Фрактальный подход к формированию портфелей ценных бумаг Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

фрактальный подход к формированию портфелей ценных бумаг

е. м. бронштейн,

доктор физико-математических наук профессор Уфимского государственного авиационного технического университета

з. и. янчушка

Уфимский государственный нефтяной технический университет, кафедра «Математическое моделирование»

В связи с сокращенным объемом государственных инвестиций в производственные отрасли российской экономики значимым для их дальнейшего развития является привлечение частных инвестиций. Основой для принятия решений инвесторами наряду с другими являются подходы и методы математического анализа и моделирования процессов в финансовом секторе экономики, которые позволят им на начальной стадии правильно сформировать свои портфели активов, обеспечить снижение риска вложений, сделать более прозрачными прогнозы уровней доходности инвестиционных портфелей и повысить эффективность управления своими активами.

Макроэкономическая ситуация в России на сегодня в целом способствует процессу инвестирования. Несмотря на то, что финансовые аналитики [1] оценивают перспективы рынка акций в 2007 г. как более скромные, нежели в 2006 г., текущий год станет временем дальнейшего роста российского фондового рынка, драйверами которого по прогнозам станут нефтегазовая отрасль и металлургический сектор.

Инвестирование на рынке акций в среднем приносит достаточно высокий доход. При этом российский рынок ценных бумаг является весьма рискованным. Это настораживает потенциальных инвесторов, а начинающих неопытных инвесторов подталкивает на неправильный выбор состава портфеля. Поэтому для реальных и потенциальных инвесторов наряду с управлением активами по

значениям доходности первостепенным является соотношение доходности актива с показателями финансовых рисков и умение правильно формировать инвестиционный портфель на основе исследования исторических данных. Универсального подхода к формированию портфелей ценных бумаг не существует. Инвесторам следует предложить достаточно широкий спектр инструментов, которые позволят им определять структуру портфеля на основе субъективных ожиданий.

Следует отметить, что еще до того как полностью оформилась гипотеза эффективного рынка, обнаруживались исключения, которые ставили под сомнение предположение о нормальности распределений временных рядов финансовых показателей. Этому посвящены работы Б. Мандель-брота [2,3], в которых показано, что распределения финансовых показателей правильнее относить к классу фрактальных, примером которых может служить устойчивое распределение Парето. Работы Э. Петерса [4,5] также посвящены изложению гипотезы фрактального рынка как альтернативе гипотезы эффективного рынка.

Сказанное объясняет актуальность исследования, целью которого является развитие портфельной теории на основе фрактального подхода к формированию портфелей рисковых ценных бумаг как достаточно адекватно отражающего реалии фондового рынка.

Основной интерес для нас представляли задачи следующего характера:

1) математический анализ динамики фрактальных характеристик наиболее ликвидных акций компаний нефтегазовой отрасли, обращающихся на российском и зарубежных рынках ценных бумаг;

2) исследование статистики фрактальной размерности временных диаграмм доходностей портфелей этих акций;

3) определение склонности инвестора к риску, которая соответствует фрактально-оптимальному портфелю акций;

4) анализ уровня диверсифицированности фрактально-оптимальных портфелей акций.

Объектами исследования стали портфели наиболее ликвидных акций крупнейших эмитентов по капитализации нефтегазовой отрасли: ОАО «Газпром», ОАО «Сибнефть», ОАО «ЛУКОЙЛ», ОАО «Оренбургнефть», ОАО «Татнефть», ОАО «Сахалинморнефтегаз», ОАО «Черногорнефть», ОАО «Пурнефтегаз», ОАО «Сургутнефтегаз», «Exxon Mobil Corporation», «Chevron Corporation», «Marathon Oil Corporation».

При принятии решения о формировании портфеля ценных бумаг в качестве одного из методов анализа авторы предлагают использовать прямую методику вычисления фрактальной (хаусдорфовой) размерности доходности портфеля, позволяющую получить ее значения без предварительного нахождения показателя Херста.

Метод исследования. Фрактальные размерности кривых, выражающих зависимость доходности портфеля (в частности одной акции) от времени в течение года, вычислялись следующим образом. Портфель описывается вектором ~х = (x,, x2,..., xn) где x — доли

акций различных компаний и ^ xt = 1. Область

ло-

маной, построенной по k последовательным значениям доходности, разбивается на п2 квадратов со

стороной 1, (п=2х^), вычисляется число квадратов п

Щп), содержащих точки ломаной, а затем — вели-1п N (п)

чина -, которая принимается за статисти-

1п п

ческую оценку фрактальной размерности.

Размерность Хаусдорфа рассматриваем как показатель того, насколько часто и как сильно изменяется доходность портфеля.

Вычислялись размерности Хаусдорфа портфелей, содержащих доли выбранных акций с кратностью 0,1. В качестве фрактально-оптимального выбирался портфель, размерность Хаусдорфа которого минимальна. Такой портфель интерпретируем как наиболее предсказуемый.

результаты анализа фрактальных размерностей доходностей акций и фрактально-оптимальных портфелей. Проведенные вычисления дали следующие результаты.

• Найденные значения фрактальной размерности доходностей акций не превышают 1,5, следовательно, все исследуемые временные ряды являются персистентными или трендо-устойчивыми.

• Фрактальная размерность курсов российских акций выше фрактальной размерности курсов зарубежных акций, тем самым мера неопределенности на российском рынке выше, нежели на западных рынках. Это обусловлено намного более поздним становлением рынка ценных бумаг России. На протяжении 2006 г. курсы акций российских компаний претерпевали очень сильные изменения в отличие от акций зарубежных компаний

• На протяжении исследуемого интервала времени наблюдается тенденция к снижению оценки фрактальной размерности курсов акций компаний на российском рынке, тем самым его сближение с западными рынками и повышение его инвестиционной привлекательности (рис. 1, 2).

• Изменение фрактальной размерности курсов акций зарубежных компаний ярко выраженной тенденции не имеет, однако после 1995 г. значения фрактальной размерности стали несколько выше (рис. 3).

• Проведенные расчеты подтверждают целесообразность диверсификации портфеля ценных бумаг. Фрактальная размерность доходности диверсифицированного портфеля чаще оказывается ниже фрактальной размерности

1997 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

рис. 1. Динамика фрактальной размерности доходности фрактально-оптимальных портфелей акций российских компаний Татнефть, Сургутнефтегаз, ЛУКОЙЛ с 1997 по 2006 г.

i=1

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Рис. 2. Динамика фрактальной размерности доходности фрактально-оптимальных портфелей акций российских компаний Татнефть, Сургутнефтегаз, Сибнефть с 2001 по 2006 г.

симальная доля акции одной компании во фрактально-оптимальном портфеле акций компаний Exxon Mobil Corporation, Chevron Corporation, Marathon Oil Corporation за 1997 г. составляет 0,4, в то время как для портфеля акций компаний Татнефть, Сургутнефтегаз, ЛУКОЙЛ тот же показатель равен 0,8. оценка склонности инвестора к риску при выборе фрактально-оптимальных портфелей. Авторы провели анализ фрактально-оптимальных портфелей с точки зрения классической теории Марковица формирования оптимального портфеля, чтобы выявить, какая склонность инвестора к риску соответствует фрактально-оптимальному портфелю ценных бумаг.

В частности, использовалась функция полез-

ности (

I— "

U (P ,а) = Mp -ajVp , где Mp =£ ximi -

ма-

рис. 3. Динамика фрактальной размерности доходности

фрактально-оптимальных портфелей акций зарубежных компаний Exxon Mobil Corporation, Chevron Corporation, Marathon Oil Corporation с 1970 по 2006 г.

доходности акций какой-либо одной компании. При этом фрактально-оптимальные портфели иностранных акций часто сильно диверсифицированы, фрактально-оптимальные портфели российских акций средне и слабо диверсифицированы. Например, мак-

р \ р р

тематическое ожидание доходности портфеля (хрх2,...,хп), (здесь т1 — средняя доходность актива

п п

i вида), Vp = — дисперсия доходности

I=11=1

портфеля — величина, характеризующая риск портфеля, (здесь VI— ковариация цен активов i и 1 вида), а — число, принимающее значения от 1 до 100, отражающее субъективное отношение инвестора к риску. При этом, чем ближе а к 1, тем более азартен инвестор, чем ближе а к 100, тем более осторожен инвестор: он склонен пожертвовать доходом в пользу безопасности вложений.

Склонность инвестора к риску при избранном портфеле определялась следующим образом.

1. Вычисляем максимум функции полезности: и(Р,а)^тах, 1<а<100, а целое.

В результате выделяется набор портфелей Ра, для каждого из которых при заданном а достигается максимум и(Р,а).

2. Определяем, при каком а евклидово расстоя-

ние

Х1а - Х1)2 + ( Х2а - Х2)2 + - + ( Хпа - Хп f между

Таблица 1

Значения склонности инвестора к риску фрактально-оптимального портфеля акций компаний Exxon Mobil Corporation, Chevron Corporation, Marathon Oil Corporation.

Год 1970 1978 1979 1983 1984 1985 1989 1990 1991 1992

Значение склонности к риску (а) 5 15 15 35 22 44 24 33 90 8

Интерпретация склонности к риску Высокая Высокая Высокая Средняя Средняя Низкая Средняя Средняя Минимальная Высокая

Год 1993 1995 1996 1998 1999 2000 2003 2004 2005 2006

Значение склонности к риску (а) 43 76 21 79 8 24 1 16 39 6

Интерпретация склонности к риску Низкая Наименьшая Средняя Минимальная Высокая Средняя Высокая Высокая Средняя Высокая

Таблица 2

Значения склонности инвестора к риску при выборе фрактально-оптимального портфеля акций компаний ОАО «ЛУКОЙЛ», ОАО «Татнефть», ОАО «Сургутнефтегаз»

Год 1997 1999 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Значение склонности к риску (а) 1 5 10 14 8 13 1 14

Интерпретация склонности к риску Высокая Высокая Высокая Высокая Высокая Высокая Высокая Высокая

Таблица 3

Значения склонности инвестора к риску при выборе фрактально-оптимального портфеля акций компаний ОАО «сибнефть», ОАО «татнефть», ОАО «сургутнефтегаз»

Год 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Значение склонности к риску (а) 13 5 9 8 19 11

Интерпретация склонности к риску Высокая Высокая Высокая Высокая Высокая Высокая

портфелями Pa= (х1а,..., xna) и фрактально-оптимальным портфелем (хр х2, ..., хп) будет минимальным.

Некоторые из полученных результатов приведены в табл. 1,2,3.

В заключение исследования необходимо сделать следующие выводы:

• предложен и на примере акций компаний нефтегазовой отрасли проанализирован новый подход к формированию портфеля ценных бумаг, основанный на вычислении фрактальной размерности соответствующих временных рядов доходностей;

• выявлены различия исследованных характеристик на российском и зарубежном финансовых рынках;

• предложенная методика приводит к построению стабильно доходных и умеренно рисковых портфелей;

• разработанный метод формирования портфеля ценных бумаг с минимальной фрактальной

размерностью его доходности может быть в качестве альтернативного применен в инвестиционной практике.

Литература

1. Тимерханова Г. Продолжающийся рост. Бизнес Республики Башкортостан, 2007, № 1 (59). С. 3 - 5.

2. Mandelbrot B. B. 19601. The Pareto-Levy law and the distribution of income. International Economic Review: 1, 79 — 106.

3. Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004, 256 с.

4. Peters E. Chaos and Order in the Capital Markets, Wiley, New York, 2nd ed., 1996.

5. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. М.: Интернет-трейдинг, 2004 — 304 с.

ВНИМАНИЮ КРЕДИТНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ!

Предлагаем публикацию годовой и квартальной отчетности.

Стоимость одной публикации - 2950 руб. (в том числе НДС 18 %) за две журнальные страницы формата А4.

При единовременной оплате публикации годовой отчетности за 2006 год, 1, 2 и 3-й кварталы 2007 года редакция гарантирует неизменность выставленных цен в течение 2007 года.

Общая стоимость четырех публикаций составляет 11 800 руб. (в том числе НДС 18%).

Тел. /факс: (495) 621-69-49 (495)621-91-90

http:\\www.financepress.ru E-mail: post@financepress.ru

ФИНАНСЫ И КРЕДИТ

29