CC BY
28
УДК 515.2
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНЖЕНЕРНЫХ СЕТЕЙ НА ПЛОСКОСТИ С ПОЛЯРНОЙ МЕТРИКОЙ
К. А. Куспеков
Аннотация. В статье рассматривается модифицированный алгоритм построения оптимальной конфигурации кратчайшего дерева для четырех точек плоскости с полярной метрикой. К каждой точке приложен вес - коэффициент, учитывающий экономические показатели инженерной сети.
Ключевые слова: кратчайшее дерево, кратчайшие линии, вес точки.
Введение
При определении оптимальной конфигурации инженерных сетей криволинейные участки трассы, можно аппроксимировать отрезками дуг окружностей. В такой постановке геометрическая модель таких задач представляет собой плоскость с полярной метрикой [1].
В [2] были геометрический исследованы и построены различные топологии кратчайшего дерева (КД) для трех точек плоскости с полярной метрикой. При этом к заданным точкам приложены некоторая положительная величина р, называемая весом точки, интерпретирующая экономические показатели инженерной сети.
Построение оптимальной конфигурации полярной сети. Пусть на плоскости с фиксированной полярной системой координат [2] заданы точки с весами М1, р1 ;М2, р2; М3, д3; М4, (рис.1.).
Рис. 1. Заштрихованная часть: зона подвижности сети
Для построения конфигурации кратчайшего дерева для заданных четырех точек с различными значениями веса, имеющую минимальную суммарную длину Ц проведем построения Штейнера аналогично плоскости с евклидовой метрикой, т.е. введем в сеть дополнительную точку Штейнера оптимизирующее решение задачи. Определим положение и координаты дополнительно вводимой точки Штейнера, для этого проведём радиальные и дуговые отрезки через точки М1,р1; М2,р2; М3,р3; М4,р4 и получим криволинейный четырехугольник М1 р^'М^'". Заданные точки можно соединить множеством ду-го-радиальных отрезков и построить различные конфигурации КД4 в заштрихованной зоне (рис.1.). Рассмотрим построение оптимальной структурной схемы конфигурации КД4 при различных значениях веса в точках. Построения проведем в два этапа.
1 этап. На этом этапе построение проведем для случая, когда весовые коэффициенты имеют одинаковые значения рт = р2 = р3 = р4. Используем алгоритм [2]:
Шаг 1. Определяем расстояние между заданными точками по формуле:
р + р2, если|ф1 - ф21 ^ 2; а(М1,М2) = -! Р1 + Р2| + Р1 |ф1 -921.если|ф1 — 921<2,и,р1<р2;
Р1 — Р 2 + |р 2 (91—921 если| 91 —921<2, и,Р1>Р 2 •
Наименьшим расстоянием обладают точки М3,р3 и М4, р4. Через точки М3 и М4 проведем радиальные отрезки с центром О и дуговые отрезки М3,р3М' и М''М'''. Получим конфигурацию криволинейного четырехугольника М3, д3 М М4, д4 М'''(рис. 2.).
Мр
Рис. 2. Топология 1 при q1 = q2 = q3 = q4
Радиальные отрезки М4, q4 N = М3, qзN'", а дуговые отрезки, т.е. М4, q4 N'"<N М3, q3. Поэтому исходя из принципа наименьшего удлинения и с учетом равенства весовых ко-эфицентов, на первом шаге соединяем точку М3^3 через точку перехода с точкой М4^4, кратчайшим дуго-радиальным отрезком, образуется кратчайшее дерево для двух точек М3, М4 - КД2.
Шаг 2. Вычисляем и сравниваем расстояние между КД2 и точками и М2^2. Просчитав все варианты соединения по дуго-радиальным отрезкам выявляем, к КД2 нужно соединить точку М2^2 через узловую точку N. По аналогии задачи Штейнера на плоскости с евклидовой метрикой, назовем её также точкой Штейнера на полярной сети. Тогда КД2 трансформируется, строим КД3 для точки М2^2 и КД2 через точку Штейнера N.
Шаг 3.На этом шаге присоединяем точку М1^1 с КД3 через точку М2^2 дуговым отрезком. Построенная конфигурация кратчайшего дерева для четырех точек имеет минимальную суммарную длину:
1-=Я(1М1 М21+1 M2N|+|NM3|+|NM4|) = Я((!М1Ы,1 или
L=q(|p1(ф1 - Ф2)|+|P2 - Р4) + р^ Ф2 - Фз).
2 этап. Пусть весовые коэффициенты
q1 >q2<q4, qз>q2 . (1)
Модифицируем алгоритм [2], также исходя из принципа наименьшего удлинения но с учетом весовых коэфицентов (1) строим следующую структурную схему конфигурации кратчайшего дерева КД4:
Выбираем две точки имеющие кратчайшее расстояние с учетом веса. Из равенства (1) строим структурную схему соединения а) для случая когда q2меньше q4^: :
а) М1 - N1
/М4
/М3 j111 X
Строим структурную схему для случая q2=q4 и q3 меньше q2:
, 1 „ , ^2
б) М1 - N1 - N
М3
М4
Используя аналогичные структурные схемы и модифицированный алгоритм построения кратчайших связывающих компланарное множество из m точек линии на плоскости с полярной метрикой с разными весовыми ко-эфицентами, можно конструировать различные конфигурации кратчайшего дерева удовлетворяющие наперед заданным условиям.
Заключение
Проведенные построения показывают, что геометрия плоскости с полярной метрикой значительно сложнее плоскости с евклидовой и ортогональной метрикой. Но на практике такие модели имеют важное значение. Дают возможность моделировать инженерные сети такими кратчайшими деревьями с полярной метрикой, и построить сеть, удовлетворяющей наперед заданным требованиям. Очевидно, конструктор имеет возможность построить несколько вариантов и выбрать оптимальную сеть.
Библиографический список
1.Есмуханов Ж. М. Геометрия плоскости с полярной метрикой / Ж. М. Есмуханов // Прикладная геометрия и инженерная графика: сб. науч.тр. / КазПТИ. - Алма-Ата, 1978. - Вып. 3. - С.10-15.
2. Куспеков К. А. Минимальное деревья на Е2 с полярной метрикой. Материалы 6-Международной науно-практической конференции, посвященной 125-летию Национального технического университета «Харьковский политехнической институт» и 10-летию Украинской ассоциации по прикладной геометрии. 21-24 апреля 2009 г. - Харьков, С.93-97.
3. Куспеков К. А. Определение оптимальной топологии кратчайшего дерева для четырех точек плоскости с полярной метрикой / К. А. Куспеков, В. Я. Волков // Вестник СибАДИ. - 2011.- № 1. - С. 66.
GEOMETRICAL MODELING OF ENGINEERING NETWORKS ON THE PLANE WITH A POLAR METRICS
K. А. Kuspekov
In article the technique of construction of an optimum configuration of the shortest tree for four points of a plane with the polar metrics is considered.
The weight is enclosed to each point - the factor considering indicators of an engineering network.
Keywords: the shortest tree, the shortest lines, point weight.
Bibliographic list
1.Esmuhanov J. M. Plane geometry with polar metric / JM Esmuhanov / / Applied Geometry and Engineering Graphics: Fri. nauch.tr. / KazPTI. - Alma-Ata, 1978. - Issue. 3. - P.10-15.
2. Kuspekov K. A. Minimum trees on E2 with a polar metric. Proceedings of 6th International nauno-practical conference dedicated to the 125th anniversary of the National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute" and the 10th anniversary of the
Ukrainian Association of Applied Geometry. 21-24 April 2009 - Kharkiv, p. 93-97.
3. Kuspekov K. A. Determination of the optimal topology of the shortest tree for four points in the plane with polar metric / K. A. Kuspekov, V. Volkov, J. / / Vestnik SibADI. - 2011 - № 1. - P. 66.
Куспеков Кайырбек Амиргазыулы - кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Начертательная геометрия и инженерная графика» Казахский национальный технический университет им. К. И. Сатпаева, г. Алматы. е-mail: kuspeko v_k@mail. ru
УДК 532.542
РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РАСЧЕТА СИСТЕМЫ СМАЗКИ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
О. Л. Маломыжев, А. Г. Семенов, В. В. Скутельник
Аннотация. Рассмотрена методика расчета подвода масла к деталям машин и механизмов, главным образом транспортных и технологических систем, с целью смазки или гидравлического управления. При этом дан вывод уравнения движения сжимаемой жидкости, предложена классификация линий подач смазки и вывод основных расчетных зависимостей для характерных участков, разработана математическая модель системы смазки. Модель позволяет использовать представления о переменной плотности смазочного материала и связанном с этим переходе от объемных расходов к массовым.
Ключевые слова: подача смазки, сжимаемость жидкости, уравнение движения жидкости, математическая модель, методика.
Введение
Большинство механических устройств, -транспортных и технологических машин и механизмов, - работает в условиях искусственной смазки пар трения. В гидравлических системах управления также широко применяется масло. Сложные устройства могут иметь, соответственно, достаточно сложные гидравлические системы смазки и управления. Движение масла по линиям подач, выполненных внутри элементов сборочных единиц, в частности, коробок перемены передач автотранспортных средств, относится к вынужденному движению сжимаемой среды (под давлением, создаваемым насосом/насосной станцией, под действием гравитации и центробежных сил). Теоретическое исследование подач смазочного материала к элементам - необходимое условие грамотного конструирования, оптимизации машин и механизмов.
Основная часть
1. Уравнение движения сжимаемой среды
Движение масла по линиям систем смазки относится к вынужденному движению сжимаемой среды по линиям подач, выполненных внутри элементов сборочных единиц.
Уравнения движения среды могут быть получены из уравнения переноса субстанции [1], когда в качестве переносимой субстанции
рассматривается величина импульса рУ и в векторной форме их можно записать:
dpV + divl р V V I = -gpad(p)- div(G) + £ pkFk ■
(1)
где
dp V Эт
- локальное изменение количе-
ства движения в единицу времени; div
р VV
- конвективный перенос количества движе-
