позволяющий численно оценивать влияние компьютера на человека при работе человека за компьютером. Предлагаемые модели коэффициентов психологического влияния субъектов друг на друга могут использоваться, например, для выявления психологического лидера в группе субъектов, а модели компьютерного влияния позволят в дальнейшем регламентировать труд людей за электронно-вычислительными машинами или пребыванием за различными мобильными устройствами, в том числе, устраняющий компьютерную зависимость человека. Список использованной литературы:
1. Психология влияния. URL: https://pyloric.ru/778-psihologija-vlijanija.html (дата обращения 17.07.2023).
2. 10 психологических хитростей для манипулирования людьми. URL: https://www.infoniac.ru/news/10-psihologicheskih-hitrostei-dlya-manipulirovaniya-lyud-mi.html?ysclid=lk6t5ea5b7886860665 (дата обращения 17.07.2023).
3. С. Кузина. Психотипы человека. Приемы влияния и психологические хитрости. 2021. URL: https://www.labirint.ru/books/822086/?point=yd10&utm_source=yandex&utm_medium=cpc&utm_camp aign=shopping_y&added=no&block=other&key=&retargeting=2803665&ad=13730205714&phrase=2803665& gbid=5002657071&device=desktop®ion=50®ion_name=Пермь&yclid=13069022603479351295 (дата обращения 27.04.2023).
4. Манипуляция людьми/ URL: https://psihomed.com/manipulyatsiya-lyudmi/?ysclid=lk6td61qsy420373243 (дата обращения 7.05.2023).
5. Фиговский О.Л., Пенский О.Г. Вычисление коэффициентов влияния цифровых двойников друг на друга// Инженерный вестник Дона. №6. 2020. URL: www.ivdon.ru/ru/magazine/archive/N6y2020/6524 (дата обращения 7.05.2023).
6. Пенский О.Г., Шарапов Ю.А., Ощепкова Н.В. Математические модели роботов с неабсолютной памятью и приложения моделей: монография. Пермь: Изд-во ПермГУ, 2018. 310 с.
7. Система контроля психоэмоционального состояния человека (Версия Vibralmage 7.0). URL: www.elsys.ru/vibraimage.php (дата обращения: 17.07.2023).
8. ЭЛСИС [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.elsys.ru/ (дата обращения: 20.05.2020).
9. Пенский О.Г., Анисимова С.И. Математическая модель вычисления простейшего воспитания цифровых двойников// Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2020. № 1 (48). С. 53-56.
10. Гурьянова К.Н., Алексеева У.А., Бояршинов В.В. Математический анализ. Екатеринбург: изд-во УрФУ. 2014. 332 с.
11. Анисимова С.И., Пенский О.Г. Вычисление параметров простейшего воспитания роботов. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № RU 2020611142, 24.01.2020.
© Пенский О.Г., Коневских Т.М., 2024
УДК 511
Стаценко И.В.
Кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики
Московский энергетический институт
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ДВОЙНИК ТРЕУГОЛЬНИКА A269939
Аннотация
В статье представлены свойства треугольника А269939 (ОЕ^) и его функциональный двойник.
Ключевые слова:
числа Стирлинга, числа Бернулли, числа Лемера-Комте.
FUNCTIONAL TWIN OF TRIANGLE A269939 Keywords:
Stirling numbers, Bernoulli numbers, Lemaire-Comte numbers.
Введение
Треугольник А269939 (Питер Лушни), получивший название "Номера наборов отделений", известен в ОЕ^ в качестве более широкой версии треугольника А134991. При этом в описании А269939 присутствует замкнутая форма (формула) следующего вида
\*+к ^,т+к ^ (1)
Pms = X (-1) с;ч
m+k ,k
k=0
где ст+к = (т + S; $ +к , - числа Стирлинга 2 -го рода.
41+. (т + к)!(. - к)! т+кк
Первые семь строк треугольника представлены в таблице 1
(P sтреугольник для Ш — 0 ,1 ,... ,6 )
1
0 1
0 1 3
1 10 15
1 25 105 105 56 490 1260
119 1918 9450 17325
Таблица 1
945
10395
Определенный интерес представляют свойства данного треугольника. В первую очередь, свойства определяющие взаимосвязи данного треугольника с другими специальными числами.
1. Некоторые свойства треугольника А269939 1.1. Знакочередующийся треугольник, построенный на базе А269939 в виде
к т+к (
m,s / А / m+s т+к,I
(2)
k=0
(см. таблицу 2) дает сумму по строкам в виде знакочередующихся факториалов А133942, т.е.
т
'!н г=ел„- (3)
m!
s=0
0
0
0
1
0
1
(Рт треугольник для 111 — 0,1,
1
0 -1 0-1 3
-1 10 -1 25 -105
56 -490
,5 )
-15
1260
Таблица 2
105
-945
1.2. Анализ диагоналей треугольника А269939 также дает следующую формулу связи с числами Лемера-Комте 2-го рода (А039621)
s-k
р — Y(-1)s+kS Yrs-k-rr ,
m,s lJ °mk / Л m+s ^k,r
(4)
k -0
r -0
где ^ = _!_x(_1)рср (р + k)Г+k - усеченный треугольник чисел Лемера-Комте 2-го рода (см.
r! p-o
таблицу 3).
(Lk r треугольник для к — 0,1,...,4)
1
1 -3
4 -19 55
27 -175 660 -1890
256 -2101 9751 -33621 95781
Таблица 3
Доказательство свойства 1.2:
s-k
k—0
Докажем, что Х~7_1\5+ке Ус'-'-'^Т (_1\5+кст+кс - р .
XV V ст,к ХСт+5 ^к,г — XV Ст+5ст+к,к ~ Рт,5
г-0 к-0
X(-1) Ст,к ^Ст+к Г^к,г — Х(-1) Ст,к XСт+5Лг,к —
k—0
r—0
k—0
r—k
^ K-i)s c+t / Sm,r Ak,r - / (-i)s+k rm+ks,
m+k ,k
k—0
k—0
где л
r ,k
I '
_рср_к рг - треугольник (перевертыш) с числами Лемера-Комте 2-го
( г _ к)!Х1 1 Сг_кР
рода см. таблицу 4.
Таблица 4
( Лг
г к треугольник для 1
-1 -1 1 3
-6 -19
10 55
r — 0,1,...,4)
-27
175
256
0
0
0
1
г
s
0
г
4
1
1
В доказательстве использовалось следующее свойство данного треугольника:
к
ISmrКr - (-1)kSm+kк ' (5)
г=0
где $ - числа Стирлинга 2 -го рода.
т+к ,к
1.3. Функциональная связь с числами Бернулли
№
B = I ' ms, (6)
m / ' ^s
C
s=0
m+s
где Вт - числа Бернулли: В0 = 1, Вх = --, Ь2 = -,
2 2 6
2. Функциональный двойник треугольника А269939
Докажем, что по свойству 1.3. у треугольника А269939 имеется функциональный двойник, то есть
существует треугольник Тт . , удовлетворяющий двум условиям:
m ( 1) Pm,s = ( 1) Tm ¿^ ¿I
(7)
fiS ^^ fiS
s=0 Cm+s s=0 Cm+s
t_„ * b_ „. (8)
m,s m,s
Доказательство:
m+к _
s ,
V(_l)k CS-kS
m (_l)S P m I\ ' m+s°m+к,k m m ck_s
ß = у У 1 / 1 m,s _ k=0_ =y S (_i)s"y_m±+
m I cs — ' ' cs ' m+s,s \ / I ck
s=0 Cm+s s=0 Cm+s s=0 k=s Cm±k
m cs±1 m T m T
-is,,,,s(_i)'cml-¿i(_i-i(-i) m- ■
/-im ^^ \ / r-im ^^ \ / r^s
s=0 Cm+s s=0 Cm+s s=0 C~
где T = S C i
m,s m+s ,s m+1
m+s m+s
s+1
Треугольник Тт. = . представлен в таблице 5.
(Тт . треугольник для т = 0 , 1 ,...,5 )
1
0 1 0 3 7
0 6 60 90
0 10 310 1505 1701
15 1260 14490 46620 42525
Таблица 5
m
0
Примечание. С использованием известной замкнутой формы для чисел Бернулли (стр. 321 [3] формула (6.99)), адаптированной в виде
В = у (-1У^т, , (9)
т ' • л
.=0 . + 1 /V
можно получить другой функциональный двойник Тт треугольника А269939 в виде
Т -
т,5
/V
Треугольник Тт „ представлен в таблице 6.
S S C
m,s m+s
s+i
(Tm s треугольник для m — 0,1,
1
0 1 0 3/2 4
2 20 5/2 70 315
210 2100
,5 )
30
6048
336
(10)
Таблица 6
5040
В отличие от Тт „ — ,„ „С5*1 треугольник Тт „ не является целочисленным.
Список использованной литературы:
1. П. Лушни. Последовательность А269939 // ОЕ^ // 2016.
2. Л. Смайлик. Последовательность А039621 // ОЕ^ //.
3. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир, 1998.
© Стаценко И.В., 2024
0
0
0
3