CC BY
32
УДК 532.70; 533.6
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 4
О. В. Жаркова
ГАЗОДИНАМИКА ДИССОЦИИРУЮЩЕГО ДВУХАТОМНОГО ГАЗА НА РАЗНЫХ СТАДИЯХ РЕЛАКСАЦИИ*
На основе методов кинетической теории реагирующих газов [1, 2] в работе рассматривается течение двухатомного газа, в котором возбуждены вращательные и колебательные степени свободы, а также идут процессы диссоциации и рекомбинации. Описание диссоциации и рекомбинации частиц в колебательно неравновесном газе осуществляется в рамках модели, которая была предложена в работах [3, 4] при рассмотрении пространственно-однородной релаксации газовой смеси. В настоящей работе исследуется взаимное влияние физико-химических и газодинамических процессов на разных стадиях релаксации. Из кинетических уравнений выводятся замкнутые системы газодинамических уравнений и осуществляется их замыкание в нулевом приближении модифицированного метода Энскога—Чепмена.
1. Разные стадии релаксации. Система кинетических уравнений, описывающая состояние рассматриваемой газовой смеси, записывается в безразмерном виде [1, 2]:
= ^ + (1)
где /суг — безразмерная функция распределения частиц химического сорта с (индекс с = 1 соответствует свободным атомам, индекс с = 2 — молекулам), индексы V и г определяют уровни колебательной и вращательной энергии молекулы; Всуг —дифференциальный оператор; — столкновительный оператор, соответствующий наиболее частым столкновениям (быстрой стадии процесса), 1 " —столкновительный оператор, соответствующий сравнительно редким столкновениям (медленной стадии процесса), £ = т/в — безразмерный параметр, являющийся аналогом числа Кнудсена (т — среднее время между описываемыми оператором 1'[ столкновениями, в — характерное газодинамическое время).
При записи кинетических уравнений в форме (1) учтено, что процессы возбуждения и дезактивации внутренних степеней свободы молекул, а также процессы диссоциации и рекомбинации идут с различными скоростями. Времена релаксации соответствующих процессов удовлетворяют некоторой системе неравенств. В настоящей работе для описания колебательной энергии молекул используется модель ангармонического осциллятора. С использованием данных о вероятностях различных процессов в работе [3] были выписаны соотношения
^ ^ (V8) ^ (1/4) . (1/4) (1/2) . (1/4) /0\
ттт < тят < т^Т < т^т < тЬя < т^т < тЬя < тут < т0к. (2)
Здесь ттт, тят, тут, т^к —характерные времена между ТТ-переходами, при которых изменяется лишь скорость сталкивающихся частиц, ДТ-переходами, при которых происходит обмен поступательной и вращательной энергий между молекулами, УТ-пере-ходами, связанными с обменами поступательной и колебательной энергией, ДД-столк-новениями, при которых происходят процессы диссоциации и рекомбинации. Времена
* Статья выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант НШ-2259.2003.1). © О.В.Жаркова, 2005
соответствуют характерным временам между колебательными УТ-обменами вида
(2,и) + (2,и1) ^ (2 , V) + (2 , V11), (3)
при которых относительный дефект резонанса колебательной энергии Де/(е2и + £2^) = + £2и'1 — £2и — £2и11/(£2« + £2и1) не превосходит величины а (£2и —колебательная энергия молекулы на уровне и, а — безразмерный параметр, 0 < а < 1); т^ соответствуют временам между реактивными столкновениями
+ х ^ А + Л\ + X, (4)
при которых относительный дефект резонанса внутренней энергии Д£/£2и = £2« — &2\/£2и не превосходит величины а' (¿2 —энергия диссоциации молекулы А2, 0 < а' < 1).
Согласно предложенной в работах [3, 4] модели предполагается, что на некоторых стадиях релаксации наряду с поступательно-вращательными переходами молекул могут идти колебательные обмены (3) и процессы диссоциации-рекомбинации (4) с близкими значениями относительных дефектов резонанса а и а'. В этих условиях можно выделить пять стадий релаксации: 1) стадия поступательно-вращательной релаксации когда т^т ^ в, а остальные т ~ в; 2) стадия начальной колебательной релаксации УТ(1/8) при туТ?8 ^ в, а ту/4 ~ в; 3) стадия частичной колебательной и начальной химической релаксации УТ(1/4) и ДД(1/4), когда ту/4 < т^^4 ^ в, а туТ?2 ~ 9;
4) стадия частичной колебательной и химической релаксации УТ(1/2) и ДД(1/2) при
(1/2) , (1/2) ^ 0 0 кЛ тут < трп ^ в, а тут ~ в; 5) завершающая стадия выхода на локальное термодинамическое равновесие (все т ^ в).
В [3] были выписаны функции распределения нулевого приближения, соответствующие перечисленным стадиям релаксации и даны условия нормировки этих функций. На каждой стадии релаксации функции распределения были нормированы на плотности суммарных значений аддитивных инвариантов наиболее частых столкновений. Согласно модифицированному методу Чепмена—Энскога (см. [1, 2]) эти величины являются определяющими макропараметрами на каждой стадии. Для них можно получить замкнутое описание течений газа в разных приближениях.
Умножая каждое из кинетических уравнений на аддитивные инварианты столкновений, описывающих быстрые процессы, интегрируя по скоростям и суммируя по с, и, г, получим системы макроскопических уравнений для каждой стадии релаксации.
В настоящей работе ограничимся рассмотрением соответствующих уравнений в нулевом приближении, соответствующем идеальной жидкости.
2. Макроскопические уравнения в условиях завершения стадии ДТ-ре-лаксации. В этих условиях в газе устанавливаются квазистационарные распределения
[3] 3
,(0) ( гп1 \! Г Ш1С21
,(о) «2Г / 'ГП2 \1 Г т1с2/2 + е2г} /г,
^т) ехр1--(6)
нормированные на среднемассовую скорость скорость V, числовые плотности свободных атомов П1 и молекул на и-ом колебательном уровне П2и, а также поступательно-вращательную энергию в^т единицы обьема газа. В формулах (5), (6) использованы
обозначения: я^г — статистический вес уровней вращательной энергии, тс — масса частицы сорта с, с = и — V — ее собственная скорость, к — постоянная Больцмана, Т — температура газа, £2Г —вращательная энергия молекулы, Z2R(T) —равновесная статистическая сумма по вращательным степеням свободы.
Система дифференциальных уравнений для и\, П2и, е^г и V была выведена из кинетических уравнений и подробно исследована в [2].
3. Макроскопические уравнения в условиях завершения начальной стадии колебательной релаксации. Как показано в [3], на этой стадии сохраняется функция распределения атомов (5), а функция распределения молекул представима в виде (6), однако для колебательных заселенностей П2и справедливы соотношения
^ = ехр {-Ш+- щ)}'
где П2 —числовая плотность молекул (п = 5^^ п2и), Фг/8(и) —дополнительный аддитивный инвариант, представляющий собой некоторую кусочно-линейную функцию от номера колебательного уровня [5], £1 —энергия 1-го колебательного уровня молекулы, Z2y8) (Т,Т1) —неравновесные статистические суммы по колебательным степеням свободы
(8,
2<;/8)(Г,Г,) = ^>хр ¡-^ + ./'1,8(»)£1 (
и V N
кТ кТ1)
Т1 — некоторый параметр, имеющий размерность температуры и называемый температурой 1-го колебательного уровня [6].
Функции (5)—(7) нормированы на числовые плотности п и П2, поступательно-вра-щательно-колебательную энергию eтRv, суммарное значение аддитивного инварианта П2 {Ф1/8) в единице объема и среднемассовую скорость V.
В этой ситуации система газодинамических уравнений имеет вид
¿V 1
-77 = Г - -ягаф, (9)
аъ р
¿П1
--1-П-хшуу = Дп-1, (10)
аъ
¿п2
+ пхшуу = Дп-2, (11)
<1еТКУ ^ (етш = ¿\ctrv, (12)
аъ Л
+ П2Ф1/8 = Д(п2^А1/в). (13)
Здесь р — массовая плотность газа; Е — внешняя сила, действующая на единицу массы; р — давление; релаксационные члены Дп1 и Дп2 соответствуют изменению числа атомов и молекул за счет химических процессов и релаксационные члены ДeтRv и Д(п2^1/в) соответствуют изменению энергии eтRv и суммарного значения дополнительного инварианта п2{ф1/%) за счет колебательных переходов с относительным дефектом резонанса, превосходящим 1/8, и химических процессов.
4. Макроскопические уравнения в условиях завершения начальной стадии колебательно-химической релаксации. На этой стадии учитываются колебательные переходы молекул (3), при которых относительный дефект резонанса колебательной энергии не превосходит 1/4, и процессы диссоциации-рекомбинации (4), при которых относительный дефект резонанса внутренней энергии также не превосходит 1/4. Для функций распределения свободных атомов и молекул будут справедливы формулы [3]
АО) mi Г mic2 \
АО) т2 f m2C2/2 + £2r + £2и - d2 7 , . /1 1 \ 1 , ,
fit = ^ exp |----+ ф1/4(г,)£1 - — j + 271j , (15)
где h — постоянная Планка; d2 —энергия диссоциации молекулы; (и) = ^i/a(v) — ^i/i(v*), "1/4 (и) —дополнительный аддитивный инвариант [7] при колебательных переходах с относительным дефектом резонанса, меньшим 1/4 ("1/4 (и) = "1/4 (и*) = const на верхних уровнях v G [и*(1/4), vj\, соответственно на этих уровнях Ф1/4(и) = 0); 71 — макропараметр, зависящий лишь от координат и времени; коэффициенты 1 и 2 при 71 соответствуют числу атомов в рассматриваемой микрочастице.
Функции (14) и (15) нормированы на общее число атомов в единице объема «1, полную энергию e, суммарное значение аддитивного инварианта «2 ("71/4} и среднемас-совую скорость v.
В этих условиях система газодинамических уравнений включает наряду с уравнением движения (9) уравнения вида
^ + (e+p)divv = 0, (16)
-^ + mdiw = 0, (17)
+n2(^1/4)divv = A(n2(^1/4)). (18)
Здесь релаксационный член A(«2(V'1/4}) соответствует изменению суммарного значения аддитивного инварианта n2(Ф1/4} за счет колебательных переходов и химических реакций с относительным дефектом резонанса, превосходящим 1/2.
5. Макроскопические уравнения в условиях завершения стадии частичной колебательно-химической релаксации при а < 1/2 и а' < 1/2. Эта стадия является естественным продолжением предыдущей, но процессы диссоциации идут с большего числа верхних уровней. Функция распределения свободных атомов (14) сохраняется, а функция распределения молекул принимает вид (15), однако инвариант 'tp1/4(v) должен быть заменен на "¿1/2(и) (см. [3]).
Как и на предыдущей стадии, функции распределения нормированы на n 1, e, v и суммарное значение аддитивного инварианта n2(Ф1/2}.
При этом в системе газодинамических уравнений сохраняются уравнения (9), (16) и (17), а в уравнении (18) инвариант Ф1/4(и) заменяем на "¿^(и). Здесь релаксационный член «2(ф 1/2} соответствует изменению суммарного аддитивного инварианта за счет колебательных и химических процессов с относительным дефектом резонанса, превосходящим 1/2.
6. Макроскопические уравнения в условиях локального равновесия. Все
процессы относятся к быстрым, т. е. т ^ в. На этой стадии сохраняется функция распределения для атомов (14), а функция распределения молекул имеет вид
В этих условиях система газодинамических уравнений будет содержать только уравнения (9), (16) и (17). Они соответствуют локально равновесным течениям диссоциирующего газа.
Макроскопические уравнения, которые были выведены в настоящей работе из кинетических, дают сокращенное замкнутое описание течений диссоциирующих газов на разных стадиях релаксации.
0. V. Zharkova. Gasdynamics of dissociating two-nuclear gas on different stages of a relaxation.
In article are considered flows of two-nuclear dissociating gas. The system of the macroscopical equations at different stages of a relaxation is deduced on the basis of the kinetic theory.
Литература
1. Рыдалевская М.А. Статистические и кинетические модели в физико-химической газодинамике. СПб., 2003. 248 с.
2. Нагнибеда Е. А., Кустова Е. В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесного диссоциирующего газа. СПб., 2003. 272 с.
3. Жаркова О. В., Рыдалевская М. А. Релаксация двухатомного газа с диссоциацией и рекомбинацией // Аэродинамика. СПб., 1997.
4. Лыкосов М. В., Рыдалевская М. А. Статистическое описание диссоциации в колебательно неравновесном газе // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2000. №17. С. 98-105.
5. Рыдалевская М. А. Наиболее вероятное распределение в неравновесном газе из ангармонических осцилляторов // Хим. физика. 1994. Т. 13. №1. С. 21-28.
6. Treanor C. E., Rich J. W., Rehm R. G. Vibrational relaxation of anharmonic oscillators with exchenga-dominated collisions // J. Chem. 1968. Vol.48. N4. P. 1798-1807.
7. Рыдалевская М.А., Рябикова Т. В. Разные стадии колебательной релаксации ангармонических осцилляторов // Аэродинамика / Под ред. Р. Н. Мирошина. СПб., 1997. С. 97-109.
Статья поступила в редакцию 17 марта 2005 г.
(19)
Summary
