CC BY
78
УДК 517.962.2 В. Л. Харитонов
Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2005, вып. 2
ФУНКЦИОНАЛЫ ЛЯПУНОВА С ЗАДАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ. II. МАТРИЦЫ ЛЯПУНОВА
1. Введение. В ч. I был рассмотрен вопрос о построении функционалов Ляпунова для линейных систем с запаздывающим аргументом*). Было продемонстрировано, что ключевым элементом, определяющим функционалы, являются матрицы Ляпунова. Их определение подразумевает отыскание фундаментальной матрицы системы на интервале [0, оо), что практически реализуемо только в очень специальных ситуациях. В этой части работы будет предложено альтернативное определение матриц Ляпунова, не требующее знания фундаментальной матрицы системы и позволяющее предложить конструктивные методы их построения.
После введения в п. 2 приведены необходимые результаты из чЛ. На основе анализа свойств матриц Ляпунова для систем с запаздыванием в п. 3 дано их новое определение. Показано, что оно не противоречит исходному определению и служит основой для разработки конструктивных методов построения матриц Ляпунова для систем с запаздыванием. В частности, в случае соизмеримых запаздываний получена система линейных матричных уравнений без запаздывания, определяющая матрицы Ляпунова. В общем случае предложен алгоритм численной аппроксимации этих матриц.
2. Вспомогательные факты. Рассматривается система с запаздывающим аргументом вида
т
= -Л,). (1)
¿=о
Здесь х Е В,п, Е Дпхп, .7=0, 1, ..., т, а запаздывания упорядочены следующим образом:
0 = Ио < < ... < Нт = Я.
Каждое решение системы (1) определяется начальным моментом ¿о и начальной вектор-функцией <¿>(0), в Е [¿о — Н, ¿о]- В дальнейшем будем полагать, что ¿о = 0, а начальные вектор-функции являются кусочно-непрерывными на промежутке [—Я, 0].
Решение системы (1) с начальной вектор-функцией у? будем обозначать через ф), а сегмент траектории ф) на промежутке [£ - Я, £],
{*(£, <р) | £ Е [* - Я, *]},
через х^ф).
Если начальная вектор-функция решения очевидна из контекста или не существенна, то будем опускать аргумент у? в этих обозначениях.
В качестве векторной нормы будем использовать евклидову норму, а для оценок векторных функций - равномерную норму
М1я = в™*0] ыт-
*) Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной. I. Функционалы полного типа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 1. С. 110-117. © В. Л. Харитонов, 2005
Под устойчивостью будем понимать экспоненциальную устойчивость системы (1). Фундаментальная матрица системы (1) суть решение матричного уравнения
771
¿(0 = 0, (2)
с начальным условием: К(в) - 0ПХП, в € [-#, 0) и К{0) = Е. Здесь Е - единичная матрица порядка п х п.
Пусть система (1) является экспоненциально устойчивой. Выберем положительно-определенную матрицу IV, ассоциированная с ней матрица Ляпунова для системы (1) предстает в виде
оо
Щт) = J Кт({)УГК(г + т)А. (3)
о
Как было показано в ч. I, матрица (3) задает функционал
га О
у0(хь) = хтми( 0)х(г) + 2хт{г) £ I и {-в - Нэ)Аэх{г + 0)М +
0=1
га га О
+ ЕЕ I хт{1 + вмтк
к=\з=1-Нк
о
/ и {в 1 + л* - 02 - н,)Азх(г + 02)£»2
-Л,-
(4)
<¿01,
производная которого вдоль решений системы (1) совпадает с —хт(1)]Л/гх(£).
3. Матрицы Ляпунова для систем с запаздыванием. Матрица <7(г) играет ключевую роль при построении функционала (4): она полностью определяет этот функционал, а когда запаздывания исчезают, превращается в решение классического матричного уравнения Ляпунова.
Так как формула (3) не может служить для практического отыскания матрицы II(г), то необходимо альтернативное ее определение, более приспособленное для разработки эффективных способов ее построения. Нам понадобятся следующие свойства матриц Ляпунова.
Лемма 1. Пусть система (1) является экспоненциально устойчивой. Матрица Ляпунова (3) удовлетворяет условиям
и(-г) = ит(т), т^О; (5)
771
и'(т) = ^Щт-Н1)А1, 0; (6)
3=0
га
£ [и{-^)Аз + = 00
з=о
Свойство симметрии (5) вытекает непосредственно из ее определения (3); динамическое свойство (6) может быть проверено прямым дифференцированием матрицы и(т). Условие (7) называется алгебраическим свойством матрицы Ляпунова. Для его проверки достаточно, продифференцировав произведение
| [кттт) = (- нм I шкц)+ктт I - ^),
г г
проинтегрировать затем почленно полученное равенство по £ от 0 до оо.
Указанные в лемме 1 свойства матрицы Ляпунова позволяют доказать следующее фундаментальное утверждение.
Теорема 1. Пусть матрица С/(т), т Е [—Н, Н], удовлетворяет условиям (5)-(7). Определим функционал ) вида (4), где в качестве матрицы II (г) использована матрица С/(г). Производная этого функционала вдоль решений системы (1) совпадает с —хТ(1)\¥х(Ь).
Заметим, что условия теоремы не предполагают экспоненциальной устойчивости системы (1).
Доказательство проведем для случая ш = 1. Прежде чем приступить к дифференцированию функционала г>о(х£), заменим переменные интегрирования в интегралах, входящих в его состав:
£
Ъо(хг) = Хт{1)й{0)я(£) + 2хт{1) I +
£
+ / *Т(Ш? £-/ц
I шмшь \i-hi
¿61.
Приступим к дифференцированию отдельных слагаемых. Производная первого слагаемого
£ ей
[®т(0#(0)а:(*)] = 2хт(г)Щ0) [А0х(1) + А1Х(1 - /ц)]. Для второго слагаемого
£ Л
г
£-/и
г
= 2[Д)ж(г) + Ахаф - Л0]т I Н^А^)^ +
+ - 2хт (1)0(0) Агх{г - /ц) + 2ж:
Производная последнего слагаемого
£ г ь
•о/
дь
4-/ц
ей
У I й(Ь-Ь)А
£ £ £-/ц £-/11
Собрав вместе найденные производные, получим
^^ = Хт(г) [й(0)Ао + АЪй{ 0) + Щ-ИМ! + Атхйт(<-Н х)] *(«) + ь
¿-/И
По условию (7) матрица квадратичной формы в правой части последнего равенства равна —IV. Во втором слагаемом вернемся к исходной переменной интегрирования и воспользуемся свойством симметрии (5). В итоге это слагаемое примет вид
о
2хт(Ь) I [и^ + к^Ао + й^А-й^в + кг)]11 А1Х(г + в)с1е. -/11
Так как величина в 4- ^ 0, то матрица в квадратных скобках под знаком интеграла равна нулю ввиду динамического свойства (6). Приходим к заключению, что вдоль решений системы (1)
Теорема доказана.
Следующее утверждение открывает путь для альтернативного определения матрицы Ляпунова, отличного от формулы (3).
Теорема 2. Если система (1) является экспоненциально устойчивой, то матрица и(т)у определенная формулой (3), суть единственное решение системы (5)-(7).
Доказательство проведем для случая т — 1. То что матрица (3) удовлетворяет условиям (5)—(7), следует из леммы 1. Осталось показать единственность этого решения. Допустим от противного, что есть два решения: 11\{т) и С/гМ- С каждым из них свяжем функционал (4). Обозначим эти функционалы у^^) и соот-
ветственно. По теореме 1 их производные вдоль решений системы (1) совпадают, и, следовательно, имеет место равенство
Д^оМу?)) = А^оМ, ¿>0.
Здесь Ау0(хг) = У^2)(хг) -
Экспоненциальная устойчивость системы (1) подразумевает, что 0, когда
£ оо. Поэтому для любой начальной вектор-функции р
Д^оМ = О,
или, в развернутом виде,
^Т(0)ДС/(0М0) + 2^Т(0) / Д1/(-0-Й1)А1у>(0)<Ю +
"/11 - (8)
+ / ^{вМТ -/11
Здесь Аи{т) = и2{т)-и1{т). 202
/ Аи(в1-в2)А1ч>{в2)(1б2 -/11
<¿01 = 0.
Выберем вектор 7 ф 0 и зададим вектор-функцию: (р(в) = 0, в £ [—Лх, 0) и ¥>(0) = 7. На ней равенство (8) примет вид 7тД[/(0)7 = 0. Так как матрица Д[/(0) симметрическая, а последнее равенство выполняется для всех 7, то
ДС/(0) - 0. (9)
Выберем теперь векторы 7 и /¿, зафиксируем € [—Ль 0), а затем выберем е > 0 так, чтобы во 4- е < 0. Определим вектор-функцию
( Ъ 0 = 0, 4>{в) = 1 м, ве [0О, 00+ е],
[ 0, в остальных точках промежутка [—ЛьО].
На ней равенство (8) принимает вид
2£7ТД£/(-0о - Н^Аца + о(е) = 0.
Здесь о(£)£~1 0, когда £ -л +0. Для того чтобы последнее равенство имело место для всех достаточно малых £ > 0, необходимо, чтобы 7ТД[/(—0О — к^Ах/л = 0. Это равенство имеет место для всех значений векторов 7 и поэтому ДС/(—— /11) Ах = 0. Заметим, что во - произвольное значение из интервала [—Лх, 0), следовательно,
ДС/(г - Лх)А1 = 0, те [0, кг]. (10)
По построению матрица Д£/ (г) удовлетворяет уравнению
Аи'(т) = Аи(т)А0 + ДС/(г - /ц)А1, т ^ 0.
Равенство (9) вместе с условием (10) позволяют заключить, что ДС/(т) =0, т 6 [0, /11], а значит, и С/х(т) = С/г(т), т £ [0, /11]. Тем самым показано, что матрица (3) является единственным решением системы (5)-(7).
Теорема 2 показывает, что для экспоненциально устойчивых систем (1) определение матрицы Ляпунова с помощью интеграла (3) эквивалентно определению этой матрицы как единственного решения системы (5)-(7). Заметим, что последнее не предполагает ни экспоненциальной устойчивости системы (1), ни построения фундаментальной матрицы системы. В известном смысле систему уравнений (5)-(7) следует интерпретировать как обобщение на случай системы (1) классического матричного уравнения Ляпунова.
Следующий результат связан с условием существования решений системы; (5)-(7). Но прежде нам понадобится одно вспомогательное утверждение.
Лемма 2. Для любых двух ненулевых векторов 7 и ¡л найдется симметрическая матрица IV такая, что
ф 0.
Если 7 и ¡л имеют одноименные компоненты, отличные от нуля, скажем 7^ и то в качестве искомой матрицы IV можно предложить матрицу е^е^. Здесь е% = (0, ..., 1, ..., 0), единица стоит на позиции к. В противном случае найдутся индексы ки $ (к ф Я, такие, что 7*; = 0 и 7, ф 0 , в то время как ¡лк ф 0 и ду = 0. В этом случае искомую матрицу IV можно определить следующим образом: е^е^ -I- вк^•
Собственными числами системы (1) называются корни ее характеристического уравнения
АеЬ =0.
Теорема 3. Пусть система (1) имеет собственные числа 8\, 52, удовлетворяющие равенству «х + 52 = 0. Найдется симметрическая матрица IV, для которой система (5)-(7) не имеет решения.
Доказательство проведем для случая т = 1. Система (1) допускает два решения вида = е81*7 и х^^) = где 7 и суть отличные от нуля
векторы. По лемме 2 существует симметрическая матрица IV, для которой 7ТИ^// ф 0. Допустим, что система (5)-(7) с этой матрицей ]¥ имеет решение и (г), г е [-Лъ Л1]. Определим билинейный функционал
и
*(<Р, Ф) = Ч>т(0)и(0Ж0) + ^(0) I и {-в - Н^Ах^дВ
-/11
+
о и о
+ ^Т(0) I и (-в - Нх)А\(р(в)йв + ! чРфдА* У и(в1-в^)А1'ф(в2)сШ2
—Л-1 —Л-1 \z-hi
<¿01.
Непосредственная проверка показывает, что на на любой паре решений, г/(£), системы (1) имеет место равенство
На решениях хи значение функционала
и
ГС/(0)м + 7Т I и{-в - Н^Аге8*9^ +
-/11
о и и
+ I и{-в-Н1)Ахе^в^в+ I чте*1в1А1 ^ и(в1 - в2)А1еа2вЧв2
—/11 —/11 \jr-hi
не зависит от £ и, следовательно, с одной стороны,
й
<¿01
Л
с другой
Это противоречие и доказывает утверждение теоремы.
Замечание!.. Для систем без запаздывания условие отсутствия собственных чисел, сумма которых равна нулю, является необходимым и достаточным условием существования единственного решения матричного уравнения Ляпунова при любом
выборе матрицы ТУ. Теорема 3 показывает, что это же условие является необходимым и для системы (1).
4. Численные методы построения матриц Ляпунова. Рассмотрим вопрос построения матриц Ляпунова для системы (1) .
Начнем с частного случая кратных запаздываний: hj = ./Л, $ = 0, 1, ..., га. Введем 2га вспомогательных матриц
Хк(т) = и(т + кК), те [0, /г], к = -га, -га + 1, ..., га - 1. (11)
Непосредственным дифференцированием легко проверить, что
Г 771
= к = 0, 1, ..., т — 1, (12)
771
Ь-ш, -т +1, ...,-1. (13)
3=0
Объединяя уравнения (12), (13), получим систему 2тп линейных матричных дифференциальных уравнений без запаздывания для 2т вспомогательных матриц (11). Для отыскания решения этой системы, которое соответствует матрице Ляпунова, воспользуемся следующими граничными условиями:
Хк+х{0) = Хк{К), к = —т, —га + 1, ...,ш-2, (14)
А^Х0( 0) + Хо(0)Ао + [А^Х^{К) + = -Ж (15)
¿=о
Первые 2т — 1 граничных условий следуют из определения матриц (11), а последнее суть алгебраическое свойство (7), переписанное в терминах вспомогательных матриц (11).
Вывод. Для случая систем с кратными запаздываниями построение матрицы Ляпунова для системы (1) сводится к отысканию решений системы матричных дифференциальных уравнений без запаздывания (12), (13), удовлетворяющих граничным условиям (14), (15), и последующему выбору из них того, которое удовлетворяет системе
(5)-(7).
Если запаздывания не являются кратными, предложенный метод неприменим. В • этом случае можно предложить метод аппроксимации решения системы (5)-(7). Для этого разобьем отрезок [—0] на N сегментов. В узлах разбиения
-H = вN < 0лг-1 < ... < 0О = 0
зададим значения
Флг,Флг-1,...,Фо
матричной функции Ф(0). В промежутках между соседними узлами разбиения значения матричной функции Ф(0) определим по правилу
т = + г^г**ь в € [0,+ь
Построенная кусочно-линейная матричная функция Ф(0) порождает единственное решение С/(т, Ф) уравнения (6). Вычислим его значения в точках Tj — —Oj, j = 1,2, ...,iV, и потребуем, чтобы выполнялись равенства
V{tj,*) = 9J, j = l,2,...,N.
В результате получим систему из N линейных матричных уравнений с N + 1 неизвестными матрицами Ф^, j = 0, 1, ..., N. Еще одно уравнение доставляет условие (7), следует только подставить в него значения матричной функции Е/(т, Ф) в точках г = hj, j = 0, 1, ..., га.
Вывод. Задача отыскания приближенного решения системы (5)-(7) сводится к построению решения системы N + 1 линейных матричных уравнений с N H- 1 неизвестными матрицами. Численные эксперименты подтверждают эффективность этой аппроксимационной схемы.
Замечание2. При реализации этой схемы рекомендуется включать значения —/il, — /i2r.., —hm в число точек разбиения. Пример. Рассмотрим систему
*<*>=( о' -2)^)+(о°7 -0,ы)Х{*~2)- (16)
Все корни характеристического полинома системы
f{s) = s2 + 35 + 2 + 0,98e-2s + 0,98se"2s + [0,49]2 e~4s
имеют отрицательные вещественные части. Ближайшими к мнимой оси являются корни
51,2 ^ -0,582 ± j'0,766. Положим Wk = ^2x2, к = 0,1,3,4, тогда функционал
«,(*t) = ll*(0ll2 + ll*(t-i)ll:
и и
+ \\x(t - 2)||2 + J \\x(t + e)\\2d6 + J \\x(t + e)\\2d9. -1 -2
Очевидно, что ||#(£)||2 ^ w{xt) ^ бЦ^Цз- Соответствующий функционал v(xt) имеет
вид
v(xt) =xT(t)U(0)x(t) + l,4xT(t) j и{-1-в)(^ ^ x{t + e)dO-0,98хТ(t) J U(-2 о го
- 0)x(t + 6)d9 + 0,49 J xT(t + в2) j J) U(91 - в2) ^ ^ x(t + 0i)d0i
de 2-
0 0 и
- 0,686 J xT{t + 02) j (J J) и {в 1 - 02 - 1 )x(t + 0i)d0i de 2 + 0,2401 J xT(t + -1 L-2 J -2
" 0 "10 О
J U{e 1 - e2)x(t + 0i)d0i d02+J {2 + 0) ||®(t + 0)||2 d0+J (3 + 0) ||s(t + 0)||2 d0. -2 J -1 -2
Здесь матрица Ляпунова U (г) удовлетворяет уравнению
v)-^-<o49 о,у-
На рисунке представлены компоненты матрицы Ляпунова. 3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5>
0
-0,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
Компоненты матрицы Ляпунова.
В результате несложных вычислений приходим к экспоненциальной оценке решений системы (16)
||z(t, у>)|| ^ 16,69е-°,047<|И|2, 0 0.
Summary
Kharitonov V. L. Lyapunov functional with a given time derivative. II. Lyapunov matrices.
It has been demonstated in the first part of the work that the Lyapunov matrices play the key role in construction of the quadratic Lyapunov functionals with a given time derivative. The second part is dedicated to analysis of some basic properties of the matrices as well as to development of constructive procedures for their computation.
Статья поступила в редакцию 21 апреля 2004 г.
