Гармонический анализ в дифференциальных формах на сфере Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Малашонок H.A. Группы и геометрии, связанные с дуальными числами //IV Державинские чтения: Материалы научн. конф. Тамбов: Изд-во ТГУ, 1999. С. 27 - ‘29.

2. Молчанов В.Ф., Малашонок H.A. Некоторые геометрические и физические задачи для плоскости дуального переменного // V Державинские чтения: Матер, научн. конф. Тамбов: Изд-во ТГУ, 2000. С. 5-7.

ГАРМОНИЧЕСКИИ АНАЛИЗ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ НА СФЕРЕ

© A.B. Опимах

Пусть С - ортогональная группа SO(3), она действует вращениями в К3 (мы будем записывать вектор из Ж3 в виде строки, так что G действует справа). Пусть S - сфера х~ + у2 + г1' = 1 в I.3. Известно [1], что квазирегулярное представление К группы G на S (в пространстве L2(S)) разлагается в прямую однократную сумму неприводимых представлений Ti со старшим весом I 6 й = {0,1,2,...}.

Неприводимое подпространство V/, в котором действует Ti, состоит из ограничений на S многочленов из

Hi - пространства гармонических многочленов от х, у, Z, однородных степени /.

Наша цель - исследовать представление U группы G сдвигами в пространстве Г21 (5*) дифференциальных форм на S степени 1 (с гладкими коэффициентами). Наш результат состоит в следующем.

Теорема. Представление U разлагается в прямую сумму представлений 7}, / ^ 1, с кратностью

2. Соответственно пространство 121 (.S') разлагается в прямую сумму неприводимых подпространств Wij, і = 1,2, / Є {1,2,...}. Эти подпространства описываются следующим образом. Рассмотрим два дифференциальных оператора D\ и D-.:

г, j д . д . д

Ol = dx ■— +dy ■ — +dz ■ — ,

ох oy dz

D, =

X у z dx dy dz d/dx д/Oy d/dz

0 0 0 ^ і і f 0 0 і ( 0 1 0

0 0 1 , La = ' 0 0 0 . ¿3 = f -1 0 0

0 -1 0 І ! ^ 1 0 Ü ' 1 1 0 0 0

так что D\f = df, D-,f = (zfy — yfz)dx+{xft—zfx)dy+(yfT—xfy)dz. Тогда Wij состоит из ограничений на S форм Dif, f 6 Я;.

Доказательство. Пусть L,-, i = 1,2,3, - элементы из алгебры Ли g группы G, отвечающие вращениям вокруг координатных осей:

¿i =

V о -1 0 ) \ 1 о

Рассмотрим следующие элементы из комплексификации gu: L0 = —Из, Е+ — L2 — iL\, Е_ = -L2 - iL\. Соотношения коммутации: [L0. £+] = Е+, [L0, £_] = [£+,£_] = 2L0. Вместо x, у введем новые

переменные: и = х 4- iy, м = х — iy. В переменных и, «, г имеем

i д д д _д и = “г; - “я- Е+ = ~ ;• £- = -2гж;+“гг

Оператор Е+ в Я/ аннулирует и1 (старший вектор).

В линейном пространстве Н\ с базисом dx, dy, dz, или, что все равно, с базисом du,dñ,dz, действует представление Т\.

Пространство дифференциальных форм в R степени 1 с коэффициентами из пространства Н гармонических многочленов есть тензорное произведение НфН\. В нем действует тензорное произведение (Ц’Л) ® Т\ = ^3(7) (8>Tj), / € N. Известно, что 7} ф Т\ = T¡-\ +7} +7/+1. Соответственно этому,

пространство Я Н\ распадается в сумму К/-1) + У,<0) + Следовательно, представление Т)

с / > 1 появляется в разложении пространства Я ей Н\ три раза, и оно действует в пространствах 1 ^, у,(0\ ^1-1^- Старшие векторы в этих подпространствах имеют выражения, соответственно:

21и‘~](г2 + ий)(1и — (21 + 1)и*(ш{и + 2гИг + иг/й), (1)

— иЫг, и‘~1 сЫ.

Представление То (размерности 1) входит однократно, оно действует в V,1 1 \ базис есть йЛи + 2гв.2 + гкШ.

При ограничении на сферу Я мы должны учесть еще соотношение ш1и + 2гНг + и(Ш = 0, вытекающее из г2 + ий = 1. Тогда мы видим, что (1) превращается в 21и1~1с!и, так что на имеем У/+,11 = \ а

У/-11 исчезает. Обозначим через и 1У/,2 ограничения на соответственно пространств 11 и Ц(°1. Мы получим указанное в теореме разложение ограничения пространства Я <х> Я| на (' другой стороны, прямая проверка показывает, что * = /^Я/ и V''/"* = 7^2Я/. □

Отметим, в частности, что элементы в И^д и 14^,2, инвариантные относительно вращений вокруг третьей оси, - это Р1(г)(1г и Р[(г)(уЛх — хИу), где Р;(г) - многочлен Лежандра, штрих дифференцирование.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виленкин И.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ В КОЛЬЦЕ КЛАССОВ ВЫЧЕТОВ

© М. К). Сид л яр

Числа Фибоначчи /„, п = 0,1,2,..., — это последовательность

0,1,1,2,3,5,8,13,21,..., (1)

в ней каждое число есть сумма двух предыдущих. Явное выражение (формула Вине):

(2)

где г = (1 4- \/5)/2. Оператор сдвига, переводящий пару (строку) (/„,/„+і) в пару (/„+!,/„+•_'). есть

-(! !)■

Его степени выражаются через /„ :

л" = (/”-1 /’• ),

V /п /п + 1 )

так что (/„,/„+і) = (0,1) • А".

Определитель А'1 равен (— I)'1, а след есть число Люка 1„ = /п_і + /п+і (п = 0,1,2,..., считаем /-1 = 1):

2,1,3,4,7,11,18....

Пусть ДО - натуральное число ^ 2. Рассмотрим числа Фибоначчи /„ по модулю ДО. Мы получим некоторую последовательность fn(N) из = {0,1,2,...,ДО— 1}, которая начинается с 0,1 и подчиняется тому же правилу, что и (1).

Т е о р е м а 1. Последовательность (ДО) периодична.