CC BY
43ФУНКЦИЯНИНГ УЗЛУКСИЗЛИГИ ВА ТЕКИС УЗЛУКСИЗЛИГИ МАВЗУСИНИ УКИТИШГА ДОИР БАЪЗИ МЕТОДИК ТАВСИЯЛАР
Бекзод Ислом уFли Бахронов
Бухоро давлат университети b.bahronov@mail .ru
АННОТАЦИЯ
Ушбу маколада Математик анализ фанининг мухим мавзуларидан бири булган «Функциянинг узлуксизлиги ва текис узлуксизлиги» мавзусини укитишга оид баъзи методик тавсиялар келтирилган. Узлуксиз функция ва функциянинг текис узлуксизлигига доир маълумотлар баён килинган. Талабаларнинг мавзуни узлаштирганлик даражасини аниклаш имконини берувчи бир катор интерфаол усуллар ва уларнинг кулланилиши хакида фикр-мулохалар юритилган.
Калит сузлар: узлуксиз функция, текис узлуксиз функция, интерфаол усуллар, кичик гурухларда ишлаш.
SOME RECOMMENDATIONS FOR TEACHING THE CONTINUOUS OF FUNCTIONS AND UNIFORMLY CONTINUOUS FUNCTIONS
Bekzod Islom ugli Bahronov
Bukhara State University b.bahronov@mail .ru
ABSTRACT
In this paper we provide some methodological recommendations for teaching one of the most important topic "Continuous functions and uniformly continuous functions" of Mathematical Analysis. Information's on the continuous function and the uniformly continuous functions are given. A number of interactive methods that allow students to determine their level of mastery of a topic and feedback on their application were discussed.
Keywords: continuous function, uniformly continuous functions, interactive methods, working in small groups.
КИРИШ
Мазкур маколада Олий таълим муассасалари 5130100 - «Математика» таълим йуналишида укитиладиган «Математик анализ» фанининг мухим мавзуларидан бири «Функциянинг узлуксизлиги ва текис узлуксизлиги» мавзусини укитишда фойдаланиладиган асосий маълумотлар хамда бу мавзуни
укитишда кулланиладиган интерфаол усуллар мухокама килинади. Бизга яхши маълумки, таълимда замонавий педагогик технологияларнинг асосий максади укув жараёнида талабани дарс жараёнинг марказига олиб чикиш, талабаларни материалларни шунчаки ёд олишларидан, автоматик тарзда такрорлашларидан узоклаштириб, мустакил ва ижодий фаолиятини ривожлантириш, дарснинг фаол иштирокчисига айлантиришдир. Шундагина талабалар мухим хаётий ютук ва муаммолар, утиладиган мавзуларнинг амалиётга тадбиги буйича уз фикрига эга булади, уз нуктаи назарини асослаб бера олади.
АДАБИЁТЛАР ТА^ЛИЛИ ВА МЕТОДОЛОГИЯ
Таълимда укитувчи интерфаол методлардан мавзуга мувофикини танлай билиши мухим хисобланади. Укитувчи интерфаол методлардан аввало оддийдан мураккабга утиш назариясига амал килган холда фойдаланмоги лозим. Уз навбатида илгор педагогик технологиялар асосида ташкил этилган дарслар талабаларни билимларининг яхлит узлаштирилишига ёрдам беради. Талаба тафаккурини устиради, мустакил, ижодий фикрлашга ургатади.
Укувчиларга кулайлик учун мавзу хакида кискача маълумот келтирамиз. Талабаларнинг мавзуни узлаштирганлик даражасини аниклаш имконини берувчи бир катор интерфаол усуллар ва уларнинг кулланилиши хакида фикр-мулохалар юритамиз.
Дастлабки маълумотлар.
Фараз килайлик, f (x) функция бирор X с R тупламда берилган булиб, x0 g X нукта X тупламнинг лимит нуктаси булсин. 1-таъриф. Агар
lim f (x) = f (xo)
X—^xq
булса, у холда f (x) функция x0 нуктада узлуксиз дейилади. Мисол. Ушбу
2 fl, агар x Ф 0 булса, f (x) = (signx) =<
[0, агар x = 0 булса,
функцияни карайлик. Равшанки, исталган Vx0 g R нуктада lim f (x) = 1 тенглик
x—^XQ
уринли булади. Демак, каралаётган функция ихтиёрий Vx0 g R, x0 ф 0 нуктада узлуксиз булади. Аммо f (0) = 0 булганлиги сабабли
lim f (x) ф f (0)
x—0
булади. Демак, f (x) функция x0 = 0 нуктада узлуксиз булмайди.
f (x) ва g(x) функциялар X с R тупламда берилган булиб, x0 g X нуктада узлуксиз булсин. У холда куйидаги тасдиклар уринли:
1-тасдик. Исталган Vc e R сони учун c • f (x) функция x0 нуктада узлуксиз булади.
2-тасдик. f (x) + g(x) функция x0 нуктада узлуксиз булади.
3-тасдик. f (x) • g (x) функция x0 нуктада узлуксиз булади. f (X)
4-тасдик. (g(x) Ф 0) функция x0 нуктада узлуксиз булади. g(x)
1-теорема (Кантор теоремаси). Агар f (x) e C [a, b] булса, y холда f (x) функция [a, b] да текис узлуксиз булади.
2-теорема (Вейерштрасснинг биринчи теоремаси). Агар f (x) функция [a, b] сегментда узлуксиз, яъни f (x) e C[a, b] булса, функция [a, b] да чегараланган булади.
3-теорема (Вейерштрасснинг иккинчи теоремаси). Агар f (x) e C[a, b] булса, бу функция [a, b] сегментда энг катта хамда энг кичик кийматларга эришади, яъни
3ci e [a, b], Vx e [a, b]: f (x) < f (ci), ЗС2 e [a, b], Vx e [a, b]: f (x) > f (c2 )
булади.
4-теорема. Фараз килайлик, f (x) функция [a, b] сегментда берилган булиб, куйидаги шартларни бажарсин:
1) f (x) e C[a, b];
2) сегментнинг четки нукталари a ва b ларда хар хил ишорали кийматларга эга, яъни
f (a) < 0 < f (b) ёки f (a) > 0 > f (b)
булсин.
У холда (a, b) да шундай x0 нукта (a < x0 < b) топиладики, f (x0) = 0 булади.
5-теорема. Агар f (x) e C[a, b] булса, у холда чегаралари f (a) ва f (b) булган сегментга тегишли ихтиёрий l сони олин-ганда [a, b] да шундай x0 нукта топиладики, f (x0 ) = l булади.
«Кичик гурухларда ишлаш» методи
МУ^ОКАМА
Бу метод талабаларни биргаликда ишлашга урганиш накадар мухим эканлигини тушунишга ёрдам беради. Чунки талабаларнинг бир-бирларига ижoбий таъсири бутун гурухнинг билим oлиши жараёнини oптималлаштиришга хизмат килади. Бу мeтoд билан укув машгулотларини ташкил килиш анъанавий
укув машгулотлари утиш методларига Караганда анча самарали эканлиги бир катор тадкикотчи олимлар томонидан таъкидлаб утилган. Тадкикотлар яна шуни курсатадики, талабаларни кичик гурухларга булиб укув машгулотлари ташкил этишнинг узи етарли эмас. Кутилган натижага эришиш учун яна икки компонент: гурухни рагбатлантириш ва шахсий масъулиятни хис килиш механизми хамда уни рагбатлантириш тизимини ишлаб чикиш керак булади. Агарда гурух микёсида рагбатлантириш етарли булмаса, гурух аъзолари уз уртокларининг утилаётган укув машгулотларини узлаштиришига унча ахамият бермай куядилар. Кичик гурухларга булиниб, укув машгулотларини утиш методининг бир нечта вариантлари ёки моделлари мавжуд. Улардан биринчиси гурухларнинг укув материалини узлаштириш натижасини яхшилашга каратилган. Бунда укитувчи бирор мавзу ёки мавзунинг режасини кискача тушунтириб, талабаларга топширик беради. Топширик масала-машк, савол-жавоб ёки бошка шакллардаги назорат иши булиши мумкин. Сунгра топширик кичик гурухлар ичида мухокама килинади. Кейин урганилган мавзу буйича хар бир кичик гурух аъзоси индивидуал тарзда назорат иши ёзади. Х,ар бир талабанинг олган баллари кушилиб, умумий гурух бали чикарилади ва тупланади. Шу тарика гурухларнинг олган уринлари аникланади. Тупланган балларга кура гурухлар ва фаол иштирок этган кичик гурух аъзолари рагбатлантирилади. Иккинчи моделда назорат иши эмас, балки мустакил мусобака утказилади. Бунда гурух аъзолари бошка гурух аъзолари билан мусобакалашиб баллар туплашади. Учинчи модель мозаика модели деб аталади. Бу моделни купрок катта гурухларда куллаш максадга мувофик. Гурухдаги талабалар сонига караб укитувчи хар бир гурухга 4 ёки 5 нафардан талабани жалб килиб, хар бир гурух таркибидаги талабалар сонига караб, мавзуга оид алохида алохида таркатмали материални урганиш учун укув-топширигини беради. Х,ар бир гурухдан бир киши битта режа ёки саволни урганишга масъул килиб белгиланади. Турли гурухлардан шу режа ёки саволни олган талабалар бирга йигилиб, шу савол ёки укув-топширикни мухокама киладилар. Бу гурухларни одатда эксперт гурухлари деб аташади. Бунда экспертлар гурухи олдиндан кичик гурухларни назорат килишлари учун бахолаш мезонлари ишлаб чикишади. Ушбу мезонлар мазмуни олдиндан барча талабаларга хавола килинади. Агарда асосий гурухларни алифбодаги харфлар билан белгиласак, талабаларни ракамлар билан белгилаймиз.
Энди мавзуга мос интерфаол усулларни танлаш ва уларни куллаш масаласини караймиз. «Кичик гурухларда ишлаш» методидан фойдаланамиз, у талабаларни биргаликда ишлашга урганиш накадар мухим эканлигини тушунишга ёрдам беради. Бу метод билан укув машгулотларини ташкил килиш анъанавий укув машгулотлари утишга караганда анча самарали эканлигини кузатиш мумкин.
НАТИЖА
Аслида талабаларни кичик гурухларга булиб, укитишнинг узи етарли эмас. Кутилган натижага эришиш учун яна икки компонент - гурухни рагбатлантириш ва шахсий масъулиятни хис килиш механизми хамда уни рагбатлантириш тизимини ишлаб чикиш зарур. Кичик гурухларга булиниб, укув машгулотларини утиш методининг бир канча вариантлари ёки моделлари мавжуд. Улардан биринчиси гурухларнинг укув материалини узлаштириш натижасини яхшилашга каратилган. Бу методни « Функциянинг узлуксизлиги ва текис узлуксизлиги » мавзусини укитиш мисолида тахлил киламиз. Талабаларга юкоридаги маълумотлар такдим килингач, талабалар кичик гурухларга ажратилади ва уларга топшириклар берилади.
Масалан, 32 нафар талабадан ташкил топган гурух турта кичик гурухларга булинади. Куйидаги топшириклар талабалар эътиборига хавола килинади:
1-топширик. Ушбу
, ч fsin х , агар х - рационалсон булса, f vxj = 1
[ 0 , агар х - иррационалсон булса функциянинг хА = кж (к е Z) нукталарида узлуксиз булиши исботлансин
2-топширик. Ушбу
/ ч Г1, агар х - рационалсон булса,
D\x j = 1
[0 , агар х - иррационалсон булса Дирихле функцияси R нинг хар бир нуктасида узилишга эга эканлиги исботлансин.
3-топширик. Ушбу
f (х) = [х] • sin жх (х е R) функция учун f (х) е C (R) булиши курсатилсин.
4-топширик. Ушбу
liml0ga (1 + х) = loga е (a > 0, a ф 1)
х ^ 0 х
муносабат исботлансин.
Гурухни кичик гурухларга булиб ишлаш оркали узаро ахборот алмашинуви мунтазам амалга оширилади, гоя ва фикрларни йигиш хамда уртоклашиш таъминланади. Тадкикот натижалари гурухда ишлаш индивидуал ишлашга караганда яхширок самара беришини курсатмокда.
Мустакил урганиб келишлари учун куйидаги топширикларни уйга вазифа сифатида бериш максадга мувофик хисобланади. 1-топширик. Ушбу
- x +1, arap -1 < x < 0 öynca, f (x) = ! 0, arap x = 0 öynca,
x -1, arap 0 < x < 1 öynca [-1,1] ga энг Karra Ba энг khhhk KuHMaTgapura эpнmagнмн.
2-TonmnpHK. Arap f (x) Ba g(x) ^yH^uagapHuHr x,ap 6upu [a, b] c R ga TeKHC y3nyKCH3 öynea, y xpgga f (x) • g(x) x,aM [a, b] c R ga TeKuC y3nyKCH3 ÖynHmH HCÖOTnaHCHH.
3-TonmnpHK. Ymöy
f (x) = x 2 + 1
^yH^HAHHHr X = [0, 1] CerneHTgaru y3gyKCu3guK Mogygu TonugCuH.
OyH^H^HHHr y3nyKCH3HHK xoCCagapu epgaMHga TeKmupugaguraH 6at3u aMagufi MaCagagap. d e N ynyH Td := (-n, n]d - opKagu d -ygnaMgu TopHH
6enrunaHMH3, L2 (Td) - Td ga aHHKgaHraH KBagpaTH öugaH uHTerpaggaHyBnu (KOMnneKC y3rapyBHHnu) ^yH^uagapHuHr XunöepT $a30CH öynCHH. Kyöugaru ^opMyga öugaH öepugraH, L2 (Td) $a3oga aHHKgaHraH H OpugpuxC MogenuHH KapafiguK:
H := H0 - V + V2, (1)
H Ba V, a = 1,2 onepaTopgap Kyfiugaru ^opMygagap öugaH aHHKgaHraH:
(Hof)(p) = u(p)f(p), (Vaf)(p) = jua(p)\Tdua(t)f(t)dt, a= 1,2.
By epga j > 0, a = 1,2-TatCupgamum napaMeTpu, u() Ba va(), a = 1,2 - Td ga
y3nyKCH3 xaKuKufi KufiMaTgu ^yH^uagap.
OyH^uoHag aHagu3 эgeмeнтgapнgaн ^oögagaHuö KypCaTum MyMKuHKu (1) TeHrguK öugaH aHuKgaHraH H nerapagaHraH Ba y3-y3ura KymMa öygagu.
fflyHu TatKuggam KepaKKu H0 onepaTopHuHr Ky3Fagum onepaTopu - V + V y3-y3ura KymMa Ba paHru 2 ra TeHr oygagu. 4eKgu ygnaMgu Ky3Fagumgapga MyxuM CneKTpHuHr CaKgaHumu x,aKugaru r. Befig TeopeMaCura Kypa H onepaTopHuHr <jess (H) MyxuM CneKTpu H0 onepaTop MyxuM CneKTpu öugaH yCTMa-yCT Tymagu. MatgyMKu
<( Ho) = <, (Ho) = [ E,, E2\
6y epga E Ba E2 CoHgapu Kyfiugaru TeHrguKgap epgaMuga aHuKgaHraH
E := min u(p), E2 := max u(p).
peTd peTd
Oxupru ukku xygoCagaH <jess (H) = [E; E ] TeHrguKKa эгa 6ygaMu3.
C - KoMngeKC TeKuCguK öygCuH. ^ap 6up jua, a = 1,2 ynyH C \ [E,E] TyngaMga
j j z) := A1( J z)A2( J2, z) + J J2(A3 (z))2
функцияни аниклаймиз. Бу ерда
"l(t)dt АЛ,л-t ui(t)"(t
КJz):= 1 + (-DVij;, i = 1,2, 4(z):=j
JTdu(t) - z T u(t) - z
Одатда Д(д, j, z) функция H операторга мос Фредгольм детерминанти деб аталади.
Содда хисоблашлар ёрдамида H операторнинг дискрет спектри учун
°dlsc(H) = {z e С\[Ei;E2]: Д(М,jz) = 0}.
тенгликни хосил киламиз. Бундан куринадики H операторнинг спектрини тадкик килиш учун Д(д, j, z) функциянинг нолларини урганиш мухим ахамиятга эга. Д(д, j, z) функциянинг ноли мавжуд ёки мавжуд эмаслигини курсатишда бевосита унинг монотонлиги ва узлуксизлигидан фойдаланимиз. [1-7] ишларда Д(д, j, z) функциянинг хоссалари хамда узлуксиз функция хоссаларидан фойдаланган холда H операторнинг спектри тула тахлил килинган. Худди шу каби [8-30] ишларда мос операторларнинг спектрини тадкик килишда узлуксиз функция хоссаларидан фойдаланилган.
ХУЛОСА
«Кичик гурухларда ишлаш» интерфаол методини укув жараёнида юкорида берилган тартибда куллай олиш учун гурухларга ажратилган кисмлар узаро боглик булмаслиги, яъни биринчи кисмни узлаштирмай туриб, иккинчи ёки учинчи кисмларни узлаштира олиб билиши мумкин булган мавзулар танланиши лозим.
REFERENCES
1. Расулов Т.Х., Бахронов Б.И. (2015). О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса. Молодой учёный, 9, 17-20.
2. Бахронов Б.И. (2020). Дискретные и пороговые собственные значения модели Фридрихса с двумерным возмущением. ВНО, 16-2(94), 9-13.
3. Бахронов Б.И. (2020). О виртуальном уровне модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 13-16.
4. Bahronov B.I., Rasulov T.H. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation. European science, 2-2(51), 15-18.
5. Rasulov T.H., Bahronov B.I. (2019). Description of the numerical range of a Friedrichs model with rank two perturbation. Journal of Global Research in Mathematical Archives, 9(6), 15-17.
6. Rasulov T.H., Bahronov B.I. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model: 1D case with rank two perturbation. Bulletin of the Institute of Mathematics, 4, 21-28.
7. Rasulov T.H., Bahronov B.I. (2020). Threshold eigenvalues and resonances of a Friedrichs model with rank two perturbation. Scientific reports of Bukhara State University, 3, 31-38.
8. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices. Methods Func. Anal. Topology, 1(25), 273-281.
9. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 6(10), 616-622.
10. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), 368-390.
11. Хайитова Х., Ибодова С. (2021). Алгоритм исследования собственных значений модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 48-52.
12. Dilmurodov E.B. (2019). On the virtual levels of one family matrix operators of order 2. Scientific reports of Bukhara State University, 1, 42-46.
13. Дилмуродов Э.Б. (2017). Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 15, 105-106.
14. Дилмуродов Э.Б. (2016). Квадратичный числовой образ одной 2х2 операторной матрицы. Молодой ученый, 8, 7-9.
15. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Явный вид резольвенты обобщенной модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 39-43.
16. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2015). Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса с двумерным возмущением. Молодой ученый, 9, 2023.
17. Тошева Н.А. (2020). Уравнения Вайнберга для собственных вектор-функций семейства 3х3-операторных матриц. Наука, техника и образование, 8(72), 9-12.
18. Дилмуродов Э.Б. (2018). Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 11, 1-3.
19. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2014). Исследование числовой области значений одной операторной матрицы. Вестн. Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки., 35 (2), 50-63.
20. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold effects for a family of 2x2 operator matrices. Journal of Global Research in Mathematical Archives, 10(6), 4-8.
21. Хайитова Х.Г. (2020). О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 5-8.
22. Исмоилова Д.Э. (2021). О свойствах определителя Фредгольма, ассоциированного с обобщенной модели Фридрихса. НТО, 1(60), 21-24.
23. Умиркулова Г.Х. (2021). Существенный и дискретный спектры семейства моделей Фридрихса. Наука и образование сегодня, 1(60), 17-20.
24. Хайитова Х.Г. (2020). О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 5-8.
25. Бахронов Б.И., Холмуродов Б.Б. (2021). Изучение спектра одной 3х3-операторной матрицы с дискретным спектром. НТО, 2-2(77), 31-34.
26. Хайитова Х.Г., Рахматова Д.С. (2021). Определитель Фредгольма оператора билапласиан с трехмерным возмущением на решетке. Проблемы науки. 63:4, 2932.
27. Рашидов А.Ш., Халлокова О.О. (2015) Пороговое собственное значение модели Фридрихса. Молодой ученый, 95:15, 1-3.
28. Рашидов А.Ш., Мирзаев Э.Э. (2016). Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое значение. Молодой ученый, 2, 23-25.
29. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli xos qiymatlarining soni va joylashuv o'rni. Scientific progress, 1(2), 61-69.
30. Muminov M., Rasulov T., Tosheva N. (2019). Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices. Comm. in Math. Analysis, 1(11), 17-37.
