Генерирование точных решений в трехкомпонентной самогравитирующей кинетической нелинейной сигма-модели с использованием изометрических погружений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

УДК 530.12

С. В. Червон, Ю. А. Свистунова

ГЕНЕРИРОВАНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ В ТРЕХКОМПОНЕНТНОЙ САМОГРАВИТИРУЮЩЕЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИГМА-МОДЕЛИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИЗОМЕТРИЧЕСКИХ ПОГРУЖЕНИЙ

Получены точные космологические решения в рамках самогравити-рующей кинетической нелинейной трехкомпонентной сигма-модели с использованием метода изометрического погружения.

Введение

Самогравитирующие нелинейные сигма-модели (в эйнштейновской трактовке) были введены в рассмотрение Г. Ивановым [1] (см. также работу

[2]). Поиски точных решений и методы их получения можно классифицировать следующим образом. Во-первых, это прямые методы, под которыми понимается непосредственное решение самосогласованной системы уравнений Эйнштейна и киральных полей в предположении о симметрии пространства-времени и пространства целей. Второй подход заключается в погружении изометрическим образом пространство целей в пространство-время, при этом происходит упрощение уравнений за счет выбора связи между киральными полями и пространственно-временными координатами. Третий подход [1] базируется на установлении связей между изометрическими движениями в пространстве-времени и в пространстве целей. Соотношение между векторами Киллинга указанных пространств, получило название геометрический анзац Иванова [3]. Как известно, чисто кинетическая нелинейная сигма-модель (НСМ) в математической литературе выступает под названием гармонического отображения. Связь между гармоническими отображениями и изометрическими погружениями была исследована в работах [4, 5]. Отметим также, что в работе [6] рассмотрены общие подходы к исследованию самогравити-рующих НСМ с учетом изометрических погружений. В данной работе мы используем метод изометрического погружения Кэмпбелла-Магаарда для получения точных решений самогравитирующей НСМ специального вида.

1 Самогравитирующая нелинейная сигма-модель

Рассмотрим чисто кинетическую самогравитирующую НСМ [7], действие которой имеет вид

^ dmx(-2- + 2кАВ (ф)ф^£1. (1)

м ^ 1

Здесь (т, £цУ(х)) - пространство-время; ^п, Нав (ф)) - пространство целей (киральное пространство), криволинейные координаты которого

ф = (,..., ф”) соответствуют компонентам кирального поля. Частные производные обозначим так: дкфА = ф^ . Уравнения Эйнштейна представим в виде

(2)

Компоненты тензора энергии-импульса НСМ (1) вычисляются по формуле

Таким образом, динамика самогравитирующей НСМ определяется системой уравнений (2)-(4).

Для того чтобы найти точные решения самогравитирующей НСМ, установим связи между киральными полями и координатами пространства-времени, а также между метриками пространства-времени и пространства целей. Выбор этих соотношений продиктован стандартной техникой метода изометрических погружений. В следующем разделе приводится обоснование для применения метода изометрических погружений для самогравитирующей НСМ, который впервые был рассмотрен в работе [1], а в работе [6] был получен на основе теоремы Кэмпбелла-Магаарда [8].

Теорема Кэмпбелла-Магаарда (КМ) [8] гласит, что любое п -мерное (псевдо)риманово многообразие может быть локально и изометрич-

дальнейшем теорема КМ была распространена на пространства Эйнштейна с ненулевым тензором Риччи [9, 10].

В работе [11] рассматривалась модификация теоремы Кэмпбелла-Магаарда о погружении при наличии скалярного поля. Опираясь на этот результат, представим схему обобщения (предложенную в работе [6]) этой теоремы на случай, когда источником гравитационного поля являются кираль-ные поля. Такое обобщение необходимо для того, чтобы применить метод погружения пространства целей в четырехмерное пространство-время.

Для скалярного синглета %, определенного на многообразии

(”+1, §ар(х)), можно не конкретизировать вид тензора энергии-импульса и ограничиться тем, что его компоненты определяются как некоторые анали-96

(3)

Полевые уравнения модели (1) запишутся в виде

(4)

2 Обобщение теоремы Кэмпбелла-Магаарда

о погружении на случай киральных полей

но погружено в (п +1) -мерное Риччи-плоское многообразие (п+1, § ). В

тические функции ТЦУ от х, его первой производной по координатам пространства-времени и компонент метрики пространства-времени §ар (х) [11]:

— дх & —, §ар(х)

дх°

(5)

—л

Рассмотрим мультиплет киральных полей х . В этом случае компо-

—л

ненты ТЭИ можно представить как аналитические функции полей х , их производных по координатам пространства-времени, компонент метрики

пространства-времени §ар(х) и пространства целей "лв ( х^

—С дх (~С

х , д а , §ав(х), "ЛВ х

Л

(6)

Выбираем гауссову нормальную систему координат в (п+1, §ар(х)),

тогда

йь2 = §ікйх1йхь + гёы2,

(7)

где є = ±1, и = хп+1 и (,..., хп, и). Латинские индексы пробегают

значения от 1 до п, а греческие - от 1 до (п +1).

Эволюция скалярного поля х определялась в работе [11] уравнением

ди 2

= Р

- дх дх — / ч д2х д2х ^ х, — , тА §ік (х )^—^т ,—^ дхі ди дх1 дх дх1 ди

(8)

где Р - некоторая аналитическая функция.

-л

Для мультиплета х обобщение уравнения (8) принимает вид

а2“ Л

д х

ди

2

= Р

хЛ д/ Эх^ § ( ) ^^р д§ав д2х д2х , д"лВ ^

х , - •• , -> , §аР(х), „ і , ^ ь , - ^ , "ЛВ

дхі ’ ди

дх1 ди дх1 дхЬ дх1 ди

дф

. (9)

Физически оправдано требование равенства нулю дивергенции ТЭИ:

V аТ ав= 0. (10)

Если выражения (6), (9) и (10) справедливы, то п -мерное многообразие (”, gik | при отождествлении координат X с киральными полями и метри-

ки

gik = gik (,..., хп, о) с метрикой пространства целей НАВ может быть

погружено в (п +1)-мерное пространство-время (n+1, grap (х)). Таким образом, мы обосновали возможность применения теоремы Кэмпбелла-Магаарда о погружении на случай источников в виде киральных полей.

З Трехкомпонентная НСМ как источник гравитационного поля

Рассмотрим самогравитирующую НСМ в пространстве-времени с метрикой

2

dSfM = gap(a,х3jdradrP + £(r3) . (11)

Здесь индексы a, Р пробегают значения 0, 1, 2. Метрика (11) выбрана в нормальных гауссовых координатах. Метрику кирального пространства выбираем в виде

dsN = hap ^фу) d ф0 d фР. (12)

Связь киральных полей с координатами пространства-времени вводим в соответствии с методом изометрического погружения:

фу = ху. (13)

Метрику кирального пространства полагаем совпадающей с метрикой

погружаемого пространства

hap = gap, (14)

где gap = gap(,0). Ненулевые компоненты тензора энергии-импульса (3)

имеют вид

- (1 -yS I - (1 -yS I

Tap = gap - gap ^ gySg J ; T33 =-g33 2 g^Sg J . (15)

След ТЭИ:

T’ ODD1 _YS

T =-2P, P = 2 gyS g .

Уравнения Эйнштейна (2) приводятся к виду

Яар = к#ар;

^33 = 0. (16)

Полевые уравнения киральной модели (4) перепишутся в виде [5]

(|g|

1 д ^~а^ } 1 dgp^TpY=n ,1^

j=|dY gg gap J 2 дф0 g 0. (17)

Для нахождения точных решений в рамках самогравитирующей НСМ необходимо ввести условия соответствия между трехмерной частью метрики пространства-времени и пространством целей:

iaP=^2 ( ) gap, П2 (0 ) = 1. (18)

В таком случае ненулевые компоненты ТЭИ можно записать как

ГаР=--gaP ; T33 = —----2. (19)

М 2 м 2П2

С учетом метрики (11) можно записать соотношения между ненулевыми компонентами тензора Риччи:

Rap= R*p-£gap(^ + 2 (П)2); R33 = —П-. (20)

где Rap - компоненты тензора Риччи, относящиеся к метрике g ap . Тогда

уравнения Эйнштейна (2) переписываются в виде

Rap = gap(K+e(Q^+2(П)2)); R33 = 0. (21)

Из последнего выражения с учетом (18) следует, что П = Юоz ± 1.

Таким образом, можно записать соотношения между метриками пространства целей и трехмерной частью пространства-времени:

— 2

gap=(c°0z ± 1) gap + e . (22)

Уравнения Эйнштейна для трехмерной части пространства-времени в этом случае принимают вид

RaP = X*gaP, (23)

где X* = к + 2ею0 .

Таким образом, доказано, что для трехкомпонентной НСМ с пространством Эйнштейна (с космологической постоянной X= X*) в качестве кираль-ного пространства существует однопараметрический класс точных решений для самогравитирующей трехкомпонентной НСМ, киральные поля которой

отождествляются с тремя координатами пространства-времени xY =ф^, а метрика пространства-времени имеет вид

2 2 dsM = gap(a,x3)юоХ3 ± 1) dxadXe + e|dX3) . (24)

4 Примеры генерирования точных решений

Рассмотрим метод генерации, основанный на изометрическом погружении кирального пространства в пространство-время, в действии. А именно

приведем примеры построения точных решений на основе описанного алгоритма. Для этого фиксируем координаты и метрику трехкомпонентной НСМ согласно методу изометрического погружения (13), (14):

йар(фУ) = £ар(У); ХУ=фУ , причем £ар(У) = gар(,( = 0

В этом случае пространство-время, в которое погружается данное пространство целей согласно результату, приведенному в предыдущем разделе,

\2

будет определяться как gар = (0х3 ± і) £ар

+ е8

аР •

4.1 Точные решения на основе пространств Минковского

Построим трехкомпонентную киральную модель на основе трехмерной части пространства Минковского. В зависимости от выбора g33 возможно

два варианта моделей.

— 3

1. Выбираем g33 =є = -1, т.е. х - некоторая пространственная координата, пусть х3 = г . Тогда метрика пространства целей имеет вид

^1 = (ф°) -(йф1) -(ф2) . (25)

Тогда gар(хУ ,0) = (ю0г ± 1)2 gаp(хУ).

Решая уравнения Эйнштейна (16) и полевые уравнения (17) и учитывая условия для координат пространства-времени и пространства целей (13), получаем

2 к ю0 = —

0 2 .

В этом случае соответствующее пространство-время примет вид ГГ- \2

dsl =

- г ± 1

V ' 2 ;

(2 - Хх2 - йу2) - )г2 . (26)

— 3

2. Выбираем g 33 = £ = 1 и х = ї. Тогда метрика кирального пространства запишется в виде

йБ^2 =-(ф° )2-(ф1 )2-(ф2 )2 (27)

и gар (х(,о) = (юо? ± 1)2 gаp(xY)• Решение полевых уравнений (17) и уравнений Эйнштейна (13) дает аналогичные значения:

2 к ю0 = —.

0 2

В этом случае пространство-время, в которое погружается пространство целей (27), можно записать как

^2 = йг2 -

г і— л2

Рг ± 1

V Ь У

(х2 + йу2+ йі2).

(28)

Последняя модель представляет собой пространственно-однородное космологическое решение, причем выражение, на которое умножается про-

странственная часть метрики

, может рассматриваться как мас-

ґ к У

штабный фактор а2 (г) = Л—г ± 1

4.2 Модели на основе пространства космической струны

На основе конического пространства-времени прямой статической (космической) струны [14]

й^ = йг2 - йг2 - йт2 - а2 г2йф2 ,

где принято обозначение а = 1 - 40ц (О - гравитационная постоянная Ньютона), строим киральное пространство НСМ с метрикой:

\2 / , \2 „ / \2 / ^\2

(29)

Для пространства-времени g ао , в которое изометрически погружается

пространство целей (29), выбираем g33 = 1 и х = г.

Решая систему уравнений поля (17) и уравнений Эйнштейна (16), учитывая соответствие координат пространства целей и трехмерной части пространства-времени (13), получаем результат, аналогичный тому, который был найден для моделей на основе пространств Минковского:

2 к ®2 =—.

02

Пространство-время, соответствующее киральной модели (29), можно записать в виде

й52 = йг2 -

у

■г ± 1

(2 + йг2 + а2 г2 йф2). (30)

4.3 Точные решения в рамках метрик Фридмана-Робертсона-Уокера

Пространство целей трехкомпонентной НСМ берем на основе трехмерной части пространства-времени Фридмана-Робертсона-Уокера (ФРУ). Удобно выбрать пространственную часть для того, чтобы удовлетворялось

условие g33 = е. Метрика такого кирального пространства может быть записана как

йS0h =-а2 (г)

(й Ф0)

- к (0)

л

-+|ф°) (йф1) +|ф0) 8Іп2 ф1 (йф2

(31)

где а й) - некоторая функция времени, которая в метрике ФРУ играет роль

масштабного фактора.

Для пространства-времени, в которое изометрически погружается ки— 3

ральное пространство (31), справедливо g33 = 1 и х = г.

С учетом соответствия координат пространства целей и трехмерной части пространства-времени (13) и после переобозначений к й ) = а й )((Ю0г ± 1) уравнения Эйнштейна (16) преобразуются к виду

2

- + к = 0;

к2 + 2 кк —

2 Кг ± 1)

к

к2 к

—2 + —2 +---------------------2

к2 к2 2 (со0г ± 1)2

= 0.

(32)

Для плоских метрик (к = 0) решение можно записать в виде

к йг) = С

г ±-

“0

1 _1_

^ 2+2ю0

л/4к+®2

+ С2

г ±-

“0

1____1_

2 2^0

•\/4к+“0

где С1 и С2 - постоянные интегрирования.

Учитывая соотношение между а (г) и Я (г), легко выразить

а йг) = —-“0

г ± — “0.

V

1 +—^ 2 2“

4 к+ю°

,_£2_

“0

г ± —

. “0.

1 1

м-----------\/4к+ю0

'' 2 2ю0 0

В этом случае метрику пространства-времени, соответствующего ки-ральной модели (31) при к = 0 , можно записать в виде

йъ2 = йг2 - к2 й )(г2 + г2й02 + г2 8Іп2 0 йф2),

(33)

где Я (г) = а (г)(юог ± 1) - масштабный фактор.

4.4 Модели на основе пространства Верма-Роя

Пространство-время Верма-Роя [17] можно записать в виде

йз^ =-а( 2 + йу2 + йг2 ) + йг2, (34)

где А удовлетворяет условию л[А =

Ci (x2 + y2 + z2 ) + C2x + C3y + C4z + C5

І

где, в свою очередь, Г й) = 2г-------+ а I + С, а а, X, С и - некоторые кон-

V3Х /

станты.

Метрика кирального пространства, построенного как трехмерная часть метрики Верма-Роя, может быть записана в виде

dSc2h = -A

(ф0) + (ф*) +(ф2|

(35)

Для пространства-времени g ао , в которое изометрически погружается

пространство целей (35), выбираем g33 = 1 и х = г.

Решая систему уравнений поля (17) и уравнений Эйнштейна (16), учитывая соответствие координат пространства целей и трехмерной части пространства-времени (13), получаем результат:

ю0 = 2

_1_

ЗХ

-+ а

Пространство-время, соответствующее киральной модели (35), можно записать в виде

ds0 = dt0 -

f г 2 v v

^Х+аjt і І a(x0 + dy0 + dz0). (36)

4.5 Модели на основе пространств, приводимых к эйнштейновским

Семейство подобных пространств, приводимых к эйнштейновскому, включает следующие четыре вида [17]:

dsi2 = - cosh0

a

V у

- 008

ds0 = - cosh0

a

V у

-1 0 0 ds3 =-cos

a

V у

л 0 0

as 4 = - cos

a

V у

(x1) -(x°j (x1) -(x0) +cosh ^dx1) -(x0)

(x1) -(x°j

a

V у

a

V у

- cosh

a

V у

+ 008

a

V у

(x3) +(x4) ; (37)

(x3 )0 -(x4)0; (38)

(x3 )0 + (x4 )0 ; (39)

(x3 )0 -(x4 )0, (40)

где a = const.

Для каждой метрики можно рассмотреть два случая:

1) g 33 =±1 и X3 = х4;

2) g 33 =-1; х3 = х2.

Метрику кирального пространства выбираем как трехмерную часть пространства-времени, приводимого к эйнштейновскому.

1. Рассмотрим киральные модели на основе первой метрики семейства приводимых к эйнштейновским пространств. Как указывалось выше, можно построить два варианта пространства целей на основе трехмерной части метрик.

А. Выбираем g 33 = 1 и х3 = х4, в этом случае метрика кирального пространства принимает вид

dSch1a cosh

a

V у

(dФ1) -(dФ0)

— 008

a

V у

(d Ф3)

(41)

Пространство-время g ар, в которое изометрически погружается пространство целей (41), с учетом соответствия координат можно записать в виде

2

ds12a = (x4 ± 1)

cosh2

a

V У

( )0 -(x2 )°

— 008

a

V У

(x3 )2 + |dx4 )2

.(42)

Решая систему уравнений поля (17) и уравнений Эйнштейна (16), учитывая соответствие координат пространства целей и трехмерной части пространства-времени (13), получаем результат:

Шд = 0; а = —.

к

Другими словами, киральное пространство (41) изометрически можно погрузить в исходное пространство-время, приводимое к эйнштейновскому (данные пространства совмещаются, т.к. Шд = 0).

— 3 2

Б. Рассмотрим случай g33 =—1 и х = х , тогда киральное пространство представляется как

dSchih =_cosh°

a

V J

(d Ф1)

— 008

С з ^ Ф3

a

V J

(dФ0) +(dф4) . (43)

Решая систему уравнений Эйнштейна (16) и полевых уравнений ки-ральной модели (17), приходим к результатам, аналогичным п. 1,а):

Юд = 0; а2 = —.

к

2. Для киральных моделей, построенных на основе пространств (38)-

— 3 4 — 3 2

(40), для каждого из случаев (при g33 =±1, х = х , g33 =-1, х = х ) решение уравнений Эйнштейна (16) и полевых уравнений (17) дает результаты, которые аналогичны первой модели, приведенные в п. 1.

Таким образом, получаем, что при изометрическом погружении трехкомпонентных киральных моделей, построенных на основе пространств-времен, приводимых к эйнштейновскому (37)-(40), пространства целей совмещаются с пространством-временем.

Заключение

В настоящей работе применяется метод изометрического погружения в рамках самогравитирующей нелинейной сигма-модели для построения точных решений. Метод основан на введении определенного соотношения между полями-компонентами кирального пространства (погружаемого пространства) и координатами пространства-времени (пространства погружения). Задавая связь между пространствами, можно упростить систему уравнений Эйнштейна (2) и динамических уравнений (4) для кинетической самограви-тирующей трехкомпонентной НСМ, которая является источником гравитационного поля.

В настоящей работе установлено, что для пространств-времен, полученных с помощью метода изометрического погружения в рамках трехкомпонентной НСМ, для трехкомпонентной части космологическая постоянная

X* = к + 2еЮ2 не обращается в нуль для решений, полученных для пространств Верма-Роя (36), и для семейства метрик, приводимых к эйнштейновской (42). В остальных же случаях (26) (28), (30) и (33) космологическая постоянная X* = 0.

Метрики (28) и (30), найденные для киральных пространств, построенных по метрикам Минковского и ФРУ, могут рассматриваться как эволюцио-

R(t) = a(t)(ю0г ± 1) (в случае плоского пространства) соответственно.

Список литературы

1. Иванов Г. Г. // ТИМФ. - 1983. - № 1 - Вып. 57. - С. 45.

2. Червон С. В. // Известия вузов. Физика. - 1983. - № 8. - С. 89.

3. Червон, С. В. Киральные нелинейные сигма-модели в общей теории относительности и космологии / С. В. Червон // Лекционные заметки по теоретической и математической физике. - Казань : Изд-во Казанского госуниверситета, 2006. -Т. 7. - С. 108-172.

4. Chervon, S. Harmonic maps and isometric embeddings of the spacetime / S. Cher-von, F. Dahia, C. Romero // Physics Letters A326. - 2004. - P. 171-177. - (arXiv:gr-qc/0312022).

5. Chervon, S. Harmonic maps as a subclass of isometric embeddings of the spacetime in five dimensions / S. Chervon, C. Romero // General Relativity and Gravitation. -2004. - V. 36. - № 7. - P. 1555-1561.

6. Bezerra, V. Self-gravitating nonlinear sigma model, isometric embeddings and harmonic maps / V. Bezerra, S. Chervon, F. Dahia, C. Romero. - 2004. - Р. 12. - (unpublished).

7. Червон, С. В. Нелинейные поля в теории гравитации и космологии / С. В. Червон. - Ульяновск : Изд-во Ульяновского государственного университета - СреднеВолжский Научный Центр, 1997. - 192 с.

В. Campbell, J. A Course of Differential Geometry / J. Campbell. - Oxford : Claredon, 192б ; Magaard, L. Zur einbettung riemannscher Raume in Einstein-Raume und kon-formeuclidische Raume / L. Magaard // PhD Thesis, Kiel, 19б3.

9. Anderson E., Lidsey J. // Class. Quant. Grav. - 0001. - № 1В. - P. 4В31.

10. Dahia F., Romero C. // J. Math. Phys. - 0000. - V. 43. - № б. - P. 3097.

11. Anderson, E. Embeddings in Spacetimes Sourced by Scalar Fields / E. Anderson, F. Dahia, J. Lidsey, C. Romero // J. Math. Phys. - 2002. - № 44. - P. 510В. - (arXiv:gr-qc/0111094).

10. Misner C. W. // Phys. Rev. D^ - 197В. - P. 4510.

13. Schimming R., Hirschmann T. // Astron. Nachr. - 19ВВ. - V. 309. - № 5. -P. 311.

14. Bezerra, V. Exact solutions of SO(3) non-linear sigma model on a conic space background / V. Bezerra, S. Chervon, C. Romero // Int. J. Mod. Phys. D14. - 0005. -P. 1907-1940. - (arXiv:gr-qc/0508080).

15. Chervon S. V. // J. Astroph. Astron. 1б, Suppl. - 1995 - P. б5.

16. Chervon S. V. // Int. J. Mod. Phys. A17. - 0000. - P. 4451.

17. Петров, А. З. Новые методы в ОТО / А. З. Петров. - М. : Наука, 19б4.