Галилеевы идеи в курсе евклидовой дифференциальной геометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГАЛИЛЕЕВЫ ИДЕИ В КУРСЕ

ЕВКЛИДОВОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

GALILEAN IDEAS IN THE COURSE OF EUCLIDIAN DIFFERENTIAL GEOMETRY

А.И. Долгарев, И.А. Дол га рев A.I. Dolgarev, I.A. Dolgarev

Галилеева кривизна евклидовой кривой, галилеевы квадратичные формы евклидовой поверхности. Статья посвящена использованию идей галилеевой геометрии в дифференциальной евклидовой геометрии. Введены галилеева кривизна и галилеево кручение евклидовой кривой, галилеевы квадратичные формы евклидовой поверхности. Эти понятия позволили найти евклидову кривую по галилеевым натуральным уравнениям и евклидову поверхность по коэффициентам ее гали-леевых квадратичных форм. Разработаны методы решения систем дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и с частными производными, позволяющие отыскивать кривые и поверхности по заданным функциям кривизн и коэффициентов квадратичных форм.

Galilean curvature of Euclidean curve, Galilean quadratic forms of Euclidean surface. The article is devoted to using the ideas of Galilean geometry in differential Euclidean geometry. Galolean curvature and Galilean torsion of Euclidean curve, Galilean quadratic forms of Euclidean surface are presented. These concepts allow finding Euclidean curve on Galilean natural equations and Euclidean surface on coefficients of its Galilean quadratic forms. The methods for solving systems of differential equations, both ordinary and with partial differential coefficients, allowing finding curves and surfaces on the set functions of curvature and coefficients of quadratic forms are devepoled.

Настоящая работа посвящена использованию идей галилеевой геометрии в дифференциальной евклидовой геометрии. Курс дифференциальной геометрии университета поддержан информационными технологиями. Используя математические пакеты, студенты получают изображения кривых и поверхностей, решают системы обыкновенных дифференциальных уравнений и системы уравнений в частных производных, задавая кривые и поверхности их геометрическими константами и свойствами.

Евклидова, галилеева и другие геометрии построены в схеме Г. Вейля на основе аффинной геометрии в результате введения соответствующего скалярного произведения векторов в линейном пространстве аффинного пространства. В аффинной геометрии изучаются аффинные свойства линий г(7)= (х(7) у(7) / е / с Я, поверхностей г(и,у) = (х(и,у) у(и,у) (г/,у) е В с Я',

других объектов. Линии ?(О, поверхности г(г/,у) обладают и другими свойствами, которые аффинными методами исследований не выявляются. Евклидово скалярное произведение позволяет об-

наружить евклидовы свойства аффинных линий, псевдоевклидово скалярное произведение векторов обнаруживает псевдоевклидовы свойства аффинных линий, галилеево скалярное произведение векторов выявляет галилеевы свойства линий. То же самое относится к поверхностям и другим объектам, изучаемым аффинной геометрией [Долгарев, 2010]. Иначе говоря, в частности, евклидова кривая обладает и евклидовой кривизной, и галилеевой кривизной.

Галилеевы кривые постоянных кривизн есть парабола и винтовая линия. Всякая галилеева поверхность располагает соприкасающимся параболоидом. Курс евклидовой дифференциальной геометрии университетов, в том числе педагогических, строится так, что описание кривых и поверхностей векторными функциями на основе галиле-евых кривизн линий и коэффициентов галилеевых квадратичных форм становится очень простым.

1. Кривые и поверхности пространства-времени Галилея.

Напомним галилеево скалярное произведение векторов [Долгарев, 2005, с. 32 - 33]. Га-

лилеевым скалярным произведением векторов ренциальных уравнений (2); кривая (1) определи-

ется в пространстве-времени Галилея Г" однозначно, с точностью до положения.

V = (x,y,z) и w = (u,v,h) называется следующее число:

VW

хи, если х Ф 0 или и Ф 0; уу + гк, если х = и = 0.

Галилеев модуль вектора V равен

х |, если х Ф 0;

V =

y¡у2 + z", если х = 0.

Если А = {а,ал,а,) и В = (Ъ,Ъ1,Ъ2) точки аффинного пространства, то

АВ =(Ь - а,Ьх - ах,Ь2 - а9), имеем галилеево расстояние

АВ 1 =

\Ь-а\, если Ъ Ф а; .VS - а, / +(Ь2 -а2)2.

Решение системы уравнений (2) сводится к решению уравнений

х = k(t)cosM(t) у = k(t)sm.M(t)i

где М{{) = Г m(t)dt.

•in

Первая координата точек и векторов является временной, остальные две являются пространственными. Аффинное пространство, в линейном пространстве которого определено галилеево скалярное произведение векторов, называется пространством-временем Галилея и обозначает-ся 1 .

Регулярная галилеева кривая задается в виде r(t) = (t,x(t), y(t)) t^IcR (i)

П — 1 v '

для регулярной кривой класса С3 \y\-l. Галилеева дифференциальная геометрия изложена в [Долгарев, 2005, с. 46 - 100]. Кривизной кривой y(t) называется величина k =\ у ¡= ^Jx2 + у2; круче-

ху - X у

ние вычисляется по формуле т = ——-——. По вы-' ' ' к2 числительным формулам кривизны и кручения записывается система обыкновенных дифференциальных уравнений

(2)

Доказана основная теорема теории галилее-вых кривых [Долгарев И.А., Долгарев А.И., 2009].

Если на некотором интервале заданы класса С2 функции k = k(t) > 0, m = m(t), то компоненты х — x(t) у — y(t) галилеевой кривой (1) являются решением системы обыкновенных диффе-

Кривизна плоской линии = (/,х(7) есть к = х, линии постоянной кривизны являются

параболами = + С^ + С2). Если кри-

визна и кручение пространственной линии постоянны, то М(7)= тг, х = —ксоъ у = -к$\п т1, следовательно,

У (О т? + С,/ + Ст пП + С3/ + С4) _

При Ci =0 (i = 1, 2, 3,4) винтовая лежит на цилиндре радиуса к/т2, ее шаг равен 1.

Регулярная галилеева поверхность задается функцией

У (и ,v) = (v,x(u , v), у (и, v)) ^ (u,v) е D с R 2. (3)

Ее первая квадратичная форма есть

{dv2, если v Ф const; Edu2, если v = const;

Z7 2,2

Е = Хи +Уи . Вторая квадратичная форма поверхности y(u,v)такова

II = Adu 2 + 2Bdudv + Cdv2, А = — v х + х v В = — v х + х V

У и UU и У UU J У II UV II У им ?

С = ~yuXw + ХиУуу .

По коэффициентам квадратичных форм поверхности получается система дифференциальных уравнений с частными производными:

х2 + у2 = Е,

и у и '

ух + х у = AJЕ,

У U UU иУ UU v '

— ух + х у = ВыЕ,

У и UV иУ UV v '

— ух + х у = С JЕ.

\ У и W НУ VV *

(4)

Доказана основная теорема теории поверхностей пространства-времени Галилея [Долгарев, 2007].

Если на некоторой односвязной области евклидовой плоскости заданы класса С~ функции Е = Е(и,у) > 0, А = А(и,у), В = В(и,у), С = С(и,у) - коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности (3), то компоненты х = х{и,у), у = у(и,у) галилеевой поверхности (3) являются решением системы дифференциальных уравнений с частными производными (4). Поверхность определяется с точностью до положения. Коэффициенты квадратичных форм найденной поверхности совпадают с заданными.

2. Галилеевы натуральные уравнения евклидовой линии.

Компоненты функции г (7)= (х(0 У(0 2(0, задающей евклидову регулярную кривую, обратимы. Существует функция t = t{x) . Тогда г(х)= (х,у(х) г(х), хе/сй. (5) Такая параметризация называется выделенной [Долгарев, 2010]. Галилеевой кривизной евклидовой кривой (5) в выделенной параметризации называется величина

к[ = | г" | = Jy z

которой обратимы по каждому из параметров. Существует функция V = , поверхность

задается функцией

г(и,х) =(х,^(г/,х) г(и,х), (¡/,х)еОс]?2.

Такая параметризация поверхности называется выделенной. Первой галилеевой квадратичной формой евклидовой поверхности г(м,х) называется

а*1 = йх2 + Ейи2, Е=г1 =хг,2

второй галилеевой квадратичной формой поверхности г(и,х) называется

II = Ас/и 2 + 2 Вс1ис1х + С ах 2, А = г.... п В = г„гп С = Я п

п =

4Е

(О -zu,yu)

галилеевым кручением евклидово кривой (5) называется величина

" т т "

1 г _ У Z - у z /с2 -

По формулам галилеевых кривизн получается система обыкновенных дифференциальных уравнений вида (2). Согласно основной теореме теории галилеевых кривых, п.1, выполняется

Теорема 1. [Долгарев, 2010]. Компоненты у — ^(х) г = г(х), функции (5) являются решением системы уравнений вида (2), т. е. евклидова кривая определяется с точностью до положения функциями галилеевых кривизн.

Евклидовы линии постоянных галилеевых кривизн есть прямая, парабола или винтовая линия. Значит, произвольная евклидова линия является совокупностью малых отрезков прямых, парабол, винтовых линий.

3. Евклидова поверхность по коэффициентам галилеевых квадратичных форм.

Регулярная евклидова поверхность задается векторной функцией

=(х(м,у) у (и, у) компоненты

По формулам коэффициентов первой и второй галилеевых квадратичных форм евклидовой поверхности в выделенной параметризации записывается система дифференциальных уравнений с частными производными вида (4). Ее решение у(и,х), и есть компоненты функции г(и,х) евклидовой поверхности в выделенной параметризации [Долгарев, 2010].

4. Явно заданная евклидова поверхность.

Евклидовы поверхности рассматриваются в окрестности обыкновенной точки. Согласно теореме 1 из [Дубровин и др., 1979, с. 72-73], регулярная евклидова поверхность может быть задана в параметризации:

г(х,у) = (х, у, /О, у)) или функцией z = f(x,y).

Имеем:

д _ f УУ ß _ f "У Q — f хх

(6)

Л' 4Ё> 4Ё'

1

Так как fv = ~JЕ - 1 , т

А =

Е = 1 + />2' я = 7E(0~/v,1)

>

В -

2^Е(Е -\) ' 2л/Е(Е-\) ■

Евклидова поверхность определяется коэффициентами галилеевых квадратичных форм, А,В выражены через коэффициент Е, следовательно, поверхность (6) определяется коэффициентами

Е, С.

Выполняется

Теорема 2. [Долгарев, 2010]. Вместо (4) имеем

(7)

Ее решением является функция г =/(х, у).

При интегрировании первого уравнения системы (7) по у появляется слагаемое С(х), зависящее от х. Дифференцируя дважды по х полученное решение, согласно второму уравнению системы (7), находим неизвестное слагаемое С{х). В результате становится известной функция (6), определяющая поверхность по коэффициентам ее галилеевых квадратичных форм.

5. Структура курса.

Схема изложения теории такова: взаимозависимость курсов аналитической геометрии, математического анализа, алгебры и дифференциальной геометрии; аффинная геометрия как основа курса, различные виды скалярных произведений векторов; классическая теория кривых и галилеевы идеи; классическая теория поверхностей и галилеевы идеи.

Библиографический список

1. Долгарев А.И. Галилеевы натуральные урав-

нения евклидовой кривой. I. Аффинные и галилеевы понятия // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2010. № 2 (14). С. 20 - 31.

2. Долгарев А.И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств: монография. Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005. 306 с.

3. Долгарев А.И. О геометрии 3-мерного действительного многообразия // Вестник Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета. 2010. Вып. 1(23). С. 2 - 19.

4. Долгарев И.А. Галилеевы квадратичные формы евклидовой поверхности // Метрическая геометрия поверхностей и многогранников: Междунар. конф. памяти Ефимова Н.В., МГУ, Москва, 18-21 авг. 2010: сб. тезисов. М,: МАКС Пресс, 2010. С. 24-25.

5. Долгарев И.А., Долгарев, А.И. Некоторые приложения галилеевых методов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009. № 2(9). С. 39 - 59.

6. Долгарев И.А. Системы дифференциальных уравнений в частных производных для поверхностей пространства Галилея: дис. ... канд. физ.-мат. Наук. Пенза: ПГУ, 2007. 119с.

7. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. 760 с.

S X

н

и

ш

PQ