CC BY
28С.Ш. Палфёрова, Е.О. Терёхина
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТБОРА ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В статье рассматриваются вопросы применения нестандартных приёмов при решении иррациональных уравнений. Проиллюстрирована возможность геометрической интерпретации иррационального уравнения. Разобраны примеры применения классических теорем планиметрии для отбора положительных корней.
Ключевые слова: уравнение, корень уравнения, иррациональное уравнение, теорема косинусов, треугольник, длина отрезка.
Практически все разделы математики содержат задания на составление уравнений и (или) их решение. Иррациональные уравнения - наиболее сложные для школьников, при их решении делается большое количество ошибок. Среди основным методов решений уравнений школьники оперируют как правило алгебраическими, функционально-графический метод ими применяется редко и неохотно. Среди алгебраических методов решения иррациональных уравнений наиболее распространёнными являются возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень и метод замены переменной. С геометрической интерпретацией решения иррациональных уравнений с использованием средств аналитической геометрии и векторной алгебры в рамках школьной программы учащихся не знакомят. Однако, данный метод иногда является более рациональным при наличии нескольких корней, не требующим громоздких и длительных вычислений. Наличие заданий по решению иррациональных уравнений в государственных экзаменах, а также присутствие подобного рода задач, включающих параметр, во второй части профильного уровня диктует необходимость обзора нестандартных методов решения на факультативных курсах математики в школе.
Следует начать с геометрических задач, затем показать, что иррациональные уравнения могут быть интерпретированы как аналог геометрических. Приведем пример такой задачи из планиметрии: «В треугольнике ABC известно: АС = 3V2, ВС = 5, аА = 45o. Найдите АВ». Для решения применяют теорему косинусов: ВС2 = АС2 + АВ2 — 2 • АС • АВ • cosaA. Принимая неизвестную искомую величину за переменную х, получаем уравнение 52 = (3^2)2 + х2 — 2 • 3V2 • х • eos45o,
х2 — 6 • х — 7 = 0.
Решая уравнение, получаем два корня хх = 7 и х2 = —1. Зная, что длина стороны измеряется в положительных величинах, ученики дают правильный ответ х = 7.
Затем следует предложить школьникам решить иррациональное уравнение 5 = VT88—3X+X2, обратив внимание учащихся, что ранее решенная задача имеет тоже уравнение, если возвести обе части в квадрат. Учащимся предлагается провести аналогию и сделать выводы о возможности применения теоремы косинусов к решению иррациональных уравнений: найти х значит отыскать длину стороны треугольника, если заданы две другие его стороны и угол. Конечно, предложенное иррациональное уравнение может быть сразу решено возведением в квадрат обеих частей уравнения и этот метод наиболее удобен и знаком школьникам. Но подобный пример позволяет обобщить рассматриваемый метод на более сложные случаи, когда иррациональное уравнение решить традиционными алгебраическими методами проблематично.
При наличии в иррациональном уравнении суммы нескольких квадратных корней в основу решения может быть положено утверждение: «Если длина ломаной линии равна длине стягивающего его отрезка АВ, то все вершины этой ломаной линии лежат на отрезке АВ» [1]. Также полезно будет вспомнить, что сумма двух сторон треугольника больше третьей его стороны, на основе этого, используя теорему косинусов, сделать вывод:
Vа2 + х2 — 2axcosa + ^Ъ2 + х2 — 2bxcosfí > ^а2 + Ъ2 — 2abcos(a + fí), для всех положительных а,Ь и а + fí < 90°.
© С.Ш. Палфёрова, Е.О. Терёхина, 2022.
Примером может служить решение уравнения -х2 — 4х + 8 + -х2 — 2х + 2 = 5. Полагая, что сумма корней есть сумма длин двух отрезков АС и СВ, получим, что точка С лежит на отрезке АВ, длина которого равна пяти. Последние слагаемые в подкоренных выражениях есть квадраты сторон ОА = —8 = 2—2 и ОВ = —2, выведенных из одной точки О и образующих треугольник АОВ. Точка С, расположенная на отрезке АВ, делит треугольник АОВ на два треугольника ААОС и АСОВ, из которых по теореме косинусов выражены длины сторон АС и ВС (рис. 1).
Рис. 1.
Анализируя удвоенное произведение сторон треугольника на косинус угла между ними, а именно
произведения 4х = 2 • х • 2—2 и 2х = 2 •х • —2 •в подкоренных выражениях, делаем вывод, что а =
Р = 45°, то ОС является биссектрисой прямого угла прямоугольного треугольника ОАВ и длина этого отрезка будет являться единственным корнем рассматриваемого уравнения. Представим отрезок АВ как гипотенузу прямоугольного треугольника АОВ с прямым углом О.
По формуле биссектрисы угла I = —— • cos —, имея а = 2—2 и Ъ = V2, находим
2-2V2-V2 £90° 8 V2 8 X = —=.—-= • cos-= —= — = -.
V2+2V2 2 3V2 2 3
Приведённые примеры наглядно демонстрируют преимущество применения геометрической интерпретации решения иррациональных уравнений при нахождении положительных корней.
Библиографический список:
1. Попов В.А. Об одном применении теоремы косинусов в иррациональных уравнениях и неравенствах // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 1998. № 1. С. 125-133.
2. Винтиш Т.Ю., Мартынова Е.В., Прокопенко Г.И. Некоторые методы решения иррациональных уравнений // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2015. № 17. С. 207-211.
ПАЛФЁРОВА САБИНА ШЕХШАНА ТОВНА - кандидат педагогических наук, доцент, Тольяттин-ский государственный университет, Россия.
ТЕРЁХИНА ЕЛЕНА ОЛЕГОВНА - магистрант, Тольяттинский государственный университет, Рос-
сия.
