Газовое давление в литейной форме как функция геометрии ее. Часть 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.743/744:532.546.6/7

О. А. БОНДАРЕВ

Омский государственный технический университет

ГАЗОВОЕ ДАВЛЕНИЕ В ЛИТЕЙНОЙ ФОРМЕ КАК ФУНКЦИЯ ГЕОМЕТРИИ ЕЕ (ЧАСТЬ 2)1_

В статье рассматривается неустановившаяся фильтрация газа в песчаной газопроницаемой литейной форме и решение задачи нахождения величины газового давления на поверхности раздела формы (стержня) с расплавленным в форме металлом отливки.

Ключевые слова: геометрия литейной формы, газовый режим литейных форм и стержней, газовое давление в формах и стержнях.

В первой части настоящий работы рассматриваег-сн решение задачи для случая устанопишпейся фильтрации газа [4]. Ниже — решение для случая неустановившейся фильтрации |2|, которая практически всегда наблюдается в литейной форме.

2.1 Общее предстанлениеураппении фильтрации.

Введем обозначение

п.1

р = р" -

где р — давление н форме, п — показа тель полт ропы; внесем его в уравнение (6, см. часть 1), тогда для функции давления получим

(] = Р—--.

Р(п + \)

(2.1)

С учетом (2.1) основное уравнение* фильтрации (9, см. часть 1),для поли тропического процесса примет вид

II

у2р = тм.р П+1.ЁЕ.

пк 5/'

(2.2)

а формула (17 — часть I) для линейной скорости фильтрации газа

у - кп 1

//(л + 1) /У ах'

(2.3)

где р определяет характеристическое уравнение (3, часть 1)политропы

РР = РП

(2.4)

или, с учетом замены рна Р, из уравнения (2.4) найдем

0р=Р'"

(2.5)

Уравнение (2.2) есть нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка с частными производными параболического типа. Решение уравнения (2.2) применительно к движению нефти и газов к пе-деформируемой пористой среде было рассмотрено академиком АН СССР Л.С. Лейбензоиом |1|. Полученные им результаты оказалось возможным адоптировать к решению поставленной задачи.

2.2. Анализ общего уравнения. 11рименителыю к одномерной ламинарной неустановившейся фильт-

'Члсть I опубликована и № I |<>4), 1

рации г,! ),! в литейной форме видоизменим уравнение (2.2). Для г)Того введем обозначение

Л = ~—- (2.0)

кп

а с учетом, что р = Р" н'' уравнение (2.2) принимает вид

Р д\ '

(2.7)

Точное общее решение уравнения (2.7) неизвестно. Однако линеаризация его позволяет най ти приближенные частные решения.

Для нахождения частного решении зададим граничные и начальное условия.

Граничные условия:

Х.Р

1

X А ■»-- *

т =

запиши в форму металл

Р> = Рг(1.0_)

ли

РС=Р.(0.1) = р.™

Рис. 1. Задание граничных условии

Принимаем, что сечение трубки х = Ь непроницаемо для газа. В этом случае скорость фильтрации

дР дх

(2.8)

Сечение трубки, определяемое уравнением х - 0 открыто для истечение газа во внешнюю среду с постоянным давлением, которое, ради определенности, принимаем равным атмосферному — р(. Следовательно,

Р Р,(0.') = Р. =Р„ откуда, для политропического процесса имеем

р рс=[р,(о,«)

1

п

(2.9)

Таким образом, граничные условия определяют соотношения (2.8) и (2.9).

Начальное условие для частот решении должно быть задано функцией распределении давлении для всех «х» в интервале (О, Ц и времени I 0, т.е.

р(х,0) = /(х). Этому отвечает начальное условие

Р|*,0) = Ро =/,(*) (2.10)

причем дли политропического процесса

ШИЛ*)]

I (

(2.1 I)

Нахождение частнотрешения уравнения (2.7) при граничных условиях (2.8) и (2.9) и начальном условии (2.10) можно получить методом последовательного приближения, в частности тем, что применил Л.С. Лейбензон, и адаптировать для решении рассматриваемой задачи.

2.3. Перное частное приЯлижсшюе решение уран-нения (2.7).

Первое приближение буде т заключаться в заме-

¡1

не переменного коэффициента р >м _ 'егоначаль-

ч ^

ным значением р ¡Гй . В качестве начального значении р0выбираем величину первого максимума газового давлении в(|>орме на границе раздела

С учетом (2.20) уравнение (2.19) принимает вид

,2.

Р(х,/) = Р„+с,е

~£3А 1

•57л(/!х)

(2.21)

Величину /. найдем из системы (2.20) Со.чА1. = 0

г.к. с, # 0, (I е., - 0. Корни последнего уравнения

(2.22)

АI, = 'Т • /, / = 1,3,5...

Из (2.22) следует

А= — •/, /=1,3,5... 21

С учетом значения /. уравнение (2.21) может бы ть переписано в виде

^ -А',/2/

Р(х,/) Р„ I ]Гс,е ' -.9/л

71X1

2/7

(2.23)

где С',, С'......С, — произвольные постоянные, а

*А~% л ,2

тг2 _ х2"кр0

41 41 Я1//

р = р„ = р'......= р(10)

(2.12)

для всех значений «х» в интервале» (0,1,). Внося 12.12) в (2.11), получим начальное условие дли первого приближения:

р = ри = ри"={р......■)"»

(2.13)

для времени процесса I = 0.

В этом случае уравнение (2.7) заменяется уравпе нием

Уравнение (2.23) есть решение уравнения (2.7), которому отвечают граничные условии (2.8) и (2.9). Необходимо теперь удовлетворить начальному условию (2.13). С! этой целыо приравняем в (2.23) время I нулю. Это дае т

я XI

Р0 = Р<1 + Хс,5ж-

(2.24)

для всех значений «х» в интервале (0, Ь); I = 1,3,5.....

Так как

д*Р _ дР ох' пкр„ д!

(2.1 И

Уравнение (2.1-1) есть известное уравнение теплопроводности. Его решение можетбытьполучено в виде:

Р(х,1)~ Ра + Р(х)е 3 , ,2-,3)

где). - некоторая независимая перем(Ч1ная, а сомножитель показателя степени

_ пкр,

ь—

ш/1

Внесем решение (2.15) в уравнение (2.14), тогда

(2.1С)

дх1

I А'Р = О

(2.17)

Общий интеграл уравнения (2.17) есть

Р(х) = с,5шЛх + с . Сох А х (2.1 И)

Внесем решение (2.18) в (2.15), тогда Р(х,1) = Ра + (с^тЛх +с2С05Ях)-е (2.19)

Внесем теперь (2.19) в (2.8) и (2.9), это даст

СуСояМ-с.^пШ. = 0

(2.20)

С2 ~ 0

1 /ТА'/ 7Г

> Ьш

' 21 -1

(2.25)

для всех «х» в интервале (0, I), то сравнимая (2.24) и (2.25) находим

с. =4

Р -Р ' и <■

Я7

Внеси значение сз в уравнение (2.23) мы получим приближенное решение уравнения (2.7), которое удовлетворяет граничным условиям (2.8) и (2.9) и начальному условию (2.1 3):

Р-Ра^(Р0-Ра)-1)-е (2.26)

Это первое приближение в решении поставленной задачи. Решение (2.26) можно преобразовать. Для этого, как предлагает А.С. Лейбензои, введем обозначение

(¡ = е

и функцию

. 4 ^ 1 „. П.Я-Х, Л Т" п, 2

/

I 4

(2.27)

где переименованы х и I на х, и п, соответственно,

Политроппып процесс

Линейная весовая скорость фильтрации может быть найдена из уравнения (2.3), если вместо плотности г внести в это уравнение удельный вес q:

1, к

yU ----

// Д /1

+1 UxJ, „

(2.46)

где Р находим из (2.45):

Р = [<РЛх„Ч,У(Р, Ра)+Ра]. (2.47) Дифференцируя уравнение (2.47) но «х», получим

G

= Iy-U-dt

Внесем пода правую часть уравнения (2.52), тогда дли небольшого промежутка времени I найдем

откуда

С' =

Р. - Р„ кит г(II

Д(/и-1) V /'^p,,

■ Г—

G1 = Щ-Рд) . jknmt Д,(нМ) р/лгр()

(2.53)

~d[Vp(xvq ,)-(Р,-Р„)]. (2.48) <>х L J

Внесем в (2.48| значение фр из (2.27) с уче том (2.40) и придавая хзначение, равное 0.найдем

Г"---Т'пТТТ^ // д п + 1 /.

где введено обозначение

%,) = 2

= 2

Я■} +

(2.49)

(2.50)

Из теории эллиптических функций известно, что одна из функций 0 (х, q), предложенных Якоби |5|, може т быть разложена в ряд

0(x,q)-2

q' •Cosnx -i f/1 ■ Cosxx i...

Если в этот ряд внести значение х = 0, то ряд обращается в ряд (2.50). Сходимость ряда слабая, если с] —> 1, однако Якоби предложил формулу преобразования, которая для ряда (2.50) дает

где введено обозначение

q.,=e

2

IT

Ac,-г

Ряд (2.51) сходится быстро для значений q -> I. Если ограничи ться первым членом ряда (2.51) для малых значений времени I, т.е. принять

%2) =

Ае^т

а для малых значений I счи та ть также, ч то г = 1,

то для весовой скорости фильтрации газа в форме получим

yU.bzLu. UTHL д("+1) V//л-р,,/

(2.52)

Весовое количес тво G', отнесенное к единице площади, определи ться из соотношения

Изотермический режим.

Для изотермического режима имеем

„ Л1//Л" /7 III

"\ nk А1 р, 11:Кр,

(2.54)

где К — коэффициент газопроницаемости; К = nk/fi.

Функция давлении имеет вид

Ь.

= е

-Ас .г А

и функциивремени

р с-

'() 6 А

{ р)

Рп

V 0 \

1-е

-0,5гг./ 4

(2.55)

Весовая скоростьG фильтрации газа через при-зматическую трубку площадью А

G - К ■

( Р.. + Р )

1_а

2 А

(2.56)

а объемная скорость Q( (отнесенная к нормальным условиям)

где

р /' - Р ' а

(2.57)

Д

.2

а с учетом, что Р - р , (и = 1), для объемной скорости О^ неустановившейся фильтрации окончательно находим

L 2Ду

Выпишем рядом соотношение для объемной скорости Ov установившейся фильтрации газа, полученное в I -й части данного сообщения

qv = K.aA:po.

V L ЩУа

Выводы. I. Предложено решение задачи оценки газового давлении в форме в первом приближении дли случая неустановившегося движения газового

потока по толщине стенки собственно формы при заливке последней металлом.

2. Другим результатом полученного решения стало возможно определение объемного расхода формовых газов через стенку формы, получение оценки требуемой величины пропускной способности М стенки формы и величины коэффициента К газопроницаемости формовочной смеси. Это позволяе т применить полученный результат дли целей проектирования литейной формы оптимальной геометрии для получения отливок без газовых раковин.

Отметим, что глубокому изучению газового режима литейной формы положил начало д. т.п., профессор Я.И.Медведев. Нгоосновополагающие работы способствовали появлению и настоящей работы.

Ьпблмографический список

I Аейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов н пористой среде. - М.- Л. : Гостехтеориздат,

1947. - 283 с.

2. Медведев Я.И. Газовые процессы и литейной форме. - М. : Машиностроение, 1980. - 195 с.

3. Фильтрационные характеристики песчаных литейных форм и стержней. Типовые кривые газового давления и форме / Бондарев O.A.. Медведев Я.И. // Омский научный вестник. - 2007. - №1(52) - С. 51-50.

<1 Бондарев O.A. Газовое давление и литейной форме как функция геометрии ее. Часть 1 // Омский научный вестник. - 2008. - № 1(04). - С.41-44.

5. Кронштейн 11.11., Семендяев К.А Справочник по математике. - М. : 11аука, 1981.

БОНДАРЕВОлегАлександрович, кандидат технических паук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.

Дата поступления статьи в редакцию: 23.09.2008 г. © Бондарев O.A.

УДК621.01:534 Б. А. КАЛАШНИКОВ

Н. Н. РАССКАЗОВА

Омский государственный технический университет

"ФГУП Научно-производственное предприятие «Прогресс», г. Омск

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ДЕМПФИРОВАНИЯ В МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Для систем, демпфированных силами неупругого сопротивления, нелинейно зависящими от скорости, и внутренним трением, получены уравнения частотных характеристик коэффициентов относительного затухания. Введены безразмерные обобщённые показатели демпфирования. Проанализировано влияние входящих в них конструктивных параметров и амплитуды возмущения на частотные характеристики системы. Предложено направление повышения качества демпфирования.

Ключевые слова: силы неупругого сопротивления, коэффициент относительного затухания, частотные характеристики, обобщённый параметр демпфирования

1.Введение.

Влияние структуры непотеициальных сил на частотные характеристики системы с одной степенью свободы с качественной стороны рассмотрено в |1|. Проанализировано влияние линейной силы пеупруго-го сопротивления, силы сухого и внутреннего трения на общие закономерности изменения частотных характеристик при разныхтинах скелетных кривых. Показано, что наиболее эффективны демпферы внутреннего трения, однако их создание является чрезвычайно трудной задачей. В работах [1.2] постулируется экспериментально установленный фунда ментальный факт: энергия, рассеиваемая за один период колебаний в единице объем а материала, зависит только от амплитудного значения деформации и не

зависит от частоты пагружения. Аналитические модели и экспериментальные!данные, позволяющие получить конечное выражение; для обобщенных пока иттелей демпфирования и оценить их влияние на частотные' характеристики получены в работе А. 11. Малышева |3|. Метод определения коэффициентов в зависимости силы неупругого сопро тивления от скорости изложен в [4]. Влияние сил этого типа на частотные характеристики рассмотрено в |5, (5|.

2. Постановка задачи.

В простейшей модели с одной степенью свободы (рис. 1) безмассовая пружина имее'тлинейпую характеристику восстанавливающей силы, а амортизатор нелине!Йнуюсилу неунругого сопротивления, ешисы-ваемую кыражением 11|