Функция распределения скоростей броуновской частицы в среде с флуктуирующим коэффициентом вязкого трения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.75

А. Н. Морозов

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ БРОУНОВСКОЙ ЧАСТИЦЫ В СРЕДЕ С ФЛУКТУИРУЮЩИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ

Получена функция распределения флуктуаций скорости броуновской частицы с учетом случайных гауссовых изменений коэффициента вязкого трения. Показано, что эта функция распределения в предельных случаях совпадает с распределениями Коши и Максвелла.

E-mail: amor@mx.bmstu.ru

Ключевые слова: броуновское движение, флуктуации, вязкое трение.

Традиционное описание броуновского движения основывается на использовании уравнения Ланжевена для скорости броуновской частицы и получении на его основе уравнения Фоккера - Планка для функции распределения флуктуаций указанной скорости [1, 2]. При таком подходе можно достаточно адекватно описывать броуновское движение в первом приближении, но не удается учитывать флуктуации коэффициента вязкого трения [3, 4]. Эти флуктуации могут быть учтены при применении немарковского описания броуновского движения [5, 6].

Одной из задач описания броуновского движения в среде с флуктуирующим коэффициентом вязкого трения является построение функции распределения флуктуаций скорости движения броуновской частицы, которая может отличаться от распределения Максвелла [7]. В данной работе определена функция распределения скоростей броуновской частицы для стационарного случая.

Рассмотрим броуновское движение частицы с учетом флуктуаций коэффициента вязкого трения. В этом случае уравнение для одномерного движения броуновской частицы можно записать в виде [8, 9]

m— + mav + n (t) v = £ (t) + F, (1)

где m — масса броуновской частицы; v — ее скорость; a — коэффициент трения; n (t) — ^-коррелированный гауссовский случайный процесс, описывающий флуктуации коэффициента трения; £ (t) — 5-коррелированный гауссовский случайный процесс, описывающий силу Ланжевена [1]; F — внешняя детерминированная сила. Будем считать, что средние значения случайных процессов n (t) и £ (t) равны нулю, т.е.

<П (¿)> = 0;

<е (t)> = 0,

а их корреляционные функции соответственно:

<П (¿2) П (ti)> = 2m£5 (¿2 - tl) ,

<£ (¿2) е (ti)> = 2makT£ (¿2 - ¿1),

<П (¿2) е (¿1 )> = 0.

Здесь k — постоянная Больцмана; T — абсолютная температура среды.

Представим уравнение (1) в форме дифференциального уравнения Ито

dv (F \ 1 w . v . . — = - --av + - е (¿) -- П (¿).

dt \m J m m

Тогда в соответствии с работой [10] можно записать уравнение Фоккера - Планка для функции распределения f (v, ¿)

= -dV ((m - av) f (v,)) + £ ((^ + mv2) f (v,i))-(2)

Определим стационарное распределение для скорости броуновской частицы v. При F = const уравнение Фоккера-Планка (см. формулу (2)) для стационарной функции распределения f (v) принимает вид

d ((F Д ^ d2 ((akT 0 2

dv \\ш / dv2 ш + т« у / (^у ^ (3)

После интегрирования уравнение (3) может быть записано в форме

d акТ в Л ,, Л ^^ \

+ -V2 / («) = - - а« / (V), (4)

dv \ \ ш т у у \т где константа интегрирования принята равной нулю. Представим уравнение (4) в виде

(А + А2«2) = - (В« - Тт) / (V), (5)

где введены следующие обозначения:

акТ

А =-,

т

А = Ш

т

2ß

B = а + —, m

F = F

± m ■

m

Тогда дифференциальное уравнение (5) запишем в форме

df Bv — Fm

Т

dv.

Ai + A2V2

После интегрирования выражения (6) получаем [11] B

f (v) = G exp (—^ (Ai + A2V2^ x

x exp

F

± rr

A2

VAX arCtMV Ai v

(7)

где константа интегрирования О определяется из условия нормировки функции распределения f (у). Выражение (7) преобразуем к виду

или

f (v) =

f (v) =

G

(Ai + a2v2)'

exp

Fm , I / A2

VAA arctg V Av

(8)

Gm7

(akT + ev2)Y eX^ v/aekT Здесь введено обозначение

F

arctg

в

akT

B „ am 7 = — = 1 +

2A

2

в

(9)

Рассмотрим частные случаи. Если внешняя детерминированная сила отсутствует (^ = 0), то функция распределения (8) принимает форму

f (v) =

G

(А1 + А2^2)7"

Используя условие нормировки функции распределения f (у),

сю

I f (V) ¿V = 1 ,

—с

определим константу О [11, 12]

(10)

G-1 =

1

_ УЛГ(7 +1/2) /ÄT (Ai + A2v2p (7 — 1/2) Г (7) V A2 A?'

-dv =

где Г (7) — гамма-функция.

Тогда функция распределения (10) принимает вид

( - 1/2)г(7) ^_А!_ (11)

7 (! ) (ЛГ(7 + 1/2) V А, (А! + ( )

или

f (v) = (y - 1/2) г (7W (akT )Y

f ( ) ^пг (y + 1/2) V akT (akT + 0v2)7'

Если a ^ 0, то A1 ^ 0, а y ^ 1, и выражение (11) принимает форму распределения Коши [10]

yO^kT

f (v) =

п (akT + ev2)

(12)

а—)• 0

Очевидно, что при а = 0 функция распределения

7 - 4,

и нормировку для нее осуществить невозможно ввиду расходимости при V = 0.

При в = 0 величина А2 = 0, а параметр 7 ^ то. В этом случае функция распределения (11) принимает вид распределения Максвелла

7 М = ^ (-ш)- (13)

Формулу (13) можно получить путем решения уравнения (4) при в = 0 и Т = 0.

Таким образом, соотношение между параметрами а и в определяет вид функции распределения (см. формулу (9)). При ат << в функция распределения близка к распределению Коши (12), а при ат >> в — к распределению Максвелла (13).

Полученное выше выражение для функции распределения флукту-аций скорости броуновской частицы в среде с флуктуирующим коэффициентом трения позволяет путем экспериментального определения отличия функции распределения скоростей броуновской частицы от распределения Максвелла устанавливать характеристики флуктуаций коэффициента вязкого трения. Мера Кульбака, метод экспериментального определения которой предложен в работе [13], может служить в качестве критерия отличия.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. КлимонтовичЮ. Л. Статистическая физика. - М.: Наука, 1982. - 608 с.

2. М о р о з о в А. Н. Необратимые процессы и броуновское движение. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. - 332 с.

3. Бочков Г. Н., Кузовлев Ю. Е. Новое в исследованиях 1/f-шума // Успехи физических наук. - 1983. - Т. 141, вып. 1. - С. 151-176.

4. М о р о з о в А. Н. Применение теории немарковских процессов при описании броуновского движения // ЖЭТФ. - 1996. - Т. 109, вып. 4. - С. 1304-1315.

5. М о р о з о в А. Н. Метод описания немарковских процессов, задаваемых линейным интегральным преобразованием // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2004. - № 3. - С. 47-56.

6. М о р о з о в А. Н., С к р и п к и н А. В. Применение интегральных преобразований для описания броуновского движения как немарковского случайного процесса // Изв. вузов. Физика. - 2009. - № 2. - С. 66-74.

7. М а л а х о в А. Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. - М.: Сов. радио, 1978. - 370 с.

8. М о р о з о в А. Н., Скрипкин А. В. Движение сферической броуновской частицы в вязкой среде как немарковский процесс // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2006. - № 4. - С. 3-14.

9. M o r o z o v A. N., S k r i p k i n A. V. Spherical particle Brownian motion in viscous medium as non-Markovian random process // Phys. Letts A. - 2011. -Vol. 375. - P. 4113-4115.

10. П у г а ч е в В. С., С и н и ц ы н И. Н. Стохастические дифференциальные системы. - М.: Наука, 1990. - 632 с.

11. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. - М.: Наука, 1981.- 800 с.

12. Н и к и ф о р о в А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. - М.: Наука, 1984. - 344 с.

13. М о р о з о в А. Н. Предварительные результаты измерений меры Кульбака флуктуаций напряжения на электролитической ячейке // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2011. - № 2. - С. 16-24.

Статья поступила в редакцию 05.07.2012