CC BY
69
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, ФИЗИКА КРИСТАЛЛОВ
Андреев, А. И.,
кандидат физико-математических наук,
e-mail: andranatoliy@yandex.ru Andreev, A. I.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ
Аннотация. Работа Андреева А. И. «ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СИММ-МЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ» в простой форме определяет теорию симметрии кристаллов. В работе дано определение фундаментального генератора 32 классов симметрии кристаллов, который в простой форме содержит определение всех 32 классов симметрии кристаллов, включая их линейное (матричное) представление и определение состава операций симметрии каждого из 32 классов.
FUNDAMENTAL THEORY OF CRYSTAL SYMMETRY
SUMMARY. The work AI Andreeva FUNDAMENTAL THEORY SIMMMETRII CRYSTALS in a simple form determines thorium crystal symmetry. This paper gives a definition of the fundamental oscillator 32 classes of crystal symmetry, which in a simple form contains the definition of all 32 classes of crystal symmetry, including linear (matrix) representation and definition of symmetry operations of each of the 32 classes.
Ключевые слова: теория симметрии кристаллов, классы симметрии, фундаментальный генератор классов симметрии кристаллов, теорема смежных классов симметрии куба, иерархия классов симметрии.
Keywords: theory of crystal symmetry, symmetry classes, the fundamental generator classes of crystal symmetry, symmetry theorem cosets cube hierarchy of classes of symmetry.
В теории кристаллов учение о симметрии является исключительно важным. Любой кристалл относится к одному из 32 классов симметрии, которые были определены в работе Гесселя 1830 г. Более полная теория 32 классов симметрии содержится в работе Гадолина 1867 г.
Целью предлагаемой работы является изложение фундаментальной теории симметрии кристаллов, обоснование фундаментального генератора всех 32 классов симметрии кристаллов, включая определение состава операций симметрирования каждого класса и линейное (матричное) преставление любого класса симметрии.
Основой предлагаемой работы является публикация [1], в которой определены перестановочно инверсионные матрицы, сформулирована и до-
казана теорема о представлении всех 48 матриц симметрии куба перестановочно инверсионными матрицами.
Существенными в дальнейшем изложении являются теория составных и простых матриц, теория установки пересекающихся осей симметрии.
ТЕОРИЯ СОСТАВНЫХ И ПРОСТЫХ МАТРИЦ. ТЕОРИЯ УСТАНОВКИ ОСЕЙ
СИММЕТРИИ
Из множества произвольных матриц выделим составные и простые матрицы. Матрица называется составной, если она представляет произведение двух и более матриц. Простой называется матрица, которая не является составной. В качестве примера рассмотрим группу симметрии куба порядка 48. Согласно [1], симметрию куба определяют 48 перестановочно инверсионных матриц I = 1, 2, ... 6, ]" = 1, 2, ... 8. Матрицы перестановок Р|(3,3 формируются перестановкой столбцов единичной матрицы Е(3,3) = [е1 е2 е3
"10 0" 0 1 0 001
Матрицы инверторы Dj(3,3) формируются заменой в единичной
матрице Е(3,3) диагональных значений (+1) на (-1). В целом 6 матриц перестановок и 8 матриц инверторов составляют 6 + 8 = 14 простых матриц. Остальные 48 - 14 = 34 матрицы PiDj рассматриваются как составные.
Составные матрицы являются исключительно важными в теории преобразования векторных пространств, в теории групп, в теории симметрии кристаллов. Операции симметрирования включают повороты относительно пересекающихся осей вращения. Поворотам относительно пересекающихся осей и (а), 1_2(Р) соответствует произведение матриц М1(а) М2(в) = М1М2 = М. Матрица М является составной. Произведение матриц в общем случае не коммутативно, М2 М1 Ф М1 М2. С поворотами всегда связаны простые и составные матрицы. Результат поворота зависит от того, какая из осей и (а), 1_2(в) используется первой при повороте. Более общими в теории векторных пространств, в теории симметрии кристаллов являются линейные преобразования, которые включают не только повороты пространства, но и отражения в плоскостях симметрии, отражение в центре симметрии.
Использование составных матриц рассмотрим на примере групп симметрии кубической сингонии. Кристаллы кубической сингонии содержат три взаимно ортогональные оси симметрии четвертого порядка 4х, 4у, 47. С каждой осью симметрии четвертого порядка связаны матрицы вращения Мх, Му, М7 на соответствующие углы а, в, Y [2]:
Mx =
1 0
0
0 cosa - sin а 0 sin a cosa
My =
cos f 0 - sin f
0
1 0
Mz =
cosy - sin у 0
sin у cos у
0
0
0 1
sin p 0 cos p
Значениям углов a = в = y = 0 соответствуют три единичные матрицы Mx(0°) = My(0°) = Mz (0°) = E(3,3).
С другой стороны, любая группа элементов G(n) содержит единственный элемент тождественного преобразования e и единственную матрицу E(n,n) тождественного преобразования. Поэтому существование трех матриц тождественного преобразования не соответствует постулатам существования
групп. Оси симметрии 4х, 4у, 4z и связанные с ними матрицы вращения Мх, My, Mz нельзя рассматривать как независимые в теории групп.
Оси симметрии 4х, 4у, 4z являются пересекающимися осями вращения, поэтому поворотам относительно пересекающихся осей соответствует произведение матриц. Из трех осей симметрии 4x, 4у, 4z одна ось всегда может рассматриваться как исходная, не зависимая от других осей симметрии.
0"
Обычно за независимую ось вращения принимают ось 4z = е =
0 1
в базисе
Е(ЗД = [е1 е 2 ез ] = [е я е, е , ]
1 0 0 0 1 0 0 0 1
. Матрица E(3,3) является матрицей то-
ждественного преобразования. В базисе E(3,3) осье2 рассматривается как неподвижная. С осью е2 связаны 12 операций симметрирования: 4 поворота на углы 0°, 90°, 180°, 270°, 4 отражения в плоскостях симметрии, продольных оси е , 4 поворота на 180° относительно осей второго порядка, ортогональных
оси е .
В целом с осью е2 связаны 4 + 4 + 4 = 12 операций симметрии. С тремя
осями 4x, 4у, 4z связаны 3*12 = 36 операций симметрии, которые обозначены символом 3(4кт2). Число 3 в выражении 3(4кт2) определяет три оси симметрии четвертого порядка 4x, 4у, 4z. В скобках (4кт2) число 4k обозначает 4 поворота на угол 0°, 90°, 180°, 270°, 4 отражения в продольных к оси 4k плоскостях симметрии и 4 поворота относительно четырех осей второго порядка, ортогональных каждой из трех осей 4k четвертого порядка.
Операции симметрии связаны с применением теорем кристаллографии тг1 и п/2 = п2. По теореме пт, если через ось симметрии порядка п проходит продольная плоскость симметрии 1Г1, тогда в действительности существует п продольных плоскостей симметрии 1Г1. По теореме п2, если через ось симметрии порядка п проходит ортогонально ось симметрии второго порядка, тогда существует п осей симметрии второго порядка, ортогональных оси п.
В кубе с каждой осью 4x, 4у, 4z четвертого порядка связаны 4 поворота на углы 0°, 90°, 180°, 270°, 4 продольные плоскости симметрии и 4 оси второго порядка, ортогональные этим осям, т. е. с каждой осью порядка 4k связаны 4 + 4 + 4 = 12 операций симметрии. В целом с осями 4x, 4у, 4z связано 3*12 = 36 операций симметрии.
Теоремы пт и п2 используются для обозначения классов симметрии типа 31Г1, 4т, 42, 6т, 62. С исходными осями 3, 4, 6 связаны инверсионные оси 3,4,6. Инверсионная ось включает поворот с последующей инверсией (-
1)М = МЕ = М. Матрица М(п, п) в дальнейшем называется инверсионной по
отношению к исходной матрице М(п,п). Операции (-1)М = МЕ = Мявляются тождественными. В кристаллах тетрагональной и гексагональной симметрии
выделяются классы с обычной и инверсионной осями симметрии: 1 и 1 , 3т и
3 т, 4т и 4 т, 42 и 4 2, 6т и 6 т, 62 и 6 2, 3 и 3 , 4 и 4, 6 и 6 . При этом справедливы равенства типа М (4г) = (-1) М (4) = М (4г) •
Полная группа симметрии куба (голоэдрия) содержит 48 матриц, которые связаны с тремя осями симметрии 4х, 4у, 47 четвертого порядка.
С осью симметрии 47 связаны 4 поворота на углы 0°, 90°, 180°, 270°, 4 отражения в продольных к оси 47 плоскостях симметрии и 4 поворота относительно четырех осей второго порядка, ортогональных оси 47. В целом с осью 47 связаны 4 + 4 + 4 = 12 операций симметрии, а подгруппа порядка 12 обозначена символом М7 = М(47) = М(47т2).
Таблица матриц симметрии М7 = М(47) относительно оси 47
4z 4+ z 2z 4- z mxz my mxy z mxy z
"1 0 0" "010" " I 0 0" "0 1 0" "10 0" "1 0 0" "0 1 0" "0 10"
0 1 0 1 0 0 0 I 0 10 0 0 1 0 01 0 10 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
x 2z 2 y z 2 z 2 z
"10 0 " Т 0 0" "0 1 0" "0 10"
0 10 0 1 0 10 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 _
рицы
Явный вид матриц вращения 4, 4+, 2Z, 4- следует из определения мат-cos у - sin у 0
Mz (y) = sin у cosy 0 и подстановки значений угла y = 0°, 90°, l0 0 1 180°, 270°.
В обозначениях матриц 4 , 4+, 2z, 4- верхние индексы +- соответствуют поворотам на (+90° ) и (-90°), а 4 означает поворот на нулевой угол. При этом 4++ = 2 . В кристаллографии положение плоскости в пространстве определяется направлением нормали к плоскости. В обозначениях продольных плоскостей симметрии mx, my, mxy, mxy плоскости mx, my являются координат-
ными, а плоскости тху, тху - диагональными. Аналогично, оси второго по-
2 2 1
рядка 2х, 2у являются координатными, а оси 2ху, 2ху - диагональными.
В дальнейшем любая матрица 4 ^, к = 1, 2, ... 12 в выражении М7 = М( 4 ^) обозначает элемент подгруппы симметрии М7 порядка 12 относительно оси
47.
Поворотам относительно пересекающихся осей соответствует произведение матриц. Теория симметрирования относительно пересекающихся осей симметрии изложена ниже.
z z
*xy
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ С ПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ ОСЯМИ СИММЕТРИИ
В кристаллах кубической сингонии оси симметрии четвертого порядка 4х, 4у, 47 пересекаются. Ось 47 обычно принимают за исходную и определяют все допустимые операции симметрии с этой осью.
С осью 4 связаны 4 поворота на углы 0°, 90°, 180°, 270°, 4 отражения в
плоскостях симметрии, продольных оси 4 , 4 поворота на 180° относительно осей второго порядка, ортогональных оси 4 . В целом с осью 4 связаны 12 операций симметрирования 4 ^, к = 1,2,...12.
Для определения матриц симметрии относительно осей 4х,4 сформулируем и докажем теорему о симметрии с пересекающимися осями симметрии.
ТЕОРЕМА. Матрицы симметрии 4хх относительно оси 4 равны произведению матриц симметрии 4х относительно оси 4 на матрицу перестановки
Рэ-1 = [ег еу ех
4х = 4х Рз_1, к = 1, 2, ... 12.
х 2
Матрицы симметрии 4ху относительно оси 4 равны произведению
матриц симметрии 4х относительно оси 4 на матрицу перестановки Рз-
2(3,3) = [ех е, еу ]:
4х = 4х Рз-2, к = 1, 2, ... 12.
з-2,
У 2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Любая из 12 матриц 4х преобразует исходную по-х
зицию кристалла г = у в позицию 4хг. Первые 8 матриц 4х в выражении 4хг
2
сохраняют значение компоненты 7 вектора г, а последующие 4 матрицы 4Кг меняют знак компоненты 7 на противоположный.
Произведение первых 8 матриц4хх в выражении 4ххг сохраняют значение
компоненты х вектора г, а последующие 4 матрицы 4хх в выражении 4ххг меняют значение компоненты х на противоположное. Равенство 4х = 4х Рз-1 оп-
1 х 2
ределяет все матрицы симметрии 4х относительно оси 4 .
Аналогично, равенство 4х = 4х Рз-2 определяет все 12 матриц симмет-
рии 4х относительно оси 4 .
У У
х х х х
Справедливость равенств 4х = 4х Рз-1, 4х = 4х Рз-2 доказывает теорему.
В произведении 4хг = 4х Рз-1, к = 1, 2, . 12 матрица Рз-1 переставляет
первый и третий столбец каждой матрицы 4х. Аналогично, в 4х = 4х Рз-2 мат-
рица P3-2 переставляет второй и третий столбец в каждой матрице 4k, учиты
"0 0 1" "1 0 0"
вая Рз-i = 0 1 0 , Рз-2 = 0 0 1
1 0 0 0 1 0
Из равенств 4 X = 4 X Рз-1, 4к = 4 X Рз-2 следует, что определение матриц симметрии относительно осей 4X, 4к содержит только перестановки двух столбцов в каждой матрице 4х, к = 1, 2, ... 12.
Результаты определения матриц 4X и 4ху перестановкой столбцов матриц 4 X приведены ниже.
Таблица составных матриц симметрии куба 4х = 4х Рз-1
4 x 4+ x 2 x 4" x my x mz x myz x myz x
"0 0 1" "010" "0 0 Т" "0 1 0 " "0 0 1" "0 0 1" "0 10" "0 1 0"
0 1 0 0 0 1 0 I 0 0 0 1 0 1 0 0 10 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
2 У
x
2
2^
x
2^
x
"0 0 1 " "0 0 1" "0 10" "010"
0 10 0 1 0 0 0 1 0 0 1
10 0 10 0 10 0 _ 1 0 0_
Таблица составных матриц симметрии куба 4y = 4k Рз z -2
4 4+ 2 4" m x m z ..„„xz m ..„„xz m
У У 4 + У У 4 = У У У
1 0 0" "0 0 1" " 1 0 0" "0 0 1 " "1 0 0" "10 0 " " 0 01" "0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 0 0 1 10 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
2x 2z 2 xz 2xz
У У У У
"1 0 0 " "1 0 0" "0 0 1" "0 0 1"
0 0 1 0 0 1 10 0 1 0 0
0 10 0 10 0 10 0! 0
Теорию матриц симметрии с пересекающими осями рассмотрим подробнее. Пусть матрица Mi преобразует исходный вектор r в вектор ri = Mir. Затем матрица M2 преобразует вектор ri в вектор Г2 = М2Г1 = М2М1Г. Затем матрица Мз преобразует вектор r2 в вектор гз согласно МзГ2 = гз = М3М2П = M3M2Mir = Мг. Выражение МзМ2М1Г = Мг согласуется с теоремой Эйлера. По теореме Эйлера любая последовательность вращений твердого тела относительно пересекающихся осей вращения всегда может быть заменена одним
вращением. В теории гироскопов, в теории вращения волчка определяют три оси вращения, которым соответствуют три матрицы М(ф), M(9), М(ф) и их произведение М(ф)М(9)М(ф) = М(ф,9,ф).
В связи с существованием простых и составных матриц симметрии применим обозначения типа Му и Му; = М7Рэ - 2 для простых Му и составных Му; матриц.
В кристаллах кубической сингонии с тремя осями четвертого порядка 4x, 4у, 4z связаны 36 матриц симметрии Мк, k = 1,2,...36. Четыре пространственные диагонали куба являются осями симметрии третьего порядка 3i = 3[ш], З2 = 3[Tll , Зз = 3[TÎ , З4 = 3[lTl] и определяют 12 операций симметрии с поворотами на 0°, ±120°.
Матрицы симметрии относительно четырех осей третьего порядка 3к, к = 1, 2, 3, 4 определены ниже.
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОСЕЙ КУБА
Повороты куба относительно четырех осей симметрии третьего порядка Зк, к = 1, 2, 3, 4 поясняет рисунок 1, на котором обозначены вершины Ak, A, k
= 1, 2, 3, 4. C каждой вершиной Ак, к = 1, 2, 3, 4 связан равносторонний треугольник, построенный из диагоналей граней, сходящихся в вершине Ак. С вершиной А1 = А[ш] связан треугольник T1 = А2А4 A.
A3
A4
A
A2
A
A
Рисунок 1
Центр треугольника А2А4 Д является центром куба. Нормаль из центра
треугольника совпадает с направлением пространственной диагонали куба и является осью симметрии третьего порядка 3[ш] = З1. Вершины треугольника А2, А4, Д являются также вершинами куба. Поэтому при повороте куба на угол (±120°) поворачивается и треугольник Т1 в своей плоскости.
Из построения следует, что координатные оси ОХ, ОУ, 07, проведенные из центра куба, проходят через середину каждой стороны треугольника
А2А4 А и образуют треугольник базисных векторов [ех е ег .
При повороте куба относительно оси З1 поворачиваются треугольник А2А4А и треугольник базисных векторов с соответствующей матрицей М(31) = [ех еу ег\. Поворотам куба на (±120°) относительно оси З1 = 3[ш] соответствуют матрицы поворотов базисных векторов М(3;) = [ег ех е \ и М( 3-) = [е^ е2 ех\.
Заменив в матрице базисных векторов каждый вектор ек арифметическим вектором, получим три матрицы симметрии куба:
"1 0 0" "0 1 0" "0 0 1" 1 0 0
М(31) = 0 1 0 , М( 3;) = 0 0 1 , М( 3-) = 1 0 0 , где е х= 0 ,е, = 1 ,е г= 0
0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Построим для каждой вершины куба Ак, к = 1, 2, 3, 4 правильный треугольник. С каждым треугольником связана исходная матрица базисных векторов М(3к). Циклическая перестановка базисных векторов при поворотах куба на (±120°) относительно каждой из четырех осей 3к определяет все 12 матриц симметрии куба, связанных с четырьмя осями третьего порядка.
Исходные матрицы базисных векторов для каждого треугольника Тк имеют вид: М(31)
Циклически смещая в матрице базисные вектора влево и вправо на один шаг, определим 12 матриц симметрии куба, связанные с четырьмя осями третьего порядка 3к.
[ея е„ е, \ М(32) = [ех е„ е, \, М(33) = [ех е„ е, \, М(34) = [ея е„ е,\.
ТАБЛИЦА МАТРИЦ СИММЕТРИИ КУБА М(3к), к = 1, 2, 3, 4
М(31) 1 0 0" 0 1 0 0 0 1
М(33) 10 0" 0 10 0 0 1
М( 3;) М( 3-)
0 1 0 0 0 1 1 0 0 М( 3;) 0 10" 0 0! 1 00
001 100 0 1 0 М( 3-) "0 01" 10 0 0 1 0
М(32) 10 0 0 1 0 0 0 1
М(34) "10 0" 0 10 0 0 1
М( 3;)
0 I 0" 0 0 1
1 0 0 М( 3;)
0 10 0 0 1 1 0 0
М( 3-) 0 0 1 100 0 1 0
М( 3-) 001 10 0 0 1 0
Матрицы М(3к) в составе 12 матриц определяют подгруппу симметрии куба порядка 12.
Таблица 12 матриц симметрии куба относительно четырех пространственных диагоналей куба связана с таблицей 36 матриц симметрии куба, свя-
занных с тремя осями четвертого порядка 4х, 4у, 47. Каждой из 12 матриц симметрии куба М(3к), к = 1, 2, 3, 4 соответствует матрица из 36 матриц симметрии осей четвертого порядка 4х, 4у, 47 . Таблица соответствия матриц М(3к) и М(4т ) приведена ниже.
ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИЯ МАТРИЦ СИММЕТРИИ М(3к) и М(4т )
М(31) = М(47), М(3;) = М( ш^), М(3]") = М(ш^), М(32) = М(шхг), М(3;) = М( 4;), М( 3]) = М( 4;), М( 33) = М( 2 2), М( 3;) = М( шухг), М( 3]) = М( шх;), М( 34) = М( шу), М( 3;) = М( 4 ]), М( 3]) = М( 4]).
Из таблицы соответствия матриц М(3к) и М(4т) следует, что 12 матриц симметрии М(3к) относительно пространственных диагоналей куба составляют подгруппу в составе 36 матриц М(4т) симметрии четвертого порядка 4х, 4у, 47. Связь матриц М(3к) и М(4т) позволяет исключить оси симметрии третьего порядка из соответствующих групп симметрии кристаллов. Но симметрию тетраэдра определяют только оси симметрии третьего порядка и продольные к ним плоскости симметрии.
В кристаллографии обозначения операций симметрии многозначны. Одна и та же операция симметрии в разных классах и у разных авторов может иметь несколько различных обозначений. Поэтому допустимо равенство, например, М( 3;) = М( 4;). Равенства типа М( 3;) = М( 4;) определяют все 48 матриц симметрии куба без применения осей симметрии третьего порядка.
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ГЕНЕРАТОР 32 КЛАССОВ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ
В полной группе симметрии куба порядка 48 выделяется подгруппа матриц симметрии Mz = M(4Z) порядка 12 с матрицами Mkz, k = i, 2, ... i2.
Матрицы Mk, k = i, 2, ... 12 включают 4 поворота на углы 0°, 90°, 180°, 270°, 4
отражения в продольных к оси 4z плоскостях симметрии и 4 поворота относительно четырех ортогональных оси 4z осей симметрии второго порядка.
Существование подгруппы обычно используется для разложения исходной группы по подгруппе на смежные классы. По теореме Лагранжа отношение порядка n любой группы G(n) к порядку ее подгруппы m всегда является целым положительным числом n/m = k и называется индексом подгруппы.
В связи с существованием в группе симметрии куба подгруппы Mz = M(4z) порядка 12 сформулируем и докажем фундаментальную теорему смежных классов симметрии куба.
ТЕОРЕМА: группа симметрии куба порядка 48 включает подгруппу матриц симметрии Mz = M(4z) порядка 12 и три смежных класса по подгруппе
Mx = Mz Рз --i, My = Mz Рз--2, Mz = Mz E(3,3) = Mz E , где E = (-i)E - матрица ин-
версии. Матрицы Рз -i
|e e e I
L z У x J
001 0 1 0 100
Рз --2
|e e e I
L x z У J
1 0 0 0 0 1 0 1 0
являются
матрицами перестановок.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Подгруппу 12 матриц симметрии куба М7 = М(47) относительно оси 47 обозначим символом М7 = М(42) = (47т2). В выражении (42т2) число 47 обозначает ось симметрии четвертого порядка, с которой связаны 4 поворота на углы 0°, 90°, 180°, 270°, 4 отражения в продольных к оси 47 плоскостях симметрии и 4 поворота относительно четырех ортогональных оси 47 осей симметрии второго порядка.
В кубе оси 4х, 4у, 47 пересекаются, поэтому с осями ОХ и ОУ связаны составные матрицы Мх = М7 Р3-1 и Му = М7 Р3-2. Матрицы симметрии Мх = М7 Р3 - 1 и Му = М7 Р3 - 2 составляют смежные классы симметрии куба по подгруппе М7 = М(47). В целом подгруппа М7 и два смежных класса Мх, Му составляют 3*12 = 36 матриц симметрии куба из 48 матриц полной симметрии куба (голоэдрии).
В целом группа симметрии куба Мкуб порядка 48 представлена подгруппой Мг порядка 12 и тремя смежными классами по этой подгруппе Мх,
Му, Мг:
Мкуб = 4 Мк = М2, Мх, Му, Мг.
Выражение Мкуб = М2, Мх, Му, М2 определяет фундаментальный генератор 32 классов симметрии кристаллов, в явной форме содержит каждый из 32 классов симметрии. В сокращенной форме записи генератор 32 классов имеет вид: Мкуб = 4Мк, к = 1, 2, 3, 4. Более полным является обозначение Мкуб = 4Мк = М7, Мх = М7 Р3 - 1, Му = М7 Р3 - 2, Мг = М7Е .
Отметим: любой смежный класс группы не является подгруппой исходной группы, так как не содержит элемент и матрицу тождественного преобразования. Поэтому в полной группе симметрии куба порядка 48 Мкуб = М2,
Мх, Му, М2подгруппу составляют только 12 матриц симметрии Мг = М(47).
Матрицы 32 классов симметрии связаны определенным образом. Эта связь в наглядной форме отражает иерархия классов симметрии, теория которой представлена ниже.
ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ
Многие закономерности окружающего нас мира связаны законами иерархии. Элементы иерархии, в дальнейшем называемые классами, в наглядной форме формируют древовидную структуру иерархии.
В древовидной структуре иерархии выделяется корневой класс. Корневым называется класс, который ни от кого не произошел, сам себя произвел и имеет потомков. Потомки корневого класса называются производными корневого класса. Потомки корневого класса, в свою очередь, порождают своих потомков и становятся родительскими классами для своих потомков. По отношению к корневому классу потомки потомков корневого класса составляют второе поколение по отношению к корневому классу.
Формирование от родительских классов потомков порождает древовидную структуру иерархии классов. В этой иерархии производный класс на-
следует свойства родительского класса и классов, порождающих родительский класс, включая корневой класс иерархии.
В иерархии корневых классов может быть несколько, и каждый корневой класс порождает свою часть древовидной структуры иерархии.
При существовании нескольких корневых классов возможно множественное наследование. При множественном наследовании производный класс может наследовать свойства нескольких родительских классов, принадлежащих производным разных корневых классов, добавляя свои особенности.
В иерархии классов выделим простых потомков, которые не становятся родительскими классами, и потомков-родителей, которые порождают простых потомков и потомков-родителей. Переход от потомков-родителей к последующим потомкам-родителям формирует сложную древовидную структуру иерархии различных уровней.
В кристаллографии ключевым является существование 32 классов симметрии. Каждый класс симметрии содержит определенный состав операций симметрии, в результате которых исходный многогранник совмещается с собой.
Иерархию классов симметрии можно формировать, переходя от классов низкой симметрии к классам более высокой симметрии (снизу вверх) или переходя от классов высокой симметрии к классам более низкой симметрии (сверху вниз).
Кристаллы по составу операций симметрирования делятся на три категории: высшая, средняя, низшая. В кристаллах высшей категории существует несколько осей симметрии высокого порядка 3, 4, но оси 6 порядка отсутствуют. В кристаллах средней категории существует единственная ось высокого порядка 3, 4, 6. В низшей категории могут существовать оси симметрии не выше второго порядка.
Дальнейший учет особенностей операций симметрирования приводит к выделению в каждой категории сингоний (систем). Понятия сингонии и системы часто отождествляются. Поэтому классы симметрии относят к семи син-гониям или к семи системам. В высшей категории существует единственная сингония - кубическая - С-сингония. В средней категории выделяют три сингонии: гексагональная Н, тетрагональная О, тригональная Р. В низшей категории выделяются ромбическая О, моноклинная М и триклинная Т сингонии.
Название сингонии и системы совпадает во всех сингониях, кроме гексагональной. В гексагональной сингонии выделяют две системы - гексагональную и тригональную. Дальнейший учет особенностей операций симметрии приводит к выделению в каждой сингонии классов симметрии, приведенных в соответствующей литературе.
СИНГОНИЯ КЛАССЫ СИНГОНИЯ КЛАССЫ
Кубическая С т3т, 432, 43ш, т3, 23. Ромбическая О тт2, тт, 222
Тетрагональная О 4/ттт, 4тт, 42ш, 422, 4/т, 4,4. Моноклинная М 2/т, 2, т.
Гексагональная Н 6/ттт, 6тт, 6 т2, 622, 6/т6,6,6 . Триклинная Т 1, 1.
Тригональная 1Р 3ш, 3т, 32, 3, 3 .
Распределение минералов по классам симметрии отличается значительной неоднородностью. В классах простой кубической решетки кристаллизуется единственный элемент - а-фаза полония при нормальных условиях.
Ряд металлов кристаллизуется в объемно-центрированную решетку (Рэ) или в гранецентрированную решетку (Си). В классах низшей категории кристаллизуется свыше 50 % минералов. В ромбической сингонии кристаллизуется 21 % известных минералов, в моноклинной и триклинной сингонии 36,5 % минералов, т. е. в низшей категории кристаллизуется порядка 21 % + 36,5 % = 57,5 % .
С каждым классом симметрии связан многогранник. В наглядной форме переход от классов высокой симметрии к классам более низкой симметрии рассматривается как деформация исходного многогранника. С классом кубической С-сингонии связан куб. Деформация куба (сжатие / растяжение вдоль любого ребра) порождает прямой параллелепипед с квадратным основанием а = Ь + с, а = в = Y = 90°, который является элементарной ячейкой тетрагональная сингонии с семью классами симметрии.
Преобразование квадратного основания прямого параллелепипеда в прямоугольное основание порождает прямой параллелепипед а + Ь ^с, а = в = Y = 90°, который является элементарной ячейкой ромбической сингонии О.
Деформация прямого параллелепипеда а + Ь ^с, а = в = Y = 90°, при которой пара противоположных граней из прямоугольных преобразуется в параллелограммы, формирует моноклинный (однонаклонный) параллелепипед и соответствующую моноклинную сингонию с классами симметрии 2/т, 2, т.
Деформация моноклинного параллелепипеда в параллелепипед а + Ь ^с, а + в ^ Y ^ 90° формирует триклинную сингонию Т с классами симметрии 1, 1.
Растяжение / сжатие куба вдоль пространственной диагонали порождает ромбоэдр Р.
В теории кристаллов классы симметрии гексагональной Н-симметрии обычно не рассматриваются как подгруппы кубической С-сингонии. В связи с этим представляется целесообразным иерархию классов симметрии рассматривать как иерархию, порожденную двумя корневыми классами - классом кубической С-симметрии и классом гексагональной Н-симметрии. С другой стороны, потомок родительского класса может наследовать все или часть особенностей родительского класса, добавляя свои дополнительные особенности. Виды операций симметрирования в кристаллографии крайне ограничены - повороты относительно простых или инверсионных осей симметрии 1, 2, 3, 4, 6, отражения в плоскостях симметрии и в центре инверсии. В пространственных группах рассматриваются операции трансляции - простые трансляции, винтовые и зеркальные.
Учитывая изложенное, определим иерархию 32 классов симметрии кристаллов.
ИЕРАРХИЯ КЛАССОВ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ
(6т,6 т),6т, 6 т,62,62,6,6
Кубическая т3т
3т, 32, 3,3
4(4 ,т2),3(4,т), 3(4 А 2),3(4 А 4), 3(4), к = 1,2,3
(4т2,4 т2),4т, 4т, 42,42,4,4
3т, 32
2, т
В предложенной иерархии классов симметрии использованы естественные для развиваемой теории обозначения классов симметрии типа 3(4 т), 3(4.2) и другие. Отметим, что число п может обозначать число осей симметрии класса или порядок оси симметрии в выражениях типа 3(4т),3(4 2).
Заключением работы являются выводы.
ВЫВОДЫ.
1. Существование в группе О(п) подгруппы порядка т порождает смежные классы порядка т и вводит в теорию групп составные матрицы. Составной является матрица М(п,п), в явном виде представленная произведением двух и более матриц. Любая матрица смежного класса является составной как произведение любой матрицы подгруппы на соответствующую матрицу исходной группы.
2. В любом смежном классе отсутствуют повторяющиеся элементы, отсутствует матрица тождественного преобразования Е(п,п). Групповая операция не создает новых элементов группы, не исключает существующие элементы, всегда возвращает элемент исходной группы при любой групповой операции типа д1д2дз ...дп = дт. В групповой операции используют как исходные элементы группы, так и обратные элементы.
3. Матрицам симметрии относительно пересекающихся осей симметрии соответствуют СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ СИММЕТРИИ исходной группы О(п). В кристаллах кубической сингонии оси симметрии 4х, 4у, 47 четвертого порядка пересекаются. Одна из осей, обычно 47, рассматривается как независи-
мая от других осей 4х, 4у. Операциям симметрии относительно осей 4х, 4у соответствуют смежные классы 4х = 47 Р3-1, 4у = 47 Р3-2, 4 = 47 Е (3,3) = (-1) 47 .
4. Переход от текущей оси симметрии 47 к последующей пересекающейся оси соответствует переходу к смежному классу группы симметрии. Любой смежный класс не является подгруппой, так как в нем отсутствует матрица тождественного преобразования.
Предлагаемая работа представляется полезной широкому кругу специалистов по кристаллографии, теории групп, квантовой физики, физики твердого тела (ФТТ).
ЛИТЕРАТУРА
1. Андреев, А. И. Группы матриц перестановок в теории симметрии кристаллов [Текст] / депонировано в ВИНИТИ РАН. - М., 2009. - 02.06.2009. - № 341В 2009.
2. Смирнов, В. И. Курс высшей математики [Текст]. Т. 3. Ч. 1 / В. И. Смирнов. - М. : Изд-во технико-теоретической литературы, 1956.
