу или конструктивным требованиям. Предлагаемые методы математического описания поверхностей могут быть использованы не только при моделировании форм, но и при расчете сочленений и привязки к плану элементов пространственных строительных конструкций различного назначения.
Своды на прямоугольном плане
Поверхность свода на прямоугольном плане может быть получена с использованием цилиндрических поверхностей или поверхностей второго порядка.
Цилиндрическими называются поверхности, получаемые поступательным движением прямой линии в пространстве вдоль направляющей линии [5]. Вид цилиндрической поверхности определяется формой направляющей линии зависимости от формы направляющей линии. Аналитическое уравнение поверхности цилиндрического свода может быть записано в виде:
? = {,у, Ду)} + {,0,0}, < г < 2 -| < у < |, (1)
где Ау) - функция, задающая направляющую линию; ДО) = Н - высота свода;
11 и 12 - поперечные размеры свода или оболочки в плане.
Преимуществом данного метода является запись уравнения поверхности непосредственно через конструктивные параметры проектируемого свода (высоту и размеры в плане).
В зависимости от вида направляющей линии можно получить коньковый, круговой, параболический, эллиптический или гиперболический своды.
Для конькового свода функция, задающая направляющую линию, может быть записана в следующем виде:
2 Н,
I (у ) = н-
I
(2)
Подстановка функции (2) в уравнение (1) дает математическую модель конькового свода, который изображен на рис. 1.
Для кругового свода функция, задающая направляющую линю, имеет вид:
2 2 г - У
(3)
Радиус дуги окружности направляющей г может быть выражен через конструктивные параметры свода по формуле
I Л2
г = ■
Н1 + 1 2
2 Н
Подстановка выражения (3) в равенство (1) дает математическую модель кругового свода, который представлен на рис. 2.
Рис. 1. Коньковый свод при значениях параметров Н = 3, 11 = 5, 12 = 7
Рис. 2. Круговой свод при значениях параметров Н = 3, 11 = 5, 12 = 7
Для параболического свода функция направляющей линии имеет вид:
/Ь)=Н(4)
При подстановке выражения (4) в равенство (1) получаем математическую модель параболического свода, вид которого представлен на рис. 3.
Для эллиптического свода функция направляющей имеет вид:
1 (У ) = н - Ъ + Ъ
(5)
где а и Ь - полуоси эллипса, которые могут быть выражены через конструктивные параметры свода:
,2 А ? 4 2
12 I , /шЛ2 I 12
'-11 +(н )2 (Ь-1 +(н )2
ь = ■
2
2
2Нк2
а =
2Нк
а
Здесь к = ь ~ отношение полуосей эллипса.
При подстановке выражения (5) в равенство (1) получаем математическую модель эллиптического свода, который представлен на рис. 4.
Рис. 3. Параболический свод при значениях параметров Н = 3, 11 = 5, 12 = 7
Рис. 4. Эллиптический свод при значениях параметров Н = 3, 11 = 5, 12 = 7, к = 0,75
Для гиперболического свода функция направляющей имеет вид:
/ Ь ) = Н+ь - ь
1+
а
(6)
где а и Ь - параметры направляющей линии - гиперболы, определяемые через конструктивные параметры свода по формулам
V!2-Нк)2 Г V!2-снк )2
ь=
2Нк2
а=
2Нк
а
Здесь к =----отношение параметров гиперболы.
ь
При подстановке выражения (6) в равенство (1) получаем математическую модель гиперболического свода, который изображен на рис. 5.
Еще один широкий класс поверхностей прямоугольных в плане сводов и оболочек можно описать поверхностями второго порядка [6]. Математическую модель этих оболочек можно представить уравнением
І2
I,
< у < +
(7)
где /(х, у) - функция, задающая поверхность свода; /(0,0) = Н - высота
свода; А и 12 - поперечные размеры оболочки в плане.
Используя канонические уравнения поверхностей второго порядка, путем несложных математических преобразований можно записать функции, задающие поверхность свода.
Поверхность сферической оболочки описывается уравнением сферы со смещенным по оси г центром
X2 + у2 + (г - го )2 = г2. (8)
Функцию /(х, у) поверхности сферического свода можно получить из уравнения (8) с учетом смещения центра сферы по вертикальной оси на расстояние г0 = Н — г, заменяя в нем г = /(х, у):
/ (х, у) = Н — г г2 — х2 — у2 . (9)
Подстановка выражения (9) в уравнение (7) дает математическую модель сферической оболочки на прямоугольном плане, вид которой изображен на рис. 6. Радиус сферы г, входящий в математическую модель данной оболочки, можно выразить через конструктивные параметры оболочки с использованием уравнения (9), подставляя в него координаты точки на основании
Рис. 5. Гиперболический свод при значени- Рис. 6. Сферический свод при значениях паях параметров Н = 3, 11 = 5, 12 = 7, раметров Н = 3, 11 = 6, 12 = 8
к = 0,25
Поверхность параболической оболочки описывается уравнением эллиптического параболоида, расположенного вершиной вверх и смещенного по оси г:
х2 у2
г — го =— — - Ь-, (10)
а Ь
где а и Ь - параметры эллиптического параболоида.
Функцию / (х, у) поверхности параболической оболочки с учетом смещения вершины параболоида по вертикальной оси на расстояние г0 = Н можно получить из уравнения (10), заменяя в нем г = / (х, у):
2 2 X у
(11)
а
Подставляя выражение (11) в уравнение (7), получаем математическую модель оболочки в виде эллиптического параболоида на прямоугольном плане.
Параметры эллиптического параболоида а и Ь можно выразить через конструктивные параметры оболочки с использованием уравнения (11), под/ Г/ І2 1 0
ставляя в него координаты точки на основании свода JI —, I = 0 и вводя а
обозначение к = — : Ь
2 I,2 + к2 /22
а =■1 2
4 Н
/2 + к2/2 Ь 2 = + к 12
4Нк2
На рис. 7 представлены варианты поверхностей оболочек, получаемых при одинаковых значениях параметров Н, 11 и 12, но при разных значениях коэффициента к.
Рис. 7. Варианты параболических сводов при значениях параметров Н = 3, 11 = 6, 12 = 8: а - для к = 1; б - для к = 2; в - для к = 0,5
Поверхность эллиптической оболочки описывается уравнением эллипсоида со смещенным вдоль оси г центром:
2 2 2 _ + У- | (г - )
2 ь 2
с
2
= 1.
(12)
где а, Ь и с - полуоси эллипсоида.
Функцию / (х, у) поверхности эллиптической оболочки с учетом
смещения центра эллипсоида по вертикальной на расстояние г0 = Н — с оси
можно получить из уравнения (12), вводя замену г = / (х, у):
/ (л У ) = Н - с + <
22 X у
V1 2- "ЬГ. (13)
V а Ь
Математическую модель эллиптической оболочки на прямоугольном плане получаем при подстановке выражения (13) в уравнение (7).
Полуоси эллипсоида а, Ь и с можно выразить через конструктивные параметры оболочки с использованием уравнения (13), подставляя в него координаты точки на основании свода /1| = 0 и вводя обозначения к1 = —
а с
и к2 =
= 4Н2 к 22 + /^ + к|2/2 = 4Н2 к22 + /^ + к12/22 = 4Н2 к22 + /12 + к12/22
8Нк2 8Нк2 к1 8Нк 2
На рис. 8 представлены варианты поверхностей сводов, получаемых при одинаковых значениях параметров Н, /1 и 12 и при разных значениях коэффициентов к1 и к2.
Рис. 8. Варианты эллиптических сводов при значениях параметров Н = 3, 11 = 6, /2 = 8: а - для к1 = 2, к2 = 1; б - для к1 = 1, к2 = 1,5
Поверхность гиперболической оболочки описывается уравнением двуполостного гиперболоида, смещенного по вертикали:
'2 у2 (і - г0 )2
2 + 77= -1, (14)
ху -----ъ —
Г /2
а Ь с где а, Ь и с - параметры двуполостного гиперболоида.
Функцию /(х, у) поверхности гиперболической оболочки с учетом смещения вершины нижней чаши двуполостного гиперболоида по вертикальной оси на расстояние г0 = Н — с можно получить из уравнения (14), заменяя
в нем г = / (х, у):
22
/ (x, у )= Н + с - + “2 + Ут. (15)
V а Ь
Подставляя выражение (15) в уравнение (7), получаем математическую модель оболочки в виде чаши двуполостного гиперболоида на прямоугольном плане.
Параметры двуполостного гиперболоида а, Ь и с можно выразить через конструктивные параметры оболочки с использованием уравнения (15), пола-
ll
a
a
гая в нем f I —, — I = 0 и вводя обозначения к, = — и к2 = —:
12 2 J 1 b 2 с
a=
/12 + k12/22 — 4H2 к£ = Ц + к12/22 — 4H2 к 22
/12 + к12/22 — 4H2 к 22
с=
SHk2 SHk2 k1 SHk2
Поверхность двуполостного гиперболоида представлена на рис. 9.
Рис. 9. Гиперболический свод при значениях параметров Я = 3, = 6, /2 = 8 и к, = 1,
к2 = 0,25
Своды, моделируемые обобщенными цилиндрами
Новый класс разнообразных поверхностей может быть получен с применением обобщенных цилиндров. Обобщенными цилиндрами называются поверхности, полученные перемещением криволинейной образующей вдоль криволинейной направляющей. Математической моделью обобщенного цилиндра служит равенство
r = гн (t) + p(t,ф)cosфn(t) + р(t,ф)sinфb(t) , (16)
где n (t) , b (t) - единичные векторы нормали и бинормали направляющей кривой Гн = Гн (t); p(t, ф) - уравнение образующей кривой.
Единичные векторы касательной т , нормали n и бинормали b образуют подвижный ортогональный базис, перемещающийся вдоль направляющей кривой [7].
„ dr / dt т =—т, п =
b = Txn .
(17)
\Лгн/ Лу |Л т/
Построим поверхность с образующей в виде эпициклоиды, описываемой уравнением
Р =
(a + b)cos ф — a cos | a + b ф
a
(a + b )sin ф — a sin | a + b ф
a
b,0 < ф< л.
а в качестве направляющей кривой возьмем дугу окружности ^ cost^
3
0 < t<—n .
2
r = R
Sin t
V 0 У
В данном случае вектор бинормали Ь будет направлен параллельно оси Oz, а векторы касательной т и нормали п вычислим, используя уравнения (17):
О 0 1 (0 ^ s О 0 1
X = -sin t , b = 0 , n = b x x = - sin t
V 0 У V 1 У v 0 У
Подставляя эти выражения в выражение (16), получим математическую модель поверхности:
.-,(-cos t ^
( а + b , a cos |---ф | - sin t
(cost^ r
II 1, sin t - (a+b)cosф
V 0 У -
V a
(a + b )sin ф- a sin |
a + b
ф
v1 у
( ( cos t
или r
(t, ф)=
( a + b ^ R + (a + b )cos ф-a cos I---------ф I
V a у
sin t
a + b
R + (a + b )cos ф-a cos I----------ф
(a + b )sin ф- a sin I a + b ф
, 0 < t< —л, 0 < ф< л. 2
Вид этой поверхности представлен на рис. 10.
Построим еще одну поверхность с направляющей в виде синусоиды
( 51 Л
r =
5sint
0
0 < t < 2л
и образующей кривой в виде удлиненной гипоциклоиды с изменяемыми параметрами, задаваемой уравнением
Р =
0 <ф<л, А < 1,
где a' = aekt, b' = bekt.
В данном случае вектор бинормали b будет направлен параллельно оси Oz, а вектора касательной т и нормали n вычислим, используя уравнения (17):
( 1 ^ (0^ (-cos t ^
1
т =
1
+ cos t
cos t 0
b =
0
1
n = bx x =
1
1
+ cos t
Подставляя эти выражения в выражение (16), получим математическую модель поверхности:
Г 5t Л
58т t
V 0 У
(Ь'- а')оо8 ф + а'Х 008IVЬ—^ф^
л/Т
+ 008 t
Г-совЛ 1 0
(Ь' - а')т ф-а'X8т | Ьаф
или г
(t, ф) =
0081
5t--
(Ьвк‘ - аек) 008 ф + аекX
008
Г о Л
V 1У
Г Ьек - аек Л ф
58т t +
л/Т+С0827
(Ъеь - аек ) 008 ф + аекX 008
Г Ьек - аек Л
—аег~ф
тг
1 + 008 t (Ьеь - аей) 8т ф - аейX 8т
Г Ьек - аей Л ф
V
0 < t < 2л , 0 < ф< л .
Вид этой поверхности представлен на рис. 11.
Рис. 10. Поверхность с образующей в виде Рис. 11. Поверхность с образующей в виде уд-
эпициклоиды и направляющей в виде дуги окружности при значениях параметров а = 1, Ь = 3 и К = 10
линенной гипоциклоиды и направляющей в виде синусоиды при значениях параметров а = 1, Ь = 6, к = -0,2 и X = 0,5
Использование таких прикладных пакетов, как, например, Ма1Ь0а^ позволяет визуализировать математическую модель поверхности, что, в свою очередь, дает возможность судить о соответствии выбранной модели архитектурному замыслу. Графическое изображение поверхности - это не конечный этап проектирования. Предложенный метод позволяет достаточно легко перейти к следующим этапам проектирования - статическому и конструктивно-
му расчетам конструкции и получению чертежей конструкции. Графическую модель конструкции можно построить в пакетах, поддерживающих реальные масштабы, например в Ли10СЛБ. Графическая модель строится путем реализации математической модели с помощью встроенных языков программирования пакета. В дальнейшем можно импортировать графическую модель в расчетные пакеты, такие как, например, Лира или ЛК8У8. Некоторые математические модели можно сразу реализовать в расчетном пакете.
Библиографический список
1. Тонкостенные пространственные конструкции в зданиях различного назначения // Обзорная информация. Зарубежный и отечественный опыт в строительстве. - М. : Госстрой, 2004. - Вып. № 2 от 23.06.2004.
2. Пространственные покрытия / под общ. ред. Г. Рюле. Т. 1. Железобетон, армоцемент. -М. : Стройиздат, 1973. - 305 с.
3. Пространственные покрытия / под общ. ред. Г. Рюле. Т. 2. Металл, пластмассы, керамика, дерево. - М. : Стройиздат, 1974. - 248 с.
4. Никулин, Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики / Е.А. Никулин. - СПб. : БХВ-Петербург, 2003. - 560 с.
5. Митюшов, Е.А. Математические основы компьютерной геометрии / Е.А. Митюшов, Л. Л. Митюшова. - Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2007. - 61 с.
6. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. - М. : Наука, 1988. - 224 с.
7. Рашевский, П.К. Курс дифференциальной геометрии / П.К. Рашевский. - М. ; Л. : ГИТТЛ, 1950.
