CC BY
15
А.В. Харламов
УДК 518:91
ГЕОГРАФИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В СЛУЧАЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ НЕСТАЦИОНАРНОСТИ
В задачах пространственного моделирования для больших территорий, условия применения классической регрессионной модели [1]:
У = Хв + е, Е (е) = 0, V (е) = а21,
как правило, не выполняются в силу естественной пространственной неоднородности или пространственной нестационарности. Пространственная нестационарность обусловлена тем, что объекты, которые находятся поблизости друг от друга, как правило, имеют много общего и в силу этого строятся регрессионные модели с учетом пространственной автокорреляции, отличающиеся от классической модели с постоянной дисперсией, которая в случае нормальности распределения ошибок представима в виде
У - N(Хв,а21).
Модель пространственной автокорредяции в общем случае имеет следующий вид
У - N(д,Л),
где д = Хв и Л = V(е) — дисперсионная матрица произвольного вида.
При анализе таких моделей используют два метода: условной авторегрессии и одновременной авторегрессии [2].
В модели условной авторегрессии предполагается, что переменная уг зависит не только от регрессоров, но также от своих соседних значений, и ее распределение можно представить как условное нормальное:
п
Уг\ {Уз ,3 = г} - N (Дг + ^ (уз - Дз),т 2).
3=1
Условное распределение зависит не только от набора регрессоров жгк, г = 1; п, к = 1; р, но также от ошибок прогнозирования, которые берутся с соответствующими весовыми коэффициентами Су. Значения весов могут быть рассчитаны одним из возможных способов. Матричное представление модели имеет вид
У - N(д, (I - С)-1т2).
Одновременная авторегрессионная модель определяется следующим образом:
п
уг - N(дг + Сз(Уз - Дз),т2). з=1
Здесь рассматриваются уже безусловные распределения и вся система представима как система одновременных уравнений. Матричное представление данной модели имеет следующий вид:
Y - N(д, (I - C)-1(1 - CT)-1т2).
Рассмотренные модели пространственной автокорреляции были предложены как вариант моделирования при наличии автокорреляции в ошибках.
Проведем сравнительный анализ различных методов моделирования для данных на вторичном рынке жилья однокомнатных квартир г. Саратова, полученных с сайта еженедельника газеты «Квадратный метр» (http://www.ks.sarbc.ru) за январь 2006 года. В моделях использовались следующие переменные:
y ............. цена квартиры, тыс. руб.;
2
x1 - жилая площадь, м ;
2
x2 - площадь кухни, м ;
2
х3 - дополнительная площадь, м ; x4 _ логарифм расстояния, 1п(м); х5 _ расположение па первом этаже; х6 _ расположение на последнем этаже; x7 _ дом малой этажности; x8 _ пятиэтажка; x9 _ кирпичный дом;
х10 - в хорошем пли отличном состоянии; x11 имеются балкон или лоджия.
Глобальная линейная регрессионная модель, построенная по этим данным, имела следующий вид:
y = 1180,61 + 13,04 Х1 + 10,38 X2 + 11,17 хз - 116,40 Х4 - 36, 82 Х5-
(1,04) (1,36) (0,79) (2,62) (5,70)
- 28,19 Х6 - 122,10 Х7 - 30,43 Х8 + 20,88 Х9 + 19, 22 хю + 16,87 хп,
(5,34) (10,99) (5,06) (5,03) (4,20) (5,30)
в скобках указаны стандартные ошибки. Все коэффициенты при переменных оказались значимыми, как и вся модель в целом. Коэффициент детерминации, равный R2 = 0, 7008 зависимости.
Анализ ошибок глобальной модели (предполагается, что наличие автокорреляционной зависимости непременно проявляется в остатках классической регрессии) показал наличие автокорреляционной зависимости и значение коэффициента пространственной автокорреляции р = 0, 79.
Построение авторегрессионных моделей дало следующие результаты.
Условная авторегрессионная модель — y = 1102, 99 + 13,19 xi + 9,93 X2 + 9,89 хз - 106, 53 x4-
(1,00) (1,27) (0,75) (3,40)
- 34, 98 Х5 - 28,03 хо - 124, 56 Х7 - 28, 73 xg + 14, 02 Х9+
(5,28) (4,97) (10,68) (4,76) (4,69)
+ 18,33 xi0 + 12, 53 xii + 0, 97y*
(3,85) (4,82) (0,07)
и одновременная авторегрессии модель — y = 1117, 09 + 13,30 xi + 10,09 x2 + 10,08 x3 - 108, 54 x4-
(1,00) (i,28) (0,76) (3,50)
- 36,14x5 - 28,19 x6 - 125, 51 x7 - 28,46 x8 + 14, 74x9+
(5,37) (4,99) (i0,64) (4,79) (4,85)
+ 18,44 xi0 + 12,87 xn + 0,64 y*.
(3,89) (4,94) (0,05)
Сравнивая все три модели, убеждаемся, что оценки коэффициентов в глобальной регрессионной модели и в моделях с пространственной автокорреляцией практически не различаются. Отметим, что коэффициент авторегрессии в условной модели принимает большее значение, чем в одновременной, что обусловливается спецификой методики их построения. Можно сделать вывод, что применение авторегрессионных моделей не дает какого-либо преимущества по сравнению с классической регрессией. Построенные модели только выявили пространственную нестационарность в данных, никак ее не объясняя.
Теперь можно отметить, что использование коэффициента авторегрессии в глобальной модели не дает того эффекта, который можно получить при географическом подходе, когда распределение получаемых остатков носит практически случайный характер. Анализ географически взвешенной модели по тем же данным [3] показывает, что географически поход дает более наглядное представление о наличии или отсутствии пространственной нестационарности в изучаемой области. Более того, этот поход позволяет находить объяснение пространственной зависимости и выявлять специфические особенности, присущие отдельным районам города.
Анализ остатков географической регрессии показывает значительное уменьшение пространственной зависимости, коэффициент автокорреляции уже принимает значение, равное р = 0,36.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Greene C.W. Econometric Analise. 3rd edition. New Jersey, 1997
2. Fotheringham A.S., Brunsdon С., Charrlton M.. Geographically weighted regression the analysis of spatially varyng relationships. University of Newcastle, 2002
3. Харламов A.B. Географический метод в построении регрессионных моделей // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып.9 С. 100-103.
