ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОБЛАСТЕЙ НЕОДНОЗНАЧНОСТИ УГЛА АТАКИ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО МАЯТНИКА В ПОТОКЕ КВАЗИСТАТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Геометрический анализ областей неоднозначности угла атаки

в задаче о движении аэродинамического маятника в потоке

квазистатической среды

Д.В. Беляков

Московский Авиационный Институт (Национальный Исследовательский Университет), г. Москва

Аннотация: В данной работе рассматривается математическое моделирование движения тела сложной конфигурации в потоке среды с подвижным центром давления. В некоторых задачах это тело называют аэродинамическим маятником. Составлены уравнения движения аэродинамического маятника и проведен переход к новым безразмерным переменным. В уравнения движения входят экспериментальные аэродинамические функции, поэтому систему можно решить только численно. На каждом шаге при численном интегрировании системы уравнений движения, решается алгебраическое нелинейное уравнение, зависящее от фазовых переменных. В фазовом пространстве существуют такие области, в которых существует ровно по три решения. В компьютерной системе Matlab написана программа, которая строит огибающие для границ областей неоднозначности с помощью многократного решения алгебраических нелинейных уравнений, содержащих фазовые переменные. Проведен геометрический анализ полученных многообразий при различных значениях фазовых переменных. Таким образом, рассмотрена задача, нетривиальная с точки зрения теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: Тело, область неоднозначности, огибающие, точки возврата.

Данная статья посвящена задаче о различных колебаниях аэродинамического маятника в воздушном потоке, существованию и построению областей неоднозначности, которые можно построить только численно. В предыдущих работах [1,2] рассматривалась аналогичная задача, были численно решены уравнения равновесия и проведен анализ стационарных точек. Далее для каждой точки была найдена система уравнений первого приближения и с помощью критерия Гурвица построены области устойчивости. Доказано, что каждая стационарная точка не входит в область неоднозначности. Был проведен параметрический анализ областей в зависимости от размеров тела. Была показана работа комплекса программ, когда сначала строится область устойчивости, вводятся начальные условия и потом изображается фазовая кривая.

Таким образом, рассмотрена интересная задача, в которой существует нарушение единственности решения, что более понятно, с точки зрения механической интерпретации, но нетривиально с точки зрения общей теории решения дифференциальных уравнений.

Постановка задачи.

Рассмотрим задачу об аэродинамическом маятнике, закрепленный в центре масс с помощью обычной и спиральной пружины. Он совершает колебания под действием воздушного потока [3,4] (см. рисунок 1). Пусть силы упругости зависят от отклонений линейным образом и имеют вид: ^ = -кх, М = -с3.

Аэродинамические силы имеют квадратичную зависимость от воздушной скорости:

\§А\=*(а)У2=0.5р<тсх(аУ> \РА\=р(аГ;=0.5расу(аГ]

здесь а- угол атаки между вектором V, и пластинкой р, * -

аэродинамические функции углов атаки, сх, ^ - безразмерные аэродинамические функции, р - плотность воздуха, а - площадь одной пластинки. Вид аэродинамических функций приводится в [5]. Сдвиг центра давления описывается функцией I (а), которая описывает расстояние между центром давления А и центром пластинки О. 1(а) определена из продувок прямоугольных пластинок в аэродинамической трубе [5]. Составим уравнения движения. Позиционными координатами будем считать координату у центра масс тела и угол 3 отклонения пластинки от горизонтали.

M

Рис. 1. Колебания тела сложной конфигурации в потоке среды

Тогда уравнения движения маятника можно записать в виде:

ту = s(a)V4(l(a)3sm3 - гЗ cos 3 - у) - p(a)V4 (r3 sin 3+l(a)3 cos 3 + V) - ку J3 = гУ]т(а)-/(а)У] п (а) - сЗ

(1)

Где:

т(а) = p (a) sin a- s (a) cos а n(a) = p (a) cos a + s (a) sin a

аэродинамические функции нормальной и касательной сил.

Напишем кинематические соотношения, связывающие угол атаки, с

позиционными координатами:

VA sin or = 1{а)3- v sin 5 + F cos 5 VA cos a = r3 +у cos 3 + V sin 3

Получим математическую модель колебаний маятника (1)-(2) Перейдем к безразмерным переменным:

(2)

и

b , b V V , 0.5pa 0.5 paV 0.5paV2

J l (a) r

I =-,s(a) = , R = —

0.5pab b b

При переходе к безразмерным переменным система (1) запишется в виде

MY = сх (a)U(RClcos 3 + Qs(a) sin S-Y) + cv (a)U(RClsm 3 + Qs(a)cos 3 + 1)-KY

I3 = U2(Rcr(a)-s(a)cn(a)] -C3 (3)

С (a), c (a) безразмерные аэродинамические функции касательной и нормальной составляющей.

кинематические соотношения (2) преобразуются так:

U sina =£'(a)Q-7sin^ + cos^

U cos a = RQ + Feos ,9 + sin 3 (4)

Математическая модель колебаний маятника в безразмерных переменных имеет вид (3)-(4)

Неоднозначность определения угла атаки

При численном интегрировании надо определить угол атаки из кинематических соотношений (4). При этом происходит нарушение однозначности решения при определении угла атаки при некоторых значениях 3, Q. Интересные результаты получены в [6]. В процессе численного интегрирования уравнений движения, определение угла атаки на каждом шаге сводится к решению нелинейного уравнения (5) при различных значениях фазовых переменных Y,3,Q и построению поверхности a = a(3, Q).

(5)

(RQ+Y cos 3 + sin 3)tga - Y eos 3 - sin 3 = s(a)Q

c

Попытаемся оценить размеры границ для указанных областей. Нелинейной системе двух уравнений (6), заданной в параметрической форме удовлетворяет любая точка (3, Q), лежащая на этой области.

, (RQ+Y cos & + sin &)tga - Y cos & - sin & = s{a)Q RQ+Y cos^ + sin^

cos2 a

= s '(a)Q (6)

Чтобы построить огибающие к каждой поверхности, нужно найти особые точки, в которых искомая поверхность приходит к однозначному виду (точки возврата). Дифференцируем второе уравнение (6) во второй раз и получим:

6 4---- = е"(а)С1, и можно записать уравнение (7), зависящее

cos2 a

только от а :

2tgas' (а) = е" (а) (7)

Проинтегрируем его с начальными условиями е(аi) = £ ,£'(а) = £ на сетке ж ж

ае [-ж> ж.

Окончательно получим для определения особых точек а нелинейное уравнение (8):

£(а) = ££ cos2 а (tga - tga) + £ (8)

Задавая начальные условия в случае ае [-ж,ж], мы можем найти

приближенное решение с помощью встроенных функций системы matlab решить уравнение (8), (см. рис. 2) и найти точки возврата. После этого задаем начальные условия для системы (7), для точки возврата а = а на плоскости (3, Q) и ищем оба ее решения средствами matlab при

фиксированном Y. Пробегая все значения при Y = 9, мы

М Инженерный вестник Дона, №3 (2023) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n3y2023/8257

получим две замкнутые кривые, напоминающие трехконечную звезду, изображенные для случаев .9>0,0>0,7>0и .9<0,0<0,7>0 на рисунке 3 и две области в пространстве .9,0,7, в случае .9>0,0>0,7>0и,9<0,0<0,7>0, при 1<7<9, изображенные на рисунках 4 и 5. Внутри них нелинейное уравнение (5) имеет ровно по 3 решения.

File Edit View Insert Tools Desktop Window Help *

□ ¿ei fe о.n® □ в ш_а

ТОЧКИ ВОЗВРАТА

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

ALFA

Рис. 2. Решение нелинейного уравнения (8) в случае а - 2°°

File Edit View Insert Tools Desktop Window Help

аЪ у a

—1-------------------i-------------------i------------------- i i i i i i i i i -.............i...................i...................1................... i i i ....................i.....;•......... ....................ir"....... ...............и................... .........!.....T......... i ....

i i i i i i +*

i i ♦ ¡ i i

i ; i i + i * i i i

i %"T"""+" i i *¡ i ______________I___________________-_________________;___________________ i i i

i : + i i i i i

_l_I_I_I_I_L

-2-10123

teta

Рис. 3 Огибающие для областей неоднозначности в случае

О- = 0.5, Ъ = 0.25, R = 0.2,7 = 9

File Edit View Insert Tools Desktop Window Help

□ ¿ge fe □ в

teta

omega

Рис. 4. Линии уровней для областей неоднозначности в случае

1<7<9,5>0,0>0

omega

teta

Рис. 5. Линии уровней для областей неоднозначности в случае 1 < Y < 9,

,9 < О, Q < О

Далее аналогично исследуем две области в случаях ,9>0,Q<0,7<0 и ,9<0,Q>0,7 <0(см. рис 6,7) и получим очень похожую картину. Мы видим, что в обоих случаях огибающие при уменьшении абсолютного значения Y уменьшаются и исчезают, примыкая к плоскости y = о.

Хотелось бы понять, каким образом можно продолжить решение и как отыскать нужную ветвь, и вообще с помощью какого алгоритма можно сохранить непрерывность угла атаки при заходе траектории в область неоднозначности. Аналогичные задачи и алгоритмы рассматривались в работах [7-9]

File Edit View Insert: Tools Desktop Window Help **

□ н e fe <±i a. -n ® ^ □ в ~й о

: * _________________

и

-------

ф *

i i

-3-2-1 0 1 Z

Рис. 6. Огибающие для областей неоднозначности в случае

сг = 0.5,Ь = 0.25, R = 0.2, Y = -4

& a a fe «I si« © □ в ■□

Рис. 7. Линии уровней для областей неоднозначности в случае 4 < 7 < 5,

£< 0,0> 0 и 0,0< 0

Выводы.

Таким образом, в работе, создана математическая модель колебаний аэродинамического маятника в безразмерной форме, показано нарушение единственности при определении угла атаки, найдены различные множества сингулярных точек, изображены области неоднозначности в пространстве фазовых переменных ,9,0,7,. Аналогичная задача также рассматривалась в работе [10].

Литература

1. Самсонов В. А. Беляков Д. В. Геометрический анализ при исследовании колебаний тела сложной конфигурации в потоке среды. // Международный журнал открытых информационных технологий. 2019. №9. URL: injoit.org/index.php/j1/article/view/790

2. Беляков Д. В. Задача об исследовании автоколебаний аэродинамического маятника в потоке среды. // Современные информационные технологии и ИТ образование. 2020. №3. URL: sitito .cs. msu.ru/index. php/SITITO/article/view/659

.3. Беляков Д. В. Устойчивость различных стационарных точек при малых колебаниях аэродинамического маятника в потоке квазистатической среды // Современные информационные технологии и ИТ образование. 2021. №4. URL:

sitito.cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/808

4. Урывская Т. Ю. Устойчивость линейных систем с положительно определенной матрицей // Инженерный вестник Дона. 2017. №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2017/4464

5. Табачников В.Г. Стационарные характеристики крыльев на малых скоростях во всем диапазоне углов атаки // Труды ЦАГИ. Москва: Наука, 1974. С. 154.

6. Пшихопов В.Х., Кульченко А.Е., Чуфистов В.М. Моделирование полета одновинтового вертолета под управлением позиционно-траекторного регулятора // Инженерный вестник Дона, 2013. №2. URL: ivdon. ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1650

7. Локшин Б.Я., Привалов В.А., Самсонов В.А. Модельная задача о флаттере // Введение в задачу о движении точки и тела в сопротивляющейся среде. Москва: Издательство Московского университета. 1992. С. 38.

8. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Москва: Наука, 1966. 531 С.

9. Vittecoq P. A., Laneville A. V. The Aerodynamic Forses for a Darrieus Rotor with Straight Blades: Wind Tunnel Measurement. // Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 1983. №15. pp. 406412.

10. Parashivoiu I Aerodynamics Loads and and performance of the Darrieus Rotor // Journal of Energy. 1982. №6. pp. 315-321.

References

1. Samsonov V. A. Belyakov D. V. Mezhdunarodny'j zhurnal otkry4y'x informacionny'x texnologij. 2019. №9. URL: inj oit.org/index.php/j 1 /article/view/790

2. Belyakov D. V. Sovremenny'e informacionny'e texnologii i IT obrazovanie. 2020. №3. URL:

sitito .cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/659

.3. Belyakov D. V. Sovremenny'e informacionny'e texnologii i IT obrazovanie. 2021. №4. URL:

sitito.cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/808

4. Ury'vskaya T. Yu. Inzenernyj vestnik Dona. №4. URL: http://www.ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2017/4464

5. Tabachnikov V.G. Stacionarny'e xarakteristiki kryTev na malyx skorostyax vo vsem diapazone uglov ataki [Stationary characteristics of wings at low speeds over the entire range of angles of attack]. Trudy' CzAGI . Moskva: Nauka, 1974. p. 154.

6. Pshixopov V.X., Kul'chenko A.E., Chufistov V.M. Inzhenernyj vestnik Dona. 2013. №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1650

7. Lokshin B.Ya. , Privalov V.A., Samsonov V.A. Model'naya zadacha o flattere [Model problem about flutter]. Vvedenie v zadachu o dvizhenii tochki i tela v coprotivlyayushhejsya srede. Moskva: Izdatel'stvo Moskovskogo universiteta, 1992. p. 38.

8. Malkin I.G. Teoriya ustojchivosti dvizheniya [motion stability theory]. Moskva: Nauka, 1966. 531 p.

9. Vittecoq P. A., Laneville A. V. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 1983. №15. pp. 406-412.

10. Parashivoiu I. Journal of Energy. 1982. №6. pp. 315-321.