Гарантированные оценки точности вычислений в задачах управления и оценивания Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 2, № 1, 1997

ГАРАНТИРОВАННЫЕ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

И ОЦЕНИВАНИЯ*

Е. К. КостоусовА Институт математики и механики УрО РАН Екатеринбург, Россия

А. Б. Куржанский Московский государственный университет, Россия

Для нахождения трубок траекторий в задачах управления и оценивания развивается подход, при котором точные решения представляются в виде пересечения эллипсоидов или параллелепипедов. Конечное число таких оценок может быть найдено путем параллельных вычислений.

Решение многих задач теории управления в условиях неопределенности и конфликта в гарантированной постановке основывается на исследовании трубок траекторий динамических систем [5, 11]. Существует несколько подходов к разработке численных методов их аппроксимации. Ряд методов основывается на аппроксимации множеств многогранниками с большим числом вершин и граней, что может потребовать огромного объема вычислений. Поэтому развиваются также методы построения внешних и внутренних оценок с помощью областей некоторой фиксированной формы, например эллипсоидов [6, 11, 13]. Сюда же относится и основанный на идеях интервальных вычислений [1, 2] метод покоординатного оценивания [3]. Однако такие оценки могут оказаться слишком грубыми.

В настоящей работе развивается подход [11], состоящий в аппроксимации искомой трубки целым семейством внешних (внутренних) трубок, образованных эллипсоидами либо параллелепипедами. Семейства вводятся таким образом, чтобы, с одной стороны, обеспечить в пределе точную аппроксимацию (через пересечение или объединение), а с другой стороны — чтобы каждая конкретная трубка находилась с помощью эволюционных уравнений независимо от остальных (что открывает возможности для параллельных вычислений). В работе такие семейства строятся для областей достижимости, информационных множеств, трубок выживающих траекторий линейных динамических систем.

""Исследования выполнены при финансовой поддержке РФФИ, гранты 94-01-00803, 96-01-00050. ©Е. К. Костоусова, А. Б. Куржанский, 1997

1. Полиэдральные оценки областей достижимости линейных многошаговых систем

Обсудим возможности аппроксимации трубок траекторий при помощи параллелепипедов. Сделаем это на примере задачи нахождения множеств достижимости линейных многошаговых систем

x[j] = ] x[j-1]+ w[j], j=1, ..., N. (1.1)

Здесь A[j] — известные неособые n x n-матрицы; начальное состояние x[0] £ Rn (Rn — n-мерное евклидово пространство) и входные воздействия w[j] £ Rn стеснены ограничениями

x[0] £Xo, w[j] £W[j], j=1, ...,N, (1.2)

где X0, W [j] — заданные выпуклые компакты в Rn. Эти соотношения могут быть дополнены фазовыми ограничениями

x[j] £ Y[j], j = 1, ...,N, (1.3)

которые могут порождаться уравнением измерений с неизвестной, но ограниченной помехой [5]

y[j ] = G[j ] x[j ]+ n[j ], n[j ] £ ©[j ] £ conv Rm, j = 1, ...,N.

Областью достижимости X[k] системы (1.1), (1.2) ((1.1)-(1.3)) называется множество всех тех точек x£Rn, в которые эту систему можно перевести из X0 за k шагов (не нарушая (1.3)). Далее будем предполагать, что ограничения имеют вид параллелепипедов

Xo = P (r[0],R[0],p[0]), W [j ] = P (r[j ],R[j ],p[j ]), Y [j ] = P (q[j ],Q[j ],K[j ]). (1.4)

Параллелепипедом P(p,P,n) в Rn мы называем множество

P = P(p,P,n) = {x : x = p + sumn=LpVi£, < 1, i = 1, ... , n},

где p £ Rn, P = {рг} — неособая матрица со столбцами рг единичной длины (множество таких матриц обозначим Мпхп), п £ Rn, п > 0. Можно сказать, что p задает центр параллелепипеда, рг — "направления", а п — величины его "полуосей".

Цель состоит не только в том, чтобы найти какие-либо внешние P + [•] и внутренние P-[-] параллелепипедо-значные аппроксимации для X [•]

P-[k] С X[k] CP+[k], P±[k] = P(p±[k], P±[k],п±[k]), (1.5)

удовлетворяющие обобщенному полугрупповому свойству, но, более того, ввести некоторые семейства таких трубок, которые обеспечивают точные представления:

X [N] = p| P+[N], X [N]^y P- [N ]. (1.6)

Начнем с областей достижимости для системы (1.1), (1.2), (1.4), считая для простоты обозначений, что внутренность X [N] непуста (общий случай описан в [4]). При наших предположениях X[N] есть сумма N+1 параллелепипеда. Можно заметить, что если множество Q = m=iPP= P(P(k), P(k),n(k)), есть сумма m параллелепипедов, то параллелепипед

Pv(Q) = P(psum, V>(V)) (1.7)

с центром psum — P(k), произвольной матрицей V Е МПхп и величинами "полуосей" Vj(V)

Е m=iE n=i I(V-1P (k))j | i — 1, . . . , будет внешним для: Q: Q С Pу(Q), и, более того,

Q совпадает с пересечением pу (Q), взятым по некоторым конечным множествам матриц

VY [4]: Q — П pУ(Q), Y — 1, 2, 3.

у ev y

Вычисляя pу (Q) для Q — X [N] с различными V, мы получаем аппроксимации для X [N], которые обеспечивают точное представление X [N] (через пересечение) и допускают распараллеливание вычислений. Но это "статические"аппроксимации, которые не обладают полугрупповым свойством, присущим областям достижимости. Далее мы строим P + [k], удовлетворяющие (1.5), (1.6) и, кроме того, некоторым эволюционным уравнениям, которые включают вычисление внешних оценок (1.7) для суммы двух параллелепипедов на каждом шаге. Пересечения в (1.6) берутся по начальным матрицам ориентации P +[0] из конечных множеств П^. Множества П^ могут быть построены с использованием некоторой системы Zn векторов последние вычисляются по тем колонкам матриц параллелепипедов Xo, W [k], которым соответствуют ненулевые величины "полуосей"(подробности см. в [4]).

Теорема 1.1. При любых матрицах P+[k] Е M^xn, k—0, ..., N, верны включения (1.5), если

P + [k] — pр +[fcj(A[k] P +[k - 1] + W[k]), k — 1, ... , N; P +[0] — pp +[o](Xo). (1.8)

Пусть дополнительно P +[k] — (p+'i[k]j определяются с использованием матриц H [k] — {hi[k]}:

h"[k] — Nrv (A[k]h"[k - 1]), (где Nrv (a) — ||a||-1-a), i — 1, ..., n, k — 1, ...,N, (1.9)

H [0] — P + [0],

в соответствии с одним из следующих трех правил:

1) p+'^k]—h [k] для i—1, ..., n— 1, p+'n[k]—Nrv (AT[k]-1p+'n[k-1]); k—1, ...,N;

P+[0] Е П^;

2) P+[k] — Ort (H[k]) (где Ort (H[k]) обозначает процедуру ортогонализации Грамма-Шмидта для векторов h1[k], ... , hn[k]); P +[0] Е П^;

3) p+>i[k] = h*[k] для всех i = 1, ... , n, k = 1, ... , N; P+[0] E П

Тогда справедливы представления (1.6), где пересечения берутся по P+[0] £ П^, Y = 1, 2, 3 соответственно. Во всех случаях по крайней мере по две (n — 1)-мерные грани P +[k] касаются X[к]. В третьем случае P + [к] являются минимальными по включению [11] параллелепипедо-значными оценками для X[к].

Очевидно, во втором случае параллелепипеды P +[к] ортогональны. Заметим также, что если матрицы P +[к] брать на каждом шаге единичными, то трубка P +[•] будет образована параллелепипедами с гранями, параллельными координатным плоскостям, как бывает при классических интервальных вычислениях. Но численное моделирование показывает, что такая трубка может быть слишком грубой оценкой для X [•] (в силу известного в интервальном анализе "эффекта упаковывания" (wrapping effect)). Как следует из приведенной теоремы, этот эффект не наблюдается при построении P +[к] по формулам правила 3, несмотря на их рекуррентный характер. Это достигается за счет отказа от

постоянства матриц ориентации и их ортогональности. Первые два правила позволяют избежать "эффекта упаковывания" в двух (противоположных) направлениях.

Внутренние аппроксимации могут быть построены на основе следующего утверждения. Теорема 1.2. Пусть H[0] £ МПхп — матрица со столбцами h-[0] £ , матрицы H[k] = {h-[k]}, B[k] = {&-[k]}, U[k] = {wl[k]} удовлетворяют соотношениям (1.9), B[k] = Ort (H[k]),

u-[k] = A[k]u-[k - 1] + E [k]pj[k] sign (rj[k],bi[k]); и-[-1] = 0 £ Rn;

jeJiifc]

Ji[k] = {j £ {1, ... , n} : (rj [k],ba[k]) = 0, a = i + 1, ... , n},

и параметры P-[k] вычисляются по формулам

p- [k] = A[k]p-[k - 1] + r[k], k = 0, ...,N; p-[-1] = 0 £ Rn; если ul[k] = 0, то p-'-[k] = bi[k], n-[k] = 0,

— ' Г i П , ' г 7 т ч — Г i П II 'Г7ПИ (i ^ 1 , . . . , П, k ^ 0 , . . . , -N) .

иначе p-,i[k] = Nrv (u- [k]), n [k] = ||ul[kj||

Тогда справедливы включения (1.5), причем p(±bra[k]|P + [k])=p(±&ra[k] |X [k]), k=0, ..., N (p(/|X) — опорная функция X), и имеют место представления (1.6), где объединение берется по всем различным (с точностью до перестановки столбцов) B [0], построенным указанным способом.

Приведенные теоремы служат основой для параллельных алгоритмов аппроксимации областей достижимости [4]. В работах [4, 9] даны оценки эффективности алгоритмов.

Один из способов построения внешних оценок множеств X [k] при наличии фазовых ограничений основывается на замене исходной системы (1.1)—(1.4) совокупностью систем без фазовых ограничений, но с матричными параметрами, и использовании для них теоремы 1.1 [9].

Опишем другой способ, при котором аппроксимации строятся путем отыскания на каждом шаге k внешних оценок (1.7) и c использованием того факта, что пересечение параллелепипедов с одинаковыми матрицами ориентации также является параллелепипедом. А именно, пусть P(k) = P(p(k), P,n(k)), k = 1, 2. Если > 0, i = 1, ... , n, то пересечение R = p(1) P| P(2) есть параллелепипед: R = P(p1n, P, n1n), иначе оно пусто. Здесь p1n = Pp;

pi = (Y- + ü)/2, = (y- - ü)/2, Y- = min {p(k) + nf}, £ = max {p(fc) - nf}, i = 1, ..., n,

fc€{1,2} fc€{1,2}

p(k) = P-1 p(k).

Очевидно, что если параллелепипеды P + [k] определяются из соотношений

P +[k] = p p 2+[fc](p p i+[fc](A[k] P +[k - 1] + W [k]))H p p2+W (Y [k]), k = 1, ..., N,

P +[0] = ppi+[o](Xo), (1.10)

то включения (1.5) справедливы при любых матрицах ориентации P 1+[k] £ МПхп, k = 0, ... , N, P2+[k] £ МПхп, k = 1, ... , N. Оказывается, что справедливо представление (1.6), где пересечение берется по некоторому конечному множеству последовательностей P 1+[-], P2+ [•]. Результаты численного моделирования приведены в [10].

2. Эллипсоидальные оценки трубок выживающих траекторий

Рассмотрим теперь построение внешних эллипсоидальных оценок для трубок выживающих траекторий [7] и далее в следующем разделе, — для информационных областей в

задаче гарантированного оценивания [5]. Сделаем это для систем с непрерывным временем.

Рассмотрим систему

x = A(t)x + u(t), (2.1)

где управление u(t) при почти всех t G [to, ¿1] стеснено геометрическими ограничениями

u(t) GE(p(t),P(t)). (2.2)

Символом E(a, Q) обозначен эллипсоид с положительно-определенной матрицей Q > 0:

E(a, Q) = {x : (x — a, Q-1(x — a)) < 1}. Пусть на фазовые состояния наложены дополнительные ограничения

x(t) GE (q(t), Q(t)), to < t < ti. (2.3)

Ограничения такого типа могут естественным образом порождаться "уравнением измере-

^ jj

ний

y(t) = G(t)x + v(t), v(t) G E(q(t), Q(t)), (2.4)

где y(t) — наблюдаемый выходной сигнал, а v(t) — неопределенная, но ограниченная помеха.

Пусть множество W [т] в данный момент времени т есть множество всех тех точек x = х(т), для каждой из которых существует управление u = u(t), которое обеспечивает условие выживаемости: x[t] = x(t, т, x|u(-)) G E(q(t),Q(t)), т < t < t1. Здесь через x[t] = x(t, т, x|u(^)) обозначена траектория системы (2.1), которая начинается в позиции {т, x} и порождается управлением u(t). Многозначная функция W [t], т < t < t1 известна как трубка выживающих траекторий (фактически, W[t] — это множества достижимости системы (2.1)-(2.3) "в обратном времени").

Обсудим технику динамического программирования для нахождения W[•]. Будем искать W [т] в виде множества уровня

W [т] = {x : V (т, x) < 1}

для информационного состояния Vv (т, x), определяемого как решение следующей задачи:

V(т, x) = тш{Ф(т, u(^)) |x[t] = x(t, т, x|u(^)), t G [т,tl]}, (2.5)

где

Ф(т, u(0) = max{ J0, J1, J2},

Jo(x[t1]) = (x[t1] — q(t1), Q-1(t1)(x[t1] — q(t1))),

Jl(т,u(•)) = ess sup(u(t) — p(t),P-1 (t)(u(t) — p(t))),

J2(т, x[t]) = max(x[t] — q(t), Q-1(t)(x[t] — q(t))).

Решение этой задачи может быть описано как решение определенного уравнения динамического программирования (Гамильтона — Якоби — Беллмана) [8]. Чтобы избежать обобщенных решений этого уравнения, введем, следуя схеме упомянутой работы, линейно-квадратичные экстремальные задачи, которые состоят в минимизации функционала

Л(т, x, u(-), w(-)) = a(x[t1] — q(t1),Q-1 (t1)(x[t1] — q(t1))) +

+ J*1 (ß(t)(u(t) - p(t),P-1(t)(u(t) - p(t))) + 7(t)(x[t] - q(t),Q-1(t)(x[t] - q(t))))dt по u(-), при x[t] = x(t, т, x|u(-)). Здесь w(-) = {a, ß(■), 7(■)} и

a > 0, ß(t) > 0, 7 > 0, a + J (ß(t) + 7(t))dt = 1.

Обозначим множество таких элементов w(-) через П. Имеем

Vv(t, x) = тт{Ф(т, u(-))|x[t] = x(t, т, x|u(-))} = min sup Л(т, x, u(-), w(-)).

Функционал Л таков, что операции min и sup можно переставить. Проделав это, обозначим

Vv (T,x) = sup V (т, x,w), где V (т, x, w(-)) = ттЛ(т,х,м(-),^(-)).

Мы находим эту функцию в виде квадратичной формы

V(t,x,w) = (x - z(t,y(-)),P(t,w(-))(x - z(t,7(■))) + k2(t,7(■)), (2.6)

где P[t] = P(t,w(-)), z[t] = z(t,7(-)), k[t] = k(t,7(■)) удовлетворяют уравнениям

P = -PA(t) - A'(t)P + ß-1(t)PP(t)P - 7(t)Q-1(t), (2.7)

z = A(t)z - 7(t)P-1Q-1(t)(q(t) - z) + p(t), (2.8)

k'2 = -7(t)(q(t) - z, Q-1(t)(q(t) - z)), (2.9)

P(t1) = aQ-1(t1), z(t1 ) = q(ii), k(t1) = 0. (2.10)

Иногда бывает удобнее работать с матрицей Xv (t) = P-1 [t], удовлетворяющей уравнению

Xv = A(t)Xv + XvA'(t) + 7(t)XvQ-1(t)Xv - ß-1(t)P(t), (2.11)

Xv (t1) = a-1Q(t1). (2.12)

Подводя итог, сформулируем следующее утверждение.

Лемма 2.1. Информационное состояние Vv(т, x) есть верхняя огибающая

Vv(т,x) = sup{V(t,x,w(-))|w(-) E П}

параметризованного семейства квадратичных форм V(т, x,w(-)) вида (2.6) по функциональным параметрам w(-) = {a,ß(■),7(■)}, где w(-) E П.

Поскольку множества уровня для V(т, x,w(-)) являются эллипсоидами

W[т, *(•)] = E(z[t], (1 - k2[т])Xv[т])

и W[т] есть множество уровня для Vv(т, x), благодаря лемме получаем, что справедлива Теорема 2.1. Множество W[т] есть пересечение эллипсоидов, а именно:

W[т] = {П£(z[t], (1 - k2[T])Xv[т])И0 E П},

где z,k,Xv определяются уравнениями (2.8)-(2.12).

Таким образом, трубка выживающих траекторий может быть аппроксимирована семейством эллипсоидальных трубок.

3. Эллипсоидальные оценки для задачи гарантированного оценивания состояния

Рассмотрим задачу гарантированного оценивания состояния х(г) в системе (2.1), (2.2), (2.4) с

х(г°) еЕ(х°,Х°). (3.1)

Информационные области X(т), дающие решение этой задачи, представляют собой не что иное, как области достижимости при фазовых ограничениях, когда последние порождаются соотношениями типа (2.4). Подобно вышеизложенному, множества X(т) могут быть описаны с помощью динамического программирования.

Остановимся на эллипсоидальных оценках другого типа, получаемых для X(т) через уравнение интегральной воронки и некоторые "элементарные"формулы, описанные в [11]. Рассмотрим сначала области достижимости X [т] для системы

X = и(г) (3.2)

при условиях (2.2), (3.1) на и (г), х(г°) и фазовых ограничениях

х(г) еЕ(у(г),к(г)), (3.3)

где матрично-значная функция К (г) > 0,К (г) е £(№"", Кга) и функция у(г) е Кга (наблюдаемый выход в задаче оценивания состояния) предполагаются непрерывными. Заметим, что в системе (2.1) всегда, не нарушая общности, можно положить А(г) = 0, при условии, что р(г), Р(г) зависят от времени.

Из уравнений интегральной воронки для областей достижимости X (г) при фазовых ограничениях (3.3) следует ([11]), что

X(г + а) = (X(г) + аЕ(р(г),Р(г))) ПЕ(у(г + а), К(г + а)) + о(а), а > 0.

Аппроксимируя область достижимости в момент г эллипсоидом X(г) = Е(х(г), X(г)), будем искать внешнюю эллипсоидальную оценку Е(х(г + а),Х(г + а)) для X(г + а). Сначала построим оценку

Е(х(г),х(г)) + аЕ(р(г),Р(г)) с е(х(г),Хс(г)),

где

х(г) = х(г) + ар(г) и х(г) = (1 + д)х(г) + (1 + д-1)а2Р(г), д> 0. (3.4)

Далее, имеем

Е(Х,Х) ПЕ(у, К) С Е(х(г + а), X(г + а)),

где

х(г + а) = (I - М)(х(г) + ар(г)) + Му(г + а), (3.5)

X(г + а) = (1 + п)(/ - М)Х(г)(/ - М)' + (1 + п-1)МК(г + а)М', п> 0. (3.6)

Здесь п > 0, д > 0, М — скалярные и матричный параметры. Вводя новые параметры д = ад, п = ап, М = аМ, собирая вместе (3.4)-(3.6) и оставляя члены не выше первого порядка по а, получаем

х(г + а) - х(г) = ар + аМ(у(г + а) - х(г)),

X(г + а) - X(г) = а((П + д)Х(г) - МХ - ХМ' + д-1Р + П-1МК(г + а)М').

Деля обе части этих уравнений на а > 0 и переходя к пределу при а ^ +0, мы получаем, ввиду непрерывности у(г),К(г), дифференциальные уравнения (опустим черточки в обозначениях)

ж = р(г) + М(г)(у(г) - ж(г)), (3.7)

X = (п(г) + д(г))Х + д(г)-1Р - М (г)Х - ХМ '(г) + П-1М (г)К (г)М'(г), (3.8)

ж(*о) = ж0, Х(го) = Х0, (3.9)

где п(г) > 0, ^(г) > 0, М(г) — непрерывные функции. Справедлива

Теорема 3.1. Область достижимости X(т) для системы (3.2) при ограничениях (2.2), (3.1) и (3.3) (с непрерывными у(г),К(г)) удовлетворяет включению X(т) 6 Е(ж(т),Х(т)), где ж(г),Х(г) удовлетворяют на интервале г0 < г < т дифференциальным уравнениям (3.7)-(3.8). Более того, справедливо соотношение

Х (т) = П(Е (ж(т), Х (т))|п(-),д(-),М (■)}, (3.10)

где п(г) > 0, д(г) > 0, М(г) — непрерывные функции.

Пусть теперь А(г) ф 0 и фазовые ограничения (3.3) заменены соотношениями

с(г)ж(г) еЕ(у(г),к(г)), (3.11)

где у (г) е Ет, К (г) е £(Ет, Ет), С(г) е £(Ега, Ет) и С(г) непрерывна. Тогда предыдущие соотношения вместе с теоремой 3.1 остаются верными, если (3.7), (3.8) заменить на

ж = А(г)ж + р(г) + М(г)(у(г) - С(г)ж),

X = (А(г) - М(г)С(г))Х + х(А'(г) - с'(г)М'(г))+ + (п(г) + ?(г))х + д(г)-1р (г) + п-1м (г)к (г)М'(г),

с теми же граничными условиями (3.9).

Нетрудно заметить, что множество эллипсоидов, определяемое (3.10), зависит от большего числа параметров, чем множество оценок, получаемое при технике динамического программирования, и является, следовательно, "более богатым". Поэтому естественно ожидать, что при выборе оптимального эллипсоида (по отношению к какому-либо заданному критерию) оно даст "меньший"эллипсоид, чем может получиться при динамическом программировании.

Можно также допустить в качестве у(г) функции, кусочно-непрерывные справа. Тогда соответствующее значение у (г) должно браться как у(г) = у (г + 0).

Список литературы

[1] АЛЕФЕЛЬД Г., ХЕРЦБЕРГЕР Ю. Введение в интервальные вычисления. Мир, М., 1987.

[2] Калмыков С. А., Шокин Ю.И., Юлдашев З. Х. Методы интервального анализа. Наука, Новосибирск, 1986.

[3] КОРНОУШЕНКО Е. К. Интервальные покоординатные оценки для множеств достижимых состояний линейной стационарной системы. Автоматика и телемеханика №5, 1980, 12-22; №12, 1980, 10-17.

[4] КОСТОУСОВА Е. К. О полиэдральном оценивании областей достижимости линейных многошаговых систем. Автоматика и телемеханика в печати.

[5] КУРЖАНСКИЙ А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. Наука, М., 1977.

[6] ЧЕРНОУСЬКО Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. Наука, М., 1988.

[7] AuBIN J.-P. Viability Theory. Birkhauser, Boston, 1991.

[8] Baras J.S., Kurzhanski A. B. Nonlinear Filtering: the Set-Membership (Bounding) and the HApproaches. Proc. of the IFAC NOLCOS Conference, Tahoe, CA, USA. Plenum Press, 1995.

[9] KOSTOUSOVA E.K., Kurzhanski A. B. Theoretical Framework and Approximation Techniques for Parallel Computation in Set-Membership State Estimation. CESA '96 IMACS Multiconf. Proc. of Symposium on Modelling, Analysis and Simulation Lille, France, 1996, 2, 849-854.

[10] KOSTOUSOVA E. K. On Polyhedral Approximations of Trajectory Tubes. Proc. of Third Int. Workshop 'Beam Dynamics & Optimization'. St.-Petersburg, Russia, 1996.

[11] Kurzhanski A. B., VAlyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Birkhauser, Boston, 1996.

[12] Kurzhanski A. B., SuGIMOTO K., Valyi I. Guaranteed State Estimation for Dynamic Systems: Ellipsoidal Techniques. Int. J. of Adaptive Contr. and Sign. Processing 8, 1994, 85-101.

[13] MILANESE M., VICINO F. Optimal Estimation for Dynamic Systems with Set-Membership Uncertainty: an Overview. Automatica 27, 1991, 997-1009.