CC BY
16Раздел ^.Инженерное обеспечение
УДК 004.925.8
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЛУКОВИЧНОГО КУПОЛА В
ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ
Воронова О.С.
Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, 286123, Донецкая Народная Республика, г. Макеевка, ул. Державина, 2, kornilova.oly@mail.ru
Аннотация. В работе представлены геометрическая и компьютерная модели поверхности луковичного купола, аналитическое описание которого выполнено при помощи математического аппарата «Точечное исчисление». Основу модели поверхности луковичного купола составляет геометрический алгоритм построения образующей линии, состоящий из двух дуг кривых второго порядка, согласованных между собой по первому порядку гладкости. Такое согласование обеспечивается общей касательной в месте стыковки дуг обвода. В результате формируются два треугольника, стороны которых являются касательными для дуг кривых второго порядка. Недостающие вершины треугольников определяются в результате пересечения касательных с линиями соответствующих серединных перпендикуляров. Аналитическое описание определения вершин треугольников реализовано с помощью метрического оператора трёх точек, который является аналогом скалярного произведения векторов в точечном исчислении. Кривизна дуги кривой второго порядка определяется с помощью инженерного дискриминанта. Построение поверхности луковичного купола обеспечивается за счёт реализации операции вращения состыкованных дуг обвода вокруг вертикальной оси с использованием полярной параметризации плоскости в точечном исчислении. В результате получена составная поверхность вращения, состоящая из двух частей, состыкованных друг с другом по первому порядку гладкости. Для определения этой поверхности достаточно задать габаритные размеры всего купола и размеры его верхней части. Приведены примеры моделирования купольных поверхностей в зависимости от значений инженерных дискриминантов верхней и нижней части купола. На этих примерах показано, как изменение значений инженерных дискриминантов позволяет инженеру-проектировщику подобрать необходимую кривизну купольной поверхности, чтобы обеспечить не только прочностные и конструктивные требования, но также художественно-эстетическую и архитектурную выразительность. Предмет исследования: геометрические модели поверхностей луковичных куполов.
Материалы и методы: методы исследований включают геометрические алгоритмы моделирования поверхности луковичного купола, параметризация которых выполнена с помощью математического аппарата «Точечное исчисление». Результаты: разработан способ геометрического моделирования поверхности луковичного купола в точечном исчислении, который позволяет представить, как наглядное изображение купольной поверхности, так и его аналитическое описание.
Выводы: разработана геометрическая модель поверхности луковичного купола, которая состоит из двух стыкующихся друг с другом отсеков на основе кривых второго порядка, что позволяет подобрать необходимую кривизну купольной поверхности путём изменения значений инженерных дискриминантов верхней и нижней части.
Ключевые слова: геометрическое моделирование, купольная поверхность, луковичный купол, сопряжение кривых, дуга обвода, точечное исчисление.
ВВЕДЕНИЕ
Важнейшим элементом в храмовой архитектуре православной церкви является купол, история возникновения которого, насчитывает не одно столетие и уходит своими корнями далеко в глубокую древность. В различные исторические эпохи применялись разнообразные по своим конструктивным и эстетическим характеристикам купола, среди которых можно выделить четыре основных типа: шлемовидный купол, сферический купол, купол-шатер и купол-луковица. Остановимся более подробно на последнем типе, так как именно купола в виде луковицы занимали и продолжают занимать важное место при строительстве храмов православной церкви. Луковичные купола имеют выпуклую форму, плавно заостряющуюся к вершине. Диаметр их выпуклой части всегда больше
диаметра основания, на которые они установлены, а высота купола обычно превышает ширину. Такая форма купола в православной храмовой архитектуре символизирует гармонию, вечность и непреодолимое стремление вверх. Луковичными главами увенчаны такие величайшие творения архитектуры, как храм Василия Блаженного в Москве, церковь Преображения Господня на острове Кижи, церковь Покрова на Нерли во Владимирской области, Собор Рождества Пресвятой Богородицы в Суздале, Церковь Спаса на Нередице в Новгородской области и многие другие.
Для выполнения многих инженерных и научных задач, таких как историческая реконструкция кровель и куполов [1], анализ напряжённо-деформированного состояния [2], оптимальное проектирование элементов крестово-купольных систем [3] и др., необходима разработка и использование компьютерной модели купола.
Компьютерное моделирование куполов в храмовой архитектуре православных церквей может быть реализовано несколькими способами. Наиболее распространённый из них, заключается в использовании современных программных систем автоматизированного проектирования,
твердотельного и информационного моделирования в строительстве (например, Revit, AutoCAD, 3DMAX [4] и т.п.), что позволяет инженеру-проектировщику быстро и наглядно представить оболочку моделируемой поверхности. Вместе с тем существующие формообразующие инструменты и геометрические примитивы современных систем автоматизированного проектирования являются весьма ограниченными и дают возможность использовать только дуги окружности, ограниченный набор эллипсов и сплайны. Это приводит к необходимости использования методов математического [5] и геометрического моделирования [6-8], что является процессом весьма трудоёмким. Например, в работе [7] описан пример построения купола луковичной формы, для которого был разработан специальный язык геометрических построений для создания модели на компьютере.
Учитывая всё вышесказанное можно сделать вывод, что задача геометрического моделирования луковичных куполов в храмовой архитектуре недостаточно изучена. Расширить возможности моделирования купольных поверхностей можно с использованием математического аппарата
точечного исчисления [9-11], который позволяет создавать простые вычислительные алгоритмы моделирования геометрических объектов в виде последовательности точечных уравнений.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБРАЗУЮЩЕЙ ЛИНИИ ЛУКОВИЧНОГО КУПОЛА В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ
Как было описано выше, существует определённое разнообразие подходов к моделированию луковичного купола. Их количество обусловлено неоднозначностью самой задачи, а также наличием разнообразных решений, которые дают возможность инженеру -проектировщику подобрать необходимую форму купольной поверхности с учётом конструктивных, эстетических, художественных, архитектурных и других требований. Основная особенность такой задачи сводится к построению образующей луковичного купола. С геометрической точки зрения построение подобной образующей относится к построению одномерных обводов для сопряжения нескольких дуг обвода по первому порядку гладкости [12-14]. В данном случае нужно
выполнить сопряжение дуг АВ и ВС (рис. 1). Для этого предложено использовать равнобедренные треугольники АВР и BCQ, формирующие общую касательную PQ для обеих дуг.
Рис. 1. Геометрическая схема построения образующей линии луковичного купола Fig. 1. Geometric scheme of the forming line of the onion dome
Отрезки ИрР и Ивв являются серединными перпендикулярами. Исходя из этого, определим точки Ир и И : И = ^ , И, = ? + С
2
2
Для определения точки в воспользуемся одним из свойств метрического оператора трёх точек, в соответствии с которым АСИд будет прямым, при значении метрического оператора 2^ = 0. Определим точку в с помощью параметра г: в = (С - О)г + О. Определим значение параметра г, при котором 2^ = 0
= 2(С - Ив )(в - Ив ) = 12(С - В )((С - О)(2-!) + (О - В )) = 0
= о ^ г = ■
2С -2 2в/-. 2
'ВО ^СО
22С 22п
где 2Со = (хс -хв )(Хо -хв ) + (Ус -Ув )(Уо -Ув ) + (2с -2в )(2о -2в ) ; 2СО = (хв - хс ) ( хо - хс ) + (Ув - Ус ) ( Уо - Ус ) + (2в - 2с ) (2о - 2с ) •
Тогда уравнение точки в принимает следующий вид:
е=(с - о)
2с -2в
2во г2со + О ^
2 2 С„
ЕС у в
Р.П 2 Г
хв =(ХС хо ) „с + Хо
22 ВО 2С -2в
Уд =( Ус - Уо + Уо •
22'
С
ВО
= ( 2с - 2о )
2С -2
2 В/П 2
ВО ^СО
22
+
Аналогичным образом определим точку Р с помощью параметра г: Р = (в - В) г + В. Определим значение параметра г, при котором 2^ = 0:
2£ =2( Р - Ир )(В - Ир ) =12((2 - В) 2г + (В - А))(В - А) = 0 ^ г =
22В 22 Ае
где 21 =( ха - хв )2 +( Уа - Ув )2 +(2а - 2в )2 ;
2Ве = (ХА - хв )(хе - хв ) + ( Уа - Ув )(уя - Ув ) + ( 2а - 2в )(2е - 2в ) •
Тогда уравнение точки Р принимает следующий вид:
р = (2 - в )—АВт+в ^
2 2 Ад
хв (х2 хв)"
- + Ха
в лв)1УВ ' ЛВ 22 Ад
Ур = (Уд -Ув):2вг+Ув.
2 2 Ав
2р (2в 2в К ув 1 2в
22 Ав
2В 2
- + г„
В качестве дуги обвода в инженерной практике наибольшее распространение получила окружность, что связано легкостью её построения с помощью элементарных чертёжных инструментов и широким набором параметризаций во всех системах автоматизированного проектирования и твердотельного моделирования. Вместе с тем, можно существенно увеличить вариативность параметризаций купольной поверхности за счёт использования дуг обвода в виде кривых 2-го порядка, полученных в точечном исчислении с помощью инженерного дискриминанта [15, 16]. Применительно к геометрической схеме построения образующей
луковичного купола (рис. 1) точечные уравнения дуг обвода АВ и ВС с инженерными дискриминантами к
и к2 соответственно принимают следующий вид:
2
е
в
2
аа
В
2
АА
N = ( A — P)
ku
к (1 — 2м) + 2мм
/ „ч км2
+ (5 — P)- 1
N2 =( 5 — Q ) _
к (1 — 2м) + 2мм
z+(C—Q)
к (1 — 2м) + 2мм
k м2
к2 (1 — 2м )2 + 2мм
- + P,
+ Q,
где и = 1 -и - дополнение до 1 параметра и е [0;1].
Выполнив покоординатный расчёт точечных уравнений, получим:
кМ 1 \ ^и2
XNl ~ (XA XP )
yNl =( Уа — ур )
ZN, =( Z A — ZP ) XN2 = (XB — XQ )
к (1 — 2м) + 2мм
_ +( XB XP )
км2
к (1 — 2м) + 2мм
Z + ( Ув — Ур )
к (1 — 2м )2 + 2мм км2
- + XD
к (1 — 2м) + 2мм
+ Ур
км
к (1 — 2м) + 2мм
км2
+ ( ZB — ZP )
км
к (1 — 2м) + 2мм
- + zD
Ущ =( Ув — yq )
к (1 — 2м) + 2мм
км2
/ \ км2
— +( XC — XQ )"
к (1 — 2м) + 2мм
_+ XQ
к (1 — 2м )2 + 2мм
I \ км2
z + (ус — yq )- 2
к (1 — 2м) + 2мм
_+ yQ •
= ( ZB — )
км
к (1 — 2м) + 2мм
Z + ( ZC — ZQ )
к м2
- + zr
к (1 — 2м )2 + 2мм Q
Частным случаем точечного определения кривой 2-го порядка с помощью инженерного дискриминанта, описанным в работе [16], является дуга окружности. Таким образом, предложено обобщение построения образующей линии луковичного купола для любых конических сечений.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ЛУКОВИЧНОГО КУПОЛА
При наличии геометрической модели образующей линии, построение поверхности луковичного купола сводится к вращению образующей вокруг оси ОС (рис. 1). Вращение вокруг оси в точечном исчислении можно реализовать несколькими способами. Первый из них заключается в использовании одного из точечных уравнений окружности, приведенных в [11]. Тогда окружность будет представлять собой направляющую линию поверхности луковичного купола. Воспользуемся вторым способом, который предусматривает использование полярной параметризации плоскости ОАС для реализации операции вращения вокруг оси ОС (рис. 2)
Рис. 2. Геометрическая схема для реализации операции вращения вокруг оси OC Fig. 2. Geometric scheme for implementing the rotation operation around the OC axis
Точечное уравнение полярной параметризации плоскости с учётом геометрической схемы (рис. 2) имеет следующий вид:
а = ( Л _ 0)\ОЩ ™ (г-у)+(Л _ о) т -пр+о,
sin у
где у = ZAOD; р е [0; 2ж] - угловой параметр (рис. 2).
\OD\ sin у
Принимая в качестве основы прямоугольный симплекс АСА А с вершиной в точке О , получим:
ХЛ =(х4 _ хо )с08У + (х^2 _ х0)sinр + х0
А = (А _О)cosр + (А _О)sinр + О
Аналогичным образом определяем точку B :
B = (B -O)CQsР + (B ~ O)sinp + O ^
Уа = (Уа, - Уо ) Cos р + (У a - Уо ) sinP + Уо ■ z а =(ZA, -zo)CosP + (zA -zo)sinP + zo
xB = (xB - xo, ) Cos Р + (хвг - xo, ) sin Р + xo, Ув = (Ув, - yo, ) Cos Р + (Увг - yo ) sin Р + yo ■
zB = (zb - zo ) COs Р + (zB2 - zo ) sin Р + zo,
Вычислительный алгоритм построения поверхности луковичного купола необходимо выполнять в обратном порядке, т.е. сначала необходимо определить подвижные точки А и В , затем точки ломанной Р и Q, после чего можно использовать уравнения образующих линий N и N . При этом предполагается, что габаритные размеры купола и размеры его верхней части d, ^, к, к (рис. 1) инженер-проектировщик выбирает заранее. Если принять точку О за начало координат, то с учётом заданных размеров получим
следующие координаты базовых точек: в ^0;d-;h -h j и C(0;0;h) .
: o (0;0;0) , o(0;0; h - h,) , A, ;0;0^ , A2 ^ 0; | , B, |^;0; h - h, j,
a)
в)
6)
r)
Рис. 3. Визуализация поверхности луковичного купола: а) с параболической образующей при k = к = 0,5; б) с эллиптической образующей при k = k2 = 0,65 ; в) с гиперболической образующей при k = k2 = 0,25 ; г) с гиперболической нижней частью k = 0,25 и эллиптической верхней k = 0,75 Fig. 3. Visualization of the onion dome surface: a) with parabolic formation at k = k = 0,5; b) with elliptical formation at k = k = 0,65 ; c) with hyperbolic formation at k = k = 0,25 ; d) with hyperbolic bottom part k = 0,25 and elliptical top part
k = 0,75
Таким образом, определена поверхность луковичного купола, состоящего из двух отсеков, состыкованных друг с другом по первому порядку гладкости. Проведём вычислительные
эксперименты по моделированию нескольких поверхностей луковичных куполов в зависимости от значений инженерных дискриминантов к и k2 (рис. 3).
Следует обратить внимание, что в соответствии с геометрической схемой построения образующей линии луковичного купола (рис. 1), осью симметрии является линия CO, что приводит к наличию особой точки на вершине купола. При необходимости ось вращения может быть смещена в противоположную сторону от образующей линии, формируя тем самым плоскость окружности на поверхности луковичного купола.
ВЫВОДЫ
Приведенный пример геометрического моделирования поверхности луковичного купола не является единственно возможным способом параметризации поверхностей архитектурных форм в точечном исчислении. Используя широкий набор непрерывных и составных линий, библиотека которых частично представлена в работе [11], и метода подвижного симплекса, возможна реализация поверхностей более сложной формы с сохранением всех геометрических свойств, а также их твердотельных моделей [17, 18], параметризованных в точечном исчислении. К преимуществам такого подхода можно отнести отсутствие необходимости использования матриц поворота и переноса, поскольку геометрический объект параметризуется в симплексе, который можно произвольным образом координировать в глобальной системе координат. Для расчёта напряжённо-деформированного состояния
поверхности луковичного купола можно использовать метод численного решения дифференциальных уравнений с помощью геометрических интерполянтов [19-22]. Комплексный подход к параметризации геометрических объектов и аппроксимации решения дифференциальных уравнений в частных производных с помощью геометрических интерполянтов в точечном исчислении даёт возможность исключить необходимость трудоёмкой процедуры согласования
геометрической информации в процессе взаимодействия между CAD и FEA системами.
Перспективой дальнейших исследований является использование непрерывных дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки [23, 24], для определения образующей поверхности луковичного купола.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бычкова Т.Д., Ершов Ф.С. Проблемы исторической реконструкции кровель и куполов храмов Великого Новгорода и Пскова XII - начала XIV века // Наука, образование и экспериментальное проектирование в МАРХИ (0812 апреля 2019 г.). Москва, 2019. С. 142.
2. Борисова И.С., Ларичев А.Е., Потехин И.А. Анализ напряжённо-деформированного состояния купола в форме луковицы православного храма в зависимости от его конструктивного решения // Актуальные вопросы развития науки и технологий: Сборник статей международной научно-практической конференции молодых учёных (01-31 марта 2017 г.). Караваево: Костромская государственная сельскохозяйственная академия, 2017. С. 43-46.
3. Шумейко В.И., Левшеков С.С. Оптимальное проектирование элементов крестово-купольных систем // Вестник евразийской науки. 2018. Т. 10. № 1. Режим доступа: https://esj.today/PDF/33SAVN118.pdf (дата обращения 21.03.2022).
4. Ваванов Д.А. Компьютерные способы построения храмовых архитектурных форм православных церквей с использованием AutoCAD и 3DMAX // Инновации и инвестиции. 2019. № 12. С. 221-224.
5. Ганичева А.В., Ганичев А.В. Математическое моделирование куполов церквей и храмов // Цифровизация в АПК: технологические ресурсы, новые возможности и вызовы времени: Сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции, Тверь, 11-13 февраля 2020 года. - Тверь: Тверская государственная сельскохозяйственная академия, 2020. С. 358-361.
6. Дорошенко Ю.А., Пустовойт Р.А. Геометрия куполов православных храмов // Теория и практика дизайна. 2019. № 16. С. 68-86. DOI 10.18372/24158151.16.14331.
7. Boykov A.A. Development and application of the geometry constructions language to building computer geometric models // IoP conference series: Journal of Physics: Conf. Series 1901 (2021), 012058. DOI:10.1088/1742-6596/1901/1/012058.
8. Маршания Л.В., Нефедова М.А., Пестич С.Д. Пример геометрического эскизного моделирования купола Новосибирского государственного академического театра оперы и балета // Вестник науки и образования. 2019. № 11-1(65). С. 6-10.
9. Бумага А.И., Конопацкий Е.В., Крысько А.А., Чернышева О.А. Введение в математические аппарат БН-исчисления // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. 2017. Т. 1. С. 76 - 82.
10. Балюба И.Г., Конопацкий Е.В. Точечное исчисление. Историческая справка и основополагающие определения // Тр. 8-й Междунар. науч. конф. «Физико-техническая информатика», (9-13 ноября 2020 г.) Нижний-
Новгород, 2020. Ч. 2. С. 321-327. DOI:
10.30987/conferencearticle_5fd755c0adb1d9.2703826
5.
11. Балюба И.Г., Конопацкий Е.В., Бумага А.И. Точечное исчисление // Макеевка: ДОННАСА, 2020. 244 с.
12. Конопацкий Е.В., Крысько А.А., Бумага А.И. Вычислительные алгоритмы моделирования одномерных обводов через к наперед заданных точек // Геометрия и графика. 2018. Т. 6. № 3. С. 2032. DOI 10.12737/article_5bc457ece 18491.72807735.
13. Конопацкий Е.В. Принципы моделирования многофакторных процессов и явлений с большим количеством исходных данных // Информационные технологии в проектировании и производстве. 2018. № 4(172). С. 20-25.
14. Балюба И.Г., Конопацкий Е.В. Конструирование дуг обвода из кривых одного отношения // Труды 27-й Международной конференция по компьютерной графике и машинному зрению «GraphiCon 2017» (24-28 сентября 2017 г.). Пермь: ПГНИУ, 2017. - С.332-334.
15. Конопацкий Е.В. Использование кривых одного отношения для конструирования профиля крыла летательного аппарата в БН-исчислении // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. 2017. № 50. С. 90-100. DOI 10.15593/2224-9982/2017.50.09.
16. Конопацкий Е.В., Воронова О.С., Ротков С.И., Лагунова М.В., Бездитный А.А. Моделирование кривых 2-го порядка и поверхностей оболочек инженерных сооружений на их основе // Строительство и техногенная безопасность. 2021. № 22(74). С. 101-110. DOI 10.37279/2413-1873-2021-22-101-110.
17. Konopatskiy E.V., Bezditnyi A.A., Lagunova M.V., Naidysh A.V. Principles of solid modelling in point calculus // Journal of Physics: Conference Series: 5, Omsk, 16-17 марта 2021 года. Omsk, 2021. P. 012063. DOI 10.1088/1742-6596/1901/1/012063.
18. Konopatskiy E. V Solid modeling of geometric objects in point calculus // CEUR Workshop Proceedings: 31(27-30 сентября 2021 г.). Nizhny Novgorod, 2021. PP. 666-672.
19. Конопацкий Е.В. Решение дифференциальных уравнений методами геометрического моделирования // Труды 28-й Международной конференция по компьютерной графике и машинному зрению «GraphiCon 2018» (24-27 сентября 2018 г.). Томск: ТПУ, 2018. - С. 322325.
20. Конопацкий Е.В., Шевчук О.А. Использование геометрических интерполянтов для численного решения дифференциальных уравнений // Информационные технологии: материалы 84-й науч. -техн. конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (3-15 февраля 2020 г.). Минск: БГТУ, 2020. - С.194-196.
21. Konopatskiy E.V., Bezditnyi A.A., Shevchuk O.A. Modeling geometric varieties with given differential characteristics and its application // CEUR Workshop Proceedings. Proceedings of the 30th International Conference on Computer Graphics and Machine Vision, (GraphiCon 2020) Saint Petersburg, Russia, September 22-25, 2020. - Vol. 2744. DOI: 10.51130/graphicon-2020-2-4-31.
22. Konopatskiy E.V. Voronova O.S., Shevchuk O.A., Bezditnyi A.A. About one method of numeral decision of differential equalizations in partials using geometric interpolants // CEUR Workshop Proceedings. Proceedings of the 8th International Scientific Conference on Computing in Physics and Technology (CPT 2020) Moscow, November 9-13, 2020. Vol. 2763. PP. 213-219. DOI: 10.30987/conferencearticle_5fce27708eb353.9284370 0.
23. Конопацкий Е. В. Моделирование дуг кривых, проходящих через наперед заданные точки // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2019. № 2(176). С. 30-36. DOI 10.14489/vkit.2019.02.pp.030-036.
24. Конопацкий Е.В., Селезнев И.В., Чернышева О.А., Лагунова М.В., Бездитный А.А. Геометрическое моделирование адаптивных алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2021. Т.18. № 9(207). С. 26-34. DOI 10.14489/vkit.2021.09.pp.026-034.
REFERENCES
1. Bychkova T.D, Ershov F.S. Poblems of historical reconstruction of roofs and domes of temples of Novgorod and Pskov XII - early XIV centuries. Science, education and experimental design at the Moscow Architectural Institute (08-12 April 2019). Moscow. 2019, pp. 142. (In Russian).
2. Borisova I.S., Larichev A.E., Potekhin I.A. Analysis of the stressed-deformed state of the dome in the shape of the bulb of the orthodox church, depending on its constructive solution. Actual issues of the development of science and technology: Collection of articles of the international scientific and practical conference of young scientists (01-31 March 2017). Karavaevo: Kostroma State Agricultural Academy. 2017, pp. 43-46. (In Russian).
3. Shumeyko V.I., Levshekov S.S. Optimal design of the elements of cross-domed systems. The Eurasian Scientific Journal. 2018. Vol. 10. No. 1. [electronic resource]. - URL: https://esj.today/PDF/33SAVN118.pdf (date of access 21.03.2022). (In Russian).
4. Vavanov D.A. Computer methods for constructing temple architectural forms of Orthodox churches using AutoCAD and 3DMAX. Innovations and investments. 2019. No. 12, pp. 221-224. (In Russian).
5. Ganicheva A.V., Ganichev A.V. Mathematical modeling of the domes of churches and temples. Digitalization in the agro-industrial complex:
technological resources, new opportunities and challenges of the time: Collection of scientific papers based on the materials of the International Scientific and Practical Conference, Tver, (11-13 February 2020). Tver: Tver State Agricultural Academy. 2020, pp. 358361. (In Russian).
6. Doroshenko Y.A., Pustovoit R.A. Geometry of domes of orthodox temples. Theory and practice of design. 2019. No. 16, pp. 68-86. DOI 10.18372/24158151.16.14331. (In Russian).
7. Boykov A.A. Development and application of the geometry constructions language to building computer geometric models. IoP conference series: Journal of Physics: Conf. Series 1901 (2021), 012058. D0I:10.1088/1742-6596/1901/1/012058.
8. Marshania L.V., Nefedova M.A., Pestich S.D. An example of geometric outline modeling of the dome of the Novosibirsk state academic opera and ballet theater. Bulletin of Science and Education. 2019. No. 11-1(65), pp. 6-10. (In Russian).
9. Bumaga A.I., Konopatskiy E.V., Krys'ko A.A., Chernysheva O.A. Introduction in the mathematical apparatus BN-calculation. Problems of the quality of graphic preparation of students in a technical college: traditions and innovations. 2017. Vol. 1, pp. 76-82. (In Russian).
10. Balyuba I. G., Konopatskiy E. V. Point calculus. Historical background and basic definitions / Tr. 8th Intern. nauch. Conf. "Physical and technical Informatics", 09-13 Nov 2020 Nizhny-Novgorod, 2020. Part 2, pp. 321-327. DOI: 10.30987/conferencearticle_5fd755c0adb1d9.2703826 5. (In Russian).
11. Balyuba I.G., Konopatskiy E.V., Bumaga A.I. Tochechnoe ischislenie [Point calculus]. Makeevka: DONNACEA, 2020. 244 p.
12. Konopatskiy E.V., Krys'ko A.A., Bumaga A.I. Computational algorithms for modeling of one-dimensional contours through k in advance given points. Geometry and Graphics. 2018, Vol. 6. No. 3, pp. 20-32. DOI: 10.12737/article_5bc457ece18491.72807735. (In Russian).
13. Konopatskiy E.V. Principles of modeling multifactor processes with a large amount of input data. Information technology in design and production. Information technologies in design and production. 2018. No 4(172), pp. 20-25. (In Russian).
14. Balyuba I.G., Konopatskiy E.V., Constructing contour arcs from one relation curves. Proceedings of the 27th International Conference on Computer Graphics and Machine Vision "GraphiCon 2017" (2428 September 2017). Perm: PGNIU, 2017, pp. 332-334. (In Russian).
15. Konopatskiy E.V. The use of one relation curves for designing an aircraft wing profile in Bn-calculation. Bulletin of the Perm National Research Polytechnic University. Aerospace engineering. 2017. No. 50, pp. 90-100. DOI 10.15593/2224-9982/2017.50.09. (In Russian).
16. Konopatskiy E.V., Voronova O.S., Rotkov S.I., lagunova M.V., Bezditnyi A.A. Modeling of the 2nd order curves and surfaces of engineering structures shells based on their basis. Construction and technogenic safety. 2021. No. 22(74), pp. 101-110. DOI 10.37279/2413-1873-2021-22-101-110. (In Russian).
17. Konopatskiy E.V., Bezditnyi A.A., Lagunova M.V., Naidysh A.V. Principles of solid modelling in point calculus // Journal of Physics: Conference Series: 5, (16-17 March 2021). Omsk, 2021. P. 012063. DOI 10.1088/1742-6596/1901/1/012063.
18. Konopatskiy E. V. Solid modeling of geometric objects in point calculus. CEUR Workshop Proceedings: 31(27-30 September 2021). Nizhny Novgorod, 2021. pp. 666-672.
19. Konopatskiy E.V. Solving differential equations by geometric modeling methods. Proceedings of the 28th International Conference on Computer Graphics and Machine Vision "GraphiCon 2018" (24-27 September 2018). Tomsk: TPU, 2018, pp. 322-325. (In Russian).
20. Konopatskiy E.V., Shevchuk O.A. The use of geometric interpolants for the numerical solution of differential equations // Information technologies: materials of the 84th scientific and technical. conference of faculty, researchers and graduate students (February 3-15, 2020). Minsk: BSTU, 2020. - P.194-196. (In Russian).
21. Konopatskiy E.V., Bezditnyi A.A., Shevchuk O.A. Modeling geometric varieties with given differential characteristics and its application. CEUR Workshop Proceedings. Proceedings of the 30th International Conference on Computer Graphics and Machine Vision, (GraphiCon 2020) Saint Petersburg, Russia, September 22-25, 2020. - Vol. 2744. DOI: 10.51130/graphicon-2020-2-4-31.
22. Konopatskiy E.V. Voronova O.S., Shevchuk O.A., Bezditnyi A.A. About one method of numeral decision of differential equalizations in partials using geometric interpolants // CEUR Workshop Proceedings. Proceedings of the 8th International Scientific Conference on Computing in Physics and Technology (CPT 2020) Moscow, November 9-13, 2020. Vol. 2763, pp. 213-219. DOI: 10.30987/conferencearticle_5fce27708eb353.9284370 0.
23. Konopatskiy E.V. Modeling of arcs of curves passing through predetermined points. Bulletin of computer and information technologies. 2019. No. 2, 30-36 pp. DOI: 10.14489/vkit.2019.02.pp.030- 036. (In Russian).
24. Konopatskiy E.V., Seleznev I.V., Chernysheva O.A., Lagunova M.V., Bezditnyi A.A. Geometric modeling of adaptive algebraic curves passing through predetermined points. Bulletin of computer and information technologies. 2021. Vol.18. No. 9(207), pp. 26-34. DOI 10.14489/vkit.2021.09.pp.026-034. (In Russian).
GEOMETRIC MODELING THE ONION DOME SURFACE IN POINT CALCULUS
Voronova O.S.
Donbas national Academy of civil engineering and architecture, 286123, Donetsk Peoples Republic, Makeevka, Derzhavina str., 2, kornilova.oly@mail.ru
Abstract. The paper describes geometric and computer models of the bulbous dome surface, the analytical description of which is made using the mathematical apparatus «Point Calculus». The basis of the model bulbous dome surface is a geometric algorithm for constructing a generating line, consisting of two arcs curves the second order. These curves are consistent with each other on the first order of smoothness. Such coordination is provided by a common tangent at the junction contour arcs. As a result, two triangles are formed, the sides of which are tangent to curves arcs the second order. The missing triangles vertices are determined as a result of the intersection the tangents with the corresponding midperpendiculars lines. The analytical description of definition the triangles vertices is implemented using the metric operator of three points, which is an analogue scalar product the vectors in point calculus. The second-order curve arc curvature is determined using the engineering discriminant. The construction of the bulbous dome surface is provided by the implementation the rotation operation of the docked contour arc around the vertical axis due to the use polar parametrization of the plane in point calculus. As a result, a composite rotation surface is obtained, consisting of two parts joined to each other according to the first order of smoothness. To determine this surface, it is enough to specify the overall dimensions of the entire dome and the dimensions of its upper part. Examples of modeling dome surfaces are given depending on the values of engineering discriminants the upper and lower dome parts. These examples show how changing the engineering discriminants values allows the engineer to select the necessary curvature dome surface to ensure not only strength and structural requirements, but also artistic, aesthetic and architectural expressiveness. Subject: geometric models of the bulbous domes surfaces.
Materials and methods: the research methods include geometric algorithms for modeling the surface of the bulbous dome, parametrization of which is performed using the mathematical apparatus "Point Calculus".
Results: the geometric modeling method of bulbous dome surface has been developed of a point calculus, which allows us to present dome surface a visual image and analytical description.
Conclusions: the geometric model of the bulbous dome surface has been developed, which consists of two compartments that joint together on the basis of second-order curves, it makes it possible to select the necessary dome surface curvature by changing the values of the engineering discriminants the upper and lower parts.
Key words: geometric modeling, dome surface, bulbous dome, curve coupling, contour arc, point calculus.
