Гармонические локально квазиконформные отображения Текст научной статьи по специальности «Математика»

(1(Х)Ф) («)=^ф(елр(ГХ)^) I г=0.

Всюду в дальнейших формулах сф - элемент меры Хаара на груше О.

Лемма 3. Если (или /«=С^ ), феС^(С), то ф*/«С^.

Отображение из 1Р (или из С^) в непрерывно.

Доказательство. Предварительно заметим, что из единственности (с точностью до множителя) инвариантной меры на М следует, что для некоторого числа Л>0

1/(8~1х)с^=А^(т)с1х.

С И

Пусть /«1£ , р>1. Пользуясь неравенством Гельдера, получим 1ф*/(*)1 -1/ф(£)е(к/р)1в я1 /(в-1 т)е_(к/р)'в х1 сф1$

е_к1в'1х1с^),/р- (;1ф(«)1ч вСкч/р).1*"1»1^)1^ ^1/Р *р.к(Л е1к/Р)1х, (|ф(5)|Ч е(кр/ч)1в1^|1/ч>

где р_1+д~1=1. Следовательно,

1ф*/(х)1«С Лр(1£(Л ехр(£|х1),

где С не зависит от /. Из этого неравенства следует, что Ф*/«Сг/р при г>к и непрерывно зависит от /. Так как

Х(Ф*/Ы1(ЛФ)*Г <**>,

то и непрерывно зависит от /.

Случаи р=/ и /еС^ рассматриваются аналогично.

Из теоремы 1 и леммы 3 сразу получаем следующее Следствие 2. Между инвариантными подпространствами в 1? и ((1ьг+и{<»}) существует взаимно однозначное соответствие, постро енное как в теореме 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хелобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли. М.:Наука, 1983.

2. Гординг Л. Аналитические векторы в представлениях групп Ли //

Математика. 1965. 9:5. С.78-94.

3. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. М.:Наука, 1982.

Серия "Математика” Выпуск 1, 1993 г.

УДК 517.54 Старков В.В.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНО КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ1

Рассматриваются классы Н(а,К) гармонических в Д={г:|г|<1} функций /(г) - Мг) + £7г) ( 1г(г) и

g(z) - регуляры в А), сохраняющих ориентацию (*(г)>0), К-квазкконформных в А, причем

/(О)=0, ^ (0)+в7ТО)=1 . -Щ»!. из а. (а > 1)

Ь' (0)

- универсального линейно-инвариантного семейства

ФУНКЦИЙ. Расширяющиеся С РОСТОМ ОеЦ,®] и К«[ 1,«]

классы Н(а,К) охватывают все сохранявшие ориентацию гармонические функции с указанной нормировкой. В статье рассмотрен случай конечных а и К. При К=1 приведенные результаты совпадают с известными результатами Х.Поммеренке в и».

л

Будем рассматривать комплекснозначные гармонические в круге А={г:|г|<1} функции /(2)=ц+1у , т.е. вещественные функции и и у должны быть гармоническими в Л . В 80-е годы стала активно развиваться теория однолистных и локально однолистных гармонических в А функций. При этом в основу определения и изучения классов таких гармонических функций,по аналогии с регулярными в А функциями, закладывалась сЗычно геометрическая характеристика функций исследуемого класса ( выпуклость, почти

’ Настоящая статья представляет собой краткое изложение результатов.-Полный текст статьи будет опубликован в 1994 г. в журнале "Аппа1ез ЬИСЬ".

выпуклость, звездообразность, однолистность, симметричность относительно вещественной оси образа /(Д) единичного круга ). В основу изучающихся в этой статье классов функций положены свойства локальной квазиконформности и линейной инвариантностг рассматриваемых гармонических функций.

Х.Поммеренке 111 определял линейно-инвариантное семейство порядка а (а ? I) как множество л регулярных в Д функций

03

<р(г)=2 £ б„(ф) , удовлетворяющих условиям :

п=2

а) ф' (г) / 0 в Д (локальная однолистность),

г+а

б) для любого конформного автоморфизма е* • —— единичного

1 +ах

круга Д и любой функции ф(г) « л ф[е'в ) - ф(е'*а)

-------** -------------- = а+... • « л

Ф'(егва) е'• (1 — |а|*)

(инвариантность относительно преобразований Мебиуса),

в) порядок семейства л зир|(1а(ф)| = зир —= а.

феЖ

Универсальным линейно-инвариантным семейством ия порядка а Х.Поммеренке называл объединение всех линейно-инвариантных семейств порядка не выше а.

Ясно, что ил, ае[1,+оо], содержат все конформные отображения ф(г) круга Д.

В случае регулярных функций многие известные классы однолистных и локально однолистных функций являются линейноинвариантными семействами о поэтому обладают рядом общих свойсть, зависящих только от порядка а этих семейств (эти свойства основаны на инвариантности таких семейств относительно преобразований Мебиуса). С другой стороны, введение универсальных линейно-инвариантных семейств позволило с общих

позиций (линейной инвариантности) изучать свойства всех локально однолистных в Д функций конечного порядка.

В этой статье осуществлен перенос некоторых идей, связанных с определением и изучением ил , на гармонические в Д функции. Такие функции можно представить в виде /(2) = П(г) + кТгТ. где

пи) = Еап{/)гп, в(2) = ЕаГЛ77гп (1)

п=0 п=+1

- регулярные в А функции. Причем будем рассматривать только функции (1), сохраняющие ориентацию в Л, т.е. ят<обиан

,1,(2) - |П'(2)|а - І8' (г)|* > 0 в Д. (2)

Таким образом, речь идет только о локально гомеоморфных функциях вида (1).

Определение. Если для функции /(г) вида (1) существует К=сопзї такое, что

1/»1 І/*І |Пя| + 1^*1

----------— ж --------------- ^ К ■ в Л, то

ІЛІ - ІЛІ ІМ-|іС|

будем называть /(2) локально К-квазиконформной в А.

Определение. Обозначим Н(а,К) множество всех локально К-квазиконфоршых гармонических В А функций /(2) * 11(2) ♦ йТгТ с нормировкой ао(/)=0, а,(/) + а. ,(/)=* 1 и таких, что

^ в иа .

Ь' (0)

Расширяющиеся с ростом а и К«[1,оо) классы Н(а,К) охватывают все сохраняющие ориентацию гармонические в А функции /(г) с указанной в последнем определении нормировкой.

В дальнейшем при изучении классов Н(а,К) ограничимся случаем конечных а и К.

Теорема 1. При любых а« [1,в], К « [1,®] Н(а,К) образуют секвенциально компактные семейства относительно равномерной сходимости внутри Д.

В Н(а.К) справедливы точные неравенства:

-[< |в, (/Ж , |а.,(/)|< .

Далее будем обозначать производную комплекснозначной функции /(г) по направлению вектора е‘* через

•!№.. (= -ив /(г^р е'») - /(2) |

оех* ' р -* +0 Р '

Очевидно, для регулярной функции 11(2) имеем:

I - ь' (г) е'* ; и для герметических функций вида (1):

Л е'*

а^-^~ = *Г (2) в1* + К' (2) в-1* *

а е‘в

* Д(г) е*® + /Г<2) е-1*.

По аналогии с определением линейно-инвариантного семейства регулярных функций дадим

Определение. Семейство г гармонических в круге Д функций Оудем называть линейно-инвариантным семейством гармонических функций, если для каждой /« *

а) выполнено (2);

б) а0(/) - 0, а, (/) + а., (Л = 1; (3)

и) для любых а « А и 0« [0,2и] функция

л •

ег« 1 - /(е'« а)

------И. а Ъ2--------------- е , .

(1 — |а|*) -ЗШ]. (е»в а) а е‘*

Отметим, что некоторые из изучавшихся разными авторами классов гаимо!Шческих функций являются при нормировке (3) линейно-инвариантными семействами. Примерами таких классов являются: К„ - класс гармонических функций, однолистно

отображающих Д на выпуклую область; С„ - класс близки к выпуклым гармонических функций (т.е. дополнение к /(А), / « Си, является объединением некоторого множества непересекающихся лучей); Бн - класс однолистных гармонических функций. Эти классы впервые введены в 12], в дальнейшем рассматривались многими авторами. Линейную инвариантность класса 3„ и некоторых его подклассов использовал для изучения этих классов Шейл-Смолл [3] (при этом нормировка изучавшихся классов отличалась от (3) тем, что а,(/) = 1 вместо а,(/) + а.,(/) » 1). О» *е заметил, что поведение функции /(г) = Шг) + £(г) е Бн во многом зависит от

порядка (в смысле Х.Поммеренке) функции А-12) _ Это ке

Ь' (0)

наблюдается и в случае семейств Н(а,К). Несложно показать, что семейст! а а (а, К) япляются линейно-инвариантными; Н (а, 1) = [/*.

Теореиа 2 (искажения)• Для каждой

/(п) - Ь(а) + вТз) Н(а,К) справедливо неравенство

/в(2,а)

'(

1 а-тг-1

(1+|г|)••*

иш.

л ■•«

(1+|2| )*

(1~I21 )** ’

(4)

Равенство в (4) достигаете при 0 * ± . Причем если а=ге‘*,

то равенство справа получим при

П(г)--2§т1-м [(тТде-И Г" 1Ь в(2)* -* п<а>;

равенство слева получим при

Ь(2)!г-я!тт+1о [(ттттт^-) -*]* в(«)-кл(8).

При К=1 из (4) получаем известную [1] оценку |<р'(г)| для

<р^/«. Можно дать и более тонкую оценку от |Ь‘(г)| и аг£ 1Г (г).

тг)

6 ег*

в зависимости

Следствие 1. Пусть / « Н(а,К); г,,га * А. Тогда для любых вещественных 0 и 7 (а-и - »‘> ■'»«<

, Г НМ* 1

! - ш| *м&1) 1

1 а еХч • 1 Л е1*1 1

‘ <в’1,-т(Ч-^^-|) - (а>1)1пН-т^ I) * >"*•

причем для любых г,, ъ, * а существуют вещественные 0 И 7 и существует /в Н(а,К), при которых слева (справа) в последнем неравенстве м^жно поставить знак равенства.

Следствие 2. Пусть /«* Н(а,К), ге1* «А. Тогда для производной по г от /(я) * /Гге**) имеет место точная оценка

* 4|/; Гге‘*;| 4 11 „-^‘.'1

О равенством • слева и справа при ф=* для соответственно указанных в теореме 2 функций.

Обозначим ?=?,=/(Д) двумерное гладкое многообразие -"днолистный образ круга А при локально гомеоморфном отображении

/« Н(а,К). Пусть іР, Г - кривая, соединяющая я, и *, в ?. Обозначим іИст Г др.аметр проекции ітривой Г на комплексную плоскость, 1(Г)~ длину проекции Г на комплексную плоскость (в предположении, что длина существует).

Обозначим <1(у»,,«в) = бг (".,«*) = Іп/йіат Г,

К*, ,«*) = 1г (*, .**) = Іп/Ї (Г), где нижняя границе, берется по всем кривым Г « Р, связывающим и к»а. Очевидно,

< !(*,,*г) < I («,,*,) .

Теорема 3. Пусть Н(а,К), г«(0,1). Многообразие с краем ?(,?)={/{£): |2|£г} содержит однолистный круг с центром в 0 и

радиусом [і - (тїгГ]’ но не всегда большим.

Областью Кебе семейства Н(а,К) назовем максимальную однолистную область, содержащуюся в пересечении многообразий П */ •

/*Н(а,К)

Следстшіе 3. Область Кебе семейства Н(оі.К) содержит круг с центром в 0 и радиусом , но не больший.

Заметим, что область Кебе семейства Н(а,К) содержится в конечной области, ограниченной кривой

" "2а1Г?йТ----’ Ф®10*2*1-

Теорема 4. Для любой /е Н'а.К) справедливо то’шое

неравенство

~2аіг Iі “ (тт? ) ] * Л<°»Л2>) * 1(о,/(2))<

* [ (“Р? ) ■ *]•

ь правой части этого неравенства знак равенства для 6(0,/(г)) и НО,/(г)) достигается для функции

■ґ(2,= йті-*)“{[ (тш-) “ *] + к [ (тйЬ) ‘ *]} (5)

при г-ігі ; в левой части - для функции /(г)= Л(г)+Щ2) ,

Іітшті (таг)"-'] ”Р» *=«•<•

Следствие А. Для любой /«Н(а,К) »

■/«■»« *[ВД-М

с равенством при г= ±1|2| для функции (5).

Следствие 5»_ Для любых а.ЬеД и любого вещественного в

(1-|а|«)\-zZ- (а в'М I аех* 1

< мл. •;* >■«»» — < ^-[ (-ЙГ-Ч-

< 1—|а|*) -21- (а е'*)

I ле*в 1

I а е'* - Ь

где г» ^г2-------------------~

I я Ь - е1 •

«Г Ь - е'

Неравенство точное в том смысле, что для любого а«Д и вещественного 0 для левой и правой частей неравенства существуют свои Ь*д и /*Н(а,К), при которых эта часть неравенства обращается в равенство. В этом смысле точным является также неравенство

|/(в е**)-/(Ь)|

< 1 -1а|*)! *1— (а е'*)|

I ае*9 I

|ТЬ- е‘»| + | ае'» - Ь| ч*

<

К г / I 3 е I ^ I 11 в ~Ц1 1

"®" I * | ТЬ- е‘*| - | а е‘« - Ь| ' *

Теорема 5 (вращения). Пусть /еН(а,К), 2«Д, 0«еI-тс. +«I. Тогда

| 2|

|4Г^^£_(2)| * |0|+2 агса1 пк. + 2 агса(п-д— +

— /—

/ /гщ. *... / .

♦ /1а-1 1П — а-—----------7=

а*

•/& А~±

•/а* •/ а*

(пдесь 0, непрерывно меняется при

а 1 <»е’ •

Старков В.В.

непрерывном изменении ?. И 0).

Здесь, как и и предыдущих результатах, при к=0 (К*1)

получаем известный результат Х.Поммеренке (1) в 17..

По аналогии с определением Х.Поммеренке порядка линейно-

инвариантного семейства регулярных функций дадим

Определение. Порядком линейно-инвариантного семейства ж гармонических функций называется число

01x1 * = /!£ Ъ (0) + /- <°>1) “

* /^6 |в*(/) *

Теорема 6. огс1 Н(а,К) -* а К.

Следствие 6. Для любой /*Н(а,К) и любого вещественного 0

I < ацашц ■ .

1 /ё»в (2) 1 1 — 121 * •'е‘*

неравенство точное и достигается для функции

/<». М1> * к «I) . к«) - -25^ [ ,].

при 2=Г, 0-1 £ .

В частности, справедливо точное неравенство

I А" >ге,,)| 4 2 ок,г

1 /г <ге'») 1 1- г*

П£.шеденные в этой статье оценки справедливы для К-

кьазиконформшї функций *из К„ При о=2 и из С„ при 0-3 (при

условии нормировки (3) в этих классах). Но в случае втих

конкретных классов остается открытым вопрос о точности полученных оценок.

Не все известные в (/. результаты имеют свои аналоги в

Н(а,К). Так, для любого ф « 17. и любого 0 « 10,2х]

|ф« (ге*»)| ЛІ--ГІГ. — уоывает по г*(0,1) (см. (41). Но в (ЬГ)*' 1

Н(а.К) нет аналога этого утверждения для /г(г).

Так, /(2) « И(2) * « Н(а,К) при

h(z) - [(-£§-)*- l], s' (2) - kzh' (z) e'» ;

однако |/r(r)| t1-1*)" = |i+kre-'»| не яв-.яется монотонной

(1+Г)*-’

по г функцией на некотором множестве значений 0. Однако можно утверждать, что для почти всех 0 существует предел

Пт |/'(ге'*)| Ц-г)М . д « [о.К],

I-.1-0 (1+г)—’

если /еН(а,К).

<£

ЛИТЕРАТУРА

1. Pommerenke Ch. Linear - lnvarlante Famlllen anaiytlacher Funktlonen.l//Math. Ann., 1964. 155. P.108-154.

2. Clunle J., Shell-Small T. Harmonic univalent functions//

Ann.AcaU. Scl.Fenn., Ser.A.1.Math., 1984. V.9. P.3-25.

3. Shell-Small T. Constanta for planar harmonic mappings //J.

London Math. Soc. (2), 1990. 42. P.237-248.

4. Старков В.В. Теоремы регулярности в универсальных линейно-

инвариантных семействах функций // Сердика (Болгврский мат. журн.). 1985. Т. 11. С.299-318. ф