CC BY
27
ГАРМОНИЧЕСКИМ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЛЕЯ-РАИСА В КАНАЛАХ СВЯЗИ С ЗАМИРАНИЯМИ
Смирнов Александр Александрович, shursun@mail.ru
Бондарь Виктория Витальевна, viktori-bondar@yandex.ru
Роженко Ольга Дмитриевна, r.o.d@mail.ru
Даржания Анна Дмитриевна, anna22051@yandex.ru
Мирзоян Марине Вагановна, vaganovna73@mail.ru
Белоконь Людмила Владимировна, lyu64133670@yandex.ru
Северо-Кавказский Федеральный университет, г. Ставрополь, Россия
DOI 10.24411/2072-8735-2018-10259
Ключевые слова: закон распределения, распределение Райса, распределение Релея, односторонне-нормальное распределение, модели распространения радиоволн.
Одним из основных показателей качества каналов связи является помехоустойчивость. Это показатель, который характеризует вероятность ошибочного приема элементарного символа. Оценка этого параметра определяется законом распределения амплитуд, который формируется в зависимости от наличия помех в канале связи. Для определения типа помех и законов распределения разрабатывают радиофизические модели распространения сигналов в зависимости от параметров среды распространения. При этом, в современных радиофизических моделях распространения волн в реальных средах ставится задача определения распределения амплитуд сигнала в конечной точке приема. Если в моделях отсутствуют амплитудные флуктуации, то распределение амплитуд в большинстве задач считается гармоническим с неопределённой фазой, распределенной равномерно. Помимо флуктуаций фазы в результате различных физических процессов при распространении волн возникают дополнительно ампли-тудные флуктуации во фронте волны. Флуктуации могут быть вызваны как аддитивными амплитудными колебаниями, вызванными затуханием, так и в результате интерференционных процессов и вызванными ими мультипликативными помехами. В боль-
шинстве моделей распределение амплитуд в одном луче считается подчиняется распределению Райса или распределению Релея в предельном случае без регулярной амплитудной составляющей. Получен новый закон распределения амплитуд в точке приема на основе усреднения закона распределения амплитуд гармоничного распределения по закону распределения амплитуд с регулярной составляющей Райса. Для этого применен метод интегрирования с подстановкой гиперболического косинуса. Предложена методика получения ряда гармонических законов распределения амплитуд с замираниями, вызванными интерференцией волн. В работе представлены графические зависимости полученного закона распределения амплитуд. Так же на основе численных расчетов согласно полученному выражению представлены графики оценки помехоустойчивости. Предложена рекомендация по обеспечению требуемого показателя помехоустойчивости. Показано, что наличие второго дискретного луча существенно снижает качество канала связи. Достоверность полученного результата подтвер-ждается тем, что в частных случаях полученное распределение сводится к известным выражениям. Численные расчеты согласуются с теоретическими.
Информация об авторах:
Смирнов Александр Александрович, доцент, д.т.н., профессор кафедры Высшей математики, Института математики и естественных наук Северо-Кавказского Федерального университета, г. Ставрополь, Россия
Бондарь Виктория Витальевна, доцент, к.ф.-м.н., заведующая кафедрой Высшей математики, Института математики и естественных наук Северо-Кавказского Федерального университета, г. Ставрополь, Россия
Роженко Ольга Дмитриевна, к.п.н., доцент кафедры Высшей математики, Института математики и естественных наук Северо-Кавказского Федерального университета, г. Ставрополь, Россия
Даржания Анна Дмитриевна, к.п.н., до-цент кафедры Высшей математики, Института математики и естественных наук Северо-Кавказского Федерального университета, г. Ставрополь, Россия
Мирзоян Марине Вагановна, к.п.н., до-цент кафедры Высшей математики, Института математики и естественных наук Северо-Кавказского Федерального университета, г. Ставрополь, Россия
Белоконь Людмила Владимировна, к.т.н., доцент кафедры Высшей математики, Института математики и естественных наук Северо-Кавказского Федерального университета, г. Ставрополь, Россия
Для цитирования:
Смирнов А.А., Бондарь В.В., Роженко О.Д., Даржания А.Д., Мирзоян М.В., Белоконь Л.В. Гармонический закон распределения Pелея-Pайса в каналах связи с замираниями // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2019. Том 13. №4. С. 36-40.
For citation:
Smirnov A.A., Bondar V.V., Rozhenko O.D., Darjania A.D., Mirzoyan M.V., Belokon L.V. (2019). Harmonic law distribution Rayleigh-Rice in the communication channels with fading. T-Comm, vol. 13, no.4, pр. 36-40. (in Russian)
T-Comm 1ом 13. #4-2019
Посганокка задачи.
В задачах математического моделирования распространения волн в радиотехнике, оптике, акустике и пр. возникают задачи статистического анализа поля волны в конечной точке. Имеется известным закон распределения мгновенных значений амплитуд ¡л. который соответствует задачам с гармоническими процессами [1,2].
Ц|д)=
W(Y2 V)
. при 0 < ц < у,
(1)
Т1,.(у) = _1_ехр
2ст
4ст
ш
а
(2)
„ У
X-г^хр
2а"
72,£
а
dy-
(3)
1
w'(//) =-г Î/^ch.ïx
Ж7 J
хехр -
(y/ch-v)' f fV2i/ 4cr
//ch A"
t/v ■
Представим функцию Бесселя в виде ряда |5|
2/
(4)
(5)
где у>0 - максимально возможное значение амплитуды (огибающей). В прикладном пдапе этот закон рассматривают в поле, образованном некоторым радиосигналом или оптической волной, которая распространяясь через неоднородную среду в результате различных физических эффектов, теряет информацию о фазе. То есть ее считают равномерно распределённой в интервале (0.2гс). Однако данный закон
справедлив для моделей, где средняя амплитуда [I волны при распространении через неоднородную среду остается неизменной.
На практике существует множество моделей, где в результате распространения волны через неоднородную ереду возникают амплитудные флуктуации, часто называемые замираниями или мерцаниями. Эти флуктуации в различных задачах, например, в теориях фазового фронта [3] описываются законом распределения Раиса [4] для у > О
где Г(") — гамма функция. С учетом (5) выражение (4) будет иметь вид
Ц2(8Б2* + 1) 2
- цддлехр! -
лег
u4|j) = — v je h jeexp
1
4сГ
»Г
/=о
'42 g . ^
J.I en JE
2ст
2/
/!Г(/+1)
-dx
Внесем над дифференциал с)1 хсЬс = сI йНл', учитывая смену предела
W (ц)=-—^-ехр
лет
ш
где /(( — модифицированная функция Бесссля первого рода
__ „ 2-2/2
нулевого порядка, ц = у/ о — параметр, характеризующий отношение регулярной (средней) составляющей к флуктуациониой (дисперсии) составляющей амплитуды процесса.
Таким образом, если в математической модели одновременно присутствуют два подобных процесса, то необходимо найти новый закон распределения амплитуд, описывающий подобные явления одновременно.
Решение задачи.
Решим задачу усреднением гармонического закона (1) по
закону Райса или обобщенного распределения Релея (2), „ * _
получив новый закон и? (ц), учитывающих ооа процесса. Е 1ри этом учтем, что 0 < ц < у
/=0
(sh 2 х + I}
л/2g 20
ехр
I V \2i
f 2/ i 2
Ц (sh Х + И
4еГ
ЙГ(/ +1)
-d sli .Y
введем замену / = 51~Гл' е учетом $]\>с--Л и -
dt
2 VF
запишем
W (|Д) = -—ехР
2ло~
f 2 Ч М ^
4сг
/
j=0
'л/2g 2о
"> ( гЛ
Щ/+1)
jexp
0 V.
KL
4<т2
ЫУ
S
dt
(6)
Интеграл
00 f i \ - M"'
f
ехр
о V
(7)
Сделаем подстановку у = ц cil jf, заменив предел интегрирования (.1 на ], в выражение (3) и получим
I ,/2(г+1)?Л>
входящий в данное выражение (6), табличный [5, с. 333],
00
р'-1 (х + ¡3)ч; ехр(- х\х}к =
T-Comm Vol.13. #4-2019
J.
Для сравнения приведены графики вероятности ошибки с более глубокими замираниями в отдельных лучах, которые выходят за рамки применимости полученного закона (10), по могут быть аналитически получены для замираний Хойта и Односторонне-Нормальными замираниями в отдельных лучах [9,10].
Па рисунке 2 так же обозначено необходимое превышение отношения сигнал-шум ДА- на выходе передатчика для
того, чтобы компенсировать наличие двух лучей. Так для случая интерференции двух лучей с Рел венскими замираниями для их компенсации необходимо повышение на 35 Дб уровень передаваемого сигналов, чтобы обеспечить вероятность ошибки не хуже Рдш = ]
Выводы
Получен закон распределения (10), которое можно использовать при математическом моделировании волновых моделей распространения волн в различных средах. Влияние среды как раз сказывается на параметре с/. Однако можно отметить, что функция Уиттекера достаточно сложно моделируется, так как является решением дифференциального уравнения. Вместе с тем интересны частные случаи. Например, если исходным законом распределения флуктуаций айплитуды считать Не закон распределения Раиса, а его предельное значение при д 0 закон распределения Ре лея
f
W(Y) = -ТехР
Ч
2а
то можно получить односторонне-нормальный закон распределения.
w (у)-^-ехр
' г
V го
тот
( 2 Л У_
2а2
(12)
Обычно в на практике при моделировании это означает возникновение биений в результате интерференции нескольких волн.
Анализ графика (рис. 1) показывает, что увеличение флуктуаций амплитуды, т.е. по мере уменьшения параметра
Ч
закон распределения имеет все больше вероятности ну-
левых апмлитуд.
Так, например, при законе распределения Редея (д- =0)
исходной амплитуды результирующий закон распределения будет иметь вид односторонне-нормального закона (12). Даже при флуктуациях Райса (ц' =4) сохраняется вероятность существования нулевых значений амплитуды. Видно, что по мере роста параметра в2, что соответствует волне
без флуктуации, максимум плотности вероятности соответствует значению ц/ст = 1. Распределение (10) приближается к гармоническому распределению (1), имеющему половинную чашёобразноую форму, что подтверждает верность выводов.
Полученные законы позволяют оценивать показатели качества каналов связи с подобными законами распределения.
Литература
f. Хименко ПЛ. Тигин Д.В. Статистическая аккустооптика и обработка сигналов. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1996. 292 с.
2. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника, 2-е над., перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.
3. Грибова Е.З.. Саичев А.И. Расчет характеристик многолучевого распространения радиоволн в случайной срслс методом фазовых экранов // Радиотехника и электроника, 1994. С. 193-199.
4. Перов А.И. Статистическая теория радиотехнических систем, М.: Радиотехника, 2003. 400 с.
5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит, 1962.
6. Кяовский Д.Д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам. М.: Свячь, 1969.376с.
7. Долуханое МЛ. Распространение радиоволн. М.; Сов. радио, 1972. 152 с.
8. Финк Л.М. Сигналы, помехи, ошибки. М.: Радио и связь, 1984. 256 с.
9. Смирнов A.A., Тишкин С.А. Оценка помехоустойчивости приема сигналов в декамегровых каналах связи с дискретно-диффузной многолучевоетыо. Сборник НТК; "Техника и технология связи". С.-Пб.: ГУТ им. проф. М.А.Бонч-Бруевича, 2000. С. 61-63.
10. Смирнов A.A.. Мспофей А О. Методика оценки качества телекоммуникационных линий с двулучевым распространением сигнала // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, Самара: ПГАТИ. 2003. Т. 6, № 5. С. 56-58.
HARMONIC LAW DISTRIBUTION RAYLEIGH-RICE IN THE COMMUNICATION CHANNELS WITH FADING
Aleksandr A. Smirnov, North-Caucasus Federal University, Stavropol, Russia, shursun@mail.ru Victoria V. Bondar, North-Caucasus Federal University, Stavropol, Russia, viktori-bondar@yandex.ru Olga D. Rozhenko, North-Caucasus Federal University, Stavropol, Russia, r.o.d@mail.ru Anna D. Darjania, North-Caucasus Federal University, Stavropol, Russia, anna22051@yandex.ru Marina V. Mirzoyan, North-Caucasus Federal University, Stavropol, Russia, vaganovna73@mail.ru Lyudmila V. Belokon, North-Caucasus Federal University, Stavropol, Russia, lyu64133670@yandex.ru
Abstract
One of the main indicators of the quality of communication channels is noise immunity. This is an indicator that characterizes the probability of erroneous reception of an elementary symbol. Evaluation of this parameter is determined by the law of distribution of amplitudes, which is formed depending on the presence of noise in the communication channel. To determine the type of noise and distribution laws, radio-physical models of signal propagation are developed depending on the parameters of the propagation medium. At the same time, in modern radiophysical models of wave propagation in real media, the problem of determining the distribution of signal amplitudes at the receiving end point is posed. If there are no amplitude fluctuations in the models, the distribution of amplitudes in most problems is considered to be harmonic with an indefinite phase distributed uniformly. However, in addition to phase fluctuations as a result of various physical processes in the propagation of waves there are additional amplitude fluctuations in the wave front. Fluctuations can be caused by both additive amplitude oscillations caused by attenuation and as a result of in-terference processes and multiplicative noise caused by them. In most models, the distribution of amplitudes in a single beam is considered to be subject to the rice distribution or the Rayleigh distribution in the limiting case without a regular amplitude component. The article describes a new law of the distribution of amplitudes at the receiving end based on the averaging of the distribution of the amplitudes of the harmonic distribution law of distribution of amplitude of the regular component of rice. For this purpose, the article applies the method of integration with the hyperbolic cosine substitution. In addition, the article proposes a method for obtaining a number of harmonic laws of distribution of amplitudes with fading caused by wave interference. The paper presents graphical dependences of the obtained law of distribution of amplitudes. Also on the basis of numerical calculations according to the obtained expression the graphs of noise immunity estimation are presented. A recommendation to provide the required noise immunity index is proposed. It is shown that the presence of a second discrete beam significantly reduces the quality of the communication channel. The reliability of the obtained result is confirmed by the fact that in particular cases the obtained distribution is reduced to known expressions. Numerical calculations are consistent with theoretical ones.
Keywords: distribution law, rice distribution, Rayleigh distribution, one-way normal distribution, radio wave propagation models. References
1. Khimenko V.I., Tigin D.V. (1996). Statistical acousto-optics and signal processing. SPb.: Publishing house Of St. Petersburg University. 292 p.
2. Tikhonov V.I. (1982). Statistical radio engineering, 2nd ed., pererab. Moscow: Radio and communication. 624 p.
3. Gribova E.Z., Saichev A.I. (1994). Calculation of the characteristics of multipath propagation in a random medium using the phase-screens. Radio engineering and electronics, pp. 193-199.
4. Perov A.I. (2003). Statistical theory of radio systems. Moscow: Radio Engineering. 400 p.
5. Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. (1962). Tables of integrals, sums, series and products. Moscow: Fizmatlit2.
6. Klovsky D.D. (1969). Transmission of discrete messages over radio channels. Moscow: Svyaz. 376 p.
7. Dolukhanov M.P. (1972). Propagation of radio waves. Moscow: Owls. radio. 152 p.
8. Fink L.M. (1984). Signals, interference, errors. Moscow: Radio and communication. 256 p.
9. Smirnov A.A., Tishkin S.A. (2000). Estimation of noise immunity of signal reception in decameter channels with discrete-diffuse multipath. Collection NTK: "Technology and communication technology." S.-Pb.: GUT them. Professor M. A. Bonch-Bruevich, pp. 61-63.
10. Smirnov A.A. (2003). The Method of assessing the quality of telecommunication lines with the two - beam propagation of the signal. Physics of wave processes and radio engineering systems. Samara: PGATI. Vol. 6. No. 5, pp. 56-58.
Information about authors:
Aleksandr A. Smirnov, associate Professor, doctor of technical Sciences, Professor of the Department: Higher mathematics, Institute of mathematics and natural Sciences North-Caucasus Federal University, Stavropol, Russia
Victoria V. Bondar, associate Professor, candidate of physical and mathematical Sciences, head of the Department of Higher mathematics, Institute of mathematics and natural Sciences of the North Caucasus Federal University, Stavropol, Russia
Olga D. Rozhenko, candidate of pedagogical Sciences, associate Professor of Higher mathematics, Institute of mathematics and natural Sciences of the North Caucasus Federal University, Stavropol, Russia
Anna D. Darjania, candidate of pedagogical Sciences, associate Professor of mathematics, Institute of mathematics and natural Sciences North-Caucasus Federal University, Stavropol, Russia
Marina V. Mirzoyan, candidate of pedagogical Sciences, associate Professor of mathematics, Institute of mathematics and natural Sciences North-Caucasus Federal University, Stavropol, Russia
Lyudmila V. Belokon, candidate of technical Sciences, associate Professor of mathematics, Institute of mathematics and natural Sciences North-Caucasus Federal University, Stavropol, Russia
