CC BY-NC
13Геометрический анализ текущих ситуаций характеризующих положение манипулятора и окружающей среды на основе использования области разрешенных конфигураций
Притыкин Федор Николаевич
доктор технических наук профессор, Омский государственный технический университет 644050, Россия, Омская область, г. Омск, проспектM/ipa, 11, ауд. Зв-516
Pritykin Fedor Nkolaevich Doctor of Technical Science Professor, Omsk State Technical University 644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, ul. Prospekt Mra, 11, aud. Zv-516
И [email protected] Хомченко Василий Герасимович
доктор технических наук профессор, Омский государственный технический университет 644050, Россия, Омская область, г. Омск, проспект Mipa, 11 KhomchenkoVasilii Gerasimovich Doctor of Technical Science Professor, Omsk State Technical University 644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, ul. Prospekt Mra, 11
И [email protected] Глухов Владимир 1/Ъанович
доктор технических наук профессор, Омский государственный технический университет 644050, Россия, Омская область, г. Омск, проспект Mipa, 11
Qukhov Vladimir Ivanovich Doctor of Technical Science Professor, Omsk State Technical University 644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, ul. Prospekt Mra, 11
Нефедов Дмитрий №оревич
аспирант, Омский государственный технический университет 644050, Россия, Омская область, г. Омск, проспект Мира, 11
Nefedov Dmitrii Igorevich Graduate student, Omsk State Technical University 644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, ul. Prospekt Mra, 11
Статья из рубрики "Компьютерная графика, обработка изображений и распознавание образов"
Аннотация. Предметом исследования является модуль автоматического обнаружения столкновений механизма манипулятора, с запретными зонами используемый в интеллектуальных системах управления роботами. Объектом исследования является геометрический анализ характеризующий положение механизма манипулятора и известных запретных зон. Авторы подробно рассматривают такие аспекты как аналитическое задание области разрешенных конфигураций в пространстве обобщенных координат при наличии двух запретных зон в рабочем пространстве манипулятора. Пространство обобщенных координат при этом задано осями прямоугольной системы координат, по направлению которых откладывают углы, задающие перемещения во вращательных кинематических парах. Предложено использовать достаточное условие определения столкновений, основанное на использовании области разрешенных конфигураций. Методология исследования основана на изучении сечений задающих форму и положение области разрешенных конфигураций. Все разрешенные конфигурации в пространстве обобщенных координат, отображены геометрическим объектом. Данный геометрический объект задан аналитическим способом с помощью использования нескольких кинематических поверхностей, его ограничивающих. Основным выводом проведенного исследования является сокращение времени расчетов тестовых заданий, связанных с виртуальным моделированием движения механизма манипулятора мобильного робота «Варан» при использовании разработанного алгоритма обнаружения столкновений механизма со средой. Особым вкладом авторов в исследование темы является разработка способа задания базы знаний, используемой при интеллектуальном управлении движением механизма манипулятора в заранее известной внешней среде. Новизна исследований заключается в разработке более производительного метода анализа информации о положении механизма манипулятора и запретных зон на основе полученных аналитических зависимостей, используемых для задания области разрешенных конфигураций. Использование полученной области при синтезе траектории в пространстве обобщенных координат позволяет проводить коррекцию движения манипулятора с целью предвидения и исключения тупиковых ситуаций при синтезе движений по вектору скоростей.
Ключевые слова: пространство обобщенных координат, область разрешенных конфигураций, кинематические поверхности, виртуальное моделирование движений, запретные зоны, база знаний, интеллектуальные роботы, кинематические пары, геометрический анализ, управление движением робота
DOI: 10.7256/2454-0714.2017.2.22685
Дата направления в редакцию: 23-04-2017
Дата публикации:
Abstract. The immediate object of studies is the module for automatic detection for the manipulator mechanism collisions with the prohibited zones, which is used in intellectual robot guidance. The object of studies involves geometrical analysis characterizing the position of the manipulator mechanism and the known prohibited zones. The authors provide detailed analysis of analytical value of the allowed configurations sphere within the space of generalized coordinates with two prohibited zones present in the working space of a manipulator. The generalized coordinates space is provided for by the axes of the rectangular coordinates system based upon the directions of angles providing for the
movements in the turning pairs. It is offered to use the sufficient condition for the collisions based upon the usage within the space of allowed configurations. All of the allowed configurations within the generalized coordinates space are reflected by a geometrical object. The said geometrical object is provided for via analytical means with the use of several kinematic surfaces limiting it. The main result of the study is shorter calculation period for test assignments regarding virtual modeling for the manipulator movement of a "Komodo dragon" mobile robot with the use of the detection algorithm for collisions between the mechanism and the environment. The special input of the authors into the issue involves the development of the knowledge database assignment, which is used for intellectual guidance for manipulator motion in the familiar environment. The novelty of the study is due to the development of the more productive method of information analysis on the position of manipulator mechanism and prohibited zones based upon the analytical dependencies, which are used to establish the allowed configuration space. The use of this space for the trajectory synthesis within the generalized coordinates space allows one to correct the manipulator motion in order to predict and to exclude the dead-end situations when synthesizing the velocity vector movement.
Keywords: kinematic couples, intelligent robots, restricted areas, knowledge base, the virtual model operation of movements, kinematic surfaces, geometrical analysis, robot traffic control, area of allowed configurations, space of generalized coordinates
Введение
С развитием технологий автоматизации в промышленности, массово распространяется практика использования автономных мобильных роботов для выполнения различных
задач 2]. Мобильные робототехнические системы в настоящее время используются для устранения последствий катастроф экологического и техногенного характера. Роботы данного назначения используются для обслуживания, диагностики и ремонта объектов ядерной энергетики, для борьбы с терроризмом, при обезвреживании взрывчатых устройств. Наиболее приоритетным направлением реализации мобильных роботов так же является их использование в труднодоступных местах, таких как туннели, шахты и т.п. В большинстве случаев данные роботы управляются человеком оператором. Вместе с тем так же ведутся работы связанные с созданием автономных мобильных роботов оснащенных интеллектуальными системами управления. Данные системы позволяют обеспечить целенаправленное поведение и планирование действий приводящих в конечном итоге к выполнению основной двигательной задачи. Использование интеллектуального управления, позволяет обеспечить роботам автономное функционирование. Адаптивный, мобильный робот - это техническая система, способная автономно, без участия человека-оператора, перемещать объекты манипулирования по заранее известной и неизвестной местности при наличии препятствий.
Одной из наиболее распространенных аварийных ситуаций, возникающих при функционировании автономных мобильных роботов, является его столкновение со средой [3-8]. Для обеспечения успешного функционирования автономных мобильных роботов в сложноорганизованных средах с высокой скоростью и с наименьшим вмешательством человека необходимо совершенствовать способы анализа положения механизма робота в известной и неизвестной окружающей среде. Поэтому существует необходимость в разработке модуля автоматического обнаружения столкновений с запретными зонами. С геометрической точки зрения столкновению двух тел соответствует наличие пересечения двух граней пространственных примитивов
задающих положение звеньев механизма и окружающей среды. Таким образом, для обнаружения пересечения манипулятора со средой необходимо перебрать все возможные комбинации граней примитивов до тех пор, пока не будет обнаружено пересечение между ними. Если это условие при окончании процедуры обнаружения пересечений не будет выполнено, то столкновение отсутствует. Однако на практике использование указанного алгоритма вызывает некоторые сложности в связи со
слишком большим количеством комбинаций граней. Для их сокращения в работах [9-12] первоначально предлагается определять достаточное условие столкновений, которое соответствует условию не пересечения траектории движения в пространстве обобщенных координат с границами области разрешенных конфигураций. Затем проверяется необходимое условие. Пространство обобщенных координат при этом задают осями прямоугольной системы координат, по направлению которых откладывают или углы или линейные смещения, задающие движения в поступательных или вращательных
шарнирах. В работах [13-14] предложен алгоритм построения движения механизма манипулятора основанный на анализе положения точек задающих разрешенные и запрещенные конфигурации. Условимся в дальнейшем конфигурацию, которая удовлетворяет предельным значениям обобщенных координат и которая не пересекает запретные зоны называть разрешенной. В противном случае конфигурацию называют запрещенной. Все разрешенные конфигурации в пространстве обобщенных координат,
могут быть изображены п - мерным геометрическим объектом [11-12]. Где п - определяет число обобщенных координат. Достаточное условие столкновений позволяет существенно повысить быстродействие процедуры обнаружения столкновений. Отметим, что разрабатываемые методы реагирования систем на ту или иную ситуацию, возникающую при перемещении исполнительного механизма, влияют не только на решение конкретной двигательной задачи, но и существенным образом оказывают влияние на уменьшение или увеличение динамических нагрузок на исполнительный механизм манипулятора.
Построение сечений области разрешенных конфигураций
Учитывая то, что у мобильных роботов в большинстве случаев, используется пятизвенный пространственный механизм (рис. 1,а) исследуем точки пространства обобщенных координат, определяющие разрешенные конфигурации для этого
механизма. В работах [11-12] были рассмотрены некоторые частные случаи расположения запретных зон, препятствующих работе манипулятора с использованием области разрешенных конфигураций, которую обозначим L. Еще одной из возможных задач при функционировании мобильных роботов является работа при наличии проемов в вертикальных препятствиях, таких как оконные проемы, люки, стеллажи и другие им подобные объекты.
На рис. 1,аб изображены общий вид мобильного робота «Варан», кинематическая схема механизма этого манипулятора и положение запретных зон Л и Р2. Высота нижнего уровня проема для рассматриваемого примера в системе координат 01 принята равной & = 500 мм, а высота самого проема задана параметром 2р = 500 мм, минимальное безопасное удаление основания манипулятора от препятствия принято равным = 1200 мм (рис. 1,6). Длины звеньев манипулятора соответственно равны О1О2 - 900мм, О2О1 -700мм и О1О4 = 500мм. Обобщенные координаты на рисунке обозначены Так же введены дополнительные ограничения на положение центра выходного звена (ВЗ), заданного точкой 0\\ 400мм: ям™ > -200мм Где и ум координаты точки в
системе Для того чтобы оценить влияние различных запретных зон на область разрешенных конфигураций, необходимо рассмотреть два случая расположения
запретных зон. В первом случае запретная зона пусть задана в виде вертикальной фронтально проецирующей плоскости D, а во втором - в виде нескольких фронтально проецирующих плоскостей, задающих проем. Движения звеньев механизма будем исследовать в плоскости параллельной фронтальной плоскости проекций при = 0.
На рис. 2,а изображено множество разрешенных конфигураций механизма манипулятора при наличии запретной зоны, заданной одной фронтально проецирующей плоскостью D. Шаг изменения обобщенных координат принят равным десяти градусам. Соответственно на рис. 2,б изображено множество конфигураций, при наличии проема в стене. Положение и форма некоторых сечений области разрешенных конфигураций Л в
пространстве обобщенных координат "^<2 для двух указанных случаев представлена в таблице. На рис. 2 показана виртуальная безопасная зона толщиной 50мм вокруг препятствия, которая в процессе работы алгоритма считается запретной, но пересечение механизма манипулятора с данной зоной в результате погрешности расчетов не приведет к повреждениям манипулятора, объекта манипулирования или объектов окружающей среды.
Аналитическое задание области разрешенных конфигураций
Очевидно, что запретная зона, заданная вертикальной фронтально проецирующей плоскостью Л (рис. 2,а), создает в пространстве обобщенных координат область Л,
отличающуюся от областей, исследованных в работах [11-12]. Эту область рационально задать с помощью использования кинематической поверхности Ц^, образующими которой являются эллипсы б. Параметры формы образующей этой поверхности,
определяемые размерами большой и малой полуосей эллипса, изменяются в различных сечениях, определяемых обобщенной координатой 42 (табл. 1).
Условимся область запрещенных конфигураций, заданную этой кинематической поверхностью, обозначать Методика задания области разрешенных конфигураций
ранее была предложена в работах Г11"12!, где используются так же области Ш - Ш.
Неравенство, определяющее точки принадлежащие области пространства ^ и задающее запрещенные конфигурации для этого случая имеет следующий вид:
е/у сог + 31п
-1> О
Неравенство (1) получают на основе использования преобразований координат при переходе от системы связанной с эллипсом к системе задающей репер
плоскости сечения в пространстве обобщенных координат < (рис. 3).
После определения сечений определяют положения граничных эллипсов. Среди различных кривых второго порядка эллипс наилучшим образом прилегает на
определённом месте контура с крайними точками сечения области L (табл. 1). Для аналитического задания области L, зададим зависимость параметров формы и положения эллипсов в сечениях области (рис. 3), с помощью полиномов третьей степени:
□5 05 з , 05 2 , 05 , 05 ¡щ г^+т-л д2+!Щ0 .
Q5 Q5 з Q5 а Q5 , Q5 а =аз q2 + a2 q^+ag
; (2)
где параметр
Q5 = отсутствует, *
„Q5
смещение центра эллипса по оси q 3 (по оси q4 смещение эллипса
Q5
Q5
длины соответственно большой и малой полуосей
G5 С5 , Q5 , Q5
эллипса. Угол ^ наклона эллипса не изменяется и равен 118°. ^ ,mii ...,
определяют коэффициенты полиномов, используемых при задании области
Другую область разрешенных конфигураций обозначим (табл. 1), которую создает проем в запретной зоне. Данную область условимся приближенно задавать четырьмя ограничивающими линейчатыми поверхностями -Ц^!.
Для задания области разрешенных конфигураций, определяющих положения точек центра захвата, располагающихся внутри проема, используем совокупность прямых '1 - '4 располагающихся в сечениях области Л (табл. 1). Данные прямые 'т разделяют область сечений, точки которых определяются координатами Ч* и Ч1 на четыре области Эти области, заданные прямыми 1т в общем виде определяют неравенствами:
ЛтЯз + ВтЧ4+Ст> 0
, (3)
где т - порядковый номер прямой от 1 до 4; Лт, В™ и & - коэффициенты уравнения прямой. Область определяется пересечением четырех областей А, на основе
использования теории множеств Анализ сечений (табл. 1) показывает, что
положение прямых Ь в различных сечениях изменяется, следовательно, для задания области Л необходимо использовать четыре линейчатых поверхности, образующими которых будут являться прямые 'м. Зависимость коэффициентов А», бт и Ст от координаты определяющей положения сечений, зададим с помощью полиномов второй степени как функции параметра
и
Вт ~ + ЧтЧ2 + ^
. (4)
Ст = *2тЧ\ +
Моделирование движения манипулятора с использованием области разрешенных конфигураций
Основной задачей виртуального управления механизмом манипулятора, является расчет вектора приращений обобщенных координат на каждом шаге расчетов [18-25]. Данный вектор приращений будем определять по следующей зависимости:
где Ом — вектор, задающий точку £^ соответствующую критерию минимизации
с ■■ Г231 -г Мв Гв
объема движения -ь^х. Точка задает центр репера связанного с р-плоскостью ,
определяемой линейной системой уравнений задающей взаимосвязь приращений
обобщенных координат и приращений координат выходного звена ^^—^ — координаты точки ^ в р-плоскости ^ (каждой точке ^ соответствует определенное
мгновенное состояние механизма манипулятора) Верхний индекс аопределяет
принадлежность геометрических объектов пространству приращений обобщенных
координат <3; т — длина единичного отрезка репера р-плоскости ; — единичные
направляющие векторы осей репера Г22'231; р — размерность р-плоскости ^ .
Для каждого момента времени необходимо определять взаимное положение текущей расчетной конфигурации манипулятора по отношению к запретным зонам. Положение конфигурации будем определять с использованием области разрешенных конфигураций -'*. Для преодоления тупиковых ситуаций [20,23,25] при синтезе движений по вектору скоростей используем масштаб Л отображения вектора соединяющего точки
!+1С?2 / ^з / 44 ) в пространстве * на различном шаге расчетов (где t - определяет текущий параметр, , ^, - координаты точки ¿^задающей текущую конфигурацию).
Схема алгоритма синтеза траектории движения в пространстве обобщенных координат представлена на рис. 4. На рис. 4 приняты следующие обозначения: 1 - начало; 2 -
1А А
^ и *, определяющих начальное и целевое положение центра ВЗ; 3 -Синтез движения от точки ^ к целевой точке ^ по критерию минимизации объема
г---, П С
движения 4 - Определение точек ! и !+1 в пространстве обобщенных координат
задающих конфигурации на различном шаге расчетов при использовании критерия минимизации объема движения. Определение вектора соединяющего точки и в пространстве . Вычисление вектора с учетом масштаба отображения Л. Определение точек пересечения вектора^ с граничными поверхностями области Л или с образующими с/ и ^ . Компонента вектора '■т по направлению оси ^ задает
сечение и положение образующих б и ^ кинематических поверхностей; 5 - - пШ; б -
Изменение положения точки и направления вектора с помощью изменения
значений параметра ^ зависимости (5); 7 - изменение значений обобщенных координат - " -■ 8 - Целевая точка достигнута; 9 - Вывод расчётных значений обобщенных
координат; 10 - Конец.
На рис. 5,а представлены результаты виртуального моделирования движений механизма манипулятора при использовании критерия минимизации объема движения и отсутствии запретной зоны. Моделирование движения выполнено в системе САПР ACAD с использованием алгоритмического языка программирования AutoLISP. На рис. 5,б соответственно показан синтез движений при наличии запретной зоны с использованием разработанного алгоритма анализа текущих ситуаций.
Заключение и выводы
Использование разработанного алгоритма оценки текущих ситуаций, позволяет на виртуальном уровне синтезировать траекторию движения от начальной до целевой точки В З . Время расчета тестового задания при использовании разработанного метода сокращается на порядок по сравнению со способом, при котором для каждой итерации определяется пересечение примитивов задающих звенья механизма манипулятора и запретные зоны.
Полученные зависимости позволяют построить область разрешенных конфигураций, являющейся базой знаний при интеллектуальном управлении движением механизма манипулятора в заранее известной внешней среде. Использование полученной области при синтезе траектории в конфигурационном пространстве Q позволяет проводить коррекцию движения манипулятора с целью предвидения и исключения тупиковых ситуаций при синтезе движений по вектору скоростей.
Библиография
1. Григорьев С. Н. Современное состояние и перспективы развития промышленной робототехники / С. Н. Григорьев, А. Г. Андреев, С. П. Ивановский // Мехатроника, автоматизация, управление. 2013. № 1. С. 31-34.
2. Ющенко А.С. Интеллектуальное планирование в деятельности роботов / А.С. Ющенко // Мехатроника, автоматизация, управление. 2005. № 3. С. 5-18.
3. De Silva C. W., Macfarlane A. G. J. Knowledge-based control approach for robotic manipulators. "Int. J. Contr." 1989. 50, N 1. pp. 249-273.
4. Hasegawa T., Suehiro T., Takase K. A model-based manipulation system with skill-based execution. ''IEEE Trans. Rob. and Autom.'',1992. 8, N 5. pp.535-544.
5. Ермолов И. Л. Автономность мобильных роботов, ее сравнительные меры и пути повышения / И. Л. Ермолов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. № 6. С. 23-28.
6. Tsujumura T., Yabuta T., Morimitsu T. Shape-reconstruction system for three-dimensional objects using an ultrasonic distance sensor mounted on a manipulator. " Trans. ASME: J. Dyn. Syst., Meas., and Contr.", 1989. 111. N 2. pp. 180-186.
7. Shaffer C. A., Herb G. M. A real-time robot arm collision avoidance system. ''IEEE Trans. Rob. and Autom.'', 1992. 8. N 2. pp. 149-160.
8. Лопатин, П. К. Компьютерная имитация управления манипуляционными роботами в неизвестной среде на основе точного и упрощенного алгоритмов / П. К. Лопатин // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. № 8. C. 7-14.
9. Meyer W., Benedict P. Path planning and the geometry of joint space obstacles. "Proc. IEEE Int. Conf. Rob. and Autom., Philadelphia, Pa, Apr. 24 - 29, 1988. Vol. 1''. Washington (D. C.), 1988. pp. 215-219.
10. Малышев В. А., Тимофеев А. В. Алгоритм программных движений манипуляторов с учётом конструктивных ограничений и препятствий // Известия АН СССР -Техническая кибернетика. 1978. № 6. C. 44-72.
11. Притыкин Ф.Н. Аналитическое описание области, задающей множество разрешенных конфигураций механизма мобильного манипулятора с учетом положения запретных зон / Ф.Н. Притыкин, А.Ю. Осадчий, Д.И. Нефедов // Евразийский союз ученых (ЕСУ), 2015. № 10(19). С. 119-123.
12. Притыкин Ф.Н., Исследование поверхностей, задающих границы области разрешенных конфигураций механизма мобильного манипулятора при наличии запретных зон / Ф.Н. Притыкин, Д.И. Нефедов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2016. № 6. Т. 17. С. 404-413.
13. Лопатин П.К. Исследование достижимости целевых состояний в неизвестной статической среде // Мехатроника, автоматизация, управление. 2009. № 4. С. 2-6.
14. Lopatin P. Investigation of a Target Reachability by a Manipulator in an Unknown Environment. International Conference on Mechatronics and Automation. 2016. August 7-10, Harbin, China.
15. Короткий В.А. Компьютерное моделирование кинематических поверхностей / В.А. Короткий, Е.А. Усманова, Л.И. Хмаракова // Геометрия и графика. 2015. T. 3. Вып. 4. C. 19-27.
16. Рачковская Г.С. Геометрическое моделирование и графика кинематических линейчатых поверхностей на основе триады контактирующих аксоидов // Геометрия и графика. 2016. T. 4. Вып. 3. C. 46-53.
17. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения / В.Л. Рвачев. - Киев. : 1982, 252 с.
18. Генерозов В.Л. Алгоритм планирования траекторий манипулятора при наличии препятствий // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. 1984. № 1. С. 137-147.
19. Игнатьев М.Б. и др. Алгоритмы управления роботами-манипуляторами. - Л.:
Машиностроение, 1977. 248 с.
20. Галечан В. К. К построению алгоритма роботы манипулятора в среде с препятствиями / В. К. Галечан, Б. Л. Саламандра // Машиноведение. 1984. № 2. C. 40- 47.
21. Гречановский Е. Н. Метод планирования движений манипулятора при наличии препятствий / Е. Н. Гречановский, И. Ш. Пинскер. Модели алгоритмы, принятие решений. - М.: Наука, 1979. C. 100-142.
22. Кобринский А. А. Построение движений манипуляционной системы в среде с препятствиями // А. А. Кобринский, А. Е. Кобринский. Доклады АН СССР. - 1975. T. 224. № 6. C. 1279-1282.
23. Притыкин Ф. Н. Виртуальное моделирование движений роботов, имеющих различную структуру кинематических цепей: монография / Ф. Н. Притыкин. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2014. 172 с.
24. Зенкевич С.Л. Управление роботами. Основы управления манипуляционными робототехническими системами / С. Л. Зенкевич, А. С. Ющенко. - М: МВТУ, 2000. 400 с.
25. Корендясев А. И. Манипуляционные системы роботов / А. И. Корендясев, Б. Л. Саламандра, Л. И. Тывес. - М. : Машиностроение, 1989. 472 с.
References (transliterated)
1. Grigor'ev S. N. Sovremennoe sostoyanie i perspektivy razvitiya promyshlennoi robototekhniki / S. N. Grigor'ev, A. G. Andreev, S. P. Ivanovskii // Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravlenie. 2013. № 1. S. 31-34.
2. Yushchenko A.S. Intellektual'noe planirovanie v deyatel'nosti robotov / A.S. Yushchenko // Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravlenie. 2005. № 3. S. 5-18.
3. De Silva C. W., Macfarlane A. G. J. Knowledge-based control approach for robotic manipulators. "Int. J. Contr." 1989. 50, N 1. pp. 249-273.
4. Hasegawa T., Suehiro T., Takase K. A model-based manipulation system with skill-based execution. ''IEEE Trans. Rob. and Autom.'',1992. 8, N 5. pp.535-544.
5. Ermolov I. L. Avtonomnost' mobil'nykh robotov, ee sravnitel'nye mery i puti povysheniya / I. L. Ermolov // Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravlenie. 2008. № 6. S. 23-28.
6. Tsujumura T., Yabuta T., Morimitsu T. Shape-reconstruction system for three-dimensional objects using an ultrasonic distance sensor mounted on a manipulator. " Trans. ASME: J. Dyn. Syst., Meas., and Contr.", 1989. 111. N 2. pp. 180-186.
7. Shaffer C. A., Herb G. M. A real-time robot arm collision avoidance system. ''IEEE Trans. Rob. and Autom.'', 1992. 8. N 2. pp. 149-160.
8. Lopatin, P. K. Komp'yuternaya imitatsiya upravleniya manipulyatsionnymi robotami v neizvestnoi srede na osnove tochnogo i uproshchennogo algoritmov / P. K. Lopatin // Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravlenie. 2006. № 8. C. 7-14.
9. Meyer W., Benedict P. Path planning and the geometry of joint space obstacles. "Proc. IEEE Int. Conf. Rob. and Autom., Philadelphia, Pa, Apr. 24 - 29, 1988. Vol. 1''. Washington (D. C.), 1988. pp. 215-219.
10. Malyshev V. A., Timofeev A. V. Algoritm programmnykh dvizhenii manipulyatorov s uchetom konstruktivnykh ogranichenii i prepyatstvii // Izvestiya AN SSSR -Tekhnicheskaya kibernetika. 1978. № 6. C. 44-72.
11. Pritykin F.N. Analiticheskoe opisanie oblasti, zadayushchei mnozhestvo razreshennykh konfiguratsii mekhanizma mobil'nogo manipulyatora s uchetom polozheniya zapretnykh
zon / F.N. Pritykin, A.Yu. Osadchii, D.I. Nefedov // Evraziiskii soyuz uchenykh (ESU), 2015. № 10(19). S. 119-123.
12. Pritykin F.N., Issledovanie poverkhnostei, zadayushchikh granitsy oblasti razreshennykh konfiguratsii mekhanizma mobil'nogo manipulyatora pri nalichii zapretnykh zon / F.N. Pritykin, D.I. Nefedov // Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravlenie. 2016. № 6. T. 17. S. 404-413.
13. Lopatin P.K. Issledovanie dostizhimosti tselevykh sostoyanii v neizvestnoi staticheskoi srede // Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravlenie. 2009. № 4. S. 2-6.
14. Lopatin P. Investigation of a Target Reachability by a Manipulator in an Unknown Environment. International Conference on Mechatronics and Automation. 2016. August 7-10, Harbin, China.
15. Korotkii V.A. Komp'yuternoe modelirovanie kinematicheskikh poverkhnostei / V.A. Korotkii, E.A. Usmanova, L.I. Khmarakova // Geometriya i grafika. 2015. T. 3. Vyp. 4. C. 19-27.
16. Rachkovskaya G.S. Geometricheskoe modelirovanie i grafika kinematicheskikh lineichatykh poverkhnostei na osnove triady kontaktiruyushchikh aksoidov // Geometriya i grafika. 2016. T. 4. Vyp. 3. C. 46-53.
17. Rvachev V.L. Teoriya R-funktsii i nekotorye ee prilozheniya / V.L. Rvachev. - Kiev. : 1982, 252 s.
18. Generozov V.L. Algoritm planirovaniya traektorii manipulyatora pri nalichii prepyatstvii // Izv. AN SSSR, Tekhnicheskaya kibernetika. 1984. № 1. S. 137-147.
19. Ignat'ev M.B. i dr. Algoritmy upravleniya robotami-manipulyatorami. - L.: Mashinostroenie, 1977. 248 s.
20. Galechan V. K. K postroeniyu algoritma roboty manipulyatora v srede s prepyatstviyami / V. K. Galechan, B. L. Salamandra // Mashinovedenie. 1984. № 2. C. 40- 47.
21. Grechanovskii E. N. Metod planirovaniya dvizhenii manipulyatora pri nalichii prepyatstvii / E. N. Grechanovskii, I. Sh. Pinsker. Modeli algoritmy, prinyatie reshenii. -M.: Nauka, 1979. C. 100-142.
22. Kobrinskii A. A. Postroenie dvizhenii manipulyatsionnoi sistemy v srede s prepyatstviyami // A. A. Kobrinskii, A. E. Kobrinskii. Doklady AN SSSR. - 1975. T. 224. № 6. C. 1279-1282.
23. Pritykin F. N. Virtual'noe modelirovanie dvizhenii robotov, imeyushchikh razlichnuyu strukturu kinematicheskikh tsepei: monografiya / F. N. Pritykin. - Omsk: Izd-vo OmGTU, 2014. 172 s.
24. Zenkevich S.L. Upravlenie robotami. Osnovy upravleniya manipulyatsionnymi robototekhnicheskimi sistemami / S. L. Zenkevich, A. S. Yushchenko. - M: MVTU, 2000. 400 s.
25. Korendyasev A. I. Manipulyatsionnye sistemy robotov / A. I. Korendyasev, B. L. Salamandra, L. I. Tyves. - M. : Mashinostroenie, 1989. 472 s.
