CC BY
15
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 510.52
DOI 10.25513/1812-3996.2017.3.4-7
ГЕНЕРИЧЕСКИ СЛОЖНЫЕ NP-ПОЛНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
А. Н. Рыбалов
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 02.05.2017
Дата принятия в печать 26.06.2017
Дата онлайн-размещения 05.10.2017
Ключевые слова
Генерическая сложность, NP-полные проблемы
Аннотация. В статье рассматривается генерический подход к алгоритмическим проблемам, предложенный в 2003 г. А. Г. Мясниковым, И. Каповичем, П. Шуппом и В. Шпильрайном. В рамках этого подхода алгоритмическая проблема рассматривается не для всего множества входов (сложность в худшем случае), а для множества «почти всех» входов. Последний термин уточняется при помощи введения естественной меры на множестве входных данных. Для многих NP-полных проблем была установлена их легкоразрешимость в генерическом случае. В настоящей статье строится пример NP-полной проблемы, которая остается вычислительно трудной и в ге-нерическом случае при условии трудноразрешимости классической проблемы распознавания квадратичных вычетов.
Финансирование
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 16-01-00577 и 15-41-04312
Автор выражает благодарность рецензенту за полезные замечания и предложения по улучшению текста статьи
GENERICALLY HARD NP-COMPLETE PROBLEMS
A. N. Rybalov
Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Article info Abstract. Generic-case approach to algorithmic problems was suggested by A.G. Mias-
Received nikov, I. Kapovich, P. Schupp and V. Shpilrain in 2003. This approach considers a problem
02.05.2017 for the "most" inputs instead of all inputs like in worst-case approach. Many classical NP-
complete problems are easy in generic case. In this paper we construct NP-complete prob-Accepted lem that remains computationally hard in generic case provided that the classical quad-
26.06.2017 ratic residuosity problem is hard.
Available online 05.10.2017
Keywords
Generic complexity, NP-complete problems
Вестник Омского университета 2017. № 3(85). С. 4-7
ISSN 1812-3996-
Acknowledgements
The reported study was funded by RSF according to the research projects № 16-01-00577 and № 15-41-04312
The author is grateful to his reviewer for useful remarks and suggestion for improving the paper
Введение
В работе [1] была развита теория генерической сложности вычислений. В рамках этого подхода алгоритмическая проблема рассматривается не на всем множестве входов, а на некотором подмножестве «почти всех» входов. Такие входы образуют так называемое генерическое множество. Понятие «почти все» формализуется введением естественной меры на множестве входных данных. С точки зрения практики алгоритмы, решающие быстро проблему на генерическом множестве, так же хороши, как и быстрые алгоритмы для всех входов. Классическим примером такого алгоритма является симплекс-метод - он за полиномиальное время решает задачу линейного программирования для большинства входных данных, но имеет экспоненциальную сложность в худшем случае. Более того, может так оказаться, что проблема трудноразрешима или вообще неразрешима в классическом смысле, но легкоразрешима на генерическом множестве. В работах [1; 2] было доказано, что таким поведением обладают многие алгоритмические проблемы алгебры, а в работе [3] было построено генерическое множество, на котором разрешима классическая проблема остановки для машин Тьюринга с лентой, бесконечной в одном направлении.
Класс NP-полных проблем состоит из наиболее сложных проблем в классе NP в том смысле, что все остальные к ним сводятся за полиномиальное время. Тем не менее в генерическом случае многие классические NP-полные проблемы оказываются легкоразрешимыми (см. работу [4]). Возникает вопрос о существовании NP-полной проблемы, которая и в генерическом случае оставалась бы трудноразрешимой. В данной статье строится пример такой проблемы в предположении трудноразрешимо-сти классической проблемы распознавания квадратичных вычетов в группах вычетов ^^. Эта алгоритмическая проблема восходит еще к Гауссу и является хорошо известной в криптографии (см.,
например, книгу [5]). До сих пор неизвестны полиномиальные алгоритмы для ее решения. Более того, на предположении о ее трудноразрешимости основаны многие криптографические алгоритмы (см.: [5]).
Генерическая вычислимость и сложность
Пусть I есть множество всех входов для некоторой алгоритмической проблемы, а 5 - некоторое его подмножество. Рассмотрим последовательность
где In - множество всех входов проблемы размера п. В данной статье мы будем иметь дело со множествами натуральных чисел, представленными двоичными строками, и под размером числа будем понимать длину его двоичной записи. Если случайно и равновероятно генерировать входы размера п, то вероятность попасть в S равна рп(S). Определим асимптотическую плотность множества S как предел (если он существует)
|(S) = lim рп(S).
Если предела не существует, то считаем, что асимптотическая плотность не определена.
Множество входов S с I называется генериче-ским, если |(S) = 1, и пренебрежимым, если |(S) = 0. Непосредственно из определения следует, что S является генерическим тогда и только тогда, когда I \ S пренебрежимо. Понятие генерического множества формализует интуитивное понятие множества «почти всех» входов в том смысле, что при увеличении размера входа вероятность того, что случайно сгенерированный вход попадет в генери-ческое множество, стремится к 1.
Алгоритмическая проблема S с I генерически полиномиально разрешима, если существует множество Gс I такое, что
1. G - генерическое.
2. G - разрешимое за полиномиальное время.
Вестник Омского университета 2017. № 3(85). С. 4-7
3. 5ПС - разрешимое за полиномиальное время.
Генерический алгоритм, решающий проблему 5, работает следующим образом. Сначала определяет, принадлежит ли вход генерическому множеству. Если да, то проверяет принадлежность входа 5. Если нет, то отвечает «НЕ ЗНАЮ». Такой алгоритм правильно решает проблему 5 на почти всех входах.
Проблема распознавания квадратичных вычетов
Пусть
»
мультипликативная группа выче-
тов по модулю натурального числа т = рц, где р, ц - простые числа. Под проблемой распознавания квадратичных вычетов понимается проблема распознавания следующего множества:
2/
Ы = {(ат)еМ2 ае ^ ),3* е /{т): *2 == а[
Размером входа {а,т) является число битов двоичной записи числа т. В настоящее время неизвестны полиномиальные алгоритмы, решающие проблему распознавания квадратичных вычетов для всех модулей т. Более того, на предположении о ее трудноразрешимости основаны многие криптографические алгоритмы (см.: [5]).
Для изучения генерической сложности этой проблемы необходимо провести некоторую стратификацию на множестве входов. Рассмотрим любую бесконечную последовательность натуральных чисел ц = {т,т2,...,тп,...}, таких, что для любого п
имеет место 2п <тп <2п+1 и тп = РпЦп, где рп,цп -простые числа. Будем называть такую последовательность экспоненциальной. Теперь определим множество О.И{ ц) следующим образом:
{ц) = { {а, т)еЫ2: тец, {а,
Заметим, что для ц) множество всех входов размера п состоит из всех пар {а,тп) с фиксированным модулем т и произвольным элементом
К
Таким образом, проблема распознава-
ния ОН {ц) является подпроблемой распознавания ОН. Следующее утверждение говорит о том, что среди таких подпроблем найдутся проблемы настолько же сложные, что и проблема распознавания квадратичных вычетов.
Лемма 1. Если не существует полиномиального вероятностного алгоритма для проблемы ОН,
-ISSN 1812-3996
то найдется такая экспоненциальная последовательность ц, что и для проблемы QR(ц) не существует полиномиального вероятностного алгоритма.
Доказательство. Пусть р,Р2,... - все полиномиальные вероятностные алгоритмы. Из предположения о том, что не существует полиномиального вероятностного алгоритма для проблемы QR следует, что для любого алгоритма Р. существует беско-
нечно много групп
Z/
V)
, в которых он не может ре-
шить ОН. Из этого следует, что можно выбрать последовательность ц' = {т1 ,т2 ,...,т:,...} так, чтобы алгоритм р не решал ОН в группе и для лю-
бого / выполнялось т/+1 >2т . Последовательность ц' можно расширить до экспоненциальной последовательности ц, добавив где нужно новые члены. Заметим теперь, что ОН(ц) и будет той проблемой, для которой не существует полиномиального вероятностного алгоритма.
Лемма 2. Если проблема ОН(ц) генерически полиномиально разрешима, то существует полиномиальный вероятностный алгоритм, решающий ОН(ц) для всех входов.
Доказательство. Допустим, существует генерический полиномиальный алгоритм А, разрешающий проблему ОН(ц) на некотором полиномиальном генерическом множестве б . Построим вероятностный полиномиальный алгоритм В, решающий ОН(ц) на всем множестве входов. Алгоритм В на
входе (а,тп) будет работать следующим образом:
1. Проверяет, принадлежит ли (а,тп) множеству б . Это делается за полиномиальное время, так как множество б разрешимо за полиномиальное время. Если (а,тп)еС, то с помощью алгоритма А определяет принадлежность множеству ОН(ц). Если нет, переходит к шагу 2.
2. Генерирует случайный элемент у е у
Вычисляет 2 = Ух.
3. Проверяет, принадлежит ли (2,тп) множеству б .
4. Если (2,тп )еС, то с помощью алгоритма А определяет принадлежность (2 ,тп) множеству ОН(^). Очевидно, что 2 является квадратичным вычетом тогда и только тогда, когда таковым является а.
a e
Вестник Омского университета 2017. № 3(85). С. 4-7
ISSN 1812-3996-
5. Если (г,тп , выдает ответ «НЕТ». Заметим, что алгоритм может выдать неправильный ответ только на шаге 5. Докажем, что вероятность этого меньше 1/2. Это следует из того факта,
что ровно 1/4 элементов в группе ^ являются
квадратичными вычетами. С другой стороны, более 3/4 пар (г ,тп) принадлежит генерическому множеству б для достаточно больших п. Основной результат
Пусть 5 - какая-нибудь NP-полная проблема, эффективно закодированная двоичными строками. Рассмотрим следующее множество:
5(ц) = {(а,т) е{0,1}* х N: т ец,а < т,а е 05}. Теперь определим множество
5а^ц) = ОД ^К(ц).
Будем называть экспоненциальную последовательность ц эффективной, если множество ее членов разрешимо за полиномиальное время.
Теорема. Пусть ц - любая экспоненциальная последовательность. Тогда:
1. 50й(ц) 1МР-трудна. Если ц эффективна, то 50й(ц) 1МР-полна.
2. Если 50Я(ц) генерически полиномиально разрешима, то и ОЯ(ц) генерически полиномиально разрешима.
Доказательство. Первое утверждение следует из NP-полноты множества 5 и эффективности последовательности ц . Второе утверждение следует из леммы 2.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Kapovich I., Myasnikov A. G., Schupp P., Shpilrain V. Generic-case complexity, decision problems in group theory and random walks // J. Algebra. 2003. Vol. 264, № 2. P. 665-694.
2. Kapovich I., Myasnikov A. G., Schupp P., Shpilrain V. Average-case complexity for the word and membership problems in group theory // Advances in Mathematics. 2005. Vol. 190. P. 343-359.
3. Hamkins J. D., MiasnikovA. The halting problem is decidable on a set of asymptotic probability one // Notre Dame Journal of Formal Logic. 2006. Vol. 47, № 4. P. 515-524.
4. Gilman R., Miasnikov A. G., Myasnikov A. D., Ushakov A. Report on generic case complexity // Herald of Omsk University. 2007. Spec. Iss. P. 103-110.
5. Мао В. Современная криптография: теория и практика. М. : Вильямс, 2005. 768 с.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Рыбалов Александр Николаевич - кандидат физико-математических наук, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: alexander. [email protected].
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Rybalov Alexander Nikolaevich - Candidate of Physics and Mathematics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: alexander. [email protected].
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Рыбалов А. Н. Генерически сложные NP-полные проблемы // Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 3 (85). С. 4-7. DOI: 10.25513/1812-3996.2017.3.4-7.
FOR QTATIONS
Rybalov A.N. Generically hard NP-complete problems. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2017, no. 3 (85), pp. 4-7. DOI: 10.25513/18123996.2017.3.4-7. (In Russ.).
