Фрактальный анализ полутоновых изображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПОЛУТОНОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Б.А. Крылов

В работе рассматривается методика, используемая для решения задач автоматизированной обработки и анализа изображений с целью извлечения заложенной в них информации о структуре или состоянии объекта. Подход используется для исследования энерго-информационного обмена в биологии и медицине, для анализа структуры различных объектов в технике, в составе программно-аппаратного комплекса регистрации и анализа газоразрядного свечения.

Введение

Графическое представление информации является одной из наиболее распространенных форм представления знаний и выступает в качестве как объекта, так и результата исследований. С ростом сложности научно-технических задач и количества научных исследований обработка и анализ графической информации требуют разработки новых подходов, основанных на новых математических теориях.

Одним из таких подходов служит теория фракталов. Понятия "фрактал" и "фрактальная геометрия", появившиеся в конце 70-х гг., с середины 80-х гг. прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово "фрактал", образованное от латинского fractus и в переводе означающее "состоящий из фрагментов", было введено французским математиком Бенуа Мандельбротом в 1977 г. в книге "The Fractal Geometry of Nature".

Фракталами называются геометрические объекты (линии, поверхности, пространственные тела), имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством самоподобия. Более строго фрактал можно определить как множество, хаусдорфова размерность которого строго больше (или меньше) топологической размерности.

Фрактальная кривая в идеале на сколь угодно малом масштабе не вырождается в прямую и является в общем случае геометрически нерегулярной, хаотической. Для нее не существует и понятия касательной в точке, так как функции, описывающие эти кривые, являются в общем случае не дифференцируемыми. Измеряя размер, например, длину объекта, при увеличении масштаба мы получаем все более возрастающее ее значение.

Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: горы, облака, турбулентные (вихревые) течения, корни, ветви и листья деревьев, кровеносные сосуды.

Одним из наиболее перспективных приложений теории фракталов является компьютерная графика. Во-первых, это фрактальное сжатие изображений, во-вторых, синтез изображений, т.е. построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур, и в-третьих, анализ изображений при решении задач классификации и распознавания. Данная работа посвящена третьему направления использования теории фракталов.

Фрактальные характеристики изображений

Анализ изображения заключается в изучении отдельных характеристик, составных частей, фрагментов или отдельных объектов в поле изображения. В нашем случае под анализом изображения будем понимать измерительный аспект обработки видеоданных. Следовательно, анализ изображения будет заключаться в определении различных количественных данных изображения, т.е. его параметров.

Фрактальный анализ изображения предусматривает вычисление фрактальных характеристик для всего изображения, для отдельных фрагментов или объектов в поле

сканирования. Очевидно, что данный подход следует применять для сложных, изрезанных изображений.

Основной характеристикой фрактального изображения является его размерность, определяющая сложность фрактала. Существует несколько принципиально разных методов определения размерности геометрического объекта. Это топологическая размерность и фрактальная размерность (размерность Минковского) или, что практически то же самое, размерность Хаусдорфа. Топологическая размерность множества всегда выражается целым числом, для точки в эвклидовом пространстве она равна 0, для гладкой кривой 1, для поверхности 2, размерность трехмерного пространства 3. В нашем случае интерес представляет фрактальная размерность. Чтобы определить фрактальную размерность пространства Б, разобьем все п-мерное пространство на малые кубики с длиной ребра е и объемом е". Пусть Ы(е) -минимальное число кубиков, которые в совокупности полностью покрывают фрактальное множество, тогда по определению фрактальную размерность можно определить по формуле

Б = -НшММ (1)

1й 8

Для полутоновых изображений имеет смысл определить две фрактальные размерности - для п=2 и для п=3. В первом случае учитывается только пространственное распределение изображение (без учета яркости), во втором случае, если в качестве третьего измерения использовать значение яркости в точке, то характеристика будет иметь комплексный характер.

Другой характеристикой фрактального изображения служит коэффициент формы, вычисляемый как отношение квадрата длины периметра изображения к общей площади:

К/= Ь2 / Б. (2)

Параметр очень чувствителен и определяет изрезанность границы изображения.

Следующим параметром служит энтропия фрактального изображения. В термодинамике энтропия есть мера беспорядка в системе. Клод Шеннон обобщил понятие энтропии на абстрактные задачи теории передачи и обработки информации. Для этих задач энтропия стала мерой количества информации, необходимой для определения системы в некотором положении, или другими словами, она является мерой нашего незнания о системе. Иногда энтропию удобно трактовать, как меру отклонения от равновесия: она убывает при стремлении к равновесному состоянию. Полутоновое изображение может быть представлено как функция яркости /(х) от расстояния до начала изображения в заданной системе координат. Поскольку /(х) для фрактальных изображений имеет вероятностный характер, для расчета энтропии можно воспользоваться следующей формулой:

N (е)

Е = - £ рг Ы рг. (3)

1=1

Для неравновесных функций, имеющих большой разброс /(х), значение Е имеет положительные значения, а для гладких равновесных - отрицательные.

Заключение

Описанный подход реализован в программном комплексе "GDV Technique Software". На его основе разработан ряд модификаций программно-аппаратных комплексов для исследования параметров газоразрядного свечения объектов различной природы.

В основе метода лежит свойство объектов, помещённых в электромагнитное поле высокой напряженности, инициировать различные виды газового разряда. Изображение свечения газового разряда (ГРВ-грамма) представляет собой сложную двумерную фрактальную фигуру, пространственные и яркостные характеристики которой несут информацию о структуре и свойствах объекта индуцировавшего разряд.

Комплекс используется для исследования энергоинформационного обмена в биологии и медицине, для анализа структуры различных объектов в технике и криминалистике.

Программно-аппаратный комплекс сертифицирован комитетом по новой медицинской техники МЗ РФ и выпускается серийно, внедрен в медицинских и исследовательских центрах России, Англии, Германии, Словении, США, Финляндии, Швеции.

Литература

1. Mandelbrot B.B., The fractal geometry of nature, San Francisco, Freeman, 1982.

2. Коротков К.Г., Крылов Б.А. Параметрический анализ полутоновых изображений. // Научно-технический вестник СПб ГИТМО(ТУ). 2002. № 6.

3. Korotkov K., Korotkin D. On concentration dependence of gas discharge around drops of non-organic electrolytes. // J. Applied Physics. May 2001.

4. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 134с.

5. Кроновер Р.М., Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352с.

6. От эффекта Кирлиан к биоэлектрографии / Под ред. К.Г. Короткова СПб, 1998. 340 с.

7. Коротков К Г. Основы ГРВ биоэлектрографии. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2001. 360 с.