CC BY
82
Книжная полка студента
Изв. вузов «ПНД», т. 16, № 2, 2008 УДК 537.86+621.3
ГЕНЕРАЦИЯ И СИНХРОНИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМАХ С «МНОГОМАСШТАБНЫМ» ХАОСОМ
Учебное пособие М.В. Иванченко
©М.В. Иванченко, 2007
©Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского, 2007
Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007. 138 с.
ISBN 978-5-91326-012-3
Теория синхронизации регулярных и хаотических колебаний - одна из фундаментальных проблем нелинейной физики. В настоящее время для периодических и близких к периодическим хаотических колебаний она хорошо разработана и весьма исчерпывающе представлена в ряде учебных пособий, монографий и обзоров. Однако для хаотических колебаний с несколькими характерными временными масштабами подобное изложение отсутствует. Данное пособие частично восполняет этот пробел. В нем приводятся методы исследования хаотической фазовой синхронизации в системах с «многомасштабным» хаосом, рассматриваются ее основные закономерности, а также процессы генерации и синхронизации таких колебаний в модельных нейронных ансамблях.
Предназначено для широкой аудитории - от студентов до квалифицированных исследователей в области физики, прикладной математики и математической биологии.
Оглавление
Введение
Глава 1. Анализ синхронизации в системах с «многомасштабным» хаосом
1.1. Хаотическая синхронизация. 1.2. Объединение временных масштабов. 1.3. Разделение временных масштабов. 1.4. Синхронизация лазеров в режиме генерации берстов 1.5. Синхронизация колебаний на различных временных масштабах.
Глава 2. Коллективная генерация «многомасштабных» колебаний в нейронных ансамблях
2.1. Собственная и коллективная «многомасштабная» динамика нейронных систем. 2.2. Неустойчивость фазовой хаотической синхронизации спайков. 2.2.1. Цепочки нейронов с электрическими синапсами. 2.2.2. Ансамбли с химическими синапсами. 2.2.3. Ансамбли со сложной топологией связей.
Глава 3. Синхронизация и образование структур в ансамблях с конкуренцией 3.1. Постановка задачи. 3.2. Динамика автономного нейрона. 3.3. Коллективная динамика. 3.4. Структурная устойчивость. 3.5. Бифуркации.
Заключение
Приложение I. Математическая модель Ходжкина-Хаксли для нейрона Приложение II. Иллюстрации Список литературы
Введение
К настоящему времени достигнут значительный прогресс в изучении и понимании процессов синхронизации, десинхронизации и структурообразования в ансамблях регулярных и хаотических осцилляторов. Результаты этих исследований используются для решения весьма различных прикладных задач: от передачи информации с помощью динамического хаоса и исследования колебательных режимов в решетках микро- и наномеханических осцилляторов до анализа способов обработки и кодирования информации биологическими нейронными ансамблями. В этом промежутке лежат задачи разработки широкополосных радиолокационных систем на базе динамического хаоса и криптографических алгоритмов.
Исследование явления синхронизации на протяжении многих лет остается актуальной задачей нелинейной физики. Теория синхронизации регулярных колебаний была в основном построена в 30-60-х годах XX века и исчерпывающе описывала вынужденную синхронизацию автогенератора внешним периодическим сигналом и взаимную синхронизацию двух автоколебательных систем. Эта теория была положена в основу решения многих прикладных задач радиофизики, среди которых задачи когерентного приема в системах связи, построения радиолокационных и навигационных систем, исследования динамики ансамблей сверхпроводящих джозефсоновских контактов и т.д. Тем не менее в последние два десятилетия наблюдается крайне высокая активность в исследованиях синхронизации и связанных с ней динамических процессов, в частности, образования пространственных структур. Это продиктовано как интересом к процессам синхронизации сложных и хаотических колебаний, так и появлением целого ряда задач, требующих анализа коллективной динамики больших ансамблей со сложной топологией связи.
Во-первых, большое число физических систем может рассматриваться как класс распределенных, пространственно дискретных или непрерывных нелинейных активных колебательных систем, обладающих некоторым спектром колебательных мод. Примерами служат системы с турбулентностью, ансамбли многомодовых лазеров, джозефсоновских контактов, микро- и наномеханических осцилляторов. Одним из распространенных коллективных эффектов в таких системах является синхронизация большого числа взаимодействующих, зачастую хаотических, нелинейных мод.
Во-вторых, явление динамического хаоса - сложного, квазислучайного поведения полностью детерминированной системы, по-видимому, может быть использовано для разработки новых подходов в задаче передачи и обработки информации.
Преимущества хаотического сигнала над регулярным заключаются в его широкопо-лосности (и, как следствие, большей помехоустойчивости и информационной емкости). Синхронизация идентичных или слабо неидентичных хаотических колебаний позволяет реализовать когерентный прием в схемах для передачи с помощью динамического хаоса, управлять распределением фаз в радиолокационных системах, декодировать сообщения, зашифрованные с помощью хаотического сигнала.
Наконец, идеи и методы радиофизики сейчас находят применение в анализе способов передачи, хранения и обработки информации биологическими нейронными сетями. Здесь одним из ключевых вопросов является механизм координации активности отдельных нейронов. Многочисленные экспериментальные и теоретические исследования отводят эту роль процессам синхронизации. Поскольку значительная часть нейронов может генерировать хаотические колебания, наиболее адекватной постановкой задачи, сформулированной в терминах теории колебаний, здесь является изучение процессов хаотической синхронизации в больших ансамблях хаотических автоколебательных систем со сложной, нерегулярной топологией связи.
Следует отметить, что под синхронизацией регулярных колебаний всегда понималось совпадение их частот в результате взаимодействия. С другой стороны, хаотические колебания обладают непрерывным спектром частот и классическое понятие синхронизации к ним неприменимо. Известны, однако, процессы координации хаотических колебаний, в результате которых некоторые их характеристики могут становиться идентичными. Более того, совпадение этих характеристик является необходимым и достаточным условием синхронизации периодических колебаний. Это обусловило возникновение термина «хаотическая синхронизация» и его использование применительно к нескольким типам координации хаотических колебаний взаимодействующих систем. Здесь мы будем рассматривать исключительно фазовую хаотическую синхронизацию, критерием которой является совпадение средних частот колебаний, как наиболее близкую к синхронизации регулярных колебаний и позволяющую достаточно полно описывать коллективные процессы в интересующих нас системах.
Несмотря на обширную литературу, посвященную исследованию фазовой хаотической синхронизации, большинство работ ограничивается случаем, когда автоколебания во взаимодействующих системах слабо хаотичны, имеют ярко выраженный максимум в спектре мощности, соответствующий некоторой средней частоте колебаний. Синхронизация таких систем имеет много общего с классическим случаем синхронизации периодических осцилляторов. Фактически, явление состоит в захвате частот из интервала вокруг выделенной частоты. Необходимо отметить, что класс слабо хаотичных осцилляторов (а следовательно, и область применения данного подхода) весьма ограничен.
В то же время дальнейшее распространение идей теории синхронизации на системы с более развитым хаосом, спектр мощности которых имеет несколько ярко выраженных максимумов, сталкивается с серьезными трудностями. Основная причина заключается в том, что неприменимым здесь оказывается даже понятие синхронизации в смысле средних частот - поскольку средняя частота, в общем случае, не совпадает ни с одной из выделенных частот. Сколько-нибудь полная теория фазовой синхронизации колебаний на нескольких характерных временных масштабах в настоящее время отсутствует, хотя в ряде работ этот вопрос и затрагивается. Следует
отметить цикл работ А.А. Короновского и А.Е. Храмова, в котором была предложена концепция синхронизации временных масштабов, предполагающая применение критериев фазовой синхронизации к динамике вейвлет-образов реализации «многомасштабных» колебаний.
Коллективная динамика ансамблей «многомасштабных» осцилляторов, в том числе характеризующихся сложной, нерегулярной топологией связи, является на настоящий момент одной из наиболее актуальных задач нелинейной динамики и радиофизики. Она имеет принципиальное значение для понимания основных закономерностей синхронной динамики распределенных активных систем с колебаниями на нескольких временных масштабах, таких как нейронные ансамбли, модели сердечной активности, цепочки связанных лазеров, модели турбулентных сред.
Развитие методов исследования и анализ основных свойств фазовой хаотической синхронизации, образования структур в ансамблях осцилляторов с хаотическими колебаниями на нескольких временных масштабах и генерации таких колебаний за счет эффектов синхронизации являются основными вопросами, исследуемыми в этом пособии. Оно состоит из трех глав.
Первая глава посвящена фазовой хаотической синхронизации систем, в которых «многомасштабные» колебания уже присутствуют. В ней рассматриваются два подхода к определению и анализу синхронизации, имеющих весьма общий характер. С их помощью изучаются основные черты фазовой синхронизации «многомасштабных» систем, они применяются для исследования динамики связанных лазеров в режиме генерации берстовых импульсов. Наконец, показана возможность практически значимой синхронизации между колебаниями на сильно различных временных масштабах, дополняющая предыдущий случай синхронизации близких (вследствие малой неидентичности систем) временных масштабов.
Во второй главе изучается влияние синхронизации на генерацию «многомасштабных» колебаний в динамических моделях нейробиологических систем. Обнаруженный коллективный механизм возникновения «многомасштабных» колебаний в ансамблях изначально слабохаотичных нейронных осцилляторов заключается в неустойчивости режима синхронизции спайков при усилении связи. Показано существование такого механизма в ансамблях с различными типами связи, различной -регулярной и нерегулярной - топологией.
В развитие проблемы в третьей главе рассматриваются принципы взаимодействия собственных и коллективных механизмов генерации. Здесь, как и во второй главе, основными действующими лицами являются процессы синхронизации, де-синхронизации и образования пространственно-временных структур. Выявлено, что взаимодействие механизмов может носить как кооперативный, так и конкурентный характер. Также обсуждается предполагаемая роль этих явлений в биологических нейронных ансамблях.
