Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Часть 4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911, 517.968

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ. Часть 4

©А.И. Булгаков, Е.В. Корчагина, О.В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; импульсные воздействия; выпуклость по переключению значений (разложимость).

Сформулировано определение квазирешения функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями, и изучены его свойства. Получены достаточные условия выполнения принципа плотности и «бэнг-бэнг» принципа для этих включений.

Определение 1. Будем говорить, что функция у £ Сп [а, Ь], имеющая представление (9) в части 2, в котором у(а) = Жо, является квазирешением задачи (1)-(3) части 3, если найдется такая последовательность Xi £ Сп[а, Ь], г = 1, 2,..., что для каждой функции Xi, г = 1, 2,... найдется функция qi £ Ф(у), для которой при любом Ь £ [а, Ь] имеет место равенство

где Д(х^4)) удовлетворяет равенству (2) части 3, и Жi ^ у в пространстве Сп[а, Ь]. Пусть Н(жо)- множество всех квазирешений задачи (1)-(3).

Рассмотрим задачу

Пусть Нсо(жо,т)— множество всех решений задачи (2) на отрезке [а, т] (т £ (а, Ь]). Теорема 1. Справедливо равенство Н(ж о) = Нсо (хо,т). Доказательство. Вначале докажем вложение

Пусть у £ Н(жо) и пусть у £ Сп[а, Ь] имеет представление (9) части 3, в котором у(а) = жо. Тогда, согласно определению квазирешения задачи (1)-(3) части 3 найдется такая последовательность Жi £ Сп[а, Ь], г = 1, 2,..., что для каждой функции Жi, г = 1, 2,... найдется функция qi £ Ф(у), для которой при любом Ь £ [а, Ь] имеет место равенство (1). Так как Жi ^ у в пространстве Сп[а, Ь] при г ^ то, а отображения /д : Мп ^ Мп, к = 1, 2,...,т непрерывны, то при любом Ь £ [а, Ь] справедливо равенство

(1)

Ж £ соФ(ж), Д(ж(Ьк)) = /к(ж(Ьк)), к = 1,...,т, ж(а) = жо.

(2)

Н(жо) С Нга(жо,т).

(3)

т

т

Иш ,£ Х(гк,ь](t)Д(xi(tfc)) ^ ' Х(гк,ь](Ь)Д(у(Ьк)).

(4)

к= 1

Из равенства (4) следует, что при любом Ь £ [а, Ь] имеет место соотношение

(5)

где для каждого г = 1, 2,... функция ^ £ Ф(у) удовлетворяет представлению (1), а функция с[ удовлетворяет равенству (9) части 3, в котором у (а) = Хо.

Далее покажем, что ^ ^ с[ слабо в пространстве ЬП[а, Ь] при г ^ то. Так как множество Ф(у) ограничено суммируемой функцией, то достаточно показать, что для каждого измеримого по Лебегу множества И С [а, Ь] имеет место равенство

Нш / дг(з)^5 = <7(з)^5. (6)

7 7

и и

Докажем равенство (6). Из аддитивности интеграла и равенства (5) следует, что для любых Ь, т £ [а, Ь] справедливо соотношение

С С

Нш / дг(з)^5 = <7(5)^. (7)

7 7

Пусть е > 0 и пусть функция в £ Ь+[а, Ь] такова, что при любых г £ Ф(у) и при почти всех Ь £ [а, Ь] справедлива оценка

кС01 < в(Ь). (8)

Не уменьшая общности далее будем считать, что и функция с[ из представления (9) удовлетворяет неравенству (8). Далее, пусть 5 > 0 таково, что при всех измеримых множествах Е С [а, Ь], удовлетворяющих неравенству м(Е) < 5, выполняется неравенство

У в(з)^ < е. (9)

Далее пусть И С (а, Ь)— измеримое множество и И С (а, Ь)— такое открытое множество, что Ц С Ц и м(И \ Ц) <5. Далее пусть

И = и^Ьг) = Ц^2,

г=1

где (аг,Ьг), г = 1, 2,...— составляющие открытые интервалы множества И С (а, Ь),

Р Ж

Ц = О(аг,Ьг), И = У (аг,Ьг),

г=1 г=р+1

причем р выбрано так, что

МИг) < 5. (10)

В силу равенства (7) выберем N = 1, 2,... таким, что при всех г > N выполняется неравенство

и и

Так как для любого г = 1, 2,... справедливо равенство

(<зф) — ф))^ = J(д*(в) — ф))^ — J (&(«) — Ф))^,

и и\и

то для любого г = 1, 2,... справедлива оценка

|/(9*(в) - Ф))^| < 1 /(9*(в) - Ф))^| + 1 /(9*(в) - ф))^| + и и и2

+ 1 _/ (9*(«) - 9(«))^4 и\и

Так как для функции в £ ^ [а, Ь] выполняется неравенство (8), то получаем оценку

У (9*(«) - 9(«))^« < У (9*(«) - 9(«))^« +2 У в(«)й« + 2 J в(«)^«. и и и2 и\и

Отсюда в силу неравенств (9),(11) для любого г > N получаем оценку

У(9ф) - 9(«))^ < 5е. и

Таким образом для любого измеримого множества и С [а, Ь] справедливо равенство (6). Следовательно, 9* ^ 9 слабо в пространстве Ь”[а, Ь] при г ^ то. Так как выпуклое замкнутое множество пространства замкнуто и в слабой топологии этого пространства (см. [5]), то из включения 9* £ соФ(у) вытекает включение 9 £ соФ(у). А это означает, что функция у £ С”[а, Ь], представимая в виде (9), является решением задачи (2), то есть у £ Нсо(жо,Ь). Следовательно, включение (3) справедливо.

Теперь докажем вложение

Нсо(хо,т) сН(жо). (12)

Пусть у £ Нсо(жо,Ь). Тогда функция у £ С”[а, Ь] представима в виде равенства (9) части

3, причем функция 9 £ соФ(у), у(а) = жо. Так как множество Ф(у) £ 5(Ь”[а, Ь]), то для функции 9 найдется такая последовательность 9* £ Ф(у), г = 1,2,..., что 9* ^ 9 слабо в пространстве Ь”[а, Ь] при г ^ то (см. [5]). Далее, определим последовательность ж* £ С”[а,Ь], г = 1, 2,..., равенством (1). Так как 9* ^ 9 слабо в пространстве Ь”[а, Ь] при г , то

6 6

Нш / 9*(«)^5 = 9(5)^«

7 7

равномерен относительно £ £ [а, Ь]. Поэтому в силу непрерывности отображений : М” ^

М”, к = 1, 2,..., т, получим равенство

Ит ||ж* - у||а„м =0.

А это означает, что у £ Н(жо). Таким образом справедливо вложение (12). Из соотношений (3), (12) следует равенство Н(жо) = Нсо(жо,т) . Теорема доказана.

Определение 2. Будем говорить, что импульсные воздействия : М” ^ М”, к = 1,2,...,т и отображение Ф : ^ ” [а, Ь] ^ 5 (Ь”[а, Ь]) обладают свойством В, если выполняется свойство (Г°’о’°; С, к = 1, 2,..., т), а задача

у = Гу, у(а) = 0 (13)

на каждом отрезке [а, т] (т £ (а, Ь]) имеет только нулевое решение, где отображение Г : С+ [а, Ь] ^ Ь+[а, Ь] удовлетворяет неравенству (8) части 3.

Теорема 2. Пусть множество всех локальных решений задачи (2) априорно ограничено. Далее, пусть импульсные воздействия : Rn ^ Rn, k = 1, 2,..., m и отображение

Ф : Cn[a, b] ^ S(L^a, b]) обладают свойством B. Тогда H(xo,b) = 0 и справедливо ра-

венство

H(xo,b) = HCo(xo, b), (14)

где H(xo,b) — замыкание множества H(xo,b) в пространстве Iеn[a, b].

Доказательство. Так как задача (2) априорно ограничена, то априорно ограничена и задача (1)-(3) части 3. Поэтому множество H(xo, b) = 0.

Далее докажем равенство (14). Так как отображение Ф : C”[a, b] ^ S(Ln[a, b]) удовлетворяет неравенству (6) части 3, то отображение Фсо : C”[a, b] ^ Q[S(Ln[a, b])], заданное равенством

Фсо(х) = еоФ(ж), (15)

непрерывно по Хаусдорфу. Поэтому множество Hco(xo, b) замкнуто в пространстве Cn[a, b] и является компактом, содержащимся в некотором выпуклом компакте пространства C”[a, b], который отображение Фсо : C”[a, b] ^ Q[S(L^a, b])], определенное равенством (15), переводит этот выпуклый компакт в себя. Из этого свойства вытекает вложение

H(xo,b) С Hco(xo, b). (16)

Теперь докажем включение

Hco(xo,b) С H(xo,b). (17)

Пусть y G Hco(xo,b). Это означает, что найдется такое C £ СоФ(у), что функция у G Cn[a, b] представима в виде (9), в котором y(a) = xo. В силу теоремы 1 у G H(xo). Поэтому найдется такая последовательность xi G C”[a,b], i = 1,2,..., что для каждой функции

Xi G C”[a, b], i = 1, 2,..., найдется функция qi £ Ф(у), для которой при любом t £ [a, b]

имеет место равенство (9) и Xi ^ у в пространстве C”[a, b] при i ^ то.

Далее, из неравенства (6) для любого измеримого множества U С [a, b] и для любого i = 1, 2,... вытекает соотношение

PLn(M)ki^(Xi)] < ^(и^Ф^Ф^)] r(Z(Xi - y))(s)ds.

и

Далее, для любого i = 1, 2, ... рассмотрим мажорантную задачу

z = r(Z(xi - y)) + 1 + r(z),

Az(tfc) = 4(z(tfc)), k = 1,2,..., m, (18)

z(a) = 0,

где отображение Г : C +[a, b] ^ L+[a, b] удовлетворяет оценке (8). Так как r(Z(xi — y)) ^ 0 при i ^ то, а предельная задача априорно ограничена, то при всех достаточно больших i = 1, 2,... задача (18) имеет верхнее решение. Не уменьшая общности будем считать, что при всех i = 1, 2,... задача (18) имеет верхнее решение. Обозначим это верхнее решение G C”[a, b]. Тогда для каждого xi G C n[a, b], i = 1, 2,..., найдется такое решение z G

C”[a, b] задачи (1)-(3), что при любом t G [a, b] имеет место оценка

|zit — xi(t)| < £i(t). (19)

Поскольку r(Z(xi — y)) + 1 ^ 0 при i ^ то, то £i ^ 0 при i ^ то. Поэтому из оценки (19) следует, что

.lim ||zi — xiygn[a,b] = 0. (20)

Из равенства (20) вытекает, что г% ^ y в пространстве Cn[a, b] при i ^ то. А это означает, что y G H(xo,b). Таким образом, включение (17) доказано. Из соотношений (16), (17) вытекает равенство (14). Теорема доказана.

Таким образом, теорема 2 дает достаточные условия выполнения принципа плотности (см. [1]) для задачи (1)-(3). Равенство (14) можно усилить следующим образом.

Пусть отображение F : [a, b] х C”[a, b] ^ comp[Rn] обладает следующим свойством: при каждом фиксированном x G C”[a, b] отображение F(-,x) измеримо и удовлетворяет равенству

Ф(х) = {y G Ln[a, b] : y(t) G F (t, x) при почти всех t G [a, b]}.

Такое отображение существует (см. [4]). По аналогии с оператором Немыцкого, будем называть отображение F : [a, b] х C”[a, b] ^ comp[Rn] отображением, порождающим оператор Ф : C”"[a, b] ^ S(Ln[a, b]). Далее, отображение ФеХ; : Cn[a, b] ^ S(L^[a, b]) определим равенством

Фех1(х) = {y G Ln[a, b] : y(t) G ext(coF(t, x) при п.в. t G [a, b]}. (21)

Отметим, что при каждом x G C”[a, b] множество Фе^(х), определенное равенством (21), — минимальное по включению выпуклое по переключению, замкнутое в пространстве Ln[a, b] множество, содержащееся в множестве Ф^) и удовлетворяющее условию

cô^ext(x)) = cô^(x)). (22)

Рассмотрим задачу

x G Фех^), A(x(tfc)) = Ifc(x(tfc)), k = 1,..., m, x(a) = xo. (23)

Пусть Hext(xo,T)— множество всех решений задачи (23) на отрезке [a, т] (т G (a, b]), а Hext(xo)- множество всех квазирешений задачи (23).

Из равенства (22) и теоремы 1 вытекает Следствие 1. Справедливо следующее равенство

Hext(xo) = HCo(xo,b).

ЛИТЕРАТУРА

1.Булгаков А.И., Беляева О.П., Мачина А.Н. Функционально-дифференциальные включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестн. Удм. ун-та. Матем., механика. 2005. № 1. С. 3-20.

2. Булгаков А. И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 3. С. 371-379.

3. Тихонов А. Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюл. Моск. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 68. № 4. С. 1-25.

4.Bressan A., Colombo G. Extensions and selections of maps with decomposable values // Studia. math. 1988. V. 90. № 1. P. 69-86.

5.Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

6. Азбелев Н.В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.

7. Завалищин C. Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

8. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк., 1987.

9. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces, Walter de Gruyter. Berlin; New-York, 2001.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты № 07-01-00305, № 09-01-97503), Министерства образования и науки РФ (программа Развитие научного потенциала высшей школы, проект № 2.1.1/1131), Норвежской Национальной Программы Научных Исследований FUGE (грант PRO 06/02) при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского Комитета по развитию университетской науки и образования(NUFU).

Поступила в редакцию 10 апреля 2009 г.

Bulgakov A.I., Korchagina E.V., Filippova O.V. Functional-differential inclusions with impulses. Part

4. The concept of quasi-solution to a functional-differential inclusion with impulses is represented. The properties of such solutions are studied. There are also derived sufficient conditions for density principle and bang-bang principle.

Key words: functional-differential inclusion; impulses; convex-valued with respect to switching.