Генерация и накопление вакансий в кристалле, выращиваемом из расплава Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.911; 539.21

В. М. Ленченко, Ю. Ю. Логинов

ГЕНЕРАЦИЯ И НАКОПЛЕНИЕ ВАКАНСИЙ В КРИСТАЛЛЕ, ВЫРАЩИВАЕМОМ ИЗ РАСПЛАВА

Предложена модель образования вакансий в кристалле, выращиваемом из расплава, в результате его неплотной упаковки при кристаллизации. Рассчитана зависимость концентрации вакансий от скорости вытягивания слитка из расплава V, градиента температур на фронте кристаллизации G и параметров диффузионнодрейфового переноса вакансий в горячей зоне кристалла. Показано, что вакансионный рост кристалла происходит, если параметр Воронкова X = ^ >Х, где X, = у—- ^к?0, здесь "Л = , N° и N0 - термодинамические

равновесные концентрации атомов в расплаве и кристалле соответственно, е& - энергия кристаллизации атомов, Бь - коэффициент диффузии на границе «расплав-кристалл». Предложенная модель позволяет провести оценки режимов роста слитка из расплава.

Ключевые слова: кристалл, вакансия, междоузельный атом, кристаллизация

Концентрации собственных точечных дефектов (СТД) в монокристаллах кремния, выращенных по методу Чох-ральского, на много порядков превышают их термодинамически равновесные значения, вычисленные с учетом энергии образования пары Френкеля [1]. В зависимости от скоростных и температурных режимов роста возникает асимметрия между концентрациями компонентов СТД (вакансий и междоузельных атомов), определяемая, как

V

показано в [2; 3], отношением X = ^ > где vc - скорость

роста слитка; G - градиент температур на границе «расплав-кристалл» .

Анализ пересекающихся потоков вакансий и междо-узельных атомов с учетом их генерационно-рекомбинационного взаимодействия, приведенный в [2], показал, что остаточная разность концентрации вакансий Су и междоузельных атомов С. в объеме кристалла может быть оценена по формуле

1 -х / X,

с - с = с

, (1)

1+х / X,

где Ст - равновесная концентрация пар Френкеля в горячей зоне кристалла, прилегающей к расплаву; X, и Х0 -полуэмпирические параметры: X, = 3^,, = 105 см2/(К-с).

В дальнейшем для определения X, было получено выражение [1]

О С. (е — т.) — Оу Су (е — ту)

гт гт \ г } Ут Ут \ V /

(2)

кТ2 (Сут — С,т )

где Ст и Сут, Б.т и Оут, т, и т у - концентрации, коэффициенты диффузии и энергии миграции междоузельных атомов и вакансий в горячей зоне кристалла соответственно; е - энергия тепловой генерации пар Френкеля; к -постоянная Больцмана; Т - температура.

В соответствии с (1) различают режимы роста кристалла по параметру X [1]: при X < X, в объеме кристалла накапливаются дефекты междоузельного А- и В-типов, а при X > X, преобладают дефекты вакансионного Д-типа [3]. Эти выводы сделаны на основе анализа явлений переноса вакансий и междоузельных атомов в растущем кристалле. Однако параметр X, определяется не только процессами генерации и переноса компонентов СТД в горячей зоне кристалла, но и соответствующими процессами

в расплаве и на границе «расплав-кристалл» (/Л-грани-це). В частности, при кристаллизации на //^-границе образуется свободный объем, обусловленный упаковкой атомов с коэффициентом упаковки

N0 " = А?

(3)

где N0 и N0 - термодинамически равновесные концентрации собственных атомов среды в расплаве (/-фазе) и кристалле (5-фазе) соответственно, т. е. при упаковке атомов происходит генерация вакансий, которые в идеальном случае растворяются в расплаве, практически не изменяя его плотность. В действительности же в зависимости от режимов кристаллизации часть вакансий встраивается в кристалл, участвуя в квазихимических процессах переноса и образования дефектов примесно-вакансион-ного типа.

Введем следующие обозначения концентраций вакансий в расплаве и кристалле:

С/ = N1° — Nl и С, = N0 — N5, (4)

где ^ и Ns - действительные концентрации атомов в расплаве и в кристалле. Тогда поток атомов из /-фазы в 5-фазу при кристаллизации может быть описан выражением

& (а ) = х(п1, • Nl — т,/ • К), (5)

где п, и - соответственно частоты перескоков атомов из расплава в кристалл и обратно; 1 - расстояние

перескока.

Уравнение (5) с учетом (4) может быть приведено к виду

к (а) = к0 (а) — к (у )■ (6)

Здесь

& (а) = х (п, • ^ — т,1 • К) = N“1 (лп,— т) (7)

представляет собой поток атомов, а

V )=1(п-ь • С1 — т,/ •С,)- (8)

поток вакансий через //,-границу.

По аналогии с выражением (6) для потоков атомов в расплаве и кристалле можно записать

к (а) = & (а) — к (у), (9)

к (а) = & (а) — к (у), (10)

Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева

где к (а) и & (а) - безвакансионные потоки атомов в расплаве и кристалле, которые могут быть выражены через конвективные скорости V00 и V, по формулам

& (а) = N0 • V/0, & (а) = N0 • V?. (11)

При этом V00 определяется гидродинамикой расплава, а V,0 ° vc - скоростью вытягивания слитка, равной скорости роста кристалла.

В отличие от этого вакансии как подвижные квазичастицы совершают также диффузионно-дрейфовые перемещения в /- и 5-фазах, и поэтому для их потоков следует записать более общие выражения:

], (у ) = АгСг, л (у ) = АС . (12)

Здесь скоростные факторы А1 и А, определяются не только конвективными скоростями /- и ,-фаз ( V00 и V,0), но и скоростями онзагеровского переноса, пропорциональными термодинамическим силам, в том числе градиенту температур (см. приложение).

Из условия непрерывности потоков атомов кристаллизирующейся среды

(а) = & (а) = Л (а) (13)

с учетом приведенных выше уравнений находим

Л (у) — Л (у ) = Я, (14)

I (у)—& (у) = Я,, (15)

где

я = & (а)—& (а) = (V:— лк) ^; (16)

я, = & (а)—к (а) = (^ +1т,/ —л1п ь) ^. (17)

Величины Я и я, мы можем интерпретировать как скорости генерации вакансий в расплаве ( я/ = Я — Я,) и кристалле я, , связанные с упаковкой атомов при их кристаллизации.

Уравнения (14) и (15) с учетом (8) и (12) перепишутся в виде

А,С, —А,С, = я,

откуда

(4 +1т,/)с,-1п 4с, = gl

Ая -(А, +1т,<) я

с, =

С =

А (А +1т.і )-1п Л Ая,-1п „я

(18)

(19)

с

(20)

К, = -

с.

(21)

Тогда, как показано в приложении (см. формулу (10)),

А, =

(1 -ГД,) V,

1 -Г,

где

Г, = ехр (-Д,), А, =}

¥5йх ~кТ~ ’

(22)

(23)

ё - толщина активного (горячего) слоя в кристалле; Г -термодинамические силы, действующие на вакансию в этом слое.

Из условия непрерывности потока вакансий в объеме (14), (15), где & (у) = VcCs (ё), и их потока у //,-грани-цы (12) с помощью приведенных выше формул и опреде-

С, (ё)

ления доли пустых узлов в объеме кристалла /, =-

получим

где

к =

[у -1Уь (л-Гі,)] К,

а, (1 - К, Г, ) + 1т,1

А,

а, =

(1 - к Г,)!

Г = = Г0 е^Д“ •

1 і, 1 ■

V,

А =Ч_ + у у •

* кТ ,,

N0

(24)

(25)

(26)

0

е - энергия кристаллизации атомов; Гк - энтропийный фактор, связанный с различием атомных конфигураций в расплаве и в кристалле.

Напомним, что параметр - является коэффициентом упаковки атомов (3), но с другой стороны - это константа термодинамического равновесия системы «расплав-кристалл», в связи с чем

5 Ь

Л = Г0,е кт

(27)

'с + у9

,,

Г„ = -•« . (28)

Можно показать, что при любых доступных скоростях роста кристалла V и достижимых градиентах темпера-

О

—— сопоставима с V , с хоро-

дТ с

тур, для которых ve =

шей точностью выполняется неравенство

IV,,

<< 1.

А, (А, +1т,/ )—1п^'

Чтобы не происходило накопления вакансий в расплаве у /,-границы до отрыва слитка от расплава, скоростной режим роста должен обеспечивать хорошее перемешивание расплава, выражаемое условием

А/ >>1п /,.

В этом приближении из (19) следует

Я,

В этом приближении выражение (24) перепишется в виде

[(1 — л) vc —Л1^0] к,

(29)

а., (1—К г, )+1т„ •

Отсюда следует, что рост кристалла будет вакансионным (> 0), если скорость роста vc будет превышать vи л

на фактор

1-л

А +1т, /

Введем коэффициент распределения вакансий между горячей зоной кристалла Си его объемом С(ё):

С, (ё)

ус >

л

1-л

Учитывая определение V , перепишем это условие в виде

Х=>-^ И 1 -Л

51, ‘ Р1, = Х

кТ2 ~ ‘.

(30)

Если отождествить X, с параметром Воронкова X, = 3 • 105 см2/(К-с) [1], то непротиворечивым подбором

и

параметров е, » 0,5...1 эВ, л » 0,9 и Б, » (10-4...10-5 ) см2/с можно удовлетворить условию (30), которое будет интерпретироваться как условие вакансионного роста кристалла. Отсюда следует, что вакансии в растущем кристалле появляются не только за счет их тепловой генерации в горячей зоне кристалла в составе пар Френкеля, но и в результате неплотной упаковки атомов при кристаллизации.

Таким образом, предложенная в данной статье модель позволяет провести по формуле (29) оценки режимов роста слитка из расплава.

Библиографический список

1. Voronkov, V V Vacancy and self-interstitial concentration incorporated into growing siticon crystals / V. V. Voronkov, R. Falster // J. Appl. Phys. 1999. Vol. 86. P. 5975-5982.

2. Voronkov, V V The mechanism of swirl defect formation in Silicon / V. V. Voronkov // J. Crystal Growth. 1982. Vol. 59. P. 625-643.

3. Воронков, В. В. Образование дефектов в кристалле кремния / В. В. Воронков // Кристаллография. 1984. Т. 29.

С. 688-709.

4. Пузанов, Н. И. Классификация ростовых дефектов в кристаллах кремния, выращенных по методу Чохральского / Н. И. Пузанов, А. М. Эйдензон // Неорган. материалы. 1995. Т. 31. С. 435-443.

Приложение

ИНТЕГРИРОВАННАЯ ФОРМА ДИФФУЗИОННО-ДРЕЙФОВОГО ПОТОКА ЧАСТИЦ

Рассматривая известное выражение для диффузионно-дрейфового потока частиц

■ п дС

/ = c - v - D —

дx

(l)

С (x ) =

Co-I je-^D

,Д(*)

где

Д^) = IDdx .

где

j = aC0 - bCP

b = ae A(l= a -Г,;

-i = [e_A(x) dx = г г dx

J d J x D

D

Из (4) при отсутствии градиента концентраций, когда С0 = С1 = С, имеем ] = (а - Ь)С = vС. В этом приближении, когда а - Ь = V, с учетом (5) получим

как дифференциальное уравнение для определения концентрации частиц С(х) при заданных потоке](х), скорости переноса v(x) и коэффициенте диффузии О(х), запишем его решение

1-e

-Д(1)

1 -Г.

(7)

дT

(2)

(3)

В стационарном режиме на ограниченном участке 0 < х < і поток частиц постоянен и это позволяет выразить его с помощью (2) через концентрации С0 и С1 в следующем виде:

При наличии градиента температур G = — и сило-

дх

вых полей Г общая (суммарная) скорость потока частиц будет иметь вид

V = V + V , + V , (8)

c а и у 7

где V - конвективная скорость переноса среды; V= и -Г -

° дО дО ^

дрейфовая скорость; V;, = — = — G - скорость пере-

дх дТ

носа, обусловленная градиентом температур.

Введем коэффициент распределения частиц у границ

х = 0 и х = /

K = Cl . C0

(9)

(4)

(5)

(6)

Тогда уравнение (4) можно представить в виде

j=A, • С, (10)

где Al =

(1 -r,K ) v 1 -Г,

V. M. Lenchenko, Yu. Yu. Loginov

GENERATION AND ACCUMULATION OF VACANCIES IN A CRYSTAL GROWN UP FROM MELT

a

The model of the vacancies formation in a crystal grown up from melt, as a result of its leaky packing at crystallization is offered. The dependence of the vacancies concentration from growth rate of an ingot from melt (v), a gradient of temperatures at the front of crystallization (G) and parameters of diffusion and drift carrying over of vacancies in a hot zone of a crystal is calculated. It is shown that the vacancy crystal growth occurs, if Voronkov vc h e • D №

parameter X is G> X, where Xii is ^-----------------, h is —0 and № , N° are thermodynamic equilibrium

concentration of atoms in melt and a crystal accordingly, es is an energy of crystallization of atoms, Ds is a diffusion factor on a border of melt and crystal. The offered model allows to estimate modes of an ingot growth from melt.

Keywords: crystal, vacancy, interstitial atom, crystallization.

© Ленченко В. М., Логинов Ю. Ю., 2009