ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ДВОЙНИК ТРЕУГОЛЬНИКА A269939 Текст научной статьи по специальности «Математика»

позволяющий численно оценивать влияние компьютера на человека при работе человека за компьютером. Предлагаемые модели коэффициентов психологического влияния субъектов друг на друга могут использоваться, например, для выявления психологического лидера в группе субъектов, а модели компьютерного влияния позволят в дальнейшем регламентировать труд людей за электронно-вычислительными машинами или пребыванием за различными мобильными устройствами, в том числе, устраняющий компьютерную зависимость человека. Список использованной литературы:

1. Психология влияния. URL: https://pyloric.ru/778-psihologija-vlijanija.html (дата обращения 17.07.2023).

2. 10 психологических хитростей для манипулирования людьми. URL: https://www.infoniac.ru/news/10-psihologicheskih-hitrostei-dlya-manipulirovaniya-lyud-mi.html?ysclid=lk6t5ea5b7886860665 (дата обращения 17.07.2023).

3. С. Кузина. Психотипы человека. Приемы влияния и психологические хитрости. 2021. URL: https://www.labirint.ru/books/822086/?point=yd10&utm_source=yandex&utm_medium=cpc&utm_camp aign=shopping_y&added=no&block=other&key=&retargeting=2803665&ad=13730205714&phrase=2803665& gbid=5002657071&device=desktop&region=50&region_name=Пермь&yclid=13069022603479351295 (дата обращения 27.04.2023).

4. Манипуляция людьми/ URL: https://psihomed.com/manipulyatsiya-lyudmi/?ysclid=lk6td61qsy420373243 (дата обращения 7.05.2023).

5. Фиговский О.Л., Пенский О.Г. Вычисление коэффициентов влияния цифровых двойников друг на друга// Инженерный вестник Дона. №6. 2020. URL: www.ivdon.ru/ru/magazine/archive/N6y2020/6524 (дата обращения 7.05.2023).

6. Пенский О.Г., Шарапов Ю.А., Ощепкова Н.В. Математические модели роботов с неабсолютной памятью и приложения моделей: монография. Пермь: Изд-во ПермГУ, 2018. 310 с.

7. Система контроля психоэмоционального состояния человека (Версия Vibralmage 7.0). URL: www.elsys.ru/vibraimage.php (дата обращения: 17.07.2023).

8. ЭЛСИС [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.elsys.ru/ (дата обращения: 20.05.2020).

9. Пенский О.Г., Анисимова С.И. Математическая модель вычисления простейшего воспитания цифровых двойников// Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2020. № 1 (48). С. 53-56.

10. Гурьянова К.Н., Алексеева У.А., Бояршинов В.В. Математический анализ. Екатеринбург: изд-во УрФУ. 2014. 332 с.

11. Анисимова С.И., Пенский О.Г. Вычисление параметров простейшего воспитания роботов. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № RU 2020611142, 24.01.2020.

© Пенский О.Г., Коневских Т.М., 2024

УДК 511

Стаценко И.В.

Кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики

Московский энергетический институт

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ДВОЙНИК ТРЕУГОЛЬНИКА A269939

Аннотация

В статье представлены свойства треугольника А269939 (ОЕ^) и его функциональный двойник.

Ключевые слова:

числа Стирлинга, числа Бернулли, числа Лемера-Комте.

FUNCTIONAL TWIN OF TRIANGLE A269939 Keywords:

Stirling numbers, Bernoulli numbers, Lemaire-Comte numbers.

Введение

Треугольник А269939 (Питер Лушни), получивший название "Номера наборов отделений", известен в ОЕ^ в качестве более широкой версии треугольника А134991. При этом в описании А269939 присутствует замкнутая форма (формула) следующего вида

\*+к ^,т+к ^ (1)

Pms = X (-1) с;ч

m+k ,k

k=0

где ст+к = (т + S; $ +к , - числа Стирлинга 2 -го рода.

41+. (т + к)!(. - к)! т+кк

Первые семь строк треугольника представлены в таблице 1

(P sтреугольник для Ш — 0 ,1 ,... ,6 )

1

0 1

0 1 3

1 10 15

1 25 105 105 56 490 1260

119 1918 9450 17325

Таблица 1

945

10395

Определенный интерес представляют свойства данного треугольника. В первую очередь, свойства определяющие взаимосвязи данного треугольника с другими специальными числами.

1. Некоторые свойства треугольника А269939 1.1. Знакочередующийся треугольник, построенный на базе А269939 в виде

к т+к (

m,s / А / m+s т+к,I

(2)

k=0

(см. таблицу 2) дает сумму по строкам в виде знакочередующихся факториалов А133942, т.е.

т

'!н г=ел„- (3)

m!

s=0

0

0

0

1

0

1

(Рт треугольник для 111 — 0,1,

1

0 -1 0-1 3

-1 10 -1 25 -105

56 -490

,5 )

-15

1260

Таблица 2

105

-945

1.2. Анализ диагоналей треугольника А269939 также дает следующую формулу связи с числами Лемера-Комте 2-го рода (А039621)

s-k

р — Y(-1)s+kS Yrs-k-rr ,

m,s lJ °mk / Л m+s ^k,r

(4)

k -0

r -0

где ^ = _!_x(_1)рср (р + k)Г+k - усеченный треугольник чисел Лемера-Комте 2-го рода (см.

r! p-o

таблицу 3).

(Lk r треугольник для к — 0,1,...,4)

1

1 -3

4 -19 55

27 -175 660 -1890

256 -2101 9751 -33621 95781

Таблица 3

Доказательство свойства 1.2:

s-k

k—0

Докажем, что Х~7_1\5+ке Ус'-'-'^Т (_1\5+кст+кс - р .

XV V ст,к ХСт+5 ^к,г — XV Ст+5ст+к,к ~ Рт,5

г-0 к-0

X(-1) Ст,к ^Ст+к Г^к,г — Х(-1) Ст,к XСт+5Лг,к —

k—0

r—0

k—0

r—k

^ K-i)s c+t / Sm,r Ak,r - / (-i)s+k rm+ks,

m+k ,k

k—0

k—0

где л

r ,k

I '

_рср_к рг - треугольник (перевертыш) с числами Лемера-Комте 2-го

( г _ к)!Х1 1 Сг_кР

рода см. таблицу 4.

Таблица 4

( Лг

г к треугольник для 1

-1 -1 1 3

-6 -19

10 55

r — 0,1,...,4)

-27

175

256

0

0

0

1

г

s

0

г

4

1

1

В доказательстве использовалось следующее свойство данного треугольника:

к

ISmrКr - (-1)kSm+kк ' (5)

г=0

где $ - числа Стирлинга 2 -го рода.

т+к ,к

1.3. Функциональная связь с числами Бернулли

№

B = I ' ms, (6)

m / ' ^s

C

s=0

m+s

где Вт - числа Бернулли: В0 = 1, Вх = --, Ь2 = -,

2 2 6

2. Функциональный двойник треугольника А269939

Докажем, что по свойству 1.3. у треугольника А269939 имеется функциональный двойник, то есть

существует треугольник Тт . , удовлетворяющий двум условиям:

m ( 1) Pm,s = ( 1) Tm ¿^ ¿I

(7)

fiS ^^ fiS

s=0 Cm+s s=0 Cm+s

t_„ * b_ „. (8)

m,s m,s

Доказательство:

m+к _

s ,

V(_l)k CS-kS

m (_l)S P m I\ ' m+s°m+к,k m m ck_s

ß = у У 1 / 1 m,s _ k=0_ =y S (_i)s"y_m±+

m I cs — ' ' cs ' m+s,s \ / I ck

s=0 Cm+s s=0 Cm+s s=0 k=s Cm±k

m cs±1 m T m T

-is,,,,s(_i)'cml-¿i(_i-i(-i) m- ■

/-im ^^ \ / r-im ^^ \ / r^s

s=0 Cm+s s=0 Cm+s s=0 C~

где T = S C i

m,s m+s ,s m+1

m+s m+s

s+1

Треугольник Тт. = . представлен в таблице 5.

(Тт . треугольник для т = 0 , 1 ,...,5 )

1

0 1 0 3 7

0 6 60 90

0 10 310 1505 1701

15 1260 14490 46620 42525

Таблица 5

m

0

Примечание. С использованием известной замкнутой формы для чисел Бернулли (стр. 321 [3] формула (6.99)), адаптированной в виде

В = у (-1У^т, , (9)

т ' • л

.=0 . + 1 /V

можно получить другой функциональный двойник Тт треугольника А269939 в виде

Т -

т,5

/V

Треугольник Тт „ представлен в таблице 6.

S S C

m,s m+s

s+i

(Tm s треугольник для m — 0,1,

1

0 1 0 3/2 4

2 20 5/2 70 315

210 2100

,5 )

30

6048

336

(10)

Таблица 6

5040

В отличие от Тт „ — ,„ „С5*1 треугольник Тт „ не является целочисленным.

Список использованной литературы:

1. П. Лушни. Последовательность А269939 // ОЕ^ // 2016.

2. Л. Смайлик. Последовательность А039621 // ОЕ^ //.

3. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир, 1998.

© Стаценко И.В., 2024

0

0

0

3