CC BY
25
УДК 517.911, 517.968
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ. Часть 5
©А.И. Булгаков, Е.В. Корчагина, О.В. Филиппова
Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение, импульсные воздействия, выпуклость по переключению значений (разложимость).
Изучены функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями, с оператором не обладающим свойством выпуклости по переключению значений.
Рассмотрено функционально-дифференциальное включение с импульсными воздействиями, с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений. С помощью понятия выпуклой по переключению оболочки множества сформулировано понятие обобщенного решения функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями, правая часть которого не обладает свойством выпуклости по переключению значений. Доказано, что для задачи Коши с вольтерровым по А.Н. Тихонову оператором локальное обобщенное решение существует и оно продолжаемо. На основе топологических свойств овыпукленного по переключению отображения изучены свойства обобщенного решения задачи Коши.
Обозначим через П(Ъ”[а, Ь]) ( ^(Ь”[а,6])) множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями) подмножеств пространства Ъ”[а, Ь] .
Определение 1. Пусть Ф - непустое подмножество пространства Ь”[а, Ь]. Обозначим через з-шФ совокупность всевозможных конечных комбинаций
у = х(^1)Ж1 + Х(^2)Ж2 + ... + х(ит)жт, (0)
элементов Жг £ Ф, * = 1, 2, . . . , Ш, где непересекающиеся измеримые подмножества 1Лг, г =
т
1, 2,..., ш отрезка [а, Ь], удовлетворяют условию У и = [а, Ь]. Пусть, далее, ЗшФ - за-
г=1
мыкание множества зшФ в пространстве Ь”[а, Ь].
Рассмотрим задачу
Ж £ Ф(ж), (1)
Дж(^) = 4(ж(4)), к = 1,..., ш, (2)
ж(а) = ж0, (3)
где отображение Ф : С [а, Ь] ^ ф(Ъ”[а, Ь]) удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества и С С [а, Ь] образ Ф(и) ограничен суммируемой функцией. Отметим, что правая часть включения (111) может не обладать свойством выпуклости по переключению значений. Отображения /д : М” ^ М”, к = 1, 2, ...ш непрерывны, Дж(Ьд) = ж(Ьд + 0) — ж(Ьд), к = 1, 2, ...ш.
Определение 2. Под обобщенным решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию ж е С”[а, Ь], для которой существует такое д е ЗшФ(ж), что при всех Ь е [а, Ь] имеет место представление
(4)
где Д(ж(Ьд)), к = 1, ...Ш удовлетворяют равенствам (2).
Отметим, что согласно [1], если множество Ф(ж) в (1) выпукло по переключению, то обобщенное решение задачи (1)-(3) совпадает с классическим решением (см. [2]).
Отметим также, что к задаче (1)-(3) сводятся, например, математические модели сложных многокомпонентных систем автоматического управления с импульсными воздействиями, в которых в связи с отказом того или иного устройства объект регулирования переходит с одного закона управления на другой (регулируется разными правыми частями). Так как отказы (переключения) могут происходить в любые моменты времени, и при этом должно быть гарантировано управление объектом, то модель должна учитывать все возможные траектории (состояния), соответствующие любым переключениям. Обобщенные решения задачи (1)-(3) и составляют множество всех таких траекторий.
По заданному отображению Ф : С”[а, Ь] ^ ^(Ь”[а, Ь]) определим многозначный оператор Ф : Сга[а, Ь] ^ П(Ъ”[а, Ь]) равенством
Отображение ф : С”[а, Ь] ^ П(Ъ”[а, Ь]) будем называть «овътукленным» по переключению отображением.
Определение3. Будем говорить (см. [3]), что оператор Ф вольтерров по А.Н. Тихонову (или вольтерров), если из условия ж|т = у|т, т £ (а, Ь), следует равенство ( Ф(ж))|т = (Ф(у))|т, где г|т — сужение функции г £ Сп[а,Ь] на отрезок [а,т], (Ф(г))|т— множество сужений функций из множества Ф(г) на отрезок [а, т].
Рассмотрим отображение Ф : С”[а,Ь] ^ ^(Ь”[а, Ь]). Пусть и — измеримое множество отрезка [а, Ь]. Определим отображение Фи из ф”[а, Ь] в ^(Ъ”(и)) следующим образом: каждое значение Фи (ж) состоит из всех сужений на и функций множества Ф(ж).
Определение 4. Будем говорить, что отображение Ф : С”[а, Ь] ^ ^(Ь”[а, Ь]) непрерывно ( полунепрерывно снизу, полунепрерывно сверху) аппроксимируется в Ъ” [а, Ь] на множестве К С С”[а, Ь], если для любого V > 0 существует такое измеримое множество ии С [а, Ь], что выполнены следующие условия: ^([а, Ь] \и) < V; для любого ж е К множество Ф у(ж) £ 2ь°°(и), здесь Ф и = Фи^; отображение Ф и : К ^ ) непрерывно
(полунепрерывно снизу, полунепрерывно сверху) по Хаусдорфу.
Далее предположим, что оператор Ф : С”[а, Ь] ^ ^(Ь”[а, Ь]) (правая часть включения (1)) вольтерров и полунепрерывно снизу аппроксимируется в Ъ”[а, Ь] на каждом предком-пактном множестве из пространства С”[а, Ь]. Из этого условия вытекает, что овыпуклен-ный по переключению оператор С : С”[а, Ь] ^ П(Ъ”[а, Ь]), определенный равенством (5), вольтерров и полунепрерывен снизу (см. [1]).
Пусть т £ (а, Ь]. Определим непрерывное отображение Ут : С”[а, т] ^ С”[а, Ь] равенством
Определение 5. Будем говорить, что функция х Є С ”[а, т ] является обобщенным решением задачи (1)-(3) на отрезке [а,т], т Є (а, Ь], если существует такое д Є ( С(РТ(х)))|г, что функция х : [а, т] ^ М” представима в виде
С (х) = ¿-ш Ф (х).
(5)
если £ Є [а, т]; если £ Є (т, Ь].
(6)
(7)
где отображение УТ : С”[а, т] ^ С”[а, Ь] определено равенством (6), Д(х(Ь^)) (к : Є
[а, т]) удовлетворяют равенствам (2).
Далее, будем говорить, что функция х : [а, с) ^ М” является обобщенным решением задачи (1)-(3) на [а, с), если для любого т Є (а, с) сужение х|Т Є С”[а, т], и найдется такая функция д : [а, с) ^ М”, что для любого т Є [а, с) д|Т Є ( С(УТ(х)))|Т и для любого Ь Є [а, с) имеет место равенство (7), где Є [а, с).
Обобщенное решение х : [а, с) ^ М” задачи (1)-(3) будем называть непродолжаемым, если не существует такого обобщенного решения у задачи (1)-(3) на [а, т], (здесь т Є (с, Ь], если с < Ь и т = Ь, если с = Ь), что для любого Ь Є [а, с) выполнено равенство х(Ь) = у(Ь).
Обобщенное решение задачи (1)-(3) считается непродолжаемым.
Пусть для каждого т Є (а, Ь] непрерывный оператор ЛТ : Ь”[а, т] ^ С” [а, т] имеет вид
С
(Лтг)(£) = ж0 + / í е [а, т]. (8)
а
Определим отображение Ат : Сп[а, т] ^ 2е"[а’ т] равенством
Ат (ж) = {у е Сп[а, т] : существует г е ^ ф(РГ(ж))^ |т,
что при любых í е [а, т] справедливо равенство (9)
уСО = (Лтг)С0 + Е Х(^,ь]С0Д(ж
<т
где Д(ж(4)), ¿к е [а, т] удовлетворяют равенствам (2), отображения : фп[а, т] ^ фга[а, Ь] и Лт : ЬП[а, т] ^ Сп[а, т] определены формулами (6) и (8) соответственно. В дальнейшем, если т = Ь, то индекс в обозначении оператора Ат : фп[а, т] ^ 2е"[а ’ т] опускаем.
Очевидно, что каждая неподвижная точка оператора Ат : фп[а, т] ^ 2е"[а ’ т], определенного равенством (9), является решением задачи (1)-(3) на отрезке [а, т].
Теорема 1. Найдется такое т е (а, Ь], что обобщенное решение задачи (1)-(3) существует на отрезке [а, т] .
Доказательство. Пусть г > |жо|, где жо- начальное условие задачи (1)-(3). Так как образ ф(ВеП[а ¿][0, 2г]) ограничен суммируемой функцией (см. [1]), то множество
АС1 (ВеП[а С1][0, 2г]) равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. По теореме Арце-
ла, множество АС1 (ВеП[а С1][0, 2г]) предкомпактно. Поэтому найдется такое т е [а, ¿1], что
для любого у е АС1 (Ве„[а ^][0, 2г]) при каждом £ е [а, т] выполнено неравенство
|у(¿) - жо| < г. (10)
Так как сужение функций из шара Ве„[а С1 ][0, 2г] на отрезок [а, т] совпадает с шаром
Ве„[а т] [0, 2г], то в силу вольтерровости оператора АС1 : ^[а,^] ^ 2е"[а’ *1] получаем
равенство
Ат(Ве"[а , т][0, 2г]) = (А*1 (ВС"[а , С1][0, 2г])) т, (11)
где (Вс„[а, 41][0, 2г]))
- множество сужений функций из множества
АС1 (ВеП[а С1][0,2г]) на отрезок [а, т]. Следовательно, согласно равенству (11) и неравенству (10) для любого
г е Ат(Ве"[а, т][0, 2г])
получаем оценку
ІИІбпКт] < II* - х0ІІОп[а,т] + |х0| < 2Г,
которая влечет вложение
Ат(Ве-|».Т|[°. 2’’1) С ВЄ-[»,ті[°. 2Г]. (12)
Так как отображение С : С”[а, Ь] ^ П(Ь”[а, Ь]) полунепрерывно снизу (см. [1]), то найдется такое непрерывное отображение Ж : С”[а, Ь] ^ Ь”[а, Ь] такое, что для любого х Є С”[а, Ь] имеет место включение Ж(х) Є ф (х) (см.[4]). Из равенства (11), вложения (12) и определения оператора АТ : ф”[а, т] ^ 2е"[“.Т] вытекает, что
Лт(R(VT(Bon[a , T][0, 2r]))) т ^ BCn[a ,r][°’ 2r].
Так как оператор R : Cn[a, b] ^ ЬП[а, b] ограничен, то образ Лт(R(VT(Bcn[a r][0, 2r]))) относительно компактен (предкомпактен) в пространстве Cп[а, b]. Поэтому, согласно теореме Шаудера, отображение Лт(RVT) : Cn[a, т] ^ ЬП[а, т] имеет неподвижную точку.
T
Неподвижная точка этого произведения есть решение задачи (1)-(3) на отрезке [а, т] , т. к. т Є [а, ti] . Теорема доказана.
В пространстве с”[а, b] справедлив аналог теоремы Арцела-Асколи.
Лемма 1. Пусть последовательность жі Є с”[а, b], i = 1, 2,... обладает следующими свойствами:
1) существует такая константа M > 0, что для любого i = 1, 2,... выполняется оценка
HXiIICn[a,b] — M;
2) для любого є > 0 существует 5 > 0, что для любых t, т, принадлежащих одному из интервалов [а, ti], (ti,t2],..., (tm, b] и удовлетворяющих неравенству |t — т | < 5, выполняется оценка
|xi(t) — Жі (т)| < є
для любого i = 1, 2, ... .
Тогда существует элемент ж Є сп[а, b] и существует подпоследовательность ж., j = 1, 2,..., что
lim ||жі. — ж||лn[ ,, = 0. i^ 1 ij lcn[a , b]
Теорема 2. Для того, чтобы обобщенное решение ж : [а, c) ^ Rn задачи (1)-(3) было продолжаемым на [а, т], (т Є [c, b]), необходимо и достаточно, чтобы
lim |ж^)| < то.
i^c—0
Доказательство. Действительно, если обобщенное решение ж : [а, c) ^ Rn
задачи (1)-(3) на [а, с) продолжаемо на [а, т], (т Є (c, b]), то lim |ж^)| < то.
i^c—о
Пусть теперь обобщенное решение ж : [а, c) Rn задачи (1)-(3) на [а, c) удовлетворяет
условию
Пт |ж(t)| <
i^c—0
Покажем, что обобщенное решение ж на [а, c) продолжаемо. Пусть c принадлежит какому-то из полуинтервалов (ti, ti+i], i = 0,1,..., m (to = а, tm+i = b). Из определения обобщенного решения на полуинтервале [а, c) найдется такая измеримая функция q : [а, c) ^ Rn,
что для любого т G (а, c) q|T G ^ ф(VT(ж))^ |т и для любого t G [а, с) имеет место равенство
) i
x(t) = жо + q(s)ds + X(tfc,b](t)A(x(tfc)) (13)
a ^=1
(если i = 0, то последняя сумма слагаемых в формуле (13) отсутствует). Для определенности будем считать, что i > 1. Так как функция ж : [а, с) ^ Rn ограничена на [а, с), то множество VTж, т G (а, с) ограничено. Это означает, что найдется такая суммируемая функция в : [а, b] ^ [0, то), что при почти всех t G [а, с) выполняется оценка
|q(t)| < в(t).
Из этой оценки вытекает, что функция q : [а, с) ^ Rn суммируема на [а, с). Поэтому из равенства (13) следует, что lim x(t) существует. Ниже будем считать, что обобщенное
i^c—0
решение ж : [а, с) ^ Rn доопределено по непрерывности на весь отрезок [а, с], а функция
q G (ф(К(ж))'
Из определения локального обобщенного решения задачи (1)-(3) вытекает, что x - обобщенное решение задачи (1)-(3) на отрезке [а, с].
Далее, покажем, что обобщенное решение x : [а, с] ^ Rn продолжаемо. Прежде всего, если с = b, то, как установлено выше, x продолжаемо согласно определению. Пусть теперь
с Є (а, b) и с Є (¿¿,¿¿+1), i = 0,1, ...,m. Покажем, что в этом случае обобщенное решение
x : [а, с] ^ Rn продолжаемо. Обозначим
UT (x, r) = jy Є Сп[а, т] : для любого t Є [а, с] x(t) = y(t)
и max |y(t) — x(c)| ^ rl, ( )
i€[c,T ] J
где т Є (с, ti+i), r > 0. Определим оператор СT : UT(x, r) ^ П(ЬП[а, т]) равенством
СT(y) = z Є Ьга[а, т] : z = q на [а, с] и существует
/~ \ 1 (15)
p Є С(Vt(y))J I[c,t], что z = p на (с,т] j,
где функция q из представления (13), ^ Ф(РТ(у))^ |[с,т] - множество всех сужений функций
из ф(РТ(у)) на отрезок [с, т], отображение РТ : фП[а, т] ^ ф”'[а, Ь] определено равенством (6). Из определения отображения фт : ит(ж, г) ^ П(Ъ”[а, т]) и выпуклости по переключению значений отображения ф : ф”'[а, Ь] ^ П(ЬП[а, т]) следует, что для каждого у Є ит(ж, г) справедливо вложение
ФТ(у) С (Ф(Ут(у)))|т.
Так как оператор ф : Сга[а, Ь] ^ П(ЪП[а, т]) вольтерров и полунепрерывен снизу, то и оператор фт : ит(ж, г) ^ П(Ъ”[а, т]), заданный соотношением (15), вольтерров и полунепрерывен снизу. Далее определим оператор Ат : ит(ж, г) ^ 2С"[“,Т] равенством
A т (u) = j у Є Сга[а, т] : существует z Є фт(u), что
при любых t Є [а, т] справедливо равенство (ig)
y(t) = (ЛГ z)(t) + £ X(ifc,b]A(u(
Є[а,т ]
c
где A(u(tfc)), tk G [а, т] удовлетворяют равенствам (2), отображения Лт : ЬП[а, т] ^ Cn[a, т], фт : UT(ж, г) ^ П(Ъ”[а, т]) определены равенствами (8) и (15) соответственно. Так как для любого u G UT(ж, г) справедливо соотношение
( Ф T (u))|c = ^,
где функция q из представления (13), то из равенств (14)—(16) следует, что для любого u G UT(ж, г) имеет место равенство
(А т (u))|c = ж (17)
и вложение
Aт (u) с Ат (u),
где оператор Ат : Сга[а, т] ^ 2сп[а,т] задан равенством (9). Далее в силу того, что образ
Фт(UT(ж, г)) ограничен суммируемой функцией, то найдется 5 G (0,т — с), что для любой
функции y G Aт(UT(ж, г)) выполнено неравенство
max |y(t) — ж(с)| ^ г. (18)
i€[c, c+й]
Кроме того, из вольтерровости отображений фт : UT(ж, г) ^ П(ЬП[а, т]), Ат : UT(ж, г) ^ 2с"[“,т], определенных равенствами (15) и (16) соответственно, а также в силу того, что множество сужений функций из множества UT(ж, г) на отрезок [а, с+5] - множество Uc+(ж, г), получаем равенство
Ас+Й(Uc+й(ж, г)) = (Ат(Ut(ж,г)))|е+й,
где (А т(UT(ж, г)))| ^ —множество сужений функций из множества Ат(UT(ж, г)) на отре-
зок [а, с + 5], отображение Ат : фп[а, т] ^ 2с"[“,т] определено равенством (16). Отсюда, согласно соотношениям (17), (18), получаем вложение
Ас+й(ис+й(ж, г)) С Uc+ (ж, г). (19)
Так как отображение фc+ : Uc+(ж, г) ^ П(ЬП[а, с + 5]) полунепрерывно снизу, то согласно [4], существует непрерывное отображение R : Uc+(ж, г) ^ П(ЪП[а, с + 5]), что для любого u G Uc+(ж, г) справедливо условие
R(u) G фс+г (u).
Из определения отображений фт : UT(ж, г) ^ П(ЬП[а, т]) и Ат : UT(ж, г) ^ 2C"[“,T] (см. (15), (16)) для любого u G Uc+(ж, г) имеет место включение
(Лс+ЙR)(u) G Ас+й (u).
Таким образом, из соотношения (19) следует вложение
(Лс+ЙR)(Uc+5(ж, г)) С ис+й(ж, г),
где оператор (Лс+: ис+(ж, г) ^ ис+(ж, г) - произведение отображений Лс+ : с + ¿] ^ Сп[а, с + ¿] и ^ : ис+(ж, г) ^ П(ЬП[а, с + ¿]). Так как множество ис+£(ж, г) компактно в пространстве С [а, с + (см. лемму 1), то Лс+^ имеет неподвижную точку.
Неподвижная точка этого отображения - продолжение решения x : [a, c] ^ Rn на отрезок [а, с + 5].
Пусть теперь с = tj, i = 1,..., m, т. е. совпадает с одним из моментов, в котором решение подвергается импульсу. Покажем, что и в этом случае решение x : [а, с] ^ Rn продолжаемо. Для этого для любого т G (ii,ii+i) и r > 0 определим множество
U7T (x,r) = jy G Cn[a, т] : сЛя любого t G [a, t^ x(t) = y(t), sup |y(t) - x(tj) - Ii(x(tj))| ^ r и lim y(t) = x(tj) + Ii(x(tj)) [.
ie(ii,T] i^ii+O j
Равенством (15) определим отображение ФT : U7T(x, r) ^ n(L”[a, т]), в котором с = tj. Аналогично равенством (16) на множестве UT(x, r) определим оператор AT : U7T(x, r) ^
2Cn[a,T ]
Так как для любого u G UT(x, r) справедливо соотношение
( U t (u))|t. = ^,
I Ьг
где функция q из представления (13), то из определения множества UT(x, r) и отображений
ФT : U7T(x,r) ^ n(L™[a, т]) и AT : U7T(x,r) ^ 2c"[“,t] следует, что для любого u G U7T(x,r) имеет место равенство
(A T (u))|t. = x (20)
I 6.
и вложение
AT (u) с AT (u).
Далее в силу того, что образ ФT(UT(x,r)) ограничен суммируемой функцией, то найдется 5 G (0,т — ti), что для любой функции y G AT(UT(x,r)) выполнено неравенство
sup |y(t) — x(ti) — Ii(x(ti))| ^ r. (21)
i€(ii, ti+S]
Кроме того, для любой функции y G AT(U7T(x, r)) имеет место равенство
lim y(t) = x(ti) + Ii(x(ti)). (22)
6 »6г+°
Из вольтерровости отображений ФT : U7T(x, r) ^n(L”[a, т]), AT : U7T(x,r) ^ 2c"[“,t], определенных равенствами (15) и (16) соответственно, а также в силу того, что множество сужений функций из множества UT(x, r) на отрезок [a, tj + 5] - множество Ut. +s(x,r) получаем равенство
Ati+S (Uti+S (x,r)) = (A T (Ut (x,r)))|ti+s,
где (AT(f/T(x, r)))1 Л - множество сужений функций из множества AT(U7T(x, r)) на отре-
I 6i+s
зок [a, tj + 5], отображение AT : Cn[a, т] ^ 2c"[“,t] определено равенством (16). Отсюда согласно соотношениям (20)-(22) получаем вложение
Aii+s(Uii+S(x, r)) с Uii+s(x, r). (23)
Так как отображение фti+s : Uti+s(x, r) — n(Ln[a, ti + ¿j) полунепрерывно снизу, то, согласно [4], существует непрерывное отображение R : Uti+s(x, r) — П(ЪП[а, ti + ¿j), что для любого u G ¿ti+s(x, r) справедливо условие
R(u) G Uti+s(u).
Из определения отображений фr : [7r(x, r) — П(ЬП[a, rj) и Ar : U7r(x, r)
— 2cn[“,r! для
любого u G uc+s(x, r) имеет место включение
(лti+sR)(u) g A ti+s(u).
Таким образом, из соотношения (23) следует вложение
(^i+sR)(UUti+s(x,r)) С ¿/ti+s(x,r),
где оператор (Л^+SR) : ¿uti+s(x, r) — ¿uti+s(x, r) - произведение отображений Лti+s : L?[a, ti + ¿j —— Cn[a, ti + ¿j и R : ¿7^ +s(x,r) —— n(Ln[a,ti + ¿j). Так как множество (Л^+s R)(U ;+S(x, r)) компактно в пространстве u”[a, ti + ¿j (см. лемму 1), то (Л^+sR) имеет неподвижную точку. Неподвижная точка этого отображения - продолжение обобщенного решения x на отрезок [a, ti + ¿j. Теорема доказана.
Теорема 3. Если y - обобщенное решение задачи (1)-(3) на [a, т j, т G (a, bj, то существует непродолжаемое решение x задачи (1)-(3) либо на [a, c) (c G (т, bj), либо на [a, bj такое, что при t G [a, тj выполнено равенство x(t) = y(t).
ЛИТЕРАТУРА
1.Булгаков А.И., Беляева О.П., Мачина А.Н. Функционально-дифференциальные включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестн. Удм. ун-та. Матем., механика. 2005. № 1. С. 3-20.
2. Булгаков А. И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 3. С. 371-379.
3. Тихонов А. Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюл. Моск. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 68. № 4. С. 1-25.
4.Bressan A., Colombo G. Extensions and selections of maps with decomposable values // Studia. math. 1988. V. 90. № 1. P. 69-86.
5.Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
6. Азбелев Н.В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.
7. Завалищин C. Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.
8. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк., 1987.
9. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces, Walter de Gruyter. Berlin; New-York, 2001.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты № 07-01-00305, № 09-01-97503), Министерства образования и науки РФ (программа Развитие научного потенциала высшей школы, проект № 2.1.1/1131), Норвежской Национальной Программы Научных Исследований FUGE (грант PRO 06/02) при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского Комитета по развитию университетской науки и образования(NUFU).
Поступила в редакцию 10 апреля 2009 г.
Bulgakov A.I., Korchagina E.V., Filippova O.V. Functional-differential inclusions with impulses. Part 5. There are studied functional-differential inclusions with impulses and with operator not necesseraly convex-valued with respect to switching.
Key worlds: functional-differential inclusion; impulses; convex-valued with respect to switching.
