CC BY
79
УДК 05.03.11
Норматов Ж. С. студент магистратуры
2-курс
Ташкентский Университет Информационных Технологий ФРАКТАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Аннотация: Фрактал - природный феномен, математическое множество, повторяющийся паттерн, каждая часть которого в различных масштабах повторяет всю структуру. Термин «фрактал» введён Б. Манделъбротом в 1975г. для описания геометрических форм, встречающихся в природе. Сегодня мы всё чаще видим примеры применения этой теории вне геометрии. Один из таких примеров - теория медиа М.Маклюэна: технологические улучшения человека - это его «расширения» в окружающий мир. Эти расширения не только улучшают человеческие способности, но и содержат в себе определённую внутреннюю идею, логику развития и существования, которую они распространяют через себя. Такое распространение идей и принципов функционирования можно назвать концептуальными фракталами. Самоподобие концептуального фрактала выявляется на уровне понятий, концептов, ментальных конструкций. Подобные понятия можно увидеть повсюду в человеческой культуре. Подобное использование фрактальной теории поможет нам понять множество процессов, происходящих в современном обществе и предсказать их дальнейшее развитие.
Ключевые слова: Фрактал, феномен, математика, тип, геометрический.
Normatov J.S. undergraduate 2-year
Tashkent University of Information Technology FRACTALS AND THEIR APPLICATION
Annotation: А fractal is a natural phenomenon or a mathematical set that exhibits a repeating pattern that displays at every scale. The term "fractal" was first used by mathematician B.Mandelbrot in 1975 to describe geometric patterns of nature objects. Today we can find a lot of examples of using this theory not only in geometry. One of them is M.McLuhan's theory of media: technologies are some kind of extensions in the outer world. These extensions not only improve and increase human abilities, but also content some kind of inner logic of existence and functioning of this technological improvement. We can represent this kind of transferring of concepts and principles of functioning as conceptual fractals. The self-similarity of conceptual fractals reveal itself in concepts, ideas, mental constructs. We can find this kind of fractals everywhere in human culture.
Studying the such use of fractal theory in humanities help us to understand a lot of processes that happen in today's society and prognose it's further progress.
Key words: fractal, phenomenon, mathematics, type, geometric.
Введение
Бенуа Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в том, что она неспособна достаточно точно описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, линии берега — это не окружности, и кора не является гладкой, а молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно».
1. Из истории создания фракталов
Фрактальная геометрия возникла в XIX веке. Кантор с помощью простой повторяющейся процедуры превратил линию в набор несвязанных точек, при этом была получена так называемая Пыль Кантора [2].
Рисунок 1. Пыль Кантора
Он брал линию и удалял из нее центральную треть, после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Накопление данных о таких странных объектах шло вплоть до XX века.
Так было, пока за них не взялся Бенуа Р. Мандельброт (Benoit Mandelbrot), математик из Исследовательского центра им. Томаса Уотстона при IBM. Он является отцом современной фрактальной геометрии и именно он предложил термин «фрактал» для описания объектов, структура которых повторяется при переходе к более мелким масштабам. Работая в IBM, Бенуа Р. Мандельброт изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Со временем, сопоставив некоторые факты, он пришел к открытию фрактальной геометрии - нового направления в математике.
2. Определение фрактала Слово "fractal" ввел Бенуа Р. Мандельброт от латинского слова "fractus", что означает разбитый, т. е. поделенный на части [2]. Одним из определений фрактала является следующее: фрактал — это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого. То есть фрактал — это такой объект, для которого не
важно с каким усилением его рассматривать в увеличительное стекло, но при всех его увеличениях структура остается одной и той же. Структуры большие по масштабу полностью повторяют структуры меньшие по масштабу.
Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. Размерность объекта показывает по какому закону растет его внутренняя область. Аналогичным образом возрастает «объем» фрактала с ростом его размеров, но его размерность — величина не целая, а дробная. Поэтому граница фрактальной фигуры не линия: при большом увеличении становится видно, что она размыта и вся состоит из спиралей и завитков, повторяющих в малом масштабе саму фигуру.
3. Типы фракталов Фракталы делятся на геометрические фракталы, алгебраические фракталы, системы итерируемых функций, стохастические фракталы
3.1. Геометрические фракталы История создания фракталов началась с геометрических фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. При построении данных видов фракталов поступают так: берется набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Затем к ним применяется набор правил, который преобразует их в некоторую геометрическую фигуру. И потом к каждой части этой фигуры применяют этот же набор правил. С каждым шагом фигура становится все сложнее и после бесконечного количества преобразований получается геометрический фрактал.
Из геометрических фракталов очень интересным и знаменитым является снежинка Коха, которая строится на основе равностороннего треугольника. Каждая линия треугольника заменяется на 4 линии длиной в 1/3 исходной Таким образом, длина кривой
увеличивается на треть. Если сделать бесконечное число таких шагов,
Рисунок 2.СнежинкаКоха Рисунок 3. Треугольник
Серпинского
Для построения треугольника Серпинского из центра треугольника мысленно вырезается кусок треугольной формы, который упирается своими вершинами в середины сторон исходного треугольника. Для трех образовавшихся треугольников повторятся эта же процедура и так
до бесконечности. При этом любой из образовавшихся треугольников представляет точную копию целого.
3.2. Алгебраические фракталы Вторая группа фракталов — алгебраические фракталы. Они получили свое название за то, что строятся на основе алгебраических формул. Существует несколько методов получения алгебраических фракталов. Один из них представляет собой многократный расчет функции 2п+1=Д2п), где 2 — комплексное число, а f — некоторая функция. Для построения фрактала необходимы комплексные числа. Комплексное число - это число вида а+Ы, состоящее из действительной и мнимой частей. Комплексное число можно изобразить точкой на координатной плоскости, у которой действительная часть а — это координата Х, а коэффициент Ь при мнимой части - это координата У.
ГХ
в V ^ А*
У - ^ •у
< > С
К
Рисунок 4. Множество Жюлиа Рисунок 5. Множество Мандельброта
4. Применение фракталов
Фракталы нашли широкое применение в различных областях науки и техники. В компьютерной графике фракталы применяются для построения изображений природных объектов, таких, как поверхности морей, деревья, кусты, горные ландшафты и т. д. [1] С использованием фракталов могут строиться вполне реалистичные изображения: например, фракталы часто используются при создании облаков, береговых линий, снега, кустов, деревьев и др.).
Поэтому применять фрактальные изображения можно в самых разных сферах: создание обычных текстур и фоновых изображений, фантастических ландшафтов для компьютерных игр и книжных иллюстраций.
Создаются подобные фрактальные изображения путем математических расчетов, но базовым элементом фрактальной графики (в отличие от векторной графики) является математическая формула. Это означает, что в памяти компьютера никаких объектов не сохраняется и изображение строится только на основе уравнений.
Рисунок 6. Природные фракталы
Рисунок 7. Фрактальные снежинки
В физике фракталы возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как пламя, турбулентное течение жидкости, облака, сложные процессы диффузииадсорбции и т. п. При моделировании пористых материалов (в нефтехимии) также используются фракталы. Для описания систем внутренних органов и моделирования популяций они применяются в биологии.
В последнее время растет популярность фракталов у трейдеров и используется для анализа состояния биржевых рынков. Фракталы рынка являются одним из индикаторов в торговой системе Била Вильямса. Считается, что он же впервые и ввел это название в трейдинг.
>■ ? |Л
I
к
V <У л и
<• V ^ АА/
Рисунок 8. Котировки акций на Нью-Йоркской бирже
Таким образом, исследования, связанные с фракталами, меняют многое из привычных представлений об окружающем нас мире, о самых обычных предметах, таких как облака, реки, деревья, горы, травы и др. [1].
Заключение
Что превнес компьютер в нашу жизнь нового, неведомого до него? Главное — он позволил увидеть и полюбить фракталы, которые завораживают своей таинственностью, проявляясь в различных областях: механике, биологии, географии, метеорологии, философии и даже истории.
Использованные источники:
1. Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство // Математика в школе — 2005. — № 4. — С. 76—78.
2. Жуков Д. С., Лямин С. К. Варианты использования методов фрактальной геометрии в социальных и политических исследованиях // Inetemum. 2010. №2 (3). С. 17-35.
3. Маклюэн Г. М. Понимание медиа: внешние расширения человека. М.: Кучково поле, 2011. 463 с.
