CC BY
12
Таким образом, доказано
Утверждение 1. Разделяющий матроид является однородным матроидом с трёхэлементными когиперплоскостями тогда и только тогда, когда его когиперплоскости образуют систему троек Штейнера, т. е. k = 3 и А =1.
Итак, в работе показана связь однородных матроидов с тройками Штейнера. Описанный метод может быть применён к решению более сложных задач обобщения связи матроидов с блок-схемами с А =1, согласно выдвинутой ранее гипотезе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Введение в криптографию / под общ. ред. В. В. Ященко. СПб.: Питер, 2001.
2. Блейкли Г. Р., Кабатянский Г. А. Обобщенные идеальные схемы, разделяющие секрет, и матроиды // Проблемы передачи информации. 1997. Т. 33. №3. С. 102-110.
3. Парватов Н. Г. Совершенные схемы разделения секрета // Прикладная дискретная математика. 2008. №2 (2). С. 50-57.
4. Welsh D. J. A. Matroid Theory. Academic Press, 1976.
5. Marti-Farre J. and Padro C. Secret sharing schemes on sparse homogeneous access structures with rank three // Electronic J. Combinatorics. 2004. No. 1 (1). Research Paper 72. 16p.
6. Алексейчук А. Н. Совершенные схемы разделения секрета и конечные универсальные алгебры // Реестращя, збертання i оброб. даних. 2005. Т. 7. №2. С. 55-65.
7. Alekseychuk A. N. Lattice-Theoretic Characterization of Secret Sharing Representable Connected Matroids. Cryptology ePrint Archive: Report 2010/348.
8. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.
9. Медведев Н. В., Титов С. С. Об однородных матроидах и блок-схемах // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2017. №10. C. 21-23.
УДК 512.64, 519.21, 519.72 DOI 10.17223/2226308X/12/35
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СОВЕРШЕННЫХ ШИФРОВ С ТРЕМЯ ШИФРВЕЛИЧИНАМИ
Н. В. Медведева, С. С. Титов
Рассматривается проблема описания совершенных по Шеннону (абсолютно стойких к атаке по шифртексту) шифров с мощностью шифрвеличин равной трём. Показано, что не существует минимальных по включению совершенных шифров с четырьмя шифробозначениями и пятью или шестью ключами зашифрования. Определено количество минимальных по включению совершенных шифров, содержащих семь ключей зашифрования, а также количество совершенных шифров с числом ключей равным восьми. Построены примеры минимальных по включению совершенных шифров.
Ключевые слова: совершенные шифры, эндоморфные шифры, неэндоморфные шифры.
Рассмотрим вероятностную модель Sb шифра [1-3]. Пусть X, Y — конечные множества соответственно шифрвеличин и шифробозначений, с которыми оперирует некоторый шифр замены; K — множество ключей, причём |X| = А, |Y| = |K| = п, где А > 1, ^ ^ А. Это означает, что открытые и шифрованные тексты представляются словами (¿-граммами, t ^ 1) в алфавитах X и Y соответственно. Согласно [2, 3], под шифром Sb будем понимать совокупность множеств правил зашифрования и правил
расшифрования с заданными распределениями вероятностей на множествах открытых текстов и ключей. Шифры, для которых апостериорные вероятности открытых текстов совпадают с их априорными вероятностями, называются совершенными. В работе [1] полностью описаны эндоморфные (X = У) совершенные шифры с минимально возможным числом ключей (|К| = |У|). Согласно теореме К. Шеннона [1], эндоморф-ные совершенные шифры с минимально возможным числом ключей исчерпываются шифрами табличного гаммирования со случайной равновероятной гаммой.
Данная работа является продолжением исследования [4] проблемы описания совершенных по Шеннону шифров. Здесь для обобщений теоремы Шеннона и построения примеров используется вероятностная модель Хд шифра, в которой, согласно подходу [2, 3], шифр задаётся распределением вероятностей ключей при £ = 1.
Для эндоморфного (X = У) и неэндоморфного (|Х| < |У |) шифров перечисляются в некотором порядке все возможные птах = — 1) • ... • — Л +1) инъекций зашифрования, соответствующие ключам к Е К и их вероятностям Рд. При этом допускается, что некоторые вероятности Рд могут быть равны нулю. Это означает, что соответствующая инъекция не используется в данном шифре. Получившийся птах-мерный набор Р вероятностей Рд ключей будем рассматривать как точку птах-мер-ного пространства КПтах. Распределение биграмм, триграмм и т.д. может задаваться распределениями вероятностей при £ = 2, 3,..., что приводит к усложнению геометрической модели.
Задача описания шифров в вероятностной модели Хд приводит к описанию множества точек в пространстве КПтах, которые являются распределениями вероятностей ключей того или иного шифра.
По теореме Шеннона, минимальные по числу ключей эндоморфные совершенные шифры соответствуют тем точкам пространства КПтах, у которых все координаты равны нулю, кроме Л ненулевых координат, равных 1/Л, а сам набор координат соответствует набору ключей (инъекций), образующих латинский квадрат. Поскольку множество точек пространства КПтах, соответствующих совершенным шифрам, образует выпуклое множество (полиэдр [5]), то и выпуклая оболочка этих точек также соответствует совершенным шифрам. Однако могут быть совершенные шифры, соответствующие точкам вне этой выпуклой оболочки.
В работе [4] показано, что в случае, когда мощность алфавита шифрвеличин равна двум, множество возможных значений априорных вероятностей шифробозначений р3 = Р{у = у3} = Р{у = в}, где в = 1,...,^, допускает описание на основе теоремы Биркгофа о классификации дважды стохастических матриц [6]. В [4] описано выпуклое множество (полиэдр) матриц вероятностей ключей и множество вероятностей шифробозначений неэндоморфных совершенных шифров в случае, когда мощность множества шифрвеличин равна двум. Полиэдр описан через указание его вершин (экстремальных точек), которые представляют собой так называемые нормальные циклы.
В [7] в терминах комбинаторного анализа выпуклых множеств многомерного пространства сформулированы и доказаны некоторые обобщения (аналоги) теоремы Шеннона для совершенных по Шеннону эндоморфных неминимальных (|К| > |У|) шифров. В частности, показано, что для любого эндоморфного совершенного шифра с мощностью множества шифрвеличин Л = ^ = 3 искомый полиэдр — это отрезок в шестимерном пространстве. Построены примеры, показывающие, что минимальность шифра по числу ключей и минимальность по включению (т.е. шифры, содержащие минимально возможное множество ключей зашифрования с ненулевыми вероятностями) приводят к разным постановкам задач обобщения теоремы Шеннона. Неэндоморф-
ные совершенные шифры с Л = 3 и ^ = 4 дополняются до эндоморфных, и притом единственным образом.
Утверждение 1. При п = 5 или 6 не существует минимальных по включению совершенных шифров.
Утверждение 2. При п = 7 существует 4! = 24 минимальных по включению совершенных шифров.
Все такие шифры получены перестановкой столбцов в таблице зашифрования эндо-морфного совершенного шифра, составленной из единичной подстановки и всех шести полноцикловых подстановок группы 54 [7] (табл. 1).
Утверждение 3. При п = 8 существует 4 • 4! = 96 минимальных по включению совершенных шифров.
Рассмотрим восемь подстановок (табл.2), где {а,Ь,с^} = {1, 2, 3, 4}. Данное множество подстановок не содержит латинских квадратов. Перестановкой столбцов и переименованием элементов а, Ь, с, d снова получаются восемь подстановок ключей с вероятностями 1/8.
Таблица 1 Таблица 2
№ К Х1 Х2 хз х4 Рк
1 к1 1 2 3 4 1/4
2 2 4 1 3 1/8
3 кз 3 1 4 2 1/8
4 к4 4 3 1 2 1/8
5 кб 3 4 2 1 1/8
6 кб 2 3 4 1 1/8
7 к7 4 1 2 3 1/8
№ К Х1 Х2 хз х4 Р
1 к1 а а Ь с 1/8
2 к2 а а с Ь 1/8
3 кз Ь с а а 1/8
4 к4 Ь а а с 1/8
5 кб с а Ь а 1/8
6 кб с Ь а а 1/8
7 к7 а Ь с а 1/8
8 кв а с а Ь 1/8
В случае равновероятных шифробозначений совершенный шифр с мощностью множества шифрвеличин, равной трём, и ^ > 4 может быть дополнен до эндоморфного, но не едиственным способом.
Пример 1. Рассмотрим неэндоморфный шифр с множеством из трёх шифрвеличин. Пусть X = {ж1,ж2,жз} = {1, 2, 3} —множество шифрвеличин; У = {у1,у2,у3, у4 ,у5} = {1, 2, 3, 4,5} — множество шифробозначений; К = {к1 ,к2 ,...,кп} — множество ключей. Таблица зашифрования данного шифра (табл. 3) не содержит латинских прямоугольников размера 5 х 3.
Таблица 3
№ К Х1 Х2 хз Рк
1 к1 1 2 3 1/5
2 к2 2 3 4 1/10
3 кз 2 1 5 1/10
4 к4 3 4 5 1/10
5 кб 3 5 1 1/10
6 кб 4 5 2 1/10
7 к7 4 3 1 1/10
8 кв 5 1 4 1/10
9 кд 5 4 2 1/10
Это совершенный эндоморфный шифр, дополняемый двумя способами (при фиксировании первой строки) до эндоморфного совершенного шифра с Л = ß = 5 без латинских квадратов (табл.4 и 5).
Таблица 4 Таблица 5
№ K xi Х2 хз Х4 Х5 Pk
1 ki 1 2 3 4 5 1/5
2 k2 2 3 4 5 1 1/10
3 кз 2 1 5 3 4 1/10
4 к4 3 4 5 1 2 1/10
5 кб 3 5 1 2 4 1/10
6 кб 4 5 2 1 3 1/10
7 к7 4 3 1 5 2 1/10
8 kg 5 1 4 2 3 1/10
9 kg 5 4 2 3 1 1/10
№ K xi Х2 хз Х4 Х5 Pk
1 ki 1 2 3 4 5 1/5
2 k2 2 3 4 5 1 1/10
3 кз 2 1 5 3 4 1/10
4 k4 3 4 5 1 2 1/10
5 кб 3 5 1 2 4 1/10
6 кб 4 5 2 3 1 1/10
7 к7 4 3 1 5 2 1/10
8 кв 5 1 4 3 2 1/10
9 кд 5 4 2 1 3 1/10
Таким образом, в работе рассмотрена задача построения геометрической модели совершенных по Шеннону шифров с мощностью множества шифрвеличин равной трём. Показано, что не существует минимальных по включению совершенных шифров с четырьмя шифробозначениями и пятью или шестью ключами зашифрования. Определено количество минимальных по включению совершенных шифров, содержащих семь ключей зашифрования, а также количество совершенных шифров с числом ключей равным восьми. Построены примеры минимальных по включению совершенных шифров.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шеннон К. Теория связи в секретных системах // Работы по теории информации и кибернетике. М.: Наука, 1963. С. 333-402.
2. Алферов А. П., Зубов А. Ю., Кузьмин А. С., Черемушкин А. В. Основы криптографии. М.: Гелиос АРВ, 2001.
3. Зубов А. Ю. Совершенные шифры. М.: Гелиос АРВ, 2003.
4. Медведева Н. В., Титов С. С. Описание неэндоморфных максимальных совершенных шифров с двумя шифрвеличинами // Прикладная дискретная математика. 2015. №4 (30). С.43-55.
5. Носов В. А., Сачков В. Н., Тараканов В. Е. Комбинаторный анализ (неотрицательные матрицы, алгоритмические проблемы) // Итоги науки и техн. Сер. Теор. вероятн. Мат. стат. Теор. Кибернет. Т. 21. М.: ВИНИТИ, 1977. С. 120-178.
6. Birkhoff G. D. Tres observations sobre el algebra lineal // Revista Universidad Nacional Tucuman. 1946. Ser. A. V.5. P. 147-151.
7. Медведева Н. В., Титов С. С. Аналоги теоремы Шеннона для эндоморфных неминимальных шифров // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2016. №9. С. 62-65.
