Научная статья на тему 'ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КУЛОНОВСКОГО ПОЛЯ КАК МЕТРИКУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА'

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КУЛОНОВСКОГО ПОЛЯ КАК МЕТРИКУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
12
1
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Sciences of Europe
Область наук
Ключевые слова
ЗАКОН КУЛОНА / ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО / МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ / ЭНТРОПИЯ / COULOMB LAW / HYPERBOLIC SPACE / POINCARE MODEL / ENTROPY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ямалеев Р.М.

В статье предлагается геометрическое описание кулоновского поля как метрику гиперболического пространства в рамках модели Бельтрами-Пуанкаре. Идентификация определенного интеграла от потенциала как длину геодезической кривой достигается путем введения новой интегральной характеристики Кулоновского поля, называемой энтропией потенциального поля.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

GEOMETRICAL INTERPRETATION OF COULOMB FIELD AS METRICS OF HYPERBOLIC SPACE

Representation of the Coulomb field as a metrics of the hyperbolic space within the Beltrami-Poincare model of hyperbolic geometry is done. In order to connect the potential of the electric field with the length of a geodesic line a new characteristics of the Coulomb field, the entropy, is introduced.

Текст научной работы на тему «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КУЛОНОВСКОГО ПОЛЯ КАК МЕТРИКУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА»

3. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. - М.: Наука, 1989. С. 118.

4. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика. - М.: Наука, 1979. - С. 350.

5. Рысин А.В, Рысин О.В, Бойкачев В.Н, Никифоров И.К. Вывод соотношения масс протона и электрона на основе логики мироздания и термодинамического равновесия // Науч. журнал " Sciences of Europe" (Praha, Czech Republic) / 2017/ - № 19 (19), vol 1 - p. 41-47.

6. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнма-новские лекции по физике. Т. 6: Электродинамика. С. 165.

7. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнма-новские лекции по физике. Т. 6: Электродинамика. С. 271.

8. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика. - М.: Наука, 1979. - С. 317.

9. Рысин А.В. Революция в физике на основе исключения парадоксов / А.В. Рысин, О.В.Рысин, В.Н. Бойкачев, И.К. Никифоров. М.: Техносфера, 2016. С. 291.

10. Рысин А.В, Рысин О.В, Бойкачев В.Н, Никифоров И.К. Уравнения Максвелла, как результат отражения преобразований Лоренца-Минковского в противоположности // Науч. журнал " Sciences of Europe" (Praha, Czech Republic) / 2016/ - № 8 (8), vol 1 - p. 104-113.

11. Рысин А.В, Рысин О.В, Бойкачев В.Н, Никифоров И.К. Парадокс закона Снеллиуса и обоснование нового явления в физике // Науч. журнал " Sciences of Europe" (Praha, Czech Republic) / 2018/ -№ 30 (2018), vol. 1, p. 56-65.

12. Марков Г.Т., Петров Б.М., Грудинская Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн. -М.: Советское радио, 1979. - С. 40.

13. Рысин А.В, Рысин О.В, Бойкачев В.Н, Никифоров И.К. Парадоксы эффекта Комптона с

точки зрения классической электродинамики и квантовой механики // Науч. журнал " Sciences of Europe" (Praha, Czech Republic) / 2019/ - № 36 (2019) vol. 1, p. 19-31.

14. Рысин А.В, Рысин О.В, Бойкачев В.Н, Никифоров И.К. Парадоксы чёрной дыры и кварков // Науч. журнал " Sciences of Europe" (Praha, Czech Republic) / 2017/ - № 18 (18), vol 1 - p. 54-61.

15. Рысин А.В, Рысин О.В, Бойкачев В.Н, Никифоров И.К. Парадокс электромагнитного вакуума в описании лембовского сдвига уровней // Науч. журнал " Sciences of Europe" (Praha, Czech Republic) / 2019/ - № 41 (2019) vol. 2, p. 54-70.

16. Рысин А.В, Рысин О.В, Бойкачев В.Н, Никифоров И.К. Парадокс современной концепции изменения Вселенной и распада элементарных частиц // Науч. журнал " Sciences of Europe" (Praha, Czech Republic) / 2019/ - № 37 (2019) vol. 1, p. 21-39.

17. Терлецкий Я.П., Рыбаков Ю.П. Электродинамика. - М: Высш.шк., 1980. - С. 153.

18. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика. - М.: Наука, 1979. - С. 30.

19. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика. - М.: Наука, 1979. - С. 60.

20. Кнойбюль Ф.К. Пособие для повторения физики / пер. нем.- М.: Энергоиздат,1981. С. 42.

21. Рысин А.В, Рысин О.В, Бойкачев В.Н, Никифоров И.К. Парадоксы гипотезы "Большого взрыва" и инфляционных теорий, связь всех сил Мироздания // Науч. журнал " Sciences of Europe" (Praha, Czech Republic) / 2019/ - № 39 (2019) vol. 1, p. 11-27.

22. Терлецкий Я.П., Рыбаков Ю.П. Электродинамика. - М: Высш.шк., 1980. - С. 219.

23. Рысин А.В. Революция в физике на основе исключения парадоксов / А.В. Рысин, О.В.Рысин, В.Н. Бойкачев, И.К. Никифоров. М.: Техносфера, 2016. С. 522.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КУЛОНОВСКОГО ПОЛЯ КАК МЕТРИКУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

Ямалеев Р.М.

Объединенный Институт Ядерных Исследований Россия, г. Дубна Московской области

GEOMETRICAL INTERPRETATION OF COULOMB FIELD AS METRICS OF HYPERBOLIC

SPACE

Yamaleev R.

Joint Institute for Nuclear Research

АННОТАЦИЯ

В статье предлагается геометрическое описание кулоновского поля как метрику гиперболического пространства в рамках модели Бельтрами- Пуанкаре. Идентификация определенного интеграла от потенциала как длину геодезической кривой достигается путем введения новой интегральной характеристики Кулоновского поля, называемой энтропией потенциального поля.

ABSTRACT

Representation of the Coulomb field as a metrics of the hyperbolic space within the Beltrami- Poincare model of hyperbolic geometry is done. In order to connect the potential of the electric field with the length of a geodesic line a new characteristics of the Coulomb field, the entropy, is introduced.

Ключевые слова: Закон Кулона, гиперболическое пространство, модель Пуанкаре, энтропия.

Keywords: Coulomb law, hyperbolic space, Poincare model, entropy.

Введение.

Сходство потенциала Кулона для точечного заряда [1] с метрикой гиперболического пространства в модели Бельтрами- Пуанкаре [2], заданной в орициклической системе координат [3], приводит к мысли о возможной связи между потенциалом ку-лоновского поля и метрикой гиперболического пространства. Настоящая работа посвящена реализации данной идеи и состоит из следующих шагов. На первом шаге мы вводим новую интегральную характеристику поля - определенный интеграл от потенциала одиночного электрического поля. Далее, отдельно рассматриваются потенциал, определенный работой поля совершаемой над пробным зарядом при движении его в поле от данной точки до бесконечности и потенциал, определенный работой поля совершенной от одной точки поля к другой, находящиеся на конечном расстоянии. В последнем случае мы имеем дело с разностью потенциалов. Определенный интеграл от Кулоновского потенциала имеет свойства аналогичные энтропии в термодинамике, по этой причине данную характеристику поля будем называть энтропией поля. Экспонента от энтропии поля совпадает с двойным отношением - инвариантом преобразования Мебиуса. Геометрический смысл его соответствует длине геодезической линии в модели Бельтрами-Пуанкаре гиперболической плоскости Лобачевского.

В первой части работы вводится интегральная характеристика потенциального поля. Во второй части, описывается известная модель гиперболической плоскости Бельтрами- Пуанкаре, определение длины геодезической линии в которой дает адекватное геометрическое описание понятия энтропии Кулоновского поля.

1. Интеграл от потенциала Кулоновского поля и двойное соотношение.

Потенциал (потенциального) поля определяется как работа поля над пробным зарядом при перемещении последнего между двумя точками заданной кривой внутри пространства действия поля на заряд. Область отсутствия действия поля является единым пространством для всех пробных зарядов, что позволяет ввести понятие потенциала заданной точки пространства. Однако, внутри действия поля потенциал поля зависит от двух переменных - от координаты начала и от координаты конца линии, вдоль которой совершалась работа над пробным зарядом. Уточнение этих обстоятельств оказывается важным при определении интегральной характеристики поля.

Обычное определение потенциала поля предполагает, что действие поля на бесконечности равно нулю, тогда потенциал задается функцией одной переменной -- радиального расстояния от заряда

Ф(г) = kГ

Jo

= k|"4 = k 1 , k —

2 4же

(1.1)

' X г

Определенный интеграл от потенциальной функции имеет вид логарифмической функции

Sab —

k Г — dr — k log a

(1.2)

Теперь рассмотрим случай, когда потенциал поля зависит от двух переменных - от координат начала и конца линии, вдоль которой совершается работа над пробным зарядом. Такая функция задается в виде разности двух потенциалов определенных на разных расстояниях

U, - U 2—k d2—k (I -1)

X v v

r r

(1.3)

Для наших целей переопределим эту формулу следующим образом.

U,2(r) — U(r - r) -U(r2 -r) (1.4)

По форме функция (1.3) совпадает потенциалом диполя, поэтому определение, данное формулой (1.4), назовем дипольным потенциалом. Ди-польный потенциал, как видно, зависит от одной переменной и двух постоянных. Интеграл от ди-польного потенциала имеет вид

Фа-Фь — [aU12(r)dr — k(log^ - log(1.5)

Jb x - b x - b

Далее, представим (1.5) в экспоненциальной форме

.1 ., , .. а - x1 b - x2 ехр(-(фа-Фь )) — 1 2 (16) k a x2 ь Xj

Правая часть равенства имеет вид двойного соотношения (cross-ratio).

Установим связь между определениями (1.2) и (1.5). С этой целью запишем (1.2) в экспоненциальной форме

exP(1 Si2) — — k x~2

(1.7)

Одновременная трансляция числителя и знаменателя дроби приводит к трансляции переменной

на экспоненте

eXP(1 S12 +фа ) —

x - a

k

Аналогично,

1 X - b

eXP(-T (S12 +фЬ )) — ~ T

k Xj - b

(1.8)

(1.9)

Произведение этих двух экспонент приводит к двойному соотношению в (1.6).

2. Модель Бельтрами - Пуанкаре гиперболической плоскости Лобачевского.

Квадрат интервала в модели Бельтрами - Пуанкаре гиперболической плоскости Лобачевского определенный в орициклических координатах имеет вид [3]

^ _ ,^2 + drf

ds — k-

Л

(2.1)

Найдем уравнение для геодезической линии. Так как метрика не зависит от координаты £, то

уравнение прямой линии удобно искать в виде ё = ё(ц). Длина линии задается интегралом

S =

J Ld1

, где L = к — + ё 1

2

(2.2)

(2.3)

1л/1

= C,

(2.4)

di_ di

= +-

1

(2.7)

1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Прямая линия, будучи кратчайшей, задается уравнением Лагранжа

АЁк-0

ёц дё дё которое сразу интегрируется. Находим

ё

-+ё2

где С - константа интегрирования.

При С = 0 получим

ё(лд = ё(ъ) (2.5)

что соответствует вертикальным прямым линиям. Расстояние на этой линии определяется по формуле

$12 = к (10ё^1 " 1оё^2) (26)

Эта формула совпадает с формулой определенной в (1.2) для энтропии электростатического поля одиночного заряда, следовательно, данная характеристика поля получает геометрическую интерпретацию как длина геодезической линии, где к - характерная для данного пространства константа.

Теперь рассмотрим случай С Ф 0. Обозначим п 1

К = — и разрешим уравнение (2.4) относительно ё , получим

Интегрирование уравнения приводит к уравнению окружности

R2 = + 7, (2.8)

что также является уравнением геодезической линии ( прямой ) на полуплоскости Бельтрами-Пу-анкаре. Чтобы найти формулу расстояния между

точками ё\, ] и ёг, ], напишем уравнение прямой (2.8) в параметрическом виде

ё =ё0 + Rcos в , ] = R sin в (2.9)

Согласно (2.1 ) и (2.2) длина этой прямой определяется по формуле

=* £■de

, = к (log tan в - log tan , (2.10) j2 sin в 2 2

или в экспоненциальной форме в,

в

exp( S12l к) = tan у/tan ^ (2.11)

Чтобы получить формулу для длины в переменных ё, Т], необходимо проделать ряд тригонометрических преобразований. Выведем искомую формулу для косинуса длины

1 S S

cosh (S12 /к) = -(exp М2) + exp (--Щ) (2.12)

2 к к

Для этого следует воспользоваться формулой

2 B 1 + cos B

tan — =- и определениями (2.9). Под-

2 1 - cosB

ставив (2.11) в (2.12), получим

cosh (S12 / к) = —

1 tan2 (в /2) + tan2 (в / 2) 2 - 2cosвх cosв2

tan(e, / 2) tan(e2 / 2)

2 sin в, sin в2

(2.13)

Далее, переходя к обозначениям (2.9), придадим этим формулам вид

cosh Su = + 1 +

к 21l12

(2.14)

Формула (2.14) верна и при выполнении условия ёт_ = ё, что сводит (2.14) к формуле (2.6).

Связь между формулой для расстояния (2.14) и

двойным отношением

.1 . , . .. и — х w — х2

ехр(-(фи-фw )) =-к-2 (2.15)

к и — х2 w — х

устанавливается, как показано в [4] и [5], пользуясь соответствием

1

u =--(2.16)

cos#

Используя эту связь можно из (2.15) прийти к формуле (2.14).

В модели Бельтрами -Пуанкаре геодезические линии на Эвклидовой плоскости изображаются или как прямые перпендикулярно исходящие от горизонтальной координаты, или как полуокружности с концами, лежащими на оси абсцисс. Интеграл от

потенциала соответствует расстоянию на вертикальной линии, в то время как интеграл от диполь-ного потенциала соответствует длине дуги полуокружностью радиусом, равным константе интегрирования.

Литература

1. И.Е. Тамм. Основы теории электричества. М.Наука. Гл.ред.физ.мат.лит.1989. ISBN 5-02014244-1.

2. E.Beltrami . "Teoria fondamentale degli spazi di curvature constante". Annali di Matematica Pura ed Applicata, ser II, 2 (1868) 232-255.

3. Н.А.Черников. Планиметрия Лобачевского, модель Пуанкаре и преобразование Боголюбова в теории сверхтекучести. Сообщения ОИЯИ, Дубна. 1994, Р2-94-469.

4. R.M.Yamaleev. New representation for energy-momentum and its applications to relativistic dynamics. Phys.Atomic Nuclei 74 (2011) 1775-1782. From light speed state to the rest: New representation for energy-momentum. Arxiv: 0905.0234v1 [math-ph].

5. R.M. Yamaleev. Formulae for energy-momentum of relativistic particle regular at zero mass state. J.Mod.Phys. 2 (2011) 849-856.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.