Фугоидное движение дозвукового неманевренного самолета в неизотропной атмосфере. Ч. II Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XXIV 1993

М I

УДК 629.735.33.015.017.21

ФУГОИДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ДОЗВУКОВОГО НЕМАНЕВРЕННОГО САМОЛЕТА В НЕИЗОТРОПНОЙ

АТМОСФЕРЕ. Ч. II

В. А. Григорьев, В. К. Святодух

Исследуется влияние неизотропности атмосферы на движение дозвукового неманевренного самолета. Анализируются условия устойчивости, а также расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Рассматривается случай полета с малыми запасами продольной статической устойчивости, а также с продольной статической неустойчивостью.

Традиционно считается, что влияние неизотропности атмосферы на движение самолета проявляется лишь на сверхзвуковых режимах [1, 2]. Основные закономерности динамики самолета в этих условиях хорошо изучены [2, 3]. Однако, как показано в работе [4], неизотроп-ность атмосферы по высоте может быть существенной и для дозвукового полета. Для выявления подобных случаев необходимо общее исследование динамики фугоидного движения дозвукового самолета в неизотропной атмосфере. Такое исследование предпринято в работе, состоящей из двух частей: первая часть, опубликованная ранее [5], содержит в себе анализ важнейших характеристик фугоидного движения — моментной и силовой устойчивости по скорости и высоте. В ней также рассматривается важный частный случай — движение в изотропной атмосфере. Вторая часть (настоящая статья) посвящена анализу динамики длиннопериодических процессов, который учитывает изменение плотности и температуры воздуха по высоте. Рассмотрены также свойства фугоидного движения при полете с малыми запасами продольной статической устойчивости и с продольной статической неустойчивостью.

Характеристики фугоидного движения в неизотропной атмосфере.

Пусть атмосфера неизотропна по высоте (рн^0). Используем допущения со2~0, а»0*. Тогда собственное длиннопериодическое движение

* Отметим, что, как й в ч. 1, эти допущения означают сбалансированность самолета по продольному моменту и то, что угловая скорость тангажа обусловлена толь-

а

ко вертикальной составляющей перегрузки и>г х 0 = -у Диу [6]

самолета описывается следующими уравнениями продольного возмущенного движения (см. [5]):

ая — — <зу 1\н — анУ]у (пояснения к используемым обозначениям <3у . 3А,

е й др. см. в [5]). С учетом поправки на влияние а и уравнение (1) приобретает вид

Поскольку оп<0, то величина Он может служить мерой близости самолета к границе апериодической неустойчивости. Самолет, не являющийся апериодически неустойчивым, статически устойчив (свободный член характеристического уравнения положителен) [7]. Поэтому аналогично параметру определяющему статическую устойчивость по скорости в изотропной атмосфере, параметр <тя можно определить как степень статической устойчивости по высоте [4].

Условия устойчивости, следующие из уравнения (2), есть

тельной неустойчивости, по аналогии с параметром о ^ назовем степенью динамической устойчивости по высоте. Отметим, что моментная устойчивость по скорости тождественна статической устойчивости по скорости. Однако степень моментной устойчивости по высоте ан отлична от степени статической устойчивости по высоте Он-

X. _ _ Д6 X е + п1 д V +пЦ АН,,

суап = — тг ДI/ — Шг АН,

Н=У- де.

Соответствующее характеристическое уравнение есть

р3 + 2$ф р* + <4 р + V = О,

0)

рг Н- 2$ф/?2 + ш 1р + V = О,

(2)

где, как и в [5], |ф = ?ф

ф — ~ Шф + «фо- Для неизотропной атмо-

V > О,

25фЮф — V > О

или

(3)

ош —обобщенная степень момейтной устойчивости [4].

Параметр аон, определяющий меру близости к границе колеба-

Из выражений для коэффициентов уравнений (1) и (2) видно, что параметр ол входит в них через отношение ол/0п. Аналогично параметру ау (см. [5]) введем обозначение вн =--------—.Тогда условия устойчи-

5П

вости (3) можно представить в следующем виде:

3Н — — = ------- — 0Л7]у < О,

«он - ' - (4)

од/у = —2— = <зу(ег[н - т(1/ — а,о) + аш(5а + 5,ом) < О,

аш

где зш =-------— 01/ + еал.

Для больших дозвуковых скоростей полета диапазон изменения параметров од и цн является существенно меньшим, чем соответственно для параметров ау и г\у. Действительно, в этих условиях (например, на крейсерских режимах в изотермической атмосфере), когда длительности протекания длиннопериодических процессов по высоте и по скорости примерно сравнимы (см. [5]), цн~—1. При этом а/г~

тгУ —

~ ^ , т. е. —0,9 — 0,5 (предполагается, что хорошие

с

тгУ+

Iй-

пилотажные свойства самолета без СУУ — системы улучшения устойчивости и управляемости ■— обеспечиваются за счет соответствующего запаса продольной статической устойчивости). На этих же режимах Оу и Х\у могут менять знак, причем ВОЗМОЖНЫ случаи, когда |сГу|тах~2,

I "П^ | тах — 1 • Для малых скоростей полета, когда, например, сжимаемостью воздуха можно пренебречь, диапазоны изменения ап, Цн и соответственно 0^, г|у примерно одинаковы. Однако в этих условиях характерное время протекания длиннопериодических процессов по высоте (при 1/ = сопв1) примерно на порядок больше характерного времени протекания соответствующих процессов по скорости (при Н = сопв^ [5], т. е. значимость фактора неизотропности атмосферы для управления полетом практически отсутствует.

Из сказанного следует, что область устойчивости (4) целесообразно, как и область устойчивости для случая изотропной атмосферы, представлять в координатах ву и т]у. В частности, граница апериодической неустойчивости есть прямая

-Пн-

— —Оу,

граница колебательной неустойчивости — гипербола

ч]у — Л -)- (5] — 1 )ау -(- -=г— ,. (5)

где А = е(Г|Н—оь) + 251ео/, + 53, В= (53 + 51ео/,)ео/г. Сама область устойчивости, рассчитанная для крейсерского режима полета гипотетического пассажирского самолета, представлена на рис. 1,а. Там же для сравнения приведены соответствующие границы устойчивости для изотропной атмосферы. Отметим высокую точность аналитической оценки (5).

Колебательная неустойчивость :

Изотропная

аптосщера

* точное решение

Н= 11.2км. $^-6,76

Изотропная атмосфера

2 Нане Нательная ^

' Апериодическая неустойчивость '■ неустойчивость ЛЩ\

6у

ЧЬШ\<0,05

Колебательная

неустойчивость

Изотропная

атмосфера

Рис. 1. Неизотропная атмосфера:

а) область устойчивости; 6) область устойчивости по доминирующим корням

Из рис. 1 , а видно, что при сгу ^—0,4 граница колебательной неустойчивости для неизотропной атмосферы отличается от соответствующей границы в изотропной атмосфере по параметру на ~0,2-ь0,3. Хотя это и является значительным (в крейсерском полете |г1у|^1), но не затрагивает свойства самолета, поскольку соответствующие значения т]у превышают максимально достижимые на этих режимах

('П^>7)утах~у)• При других значениях (Ту границы устойчивости для

изотропной и неизотропной атмосфер не совпадают даже на качественном уровне. Это связано с тем, что для неизотропной атмосферы появляется малый действительный корень характеристического уравнения, который, хотя и незначительно отражается на динамике продольного движения, но приводит к качественному изменению условий устойчивости. Другими словами, для сравнения рассматриваемых областей устойчивости нужно получить «условия устойчивости» для доминирующих корней характеристического уравнения (2). Рассмотрим подробнее корни этого уравнения:

V -

)-Н ~-2" = —Гг-Хя, (6)

"Ф •

>4,2 ~ -у {с/ (°У--е^н) + IV------ + (*/,)’ (су — еХ//)2] }, (7)

* —

, с /' I “ \ с Г °ьг1у + °уг>н ,

где ау =---------= + 7]к — >->1 (ок -|- еа^} — ^3, Ля— ——;—=— = ГШ +

°п . + еан

. Т.у-Пя

+ ■——«А-

О)

Из выражений для Ян, Л.1,2 видно, что по сравнению с изотропной атмосферой в соотношения для корней характеристического уравнения дополнительно вошли следующие параметры: он, Цн и е (см. соответст-

вующие выражения в [5]), а также /я (в параметр 53). Соотношение (6) соответствует действительному «высотному» корню, который обычно по абсолютной величине гораздо меньше двух других корней [2]:

1^'Я I С 1^1,2 |-

Анализ показывает, что выражения (6), (7) справедливы при

1 Оа> | ^ 0,05. При этом последнее из них можно упростить:

Х),2 ~ \сху (°к — е'кн) 4; N —2зм}. (8)

Для крейсерских режимов соотношение (8) выполняется при |'ат 1^0,2. Если при этом оп ^ —0,25, то очевидно, что оценки (6) н- (8) приемлемы при одном условии: | | ^ 5% САХ. В режимах полета с малыми

скоростями неизотропностью атмосферы можно пренебречь, и выражения (7), (8) переходят в соответствующие выражения в [5]; при этом для Хн имеем: Хн = 0.

Оценим влияние неизотропности атмосферы на собственное возмущенное движение самолета, определяемое доминирующими корнями /.1,2- Из предыдущего анализа понятно, что для дозвукового неманевренного самолета это влияние наиболее значительно для крейсерских режимов. Поэтому рассмотрим полет именно в этих условиях.

Среди параметров в выражении (8), которые обусловлены изменением свойств атмосферы по высоте, основным является о,„ = ау + ва/,. Из математической модели состояния атмосферы следует

Л1Ч (1 И Т")

6 ~ ~ 2--------

где х=1,4 — показатель адиабаты для воздуха, Я = 29,27 м/град — газовая постоянная. Тогда для е имеем оценку: е~0,3-ь0,45. Поэтому при | оу | ~ | оу |тах, т. е. при |(Ту|~2 влияние неизотропности атмосфе-ры на исследуемое движение незначительно, поскольку, как уже отмечалось,—0,9 5^ ол <—0,5. Рассмотрим, например, частоту фугоидных колебаний

^ у' К-2 ^ + е<3а)-

Ее относительное изменение при учете изменения свойств атмосферы по высоте есть

Г'

Положив е = 0,45, 0;,= —1, оу=—2, получим А<ор = 0,11, т. е. в рассматриваемом примере учет неизотропности атмосферы приводит к увеличению частоты фугоидных колебаний самолета всего на ~11%.

Из полученного выражения (9), в частности, следует, что знак Асо*- определяется знаком о^. Для самолетов, обладающих продольной статической устойчивостью (тсгу<0), обычно он<0. Для компоновок со значительной степенью продольной статической неустойчивости (необходимый запас статической устойчивости по перегрузке в этом случае обеспечивается за счет СУУ) ал>0 и знак Дюр меняется на обрат-

ный (До)р<0), т. е. учет неизотропности атмосферы приводит к понижению частоты фугоидного движения. Продольная статическая неустойчивость самолета, обусловленная экономичностью полета, достигает величин —10% САХ и более [8]. Поэтому в качественных оценках, проводимых ниже, будем считать, что — 1 1.

Рассмотрим влияние неизотропности атмосферы на демпфирование фугоидных колебаний Оценки показывают, что для крейсерских

режимов полета неманевренного самолета значения ) 0 —

__ «у £

—- рн_0 ПРИ = —2 соответствуют диапазону —0,7 ~ сху ^

I ти =о

^0,7у сху. Поскольку в этих условиях могут быть случаи, когда

демпфирование близко к нулю (-^«О), то целесообразно рас-

ДЧг -*

сматривать не величину — >—, а величину Д— т-. При

’ ** ’^тах

этом ^тах~ 3 у сху. Тогда

I | ^ | |тах — ~ 0^2,

т. е. учет неизотропности атмосферы по высоте при Оу= —2 не приводит к изменению демпфирования фугоидных колебаний самолета более чем на ~20% от его максимального значения.

С уменьшением |оу| (по сравнению с величиной \еон\) значимость исследуемого фактора возрастает. При ау = 0 и заданном режиме полета параметр а,„ определяется только моментной характеристикой самолета по высоте: вт = еал. Пусть ай =—1 и атмосфера изотермическая (7’ = 216К). Тогда фугоидное движение

колебательно, с частотой ю^ оЛ = = 0,039 с-1

(7> ^ 160с, Если аЛ = 1, то самолет апериодически неустой-

/н*

= 18 с [4].

gч

Такая степень неустойчивости, обусловленная неизотроиностыо атмосферы по высоте, отрицательно скажется на пилотировании самолета летчиком, поскольку Т2 существенно меньше характерного периода фугоидных колебаний неманевренного самолета.

Из выражения для доминирующих корней (8) непосредственно следуют условия того, что >„1>2 находятся в левой полуплоскости:

0,„ — 31/ + еа11 < 0/

Оу---е\н < 0.

При этом в плоскости параметров ау, Цу граница апериодической неустойчивости есть вертикальная прямая

= — е<зк,

* Аналогичное условие получено в работе [3].

а граница колебательной неустойчивости — гипербола (5). Надо однако учесть, что выделение доминирующих корней справедливо только при условии | з,„ |> 5% САХ. В противном случае для определения границы апериодической неустойчивости следует использовать условие ая = 0. На рис. 1,6 приведена область,устойчивости фугоидного движения в неизотропной атмосфере, определенная по доминирующим корням в условиях крейсерского полета, соответствующих рис. 1 ,а. Точки плоскости, удовлетворяющие условию

0,05 - . 0,05

-----еан<зу< - ----------езк

7п ая

(т. е. условию | зш ; <5% САХ), исключены из рассмотрения. Там же приведены соответствующие границы устойчивости для изотропной атмосферы. Видно, что в отличие от рис. 1 ,а исследуемые области (для изотропной и неизотропной атмосферы) на рис. 1,6 обрели качественное сходство.

Малые запасы продольной статической устойчивости. В проведенном выше анализе (а также в работе [5]) предполагалось, что самолет обладает хорошими пилотажными свойствами в управлении углом тангажа или перегрузкой, что обуславливает разделимость корней характеристического уравнения на «большие» и «малые» (по модулю) [6]. Именно при этих условиях справедливы полученные оценки. При малых запасах продольной статической устойчивости корни характеристического уравнения сближаются, и для анализа динамических процессов на интервалах времени, типичных для короткопериодического движения, необходимо рассматривать полные уравнения продольного возмущенного движения самолета [7, 9], т. е. учитывать силы и, моменты, обусловленные изменением V и Н. Таким образом, движение при малых запасах продольной статической устойчивости можно отнести к движению фугоидному [6].

Прежде всего следует отметить, что разделимость корней правильнее рассматривать не по параметру тсгу, а по параметру оп, поскольку именно он определяет вырождение характеристического уравнения (2) при СГп->-0, ЧТО соответствует исчезновению члена СуОп&Пу в системе уравнений продольного возмущенного движения (см. [5]). Кроме того, в литературе отмечается, что разделимость корней характеристического уравнения теряется для значений т°гу>0[9—И]. Однако нетрудно убедиться, что при достаточно большой продольной статической неустойчивости (п1гу > +15% САХ) разделимость корней восстанавливается. На рис. 2 приведены результаты расчета «показателя» разделимости корней г = | ^ф|- (Лф — максимальный по модулю корень из корней фугоидного движения, Лк — минимальный по модулю корень из корней короткопериодического движения) в зависимости от тсгУ, соответствующие крейсерскому полету. Там же приведены расчеты квадрата недемпфированной частоты короткопериодического движения ш2. Видно, что разделимости корней соответствует условие |о„|> 5-М0% САХ. При этих же значениях оп оценка со2 по уравнениям короткопериодического движения (на рис. 2 показана пунктиром) с высокой точностью близка истинной величине.

Получим предельное значение корней характеристического уравнения при Оп-^-оо, что соответствует условию *т—>-оо (л:т — местоположение ц. м. самолета, выраженное в долях САХ). При этом не будем учитывать эдияние ср на с? (<р — отклонение органа продольной Оадэнси-

ровки), а также изменениес\ по режимам полета. Поскольку в балан-

, , (<ГМ .... 7. ,

сировочном полете V— 1 н---------------------^ [12] И ойт = 1 — ----------, ИЗ

выражений (6) и (8) имеем*:

2gccУe —

Мн=,_Пт>.н=А~1Ун,

хг-*х

V

М,, 2 - _Нш X,, 2 = - ** [ 1 _ ^ + т9 + еын] ± I л. X

хТ-+ос у

X |/2 [1 + е + т<?{1 - 2/не)],

где

’11/ + 1я + иФ „ (т1)ым

Н~~ 1 + ^+«¥(‘-2///е) ’ 2т;'"

Соответствующие корневые траектории (по параметру хТ) для крейсерского полета гипотетического пассажирского самолета приведены на рис. 3, а (см. также [7, 9]). При этом ур = 0, п%\с = соп81 = -—0,13 и

I ср ~0

7)у = —-1 .

Из рис. 3, а видно, что корни короткопериодического движения и корни фугоидного движения «встречаются». Найдем однако условия, когда разделимость корней сохраняется практически при всех значе-

С

ниях яг/ Очевидно, что это соответствует случаю, когда

М, 2 ~ М, 2- (10)

* Аналогичные соотношения для изотропной атмосферы без учета зависимости

/и|от Д1 получены ран^ р работе [13],

ю

Рис. 3. Неизотропная атмосфера, г|у =— 1

_1_

-01 * т^=-0,15

-0,1

1т.

0,1

о

а)

а

6)

і

01 не

л а

* 0,02

О 0,025

■ 0,03 Ъь

о 0,01 0,1

♦ 0,05 Р-*\

V 0,06 / \

° - и . 1 г. а ш О *-!

0,1 Яе

Рис. 4. а) Изотропная атмосфера; б) неизотропная атмосфера

Будем предполагать, что атмосфера изотропна. При этом ар =1 (т. е. (т*)м = 0). Тогда для условия (10) получим

Яу = ---1,

5, = 5г

или

/' тгг^ЬА \ 2су

\1'Р ’ "2018 } М ' (П)

6 — 6 Л____

5°~ 2су ’

где £0 = я1т — —демпфирование короткопериодического движения,

* V Су

обусловленное изменением угла атаки.

I Условия (11) инвариантны по отношению к местоположению ц. м. самолета. Поэтому, если они выполняются, то при любых зна-

чениях хТ. Но тогда с уменьшением запаса продольной статической устойчивости (с увеличением хт) меньший (по модулю) из действительных корней коротконериодического движения при своем движении вдоль оси абсцисс не встретит действительный корень фугоидного движения (см. рис. 4,а). Корни фугоидного движения при этом локализована р очен*? маленькой 90Л9^ТИ (ДЛЯ вубрацногд ма.штэфа на рис, 4, а

ТҐІ* 1 с ---------

особенностей, не отмеченных ранее в силу чрезмерного упрощения задачи, а также определить условия, когда эти допущения не приемлемы. Методической основой проведенного анализа является форма представления уравнений продольного возмущенного движения. Предлагаемый подход полезен и для более сложных задач, связанных с динамикой длиннопериодического движения самолета.

Авторы благодарят А. Г. Обрубова за полезные замечания к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В. Аэродинамика самолета. Ди-иамика продольного и бокового движения. — М.: Машиностроение, 1979.

2. Sachs G. Langsstabilitat im Oberschall — und Hyperschallflug//

Zeitschrift fiir Flugwissenschaften, 24. Jahrgang, Heft 6, 1976.

3. Sachs G. A new concept of static stability and ils flight testing

in supersonic flight//J. of Aircraft. — 1977. Vol. 14, N 9.

4. Григорьев В. А., Святодух В. К. Особенности фугоидного движения дозвукового статически неустойчивого неманевренного самоле-та//Ученые записки ЦАГИ.— 1991. Т. 22, № 4.

5. Григорьев В. А., Святодух В. К. Фугоидное движение

дозвукового неманевренного самолета в неизотропной атмосфере. Ч. 1// Ученые записки ЦАГИ. — 1992. Т. 23, № 4.

6. Григорьеве. А., Святодух В. К. Особенности фугоидного движения неманевренного самолета//Ученые записки ЦАГИ. — 1990. Т. 21, № 5.

7. Вед ров В. С. Динамическая устойчивость самолета. — М.—Л.: Оборонгиз, 1938.

8. Rising J. J. An advanced control system for a next generation

transport aircraft//AIAA Paper. — 1983, N 2194.

9. Э т к и н Б. Динамика полета. Устойчивость и управляемость. — М.: Машиностроение, 1964.

10. Михалев И. А. и др. Системы автоматического управления самолетом. Методы анализа и расчета. — М.: Машиностроение, 1971.

11. Андреевский В. В и др. Аэромеханика самолета.—М.: Машиностроение, 1977.

12. Снешко Ю. И. Исследование в полете устойчивости и управляемости.— М.: Машиностроение, 1971.

13. Волошин О. Л. Исследование устойчивости фугоидного движения неманевренного самолета с СУУ//М.: Деп. ВИНИТИ. — № ДО 6236, 1984.

Рукопись поступила 6/XI 1990 г.