Функциональное моделирование нелинейных радиотехнических систем с применением рядов Вольтерра Текст научной статьи по специальности «Физика»

4. GiesD.R., Bolton C.T. // Astrophys. J. Suppl. Ser. 1986. Vol. 61. P. 419-454.

5. Hoogerwerf R. et al. // Astronomy and Astrophysics. 2001. Vol. 365. P. 49-77.

6. Ribo M. et al. // Astronomy and Astrophysics. 2002. Vol. 384. P. 954-964.

7. Mirabel I. F. et al. // Astronomy and Astrophysics. 2002. Vol. 395. P. 595-599.

8. Hoogerwerf R. et al. // Astrophysical J. 2000. Vol. 544. P. L133-L133-L136.

9. Баранников А. А. // Письма в Астрон. журн. 1993. Т. 19. С. 1032-1044.

10. Баранников А.А. // Письма в Астрон. журн. 1994. Т. 20. С. 521-524.

11. Баранников А.А. // Письма в Астрон. журн. 1999. Т. 25. С. 209-219.

12. Баранников А.А. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. № 2. С. 41-43.

Южно-Российский государственный университет

экономики и сервиса, г. Шахты 8 декабря 2004 г.

УДК 621.396.62:519.8

ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ РЯДОВ ВОЛЬТЕРРА

© 2005 г. Н.Д. Пирогова, И.О. Нечёс

In article has been provided the fUrther development a method of functional modelling of the nonlinear radio engineering systems, based on use differential Taylor transformations above images of harmonious components of the response.

Усложнение радиотехнических систем (РТС), повышение рабочих частот этих систем, широкое внедрение интегральной схемотехники в аналоговые части РТС требует разработки и внедрения новых методов их проектирования. Перспективно применение методов функционального моделирования (ФМ) систем, использующих модели нелинейных радиотехнических устройств (НРТУ), построенных на основе компьютерного анализа или эксперимента с учетом реальных условий согласования НРТУ. В работах [1, 2] предложены методы ФМ нелинейных РТС, основанных на аппарате дифференциально-тейлоровских преобразований [3]. Математические модели НРТУ формируются по дифференциально-тейлоровскому спектру (ДТС) гармонических составляющих отклика устройств, получаемых через коэффициенты многомерного ряда Маклорена.

Представляется продуктивным распространить предложенный в [1, 2] метод ФМ на системы, описываемые функциональными рядами Вольтер-ра (ФРВ). Это обусловлено широким внедрением методов, алгоритмов и программ, использующих ФРВ для анализа НРТУ, а также разработкой различных процедур идентификации устройств в виде рядов Вольтерра.

Однако аппарат ФРВ неразвит на цепи с несколькими входами (какими в общем случае являются РТС), что существенно сужает его область применения. В работе [4] предложен метод анализа многовходовых НРТУ с применением ФРВ, ядра Вольтерра которого определяются как частные производные специального вида от комплексных амплитуд реакции устройства по комплексным амплитудам воздействий. Получена связь между ядрами Вольтерра в частотной области и частными производными. Так, для стационарного режима НРТЦ, имеющей два входа, можно записать систему уравнений:

Уш;1 = Хо- ^®т;п ]П , (1)

(Ь)

где ут.'п - вектор комплексных амплитуд напряжений частоты, равной

«m,=h(1) +...

), на элементах дерева графа схемы

(верхние индексы обозначают номера входов); Ь, N - векторы номеров элементов дерева и хорд графа соответственно [4]; z[юm;n] - диагональная матрица комплексных сопротивлений элементов дерева той же частоты;

П - матрица главных сечений для хорд; - вектор комплексных амплитуд токов частоты ют;и в хордах графа (допускается аппроксимация вольт-амперной характеристики нелинейного элемента произвольной аналитической функцией); т + п = х - число воздействий; хл - вектор комплексных амплитуд внешнего воздействия, имеющего вид:

хЯ =

р р р • р ур ур Я,"' Ят7 р ••• р , ••• р

(2)

где , ] = (1, и) - целочисленный вектор, все компоненты которого равны 0, кроме стоящего на]-м месте, который равен ±1.

Получим выражение для ядра Вольтерра в частотной области через параметры элементов схемы НРТУ. Дифференцируя выражение (1) т + п раз по составляющим вектора (2) в соответствии с [4], для Фурье-изображения ядра порядка т + п схемы устройства с двумя входами можно записать:

-2^-1

H(i)m;„ (®т:п)=~—~А-1 (®т:п )z[®т:п ]П ± 1/2е-1 Iе (0)Ф^(cd)

-!

е=2

где

П

А 1(Ют;п) -

öi(n)

(N)

nJ

обратная A(ffm,n); А(Ют.-п) = [1] - z[am;n] x

di&Y

матрица [1] - единичная матрица;

дУ

(N)

- представляет собой

матрицу-столбец производных порядка ^ функции 1т;п, в точке ут;п = 0; ^ = = т + п;в = р + г; Т - означает транспонирование; Ф(Л,)р;г(ю) - матрица-столбец, каждая строка которой имеет вид полинома, составленного из

произведений векторов ядер более низкого порядка в, вычисленных на элементах хорд графа.

В работе [5] установлена связь между ядром ФРВ в частотной области и дифференциально-тейлоровским спектром гармонической составляющей отклика НРТУ. Выразим ДТС компоненты отклика через Фурье-изображение ядер Вольтерра:

Уц;и(•••,аг' Рг,•••>•••,Хг,Зг'•••) =

=-„ {т + Я)! „-Нтп(...,аго« Ргю-1г),...;...,Х2),з—д

2(т+п-1) П (аг! Рг!) П (Х г! §г!) 1 1

где - тейлоровская функция многих переменных, значения которой

представляют собой ДТС компоненты вектора отклика у^Х.

Операции с ДТС не зависят от числа входов НРТУ, поэтому для простоты изложения в дальнейшем рассматриваются ДТИ одновходовых устройств. Так вектор спектральных составляющих отклика имеет вид: у = = [ут ,...,ут.,...,ут[ ], где mj - целочисленный вектор размерности и, оп-

и ( )

ределяющий частоту комбинационной гармоники от = £ т]) , -

] Я г г

г=1

частоты внешних воздействий.

Для композиции двух звеньев в работе [1] получено выражение:

Уп к п ■

Ут* пг , Рг ,...) = ^ Ут*2(...аг , Рг Пт] , £т] ) ХПУ^С-Пг , Рг ,...) *

7=1 ]=1

£ ■ и *7_^1(...,Пг, Рг,...)]Х П[(Ъ(«г -аг)(Ъ(Рг -Рг)] ,

г=1

где Ут] (•) и Ут] (•) - составляющие отклика ДТС 1-го и 2-го устройства соответственно; пт]-, £т]- - тейлоровские степени порядка пт]-, £т]- соот-к

ветственно [1, 2]; П ,* - тейлоровские произведения; Ъ(^) - тейлоровская

]=1

единица [3]; Ут] и У-т]1 - комплексно-сопряженные величины; уп - над

знаком суммы означает конечное число учитываемых дискрет Т-функции.

Формула (3) выведена в предположении, что на 2-е устройство воздействуют составляющие отклика 1-го НРТУ с частотами, не совпадающими с частотами внешнего воздействия хи. На практике эти частоты могут совпадать, например, в трактах с двойным преобразованием частоты. Поэтому обобщим (3) на случай, если т] = X] (] = 1, и):

(3)

У„ к л .

Утя пг , Рг ,...) = X 2(...а г , Рг Пт] , ) хП ^тТЛ.^ пг , Рг ,...) *

У=1 1=1

и а г

(...,пг, Рг,...)] * П[(Ъ(п -1) + Уг1 (...,пг, Рг,...))- * (4)

г=1

*(Ъ(рг - 1) + У_Аг1(...,пг , Рг ,...))"].

Если 1-е НРТУ включено в цепь обратной связи 2-го устройства, ДТС

объединенного НРТУ может быть получен по формуле:

у„

Ут* С-а г > Рг = X Рт* (-пг , Рг Я] V ] ) Х

У=' к (5)

и к Я) V,

ХП [(Ъ(«г - пг )(Ъ(Рг - Рг )] *П [Ущ2(-> а г, вг ,-■■) 2(-> а г , Рг ,-■■)], г=1 ]=1

У„ и

где Рт* « = X (..а г, рг Пт] , Чт] ) П ( ^С^ Ч] , V] ,") +

у=0 г=1

а р кос п ■

+Ъ(пг - 1))- * (УАг1(.., Я] , V].,..) + Ъ(Рг -1)Я * П[у](..., Я] , V] ,...) *

] =1

7Лг (..,Я], V],..)- изображение составляющей 1-го НРТУ у! частоты входного воздействия ххг.

При параллельном соединении выходной сигнал равен сумме откликов с каждого НРТУ: у = у1 + у2, что соответствует сумме их изображений, т.е.

у1 + у2 ^ Yms(•, ап Р« •■■) = Yms1(•••, ^ Рп -О + Yms2(•••, Рп — Х

г = 1Я (6)

При умножении выходных сигналов двух устройств ДТС отклика объединенного НРТУ определяется путем тейлоровского перемножения их изображений:

У1 Х У2 ^ УтЛ; «г, Рг, •••) = УЦО--, Иг, Рг, •••) * Ут^О--, Иг, Рг, •••), г = \о. (7)

Переводя выражения (4)-(7) в область оригиналов, получим аналитические зависимости комплексных амплитуд гармонических и комбинационных составляющих объединенного НРТУ от комплексных амплитуд входных воздействий

У„ и р

Ут* = Х Ут* (..., аг , Рг ,...)П # ХР[г.

у=0 г=1

Предложенный подход можно распространить на РТС, содержащую произвольное число НРТУ.

Литература

1. Волков Е.А, Пирогова Н.Д. // Электронное моделирование. 1991. № 2. С. 49-54.

2. Волков Е.А, Пирогова Н.Д. // Радиотехника. 1992. № 3. С. 17.

3. ПуховГ.Е. Дифференциальные преобразования функций и уравнений. Киев, 1980.

4. ВолковЕ.А., НечесИ.О. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 1993. № 1.

5. Волков Е.А., Нечес И.О., Пирогова Н.Д. // Радиотехника. 1993. № 8-9. С. 25-27.

Ростовский государственный университет путей сообщения 14 января 2005 г.

УДК 534.2.232

МИНИМИЗАЦИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ БОКОВЫХ МАКСИМУМОВ ФУНКЦИИ ПРОПУСКАНИЯ

АКУСТООПТИЧЕСКОЙ ЯЧЕЙКИ С АПОДИЗИРОВАННЫМ ПЬЕЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕМ

© 2005 г. А.Ю. Цветков, В.В. Трепачев, А.Г. Прыгунов

A technique of minimizing sidelobe maxima for the transfer function of the acoustoptic cell at the expense of using of nonrectangular electrodes of the apodizational pieroelectric converter sections is proposed.

В настоящее время явлению дифракции света на ультразвуке уделяется все большее внимание. Это обусловлено активным использованием акустооптического (АО) взаимодействия в системах оптической обработки информации и других смежных областях. Наряду с неоспоримыми достоинствами акустооптической ячейки (АОЯ), одним из её главных недостатков является существование симметрично расположенных боковых лепестков (максимумов) функции пропускания АОЯ. При максимальной

эффективности дифракции света на ультразвуке

f I ^

V Id

= 1,0

энергия света

отклоняемого в боковые максимумы может оказаться значительной. Например, интенсивность первых боковых максимумов с номерами ±1 превышает 10 % [1].

Существующие способы снижения интенсивности боковых максимумов [2-4], в том числе с использованием секционированных пьезопреоб-разователей (1111) с аподизацией [1], являются недостаточно эффективными. Согласно [2], результирующая эффективность дифракции при заданной мощности ультразвука зависит от формы управляющего электрода ПП. Тогда более высокой эффективности можно добиться путем использования электродов секций аподизированного 1111 в форме треугольника, ромба, трапеции и т.д. При этом длина акустооптического взаимодействия для каждой секции будет неодинаковой, что приведет к смещению боко-