CC BY
10
УДК 531.51:530.12
Генерирование решений уравнений Эйнштейна с помощью стационарных евклидонов
Ц.И. Гуцунаев, В.А. Черняев, C.JI. Эльсгольц, X. А. Пауйак Уаман
Кафедра теоретической физики Российский университет дружбы народов Россия, ¡17198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, б
Разработан метод, позволяющий осуществить нелинейную суперпозицию стационарного евклидонного решения с произвольным вакуумным аксиально-симметричным гравитационным полем. Рассмотрены приложения.
1. Введение
Первые точные решения аксиально-симметричных вакуумных стационарных уравнений Эйнштейна были получены Льюисом [1], Ван-Стокумом [2] и Папа-петру [3].
Позднее Эрнст [4] сформулировал теорию стационарных гравитационных полей в форме уравнения для комплексной функции. Это послужило толчком для дальнейшего прогресса в области исследования точных решений.
Все же самый выдающийся результат был получен в 1963 году Керром [5]. Решение, носящее его имя, по-видимому, описывает внешнее гравитационное поле вращающейся звезды.
Класс асимптотически плоских решений, включающий решение Керра как частный случай, был найден Томимацсу и Сато [6].
Наконец, среди наиболее важных результатов, полученных к настоящему времени, следует отметить решение задачи о нелинейной суперпозиции решения Керра с произвольным стационарным аксиально-симметричным решением вакуумных уравнений Эйнштейна. Можно указать на три независимых подхода к решению этой задачи: теоретико-групповой подход Киннерсли и Читре [7]; метод обратной задачи рассеяния, примененный в теории гравитации Белинским и Захаровым [8]; метод Нойгебауэра [9], использующий преобразования Беклунда. Несмотря на независимость указанных подходов, все они являются математически эквивалентными, что и было показано Косгроувом [10].
В настоящей работе получены формулы, позволяющие осуществить процедуру нелинейного «сложения» стационарного евклидонного решения с произвольным аксиально-симметричным стационарным решением вакуумных уравнений Эйнштейна.
2. Основные уравнения
Как известно (см., напр., [11]), метрика стационарного аксиально-симметричного гравитационного поля без ограничений общности может быть записана в канонической форме Льюиса-Папапетру
сЬ2 = Г1 [е27(с1р2 + ск2) + р2с1^2] - /(^ (1)
где р, г,<р и £ — канонические координаты Вейля и время соответственно, а метрические функции /(р,г), и>{р,г) и 7(р, г) могут быть определены из уравнений Эйнштейна
/ДГ= (У/)2-^(Уи,)\ (2)
(3)
'9Г\ _[_
,дг) р2
2 \ <9р дг р2 где операторы Л и V задаются выражениями
д2 19 02 - _ д „ д дрА р др а г1 ар о г
(р'о и ¿о — единичные векторы), т.е. они аналогичны оператору Лапласа и градиенту обычного трехмерного пространства, записанным в цилиндрических координатах в отсутствии зависимости от угловой координаты.
Заметим, что условием интегрируемости уравнений (3) являются уравнения (2), куда метрическая функция 7 не входит. Таким образом, проблема получения точных стационарных осе-симметричных решений уравнений Эйнштейна в вакууме сводится к интегрированию уравнений (2).
Уравнения (2) можно записать в бескоординатной форме, если от потенциала вращения ш(р,г) перейти к новому потенциалу Ф(р,г) с помощью соотношений
ди) _ р дФ дии _ р дФ др /2 дг' дг /2 др Уравнения (2) в этом случае перепишутся в виде
/А/ - (У/)' - (УФ)2 , /ЛФ = 2У/УФ. (5)
Отметим, что для уравнений (5) имеет место следующая трансформационная теорема:
Теорема. Если / и Ф — некоторое решение уравнений (5), то и
= (А0Рр + ДрСо)/ (Со-ВоФ)2+ О20р'
А0С0 + (ВоСо - АоОо)Ф - ВоВо (/2 + Ф2) Ф=-----—^-+
(с0-А,Ф) +£2/2
(6)
где Ао, Ва, Со, Аз " Е0 (До А) + В0Со ^ 0) — произвольные действительные постоянные, также является решением уравнений (5).
В справедливости этой теоремы проще всего убедиться непосредственной подстановкой (6) в (5).
В частном случае при Л0 = Е0 = 0 и В0 — С0 - 1 мы приходим к известному преобразованию Элерса [12]
/ =___I_, ф =__—(7)
(1 - А.,Ф)2 + О2/2' (1 - Поф)' + £>р/2
78
Если же в (6) положить В0 = Со = Е0 = 0 и А0 = Д), т0 мы получим формулы так называемого обратного преобразования
1 Ф
-1 р + ф2 р +ф2
3. Класс решений Льюиса и стационарные
евклидоны
В 1932 году Льюисом [1] был найден класс решений уравнений (5)
1 дХ
С\ ' Ь ~~ сЬ С'о дг
где С\, Съ и Г/о — постоянные.
Функция х(р, -г) удовлетворяет линейному уравнению
+ С2,
(9)
д2Х _ 1дх | д2Х = 0 др2 р др дг2 '
функция ^(р,,
1дх
рдр
удовлетворяет гармоническому уравнению
д2Ф 1 № д2Ф
--1----1--= 0.
др2 р др дг2
Метрическая функция в соответствии с уравнениями (4) имеет вид
сЬ^ \ 1
= Сг
sh^?' + thí7och!^•/ сЬ С/о
+ С3,
(Ю)
(11)
(12)
(13)
где Сз — еще одна постоянная.
Нетрудно видеть, что параметр 11о — 1/170 связан со стационарностью задачи. Действительно, если параметр вращения Оо —> 0 ([/0 оо), то решение Льюиса иь,шь,Фь) переходит в статическое решение Вейля, т.е.
Д-^-е*, 0, шь-+0.
Возьмем в качестве решения уравнения (10) выражение „2
X = ХЕ = уЬ
+ + (И)
где г\ — константа смещения.
Полагая еще в (9) и (13) С\ = 1, С2 = Сз = 0, получим из класса Льюиса следующее частное решение
/Е = (г- г,) + ^р2 + (г-г1)2ЬЪи0,
ФЕ =
сШо
(15)
шЕ =
л/ Р2 +
(г - г1) + ^р2 + (г-г1)ЧЪи0 сЫ70'
Соответствующий этому решению линейный элемент (1) принимает вид
си2 =
+
<1р + йг2
+
^р2 + (г- гг)2
рЧ<р2
{г - гг) + л/р2 + {г-г1)21ЗД
(г - гг) + ^р2 + {г-г1)2Ихи0
хЫг
сЬ С/о
(г - гг) + ^ р2 + (г-г^ЬЪ Щ
<!</?> ■ (16)
Решение (15) может быть названо стационарным евклидоном, так как прямыми вычислениями можно показать, что для метрики (16) все компоненты тензора кривизны Римана-Кристоффеля обращаются в нуль и, следовательно, пространство-время (16) является плоским. Это обстоятельство позволяет найти формулы перехода от квадрата интервала Минковского
¿8* = V2 + сЬ" + Р'2ЛЧ>
'2 , „Па.Л
/2
(17)
к метрике (16), характеризующей некоторую релятивистскую неинерциальную систему отсчета. Формулы преобразования от (17) к (16) имеют вид
, ,'1+ЬЪио Р = ( —2—М-
ch.t, г = ( ) сЬ£,
. /1 + thí7o V , . , V = I ——--р+) яЫ, у? =
2 ) г \H-thZ7o
Здесь р± — статический евклидон, равный
р± = р2 +> - ± -Решение (15) для краткости будем называть просто евклидоном.
(18)
(19)
4. Евклидон в гравитационном поле
Обобщим евклидонное решение (15) на случай присутствия произвольного аксиально-симметричного стационарного гравитационного поля, потенциалы которого /о, со0 и Ф0 удовлетворяют уравнениям
/0Л/о = (У/о)2-(УФо)2, =
ди>о _ р дФо дшо _ р дФо
0.
(20)
С этой целью в формулах (10) и (13) выберем х{Р-,г) снова в виде (14), а постоянные Сь С2, С3 и и0 будем считать функциями
<?1 = /о(М> С2='Мр,г), С3 = Ф0(р,г), 110 = и{р,г).
В таком случае
/ =
(z-2l)+ уУ-Mz-z^thi/ /о
уУ+ (2-Zl)2 !
Ф = -;--г-гт + UJo,
/о
chu
U = /о
\/р2 + (2 — )2
1
+ Ф0
(21)
В (21) функция II(р, г) неизвестна и подлежит определению. Подставляя (21) в (4) и используя (20), получим следующую систему уравнений:
OU
(г - г,)
1 df0
1 З/о
Эр уУ + (г - )2 /о dp уУ + (z - zi)2 /о dz
| v/p2 + (;8-Zi)2chC/ + (z-Z1)shE/ 1 ЗФр t
p sli U
1 аф
о
ас/
p i а/о
+
/о ^р2 + (z - zi)2 /о <9z
2-2!) 1 ô/o
V^ + (г - 2i)2 /о v/p2 + (2-21)2 /о а2
pshU 1 дФ0 | (2 - 2i)shC/+у'р2 + (г - г1)2сЬк 1 аФ0
7р2 + (г - 2j)2 /о ар
/о аг
(22)
Условие интегрируемости уравнений (22) при этом выполняется.
Полагая в (22) и — 1п(а/Ь), получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений для функций а(р,г) и Ь(р,г)
да _ 1
др~ Wo
да _ 1 âi ~ 2/Ô db _ dp 2/о
аь _ j_ az " 2/о
аФр ' дР
+ N°)b
(23)
где обозначено
M" —
Mo
aP + P dz
[Z - Z!
pf
Vp2 + (Z-Zi)2
N°
N°
, \дФо
^ P dz
VP2 + (Z-ZI)2
(z-zi)t
P dp
(24)
Vp2 + (Z-*iY
Итак, если нам известно некоторое аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна, заданное потенциалами /о(р, z) и Ф0(р, г), то это решение можно нелинейным образом «сложить» с евклидонным решением (15). Метрические функции f(p,z) и и>{р, z) при этом имеют вид (21) и могут быть определены после решения линейной системы дифференциальных уравнений первого порядка (23) для функций a.(p,z) и b(p,z).
5. Приложения метода
Пусть, например, поле (/о,^о) задано в виде
/о = (г- 22) + \]р2 + {г- г2)2, а;о = 0,
т.е. в виде статического евклидона с параметром смещения г2-В соответствии с (21) можем записать
(25)
/ = / = Ф = Ф =
{z-z,) + ^p2 + {z-zi)2thu
(г - z2) + \/р2 + (г - z2)2 y/P + iz-ztf 1
(26)
Положим еще zi = ко, z2 = -fco и вычислим функцию U(p,z). Интегрирование уравнений (22) для случая, когда /о и ujq заданы в виде (25) дает
Щр, г) = In
к0ао
+
+ In
р2 + (г2 _ ¿.2) + vу + (2 _ fco)2v/p2 + (2 + ко)2
, (27)
где оо — константа интегрирования. Удобно перейти от координат Вейля (р,г) к эллипсоидальным координатам {х,у)
Р = к0 \J{x2 - 1)(1 - у2), z - к0ху.
В новых координатах U, / и Ф имеют вид
1 X + Г
I
U = In. , ,
ч а0 у + 1J
х2-1 + а2(у2-1) 2а0(х + у)
Ф =
(28)
(29)
(30)
(х + I)2 + а-о(у — I)2 ' * (х + 1)2 + а2(у-1)2'
Решение (30) с точностью до преобразований симметрии (7) совпадаюет с решением Керра.
Действительно, полагая в (30) а0 — д/р, {д2+р2 = 1), а в (7) А0 = Д, = -(1 -р), Во = Со = Ч, Ео = 0, получим
/ = h
р2х2 + q2y2 - 1
Ф = Фк =
2qy
{рх+1)2+q2y2' * ^ {px+l)2+q2y2' Соответствующие этим Д и Фк метрические функции Шк и -ук имеют вид
= 2fc0g(l - у2)(рт+ 1) U>k р(р2х2 + q2iß — 1)
Вводя сфероидальные координаты
7t = - In
ik 2
2 2 i 9 i угзг 4- q у - 1
р2(х2 - у2)
г = кох + m, cos 9 = у
и полагая константы равными
, Г~2-ö а fco
ко - v mz -a-, q = —, р = —,
m гп
(31)
(32)
(33)
где т — полная масса источника, а а — его удельный угловой момент вращения, приходим к выражениям
г2 — 2m г + a2 cos2 в
г2 + а2 cos2 в
LÜ =
2а m г sin2 в г2 — 2m г + a2 cos2 в '
7 Л In
г2 — 2т г + а2 cos2 0
(г — m)2 — (m2 — а2) cos2
(35)
т.е. к наиболее часто встречающейся записи метрики Керра в форме Бойера-Линдквиста.
Литература
1. Lewis Т. // Proc. Roy. Soc. London. - Vol. A 136. - 1932. - P. 176.
2. Stockum W. J. V. // Proc. Roy. Soc. Edinburg. - Vol. A 57. - 1937. - P. 135.
3. Papapetrou A. // Annal. Physik. - Vol. 12. - 1953. - P. 309.
4. Ernst F. J. // Phys. Rev. - Vol. 167. - 1968. - P. 1175.
5. Kerr R. P. Ц Phys. Rev. Lett. - Vol. 11. - 1963. - P. 237.
6. Tomimatsu A., Sato H. // Phys. Rev. Lett. - Vol. 29. - 1972. - P. 1344.
7. Kinnersley W„ Chitre D. // J. Math, Phys. - Vol. 18. - 1977. - P. 1538.
8. Белинский В. А., Захаров В. E. // ЖЭТФ. - Т. 75. - 1978. - С. 1953.
9. Neugebauer С. // J. Math, Phys. - Vol. 12. - 1979. - P. L67.
10. Cosgrove С. Ц J. Math, Phys. - Vol. 21. - 1980. - P. 2417.
11. Точные решения, уравнений Эйнштейна / Д. Крамер, X. Штефани, М. Мак-Каллум, Э. Херльт. — М.: Энергоиздат, 1982. — 416 с.
12. Ehlers J. Konstructionen und Charakterisierung der Einsteinschen Gravitationsfeldgleichungen // Dissertation. — Hamburg: 1957.
UDC 531.51:530.12
Generating of Solutions of Einstein Equations Based on Stationary Euclidon Solution
Ts. I. Gutsunaev, V. A. Chernyaev, S. L. Elsgolts, J. A. Pauyac Huaman
Department of Theoretical Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia
Method, allowing the nonlinear superposition of a stationary Euclidon and arbitrary vacuum axially symmetric gravitational field, is developed. Applications are considered.
