CC BY
46
№ 2 (38) 2012
Ю. В. Трифонов, докт. экон. наук, профессор Нижегородского государственного университета
Е. С. Митяков, аспирант Нижегородского государственного университета
В. А. Сазонтов, канд. физ.-мат. наук, доцент Нижегородского государственного технического университета
Фрактальный анализ поведения быстрых индикаторов экономики России
Применение метода фрактального анализа к исследованию объектов и явлений может привести в ряде случаев к появлению интересных и неожиданных результатов.
Введение
Понятие фрактала было предложено Б. Мандельбротом для обозначения нерегулярных самоподобных структур [1]. Появление теории фракталов позволило проводить статистические исследования сложных объектов. При этом информация о наличии фрактальных свойств может играть существенную роль в моделировании и прогнозировании поведения объекта.
Многие авторы отмечают взаимосвязь информационных технологий с фракталами. В частности, теория фрактального анализа используется в некоторых алгоритмах сжатия данных. Фрактальные свойства характерны для информационных веб-сайтов, на которых публикуются документы, соответствующие определенным тематикам. Мировая система научной коммуникации, состоящая из множества статей, журналов и авторов, также имеет фрактальную структуру.
Аппарат фрактального анализа можно использовать для прогнозирования краткосрочных тенденций при анализе временных рядов в тех случаях, когда анализируются экономические данные за длительный период. На небольших промежутках времени экономические параметры могут вести себя квазислучайно в силу влияния как рыночных, так и не рыночных факторов (ожидания потребителей, политические события и т. д.).
В долгосрочном плане зависимость экономических параметров от случайных факторов уменьшается.
В экономических исследованиях аппарат фрактального анализа применялся, в основном, для анализа тенденций фондового рынка [2]. В данной работе представлены результаты применения метода фрактального анализа для исследования динамики макроэкономических показателей России.
Описание модели
Способ изучения фрактальных временных рядов базируется на научных исследованиях английского ученого Херста и носит название R/S метода [3]. Он состоит в анализе размаха параметра (разности между наибольшим и наименьшим значениями на изучаемом временном отрезке) и его среднеквадратичного отклонения.
Прежде всего, дадим определение понятию «размах». Пусть
xtJ=£ e - e), (i)
i=i
где xtj — накопленное отклонение за i измерений, et — прирост наблюдаемого значения ряда в периоде i, — математическое ожидание el за i периодов. Тогда размах — разность между максимальным и минимальным значениями накопленного отклонения:
R = max X i) - min (xt,) (2)
№ 2 (38) 2012
Для сравнения различных временных рядов Херст разделил размах на стандартное отклонение исходных данных. Этот нормированный размах увеличивается со временем. Обобщая эмпирические данные, Херст предложил следующее соотношение:
R/S = (aN) H, (3)
где R/S — нормированный размах, N — число испытаний, а — константа, Н — показатель Херста.
В соответствии с известными результатами теории случайных процессов Н должен равняться 0,5, если ряд следует совершенно случайным (броуновским) блужданиям. Иными словами, размах накопленных отклонений должен расти пропорционально квадратному корню из числа испытаний N. Если Н отличается от 0,5, это означает, что наблюдения не являются независимыми [3]. Существуют три возможных варианта изменения показателя Херста:
• Н = 0,5 — «белый шум», процесс без памяти (все значения ряда некоррелирова-ны);
g • 0 < Н < 0,5 — антиперсистентный или § эргодический ряд (если ряд возрастает I в предыдущий период, то с большой веро-§ ятностью в следующем периоде начнется I спад и наоборот);
« • 0,5 < Н < 1 — персистентный, или тренер доустойчивый ряд (если ряд возрастает I (убывает) в предыдущий период, то, веро-? ятно, он будет сохранять эту тенденцию кай кое-то время в будущем). & Херст предложил формулу для оценки величины Н по значению R/S:
I H = log (R/S)/log (N/2). (4)
§ Показатель Херста преобразуется
« во фрактальную размерность в соответст-
§ вии с формулой: D = 2 - H. Таким образом,
« если Н = 0,5, то D = 1,5.
:g Наилучший результат фрактальный ана-
f лиз дает при значительном числе экспери-
^ ментальных данных, поэтому были выбра-
^ ны быстрые индикаторы экономики России,
статистика которых берет начало с конца 1990-х гг. [4]. Учет этих индикаторов ведется несколько раз в году (поквартально или раз в месяц). Количество экспериментальных точек по разным показателям составляло от 50 до 150 за период с января 1999 г. по январь 2011 г. В этом случае хотя и нельзя говорить о 100%-ной адекватности полученной оценки, однако можно проследить некоторые тенденции, которые, в свою очередь, помогут в дальнейшем прогнозировании.
Быстрые индикаторы представляют собой информационное пространство, включающее пять множеств: сводные показатели, финансы, цены, социальную сферу, производство важнейших видов промышленной продукции. Каждое множество содержит свой набор показателей, которые анализировались в дальнейшем.
Существует несколько алгоритмов оценки показателя Херста [3], которые различаются быстротой, эффективностью и точностью результатов работы.
В нашем случае показатели Херста вычислялись с учетом оптимального выбора коэффициента достоверности аппроксимации в соответствии с вычислительным алгоритмом [2]:
1. Преобразование исходного временного ряда длины M во временной ряд длины N = M - 1 на основе использования следующего правила:
n, = log (m+1 /m), i = 1, 2, 3,..., (M - 1), (5)
где m, — значение исходного ряда в точке i, n, — значение нового ряда в той же точке.
2. Вычисление отклонения xu от среднего значения временного ряда по формуле (1).
3. Для каждой итерации нахождение N- 1 значений xti, которые используются при вычислении размаха (2).
4. Нормировка размаха R путем деления на стандартное отклонение S, которое вычисляется по N значениям.
5. Логарифмирование R/S и N/2.
ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА /-
' № 2 (38) 2012
6. Построение графика зависимости функции log (R/S) от log (N/2).
7. Нахождение путем линейной аппроксимации графика тангенса угла его наклона, представляющего собой показатель Херста.
щего из значении, подчиняющихся линейному закону, близким к 1.
На рисунках 1- 5 показаны кривые R/S в двойной логарифмической шкале, полученные описанным методом для одного из индикаторов каждого из пяти множеств
s о
Й 5
ва
ei
S
Вычислительный эксперимент
Вычислительный эксперимент по нахождению оценки показателя Херста производился с использованием программы MathCad 14. Достоверность результатов вычислительного эксперимента подтверждается тестовыми испытаниями, проведенными с описанным выше алгоритмом. Например, для «белого шума», полученного с помощью генератора случайных чисел, вычисленный с помощью алгоритма показатель Херста оказался равным 0,53, а для ряда, состоя-
log(R/S) ш ■ Н = 0,9 Ф
\
ч \ H = 0,5
\ m j log(N/2)
Рис. 1. R/S анализ для показателя «Валовый внутренний продукт»
log(RS) H = 0,71 ' —fC Jf ~ " \н = 0,45
. ф К^ * \ + Г» s* W ф " * г ф /
\ * Ф \ / * \ / log(N/2)
log(R/S) H = 0,87
л
\н=0,5
■ ' i У * Ф *
' /\ "*/
\J
*
log(N/2)
Рис. 3. R/S анализ для показателя «Доходы консолидированного бюджета»
1,5
log(RZS) Н = 0,9 . ,
\Н = 0,5
. 0* • ~/V
- ■ л Ф/ *
log(N/2)
0 1 2 Рис. 4. R/S анализ для показателя «Занятость населения»
log(RZS) Н = 0,3 f
Ai ^
* /
og(N/2)
Рис. 2. R/S анализ для показателя «Индекс потребительских цен»
Рис. 5. R/S анализ для показателя «Добыча полезных ископаемых. Нефть»
№ 2 (38) 2012
(групп). Группа «Сводные показатели» представлена индикатором «Валовый внутренний продукт», группа «Финансы» — индикатором «Доходы консолидированного бюджета», группа «Цены» — индикатором «Индекс потребительских цен», группа «Социальная сфера» — индикатором «Занятость населения», а группа «Производство важнейших видов промышленной продукции» — индикатором «Добыча полезных ископаемых. Нефть».
Горизонтальные прямые на рисунках соответствуют различным значениям показателей Херста. Как видно из рисунков, процесс с долговременной памятью в первых четырех случаях наблюдается на протяжении приблизительно 6-7 лет (на рисунках это значение по оси абсцисс составляет приблизительно 1,5, пунктирная линия). Правее этой точки график в первых четырех случаях приобретает характер случайных блужданий (штрих-пунктирная линия) при Н = 0,5. Это отчетливо видно, так как график начинает резко отклоняться от первоначально установившейся траектории.
§ Подобный вычислительный эксперимент § был произведен для всех показателей ин-И формационного пространства.
I Заключение
о
По результатам анализа можно сделать
| следующие выводы.
? 1. Быстрые показатели экономики Рос-
й сии имеют среднюю длину цикла 6-7 лет,
& т. е. в течение этого срока проявляется зависимость показателей от начальных дан-
§ ных (присутствует долгосрочная память).
¡^ Примечательно, что примерно одинаковая
§ длина цикла была установлена при анали-
« зе нескольких показателей экономики Рос-
§ сии. Это свидетельствует об инвариантно-
« сти длины цикла. Таким образом, основное
! влияние на результат оказывает не число
| наблюдений, а величина периода. Выявлен-
^ ная закономерность находится в противоре-
^ чии с принципом, лежащим в основе клас-
сического статистического анализа, для надежности результатов которого более важно количество наблюдений, нежели длина исследуемого временного ряда. Показатель Херста для первых четырех групп показателей в основном значительно превышает 0,5. Это говорит о том, что с наибольшей вероятностью тенденции будут сохраняться и можно делать краткосрочные прогнозы.
2. Столь высокая оценка Н для различных быстрых показателей экономики России, говорит о том, что российская экономика является фрактальным объектом, а не следует случайным блужданиям, и показатели имеют фрактальное распределение вероятности. Рынок подвержен смещенным случайным блужданиям с аномальной величиной (в среднем Н = 0,75, фрактальная размерность D = 1,25). Так как значение оценки показателя Херста для большинства быстрых показателей российской экономики принадлежит промежутку 0,5 < Н < 1, то имеем персистентный ряд. Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то, скорее всего, он сохранит эту тенденцию какое-то время в будущем.
3. Пятая группа показателей заметно отличается от остальных групп, так как во всех трех случаях показатель Херста H < 0,5, что говорит об антиперсистентности тренда и указывает на то, что тенденции с наибольшей вероятностью будут меняться.
Список литературы
1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 656 с.
2. Стрыгин А. Ю. Анализ фрактальных свойств финансово-экономических процессов в экономике РФ. Выпускная квалификационная работа. СПб.: филиал ГУ-ВШЭ, 2004.
3. Hurst H. E. Long-term Storage of Reservoirs. Transactions of the American Society of Civil Engineers 116, 1951.
4. Краткосрочные экономические показатели Российской Федерации // URL: http://www.gks.ru/wps/ wcm/connect/rosstat/rosstatsite/main/publishing/ catalog/periodicals/doc_1140080765391.
