Газодинамический расчет импульсной установки с двухсекционной форкамерой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

То м XXI 1 990 М2

/

УДК 533.6.071.011.55 : 621.374(47)

ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ИМПУЛЬСНОЙ УСТАНОВКИ С ДВУХСЕКЦИОННОЙ ФОРКАМЕРОЙ

В. А. Жохов

Предложена методика приближенного расчета процесса, протекающего в импульсной установке с двухсекционной форкамерой. Выполнен сравнительный анализ приближенного и точного решений системы уравнений, описывающих процесс. Указана область применения методики.

Применение в газодинамическом эксперименте установок импульсного действия дает известные преимущества {1], в том числе в исследованиях газодинамики недорасширенных струй. Получили распространение установки с двухсекционной форкамерой, состоящей из секций низкого и высокого давлений, разделенных перегородкой с отверстием, герметизированным в начальный момент времени. В работах [2—4] разработана теория процесса, происходящего в установке после ее запуска. Она сводится к системе из пяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих изменение во времени газодинамических параметров в элементах установки. В работе [4] изложены результаты экспериментальной проверки теории, подтвердившие ее практическую пригодность. В частности, один из важнейших выводов состоит в предсказании перегрева газа в секции низкого давления, что имеет большое значение для изучения в установках подобного типа теплообмена при обтекании тел газовыми струями.

Недостатком развитого метода является необходимость численного решения системы уравнений, что затрудняет быстрые инженерные оценки. Проведенный анализ показал, что существует возможность интегрирования уравнений в квадратурах при вполне естественных допущениях, не приводящих к значительной погрешности результатов.

1. Для связности последующего изложения напомним постановку задачи и основные определения. Рассматривается следующая схема процесса (рис. 1). Цилиндрический баллон (форкамера) разделен на секции высокого и низкого давления (индексы 1 и 2 соответственно) с помощью перегородки. Секции сообщаются через отверстие в перегородке, площадь поперечного сечения которого Д* и которое в начальный момент времени перекрыто, например, герметичной диафрагмой. Таким образом, секция 2 в моменты времени ГсО изолирована

РцТ,,

Рис. 1 Математическая идеализация схемы установки

■от секции 1, но сообщается через сопло с вакуумной емкостью. Площадь критического сечения сопла Л2*, объемы элементов соответственно Уі, Уг, Ун. Начальные параметры газа в элементах установки (давление, плотность, температура): р[{0), Р;(0), Т[(0)~ъ секции /; /?' (0), р' (0), Г' (0) — в секции 2;

ра (0), р„ (0), Тн(0) —в вакуумной емкости (здесь и ниже штрихом отмечены размерные величины времени и газодинамических параметров — давления, плотности и др.). В момент времени і'—0 диафрагма мгновенно исчезает, заполняются газом

секции 2 и вакуумная емкость. Требуется определить изменение во времени параметров газа в элементах установки.

Принимаются следующие допущения: процесс квазистационарный, кинетическая энергия в среднем по объему много меньше теплосодержания и внутренней энергии газа, излучением газа и изменением показателя адиабаты х можно пренебречь, распределение параметров газа по объему однородное. Теплообмен газа со стенками элементов установки отсутствует.

Для определения трех неизвестных величин р', р', Т' в каждом из элементов установки имеются уравнения сохранения энергии, массы и уравнение состояния газа. В дальнейшем анализе будут использованы всего пять уравнений, поскольку для определения температуры в секции 1 при сделанных допущениях может быть использовано соотношение адиабаты:

=-«а, (у

іів и

<іі

^ = ч-Вр? [д (М (1/ + П) _ П1/0 «7 (Х2)| ,

^ = - *Вр? [? (X,) + ф2) РП 1/0] ,

: (X - 1) ВрТ 0 [<7 (X,) (1=1 X + 1) - 1/0 д (У

М/?Г{/в^[1ГЯП(х —0)+ 1/(х — 1)]

, .X — 0 . .

У~1Г

/

(1)

Начальные условия: при t=0:

/>,(0)=1, Р(0) = р0, 0 (0)= 0О, П (0) = Ро"1, »(0)=1, где Р0, 0О данные величины.

В уравнениях (1) и ниже приняты следующие обозначения:

за-

р=р'/рі(0), Т = Т'/Тг( 0), і = і'а\ф)А^ІУи а[ — скорость звука в секции 1,

П=р'2/р'и Р — р\!р'л, т:=р'н1р2,

Ті/Ті Ь=Т'н/Т2,

1/=1/,/1/2, Л = Л,*/Л2*, Ш=У11Ую т = (у.— 1)/(2х), п = \\т, В = [2/(ч + I)]0-5*, £ = (* + !)/(*-!), о = 2/(х— 1).

Приведенный расход газа в сечении Л, * при сверхкритичес-

ком перепаде давления в секциях 1 я 2 равен:

при П<[2/(*+ 1)1°'5и ^ (^) — 1,

при П>[2/(х+ 1)Р« ^(Х1) = о°.5 5-1П«(1 -П2т)0’5,

где е=\/к. Аналогичным образом определяется функция <7 (л2)—приведенный расход газа в сечении Л,*:

при и:<[2/(х-|-1)]°-5« 0(Х,)=.1,

при я > [2/(х + 1)]°-5п <7(Х2) = в°'5/?_1ле(1—т:2т)0-5.

2. В практически важных случаях объем секции 2 много меньше объема вакуумной емкости и отношение площадей Л»1, поэтому наполнение секции низкого давления происходит с большей скоростью-и давление в ней растет быстрее, чем в вакуумной емкости. Таким образом, можно предположить, что спустя некоторый малый промежуток времени после начала истечения газа отношение давлений я уменьшится от начального значения, равного единице, до критического значения. Численный анализ показал, что равенство <7(^2) = 1 наступает при £<10-4, и это пороговое значение выдерживается в широком диапазоне изменения показателя адиабаты и-независимо от остальных газодинамических, а также геометрических параметров.

Следующее допущение сделано относительно величины @. Как показано расчетами, максимальное значение, равное показателю адиабаты, параметр @ принимает довольно скоро после начала процесса (при ^(0,6—0,7)-10-3), а затем в течение некоторого времени изменяется чрезвычайно слабо (рис. 2). Поэтому предположим, что 0 = х = сопз1:. Интервал времени, на котором справедливо это допущение, определим ниже.

Равенство @ = х служит математическим описанием явления перегрева газа при втекании его в сосуд ограниченной емкости, на которое

впервые указали В. Я. Безменов, а затем О. В. Лыжин и А. Л. Искра (см. библиографию к работе [2]).

В интервале времени пе-

репад давлений в секциях 1 и 2 сверхкри-тический (см. рис. 2), поэтому в сечении А\* скорость газа равна скорости звука и <7(1X1) = 1. Тогда первое из уравнений системы (1) интегрируется в квадратурах:

р1=и~п, и,= \+Вф. (2)

Этот результат был получен ранее в многочисленных работах, посвященных решению задачи об истечении газа из сосуда ограниченной емкости. Полная биб-Характерные моменты биография по этому вопросу содержится процесса в работах [2—4].

Рис. 2.

С учетом сделанных допущений второе уравнение системы (1) можно записать в приближенном виде:

[у+П(1

которое после интегрирования дает

П = [(У + шоП0)иш- У](т«)-\ (3)

где

ш = П0 = П(0).

Допускает упрощение и третье уравнение системы (1). Поскольку произведение РП равно лг1 и в малой окрестности нуля этот параметр имеет величину порядка единицы, как и /в, то можно пренебречь вторым слагаемым в квадратных скобках правой части уравнения, если принять во внимание, что чаще всего Л>1 и №<С1. Тогда для полного отношения давлений Р получаем приближенное уравнение

откуда

Р = Р0и~п (4)

Если допущение о малости второго члена в квадратных скобках ар

уравнения для сохраняется на всем интервале времени от нуля до

и, то формула (4) дает приемлемые результаты (определение /+ см. ниже).

Когда начальное отношение давлений Р0 велико, второе слагаемое скоро становится величиной того же порядка, что и первое. При очень больших отношениях давлений можно пренебречь единицей по сравнению со вторым слагаемым, и приближенное уравнение для Р тогда запишется в виде

Р-2^Р=- &.“Ю~ 1 Ли,

* и *

которое после интегрирования дает

Я- [Ро1 + Ф (-£=-!- - 1п и)]"1, (5)

где

ф = ? 1{у-1—У1А-'), <р -л/хИГД-1.

В интервале времени значение параметра П увеличивается

приблизительно вдвое, что много меньше, чем увеличение П за время от нуля до и. Поэтому было сделано допущение, что формулы (2) — (4) справедливы и на этом отрезке времени. Существенная перестройка процесса в установке и соответствующее изменение расчетных формул происходит при £=/+, когда практически выравнивается давление в секциях 1 и 2. Начиная с этого момента времени, отношение давлений П = П+=1 и <7(^1) =0. Тогда приближенное значение р1 = р1+=сопз1. Под-

ставляя в формулу (3) значение П+=1, получим выражение для определения соответствующего момента времени

1

V 4- ти>

U+-

V + тч> П0

(6>

Полагая по-прежнему, что д(Кг) = \, и учитывая, что относительное давление в секции 1 при t>t+ постоянно, имеем следующие уравнения для определения Р и ©:

Р~2 йР = — йи,

0 2 й% = — 2-д и,+х йи.,

которые после интегрирования дают

(7>

где ©+=х, Р+ определяются по формулам (4) или (5) подстановкой и = и+.

В работе [2] было показано, что при некоторых значениях геометрических параметров задачи температура в вакуумной емкости Тл изменяется слабо. Поэтому можно предположить, что Гн(0 —7н(0) = = const и тогда

Тя ©о -Г'—1

J7 = ~°Tl

©О '2лг

-qPi

В интервале времени 0 <t<t+ в соответствии с ранее сделанным допущением 0 = х, р1 = и~п. При £>*+ имеем р1 = и+п, а для ©■ справедливо второе из уравнений (7). Итак,

х

во 2

-$-и+ при

при 0<г<£+,

(8>

Возможен другой подход к выводу приближенного соотношения для -б’. Оценим порядок величин слагаемых в правой части последнего уравнения системы (1). Прежде всего отметим, что последнее слагаемое имеет величину порядка нуля, так как в начальный отрезок времени @«^х, а при ^>4 <7(Л-1) =0. Тогда этим слагаемым можно пренебречь и приближенное уравнение для определения Ф с учетом ранее сделанных общих допущений принимает вид:

at

Второе слагаемое в квадратных скобках можно преобразовать

Первый сомножитель в полученном выражении (заключенный в скобки), как показали численные расчеты, имеет величину порядка единицы во всем исследуемом диапазоне изменения времени £ и при всех практически интересных значениях Р0. Таким образом, следует оценить порядок комплекса У/(№Рй).

Рассмотрим два крайних случая. Первый —

что может быть, например, при следующих значениях параметров: №=3.10~4, Р0=103, У=20. Тогда уравнение (9) принимает вид:

что может быть, например, при таких значениях параметров: У=20, №7=3-10"3, Р0= 105. Тогда уравнение (9) принимает вид

которое справедлив^ при реальных значениях параметров. С учетом

м

= В-%-Ър?(*- 1)1/0.

(10)

На отрезке времени 0<*<^+ имеем 0=*, р? =и 1 и

откуда после интегрирования

(П>

При t > t+ имеем /?Г = «+1 И

, б.и

что дает после интегрирования

(12)

Второй крайний случай

—- і

ГС7>о ^ ’

= В &(*- Ъ)р? /0 ЯП.

(13)

По-прежнему на отрезке времени 0</</+ имеем 0 = и, р? — и \ Кроме того, справедлива формула (5), а также выражение

полученное из формулы (3) при условии, что

того, что

после подстановки получаем

й» 2 уі Г (иш-1)йа

> (х — 9) у. — 1 Л ~У

На исследуемом интервале времени и при /Э0<Ю5 второе слагаемое в квадратных скобках, по крайней мере, на порядок меньше первого. Тогда

М _ 1

& (х — ») “ ^ й аи

и после интегрирования

&=-------—_

где

г х — 1 А •

V ~УЧ-

При уравнение (13) принимает вид

2 V? йи

которое после интегрирования дает

ЫтЬ-'У-к

и+

(15)

Были проведены расчеты по формулам (8), (11), (12), (14) и (15) при различных комбинациях начальных параметров, которые можно <5ыло бы отнести к рассмотренным двум крайним случаям. Анализ результатов показал, что формулы (11) и (14), а также вторая из формул (8) не обеспечивают удовлетворительной точности расчетов. Формула

(11) дает ограниченные результаты, так как величины ф, согласно ей, всегда больше единицы. Формула (14) при значениях и, близких к единице, где она справедлива, требует определения разности двух малых, близких к нулю величин, т. е. несет в себе большую погрешность.

В то же время формулы (12) и (15) дают результаты, не только качественно удовлетворяющие всем требованиям, но и хорошо количественно согласующиеся с точным решением. Пример расчета параметра # по формуле (15) приведен на рис. 3 (штрихпунктирные лилии). Максимальная погрешность приближенного решения составляет около 6% при Ро= Ю5 и не превышает 3,5% при меньших значениях Р0(№=0,003). При изменении № в диапазоне от 3.10~4 до 0,3 погрешность Ф не превышает 7,0%!. Отметим, что при использовании формул

(12) и (15) в качестве начального условия при ^ = t+ было взято значение &+ =0О«+/Х, полученное из первой формулы (8).

Следует оценить, насколько близки к реальности исследуемые крайние случаи сочетания параметров, приводящие к аппроксимациям

0,50- 2,0

0,75- 2,5

О 1’° 0,1 0,2 0,3 Оу ґ '

Рис. 3. х= 1,4, Л = 50, У=20, №=0,003; 1 — 2 — яРо, 3 — Р/Р0,

4—@> 5 — Р0='105, £—Ю4, 7—103, 8 — решение уравнений (1) 9 — формулы (5), (12) и (15), 10 — формулы (4) и (8)

(11), (12) и (14), (15). Известно, что установка рассматриваемой схемы может быть предназначена для изучения газодинамики сильно не-дорасширенных струй. Тогда в ней должны моделироваться течения с нерасчетностью А^ = ра/рн порядка 104 и более (ра— давление на срезе сопла). Если учесть, что нерасчетность связана с отношением давлений соотношением

где р°(Ма) —газодинамическая функция, Ма — число М на срезе сопла, то потребное значение полного отношения давлений будет величиной порядка Ы+/р°(Ма), где N+ соответствует моменту наступления стационарного режима истечения струи, когда П=1. Значения чисел Ма в типичных задачах струйной газодинамики лежат в пределах от 2 до 5, что дает Р0= 105—5.106. Оценка возможных значений параметра W вместе с приведенной оценкой Р0 позволяет заключить, что случай, когда выполняется условие

распространен в практике.

3. При сравнительном анализе решений системы (1) точные результаты были получены интегрированием дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта с использованием формул четвертого порядка точности {5]. Вычислительная процедура строилась с переменным шагом. На интервале 0(см. рис. 2) начальный шаг выбирался из условия, чтобы соблюдалось двойное неравенство

Шаг сохранялся постоянным, пока приращение параметра © не становилось меньше 10-4. Начиная с этого момента шаг на каждом цикле

N = иРр° (Ма),

О<0-во<І2(Г-0

интегрирования увеличивался вдвое и достигал некоторой заданной величины Н0. В дальнейшем он сохранялся постоянным.

Было показано, что выбор /г0=0,001 при характерном времени процесса порядка единицы обеспечивает, с одной стороны, удовлетворительную точность расчетов (погрешность основных параметров не превышала 1,5—2%), с другой — приемлемые затраты машинного времени.

Результаты расчетов представлены на рис. 3 и последующих. Сплошными линиями показаны точные решения, штриховыми и штрих-пунктирными — приближенные. В приведенных примерах расчеты выполнены при 0о=1.

На рис. 3 приведены данные при переменном начальном отношении давлений в установке Р0. Этот параметр не влияет на изменение отношения температуры в секциях 0. Видно также, насколько хорошее приближение во всем исследованном интервале времени дает формула (7), обеспечивая погрешность не более 1,2%.

По мере роста Р0 увеличивается ошибка йри вычислениях по формуле (4). Для значения Р0=Ю5 расчеты были проведены как по формуле (4) — штриховая линия, так и по формуле (5) — штрихпунктир-ная линия. Сравнение результатов показывает, что переход к формуле (5) вполне оправдан уже при 104<Р0<Ю5. Так, максимальная погрешность формулы (4) при Ро= 105 составляет 16%, а погрешность формулы (5) вчетверо меньше. В связи с этим уточнение расчета отношения давлений Р повышает точность определения и я (штрихпунктир-ная линия, на рис. 3). Отметим, что полученные аппроксимации удовлетворительно отражают довольно сложный в качественном отношении характер изменения параметра я.

Важный газодинамический параметр — показатель адиабаты х — отражается на поведении относительной температуры 0 (рис. 4): с ростом х увеличивается и максимальное значение ©. Приближенные формулы верно описывают поведение этого параметра как с изменением х, так и во времени, а максимальная погрешность приближенного значения 0 в исследованном интервале времени не превышает 2,2%.

Приближенные выражения для Р и я верно отражают характер влияния параметра х и дают погрешность, которая в очень малой степени зависит от его величины. Максимальная ошибка вычислений по формулам (3), (5) и (7) составляет не более 2% при t = 0,6.

Рассмотрим влияние геометрических факторов А, V, W на качество приближенного решения (рис. 5 и 6). Расчеты показали, что с увеличением отношения объемов секций V погрешность приближенных формул для я и Р уменьшается, а для параметра 0, наоборот, растет. Эта особенность заметна при малых значениях отношения площадей (Л<10). При больших значениях А точность приближенных формул существенно повышается.

Величина № — отношение объемов секции 1 и вакуумной емкости не влияет ни на параметр ©, ни на погрешность соответствующей приближенной формулы. Расчет отношений давлений я и Р по приближенным формулам также дает сравнительно малые ошибки при изменении № на несколько порядков.

Проведенный анализ показал, что полученные приближенные решения уравнений (1) удовлетворительно отражают физическую сущность процесса, происходящего в импульсной газодинамической установке после ее запуска. Приближенные формулы обеспечивают приемлемую для инженерных расчетов точность результатов. Разработанная

Рис. 4. Л = 50, У=20, №=0,003, А>=104;

1 — 0, 2 — Р, 3 — О, 4 — я, 5 — ■/.= 1,2, 6 — 1,67, 7 — решение уравнений (1), 8— формулы (4, 8)

Рис. 5. х=11,4, Л=50, №=0,003, Р0= Рис. 6. х=1,4, Л = 50, У=20, Я„=10\ *=0,6;

= 104, / = 0,6; / — 6, 2 — 0, З—Р/Ро, 1 — в, 2—0, З — Р/Ро, 4 — точное решение,

4 — Я'Ю3, 5 — точное решение, 6— 5 — приближенное решение

приближенное решение

методика пригодна для практического использования. Одним из возможных ее приложений может быть исследование развития во времени газодинамической структуры сильно недорасширенной струи по данным эксперимента, проведенного в импульсной установке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Королев А. С., Бошенятов Б. В., Д рукер И. Г., Затолока В. В. Импульсные трубы в аэродинамических исследованиях. — Новосибирск: Наука, 1978.

2. Ж о х о в В. А. Оптимальный режим работы импульсной аэродинамической установки со свободно истекающей струей. — Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. 13, № 3.

3. Ж о х о в В. А. Оптимальный режим истечения недорасширенной струи в газгольдер импульсной установки при частичной откачке газа. — Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. 14, № 3.

4. Антохин В. М., Жохов В. А. Явление перегрева газа в импульсной аэродинамической установке. — Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16, № 2.

5. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. — М: Физматгиз, 1963.

Рукопись поступила 3/П1 1987 г.