CC BY
63
УДК 519.142.1:519.725 Кузьмин Олег Викторович,
д. ф.-м. н., профессор, Иркутский государственный университет, тел. (8595)242226, e-mail: quzminov@mail.ru Старков Борис Алексеевич,
магистрант, кафедра теории вероятностей и дискретной математики, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, тел. 89246383607, e-mail: stsibrus@gmail.com
ФРАКТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА БИНАРНЫХ МАТРИЦ, ПОСТРОЕННЫХ ПРИ ПОМОЩИ АРИФМЕТИКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ПАСКАЛЯ, И ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ
O. V. Kuzmin, B. A. Starkov
FRACTAL PROPERTIES OF BINARY MATRICES BASED ON PASCAL TRIANGLE'S ARITHMETICAND ERROR DETECTION AND CORRECTION
Аннотация. В данной работе описывается математическая модель, состоящая из нулей и единиц и формируемая при арифметических и комбинаторных преобразованиях треугольника Паскаля. Перечисляются некоторые варианты метода построения бинарных матриц путем выбора определенных образующих и описываются свойства и особенности одного варианта. Приводится известный метод построения бинарной матрицы путем редуцирования треугольника Паскаля по простому или составному модулю и осуществляется его сравнение с методом, предложенным в данной работе. Рассматривается свойство самоподобия бинарных матриц, указываются возможные применения фрактальных свойств. Исследуется один из классов построения - класс с чередующимся шаблоном [0 1] в горизонтальной образующей, анализируются свойства этого класса. Излагаются основы помехоустойчивого кодирования. Изучаются комбинаторные свойства бинарных матриц, построенных при помощи класса с шаблоном [0 1] в горизонтальной образующей, описывается применение этих матриц к решению вопросов теории помехоустойчивого кодирования.
Ключевые слова: комбинаторный анализ, комбинаторика на словах, бинарные матрицы, треугольник Паскаля,теория кодирования, помехоустойчивое кодирование, фракталы, фрактальная матрица, блочный код.
Abstract. This work describes a mathematical model consisting of zeroes and ones, binary matrix obtained by the arithmetical and combinatorial transformations of Pascal's triangle. Some options of a method of building of binary matrices by the choice of certain generatrix are listed and properties and features of the first option are described. The known method of building a binary matrix by reduction of a triangle of Pascal on the simple or compound module is given and its comparison with the method offered in this work are carried out. The self-similarity properties of the binary matrixes are being examined. Possible use of fractal properties is specified. One of construction classes - a class by the alternating template [0 1] in horizontal generatrix is investigated, properties of this class are analyzed. The bases of error detection and correction are stated. Combinatory properties of binary matrices constructed by means of a triangle of Pascal type are studied and application of these matrices is given to the solution of questions of error detection and correction.
Keywords: combinatory analysis,combinatorics on words, binary matrices, Pascal's triangle, coding theory, error detection and correction, fractals, fractal matrix, block code.
Введение
Бинарные матрицы, элементами которых являются 0 и 1, представляют собой важный класс матриц, с успехом применяемых в различных разделах математики. С помощью бинарной матрицы удобно задавать и/или представлять бинарные отношения. В дискретной математике, в частности, граф, как правило, представляют в виде бинарной матрицы, например в виде матрицы смежности или матрицы инцидентности [6].
В данной работе излагается метод построения бинарных матриц при помощи задания определенных последовательностей элементов (образующих) и арифметики треугольника Паскаля, а также приводятся некоторые их свойства и приложения.
Построение (0,1)-матрицы при помощи
арифметики треугольника Паскаля
Развитие комбинаторной математики вызвало большой интерес к изучению арифметических
и геометрических свойств так называемых арифметических треугольников. Классическим примером таких треугольников является треугольник Паскаля. В литературе [4] проводятся исследования как самого треугольника Паскаля, так и его плоских и пространственных аналогов и обобщений.
Представим треугольник Паскаля в виде прямоугольной таблицы (см., напр., [1]):
Используя известное правило треугольника Паскаля (элементы, не лежащие на образующей, равны сумме элементов слева и сверху), построим бинарную матрицу, которую будем называть тре-
Информатика, вычислительная техника и управление
угольником типа Паскаля с образующими [1 101 1] и [1 1 0 1 0]:
Очевидно, что для построения бинарной матрицы с арифметикой треугольника Паскаля достаточно задать первую строку (горизонтальная образующая) и первый столбец (вертикальная образующая).
При расширении такой прямоугольной таблицы становится очевидным рекуррентное свойство данной матрицы: каждый новый элемент зависит только от двух элементов, уже вычисленных ранее. Понятно, что вычисление сколько-нибудь большой таблицы по заданной образующей займет некоторое количество времени. Гораздо удобнее составить компьютерную программу, принимающую определенные входные данные и выводящую готовую таблицу.
Перечислим способы построения матрицы с арифметикой треугольника Паскаля, основанные на выборах горизонтальной и вертикальной образующих:
1. Повторяющийся шаблон в горизонтальной образующей с симметричной вертикальной образующей.
2. Горизонтальная образующая размера п с диагонально симметричной вертикальной образующей.
3. Повторяющиеся шаблоны в горизонтальной и вертикальной образующих.
4. Горизонтальная образующая размера п, вертикальная образующая размера к.
Пример 1. Пусть А - матрица, удовлетворяющая арифметике треугольника Паскаля, размерности т х п . Рассмотрим первый способ построения такой матрицы.
Этот способ применяется в том случае, когда длина строк заданной бинарной матрицы с арифметикой треугольника Паскаля превышает длину горизонтальной образующей:
[ х1 х2 ... х ], ^ < т,
где х,X,.••,х - бинарные символы, составляющие шаблон горизонтальной образующей, который, в свою очередь, повторяется |_т / 5J - целое число раз. На рис. 1 изображена матрица размерности 5 х 5 , построенная с помощью шаблона [0 1].
0 10 10
10 0 10
0 0 0 1 1
1110 1
0 10 0 1 Рис. 1. Бинарная матрица [0 1]
В литературе, посвященной свойствам и приложениям треугольника Паскаля и его обобщений (см., напр., [7]), можно встретить анализ по конечному модулю, в частности по простому модулю р, элементов треугольника Паскаля которые образуют некоторые геометрические треугольные решетки - фракталы (рис. 2), играющие значительную роль при анализе различных структур и процессов. Чтобы обнаружить свойство самопо-добности треугольника Паскаля по модулю р, следует использовать достаточно большое число строк треугольника Паскаля.
Фракталы являются мощным средством для анализа и формирования геометрических структур в самых различных областях математики и физики. В [8] фракталы применяются для инженерного синтеза случайных антенных решеток.
В отличие от используемого авторами метода (см., напр., [3]) редуцирования по конечному или составному модулю, в данной работе излагается иной метод - выбор по определенному правилу бинарной(ых) образующей(их) и основанное на ней дальнейшее построение бинарной матрицы с арифметикой треугольника Паскаля. Таким образом, фрактал на рис. 2 можно получить не только редуцированием треугольника Паскаля по модулю 2, но и с помощью первого способа построения бинарной матрицы с арифметикой треугольника Паскаля с шаблоном [1 0]. Серый квадрат -ноль, белый квадрат - единица.
Существует несколько видов размерности. Одна из размерностей выражает минимальное число координат, необходимых для однозначного определения положения точки на прямой, плоскости и в пространстве. Другая, так называемая топологическая размерность, при которой размерность любого множества на единицу больше, чем размерность разреза, делящего его на две связные части. Указанные размерности могут быть только целыми. Так, оба определения размерности означают, что линия одномерна, плоскость двумерна, объемное геометрическое тело трехмерно.
дую образующую можно получить сдвигом влево или вправо другой образующей). Как следствие, позиция повторяющейся последовательности, с которой начинается горизонтальная образующая, определяет построение всей матрицы. Так, шаблоны [0 1 0] и [1 0 1 0] дадут разные бинарные матрицы с фракталами с различающимися размерностями самоподобия.
Рис. 2. Шаблон [1 0]
Кроме указанных размерностей, существуют и другие виды размерностей. Один из них - размерность самоподобия. Пусть п - число одинаковых частей, на которые разбивается данный сам-подобный объект, имеющих в m раз меньший пространственный размер. Тогда размерность самоподобия D можно определить формулой
Б = 1п"/1пт. (1)
Используя введенное понятие, легко определить, что размерность самоподобия квадрата, последовательно деленного на четыре равных квадрата, равна 1п4/1п2 = 2, размерность самоподобия куба 1п8/1п2 = 3.
Порядок следования элементов в шаблоне при первом способе построения очень важен. Рассмотрим шаблоны [1 0] (рис. 2) и [0 1] (рис. 3). Несмотря на наличие одинакового шаблона самоподобия (равнобедренный треугольник окружают три равнобедренных треугольника меньшего размера), подсчет по формуле (1) размерности самоподобия для каждого случая показывает их различие.
Так, для первого случая [1 0] размерность самоподобия:
Б = 1п3 « 1,3142.
1п2,307
Для второго случая [0 1]:
Б = -ЛИ- « 0,756.
1п4,271
Как видно, размерности самоподобия указанных объектов нецелые. Нецелые размерности самоподобия называются дробными размерностями.
Получаем разную размерность самоподобия для разного порядка следования элементов в шаблоне, несмотря на кажущуюся эквивалентность построенных горизонтальных образующих (каж-
Рис. 3. Шаблон 0 1]
Сравнив матрицы на рис. 2 и 3, можно заметить, что распределение элементов на рис. 2 более дробное, чем на рис. 3.
Стоит отметить, что используя различные способы построения образующих, можно получить фракталы, не получаемые редуцированием треугольника Паскаля по модулю k. Например, на рис. 4 изображена бинарная матрица, составленная из горизонтальной образующей с шаблоном [10100000] и представляющая собой иной фрактал.
Возможен выбор такого повторяющегося шаблона в горизонтальной образующей, при котором трудно определить шаблон самоподобия (рис. 5).
Помехоустойчивое кодирование
Пусть имеется некоторое множество слов или сообщений W (S - количество сообщений) и требуется задать кодирование F, при котором каждому сообщению w соответствовало некоторое личное число разрядности п. Для этого необходимо выбрать такое п, чтобы выполнялось условие 5 < К".
Совокупность наборов и слов длины п называется блоковым кодом, а Личные наборы и слова длины п, называются кодовыми комбинациями или кодовыми словами.
Информатика, вычислительная техника и управление
Рис. 5. Шаблон [1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1]
Если £ = К" , то для кодирования используются все возможные ^-ичные числа. При этом кодовые комбинации имеют длину "т1п = к, где
к - число информационных элементов. Такой код не обладает избыточностью, так как любая ошибка просто «переделает» одну кодовую комбинацию в другую.
Помехоустойчивый код требует соблюдение строгого неравенства £ < К", причем п > к. Разрядность п в кодовой комбинации должна позволить получить £ разных чисел (£ > £), из которых по определенным правилам можно отобрать для кодирования чисел. Такие отобранные комбинации называются рабочими или разрешенными. Оставшиеся невыбранными элементы называются запрещенными (нерабочими). Как итог, мы получаем кодирование Е, с помощью которого можно обнаруживать ошибки (когда на приемной стороне фиксируется одна из запрещенных комбинаций) или исправлять их (когда на приемной
стороне фиксируется запрещенная кодовая комбинация как наиболее похожая на одну из разрешенных). Как видно, для построения помехоустойчивого кода необходимо некоторое количество избыточных элементов т = п — к (к = £).
Избыточность К = т / п служит количественной мерой, с помощью которой можно сравнивать различные коды по степени их оптимальности. Наиболее оптимальным будет такой код, который обеспечивает заданную помехоустойчивость при минимальной избыточности.
Рассмотрим матрицу, построенную при помощи шаблона [0 1] в горизонтальной образующей.
Зададимся вопросом, как часто будут повторяться строки в такой матрице.
Теорема 1 [9]. Пусть выбрана горизонтальная образующаяа с шаблоном [1 0] и построена бинарная матрица по правилу треугольника Паскаля таким образом, что /-я строка равнялась ]-й (г < j) . Тогда, между /-й и ]-й строками не найдется двух идентичных строк.
При построении такой матрицы уникальный набор строк будет повторяться циклически на основании арифметики треугольника Паскаля и выбранной вертикальной образующей. Иными словами, каждая строка повторится через п строк.
Определим размер уникальных строк в матрице, построенной при помощи шаблона [0 1] в горизонтальной образующей. Для этого проведем следующие рассуждения и построения на рис. 6, где прямоугольные блоки, заключенные в сплошные линии, являются уникальным набором строк с одинаковыми первой и последней строками, пунктирные линии обозначают равнобедренные треугольники. Как видно из рисунка, основание каждого такого треугольника приводит к построению строки, состоящей из нулей и ограниченной сплошными линиями, которые содержат часть такого треугольника. На основании арифметики треугольника Паскаля и выбора вертикальной образующей, симметричной горизонтальной, последующая строка будет эквивалентна первой строке. Таким образом, число уникальных строк зависит от количества столбцов и равно длине катета треугольника, пересекающего уникальный блок, увеличенной на 1. Как видно из рис. 6, для каждого
уникального блока строк длиной 2" вершина пересекающего треугольника находится в позиции
2п+1 1
— 1, она же выражает длину катета, что, в свою очередь, позволяет определить размер уникального набора строк длиной т.
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Очевидно, что строки рассмотренной выше бинарной матрицы могут служить кодовыми словами, или кодами, так как доказано, что существует определенное число последовательно расположенных строк, среди которых не найдется одинаковых. Иными словами, треугольник типа Паскаля - математический объект, комбинаторные и алгебраические свойства которого делающие возможным его применение в теории кодирования. Основными особенностями объекта при этом являются простота построения бинарной матрицы и относительно малое количество информации, необходимое для этого построения. Например, для кодирования 8 сообщений нужно указать первый разряд горизонтальной образующей, размер образующей и по построенной матрице произвести последовательное сопоставление сообщений с ее строками.
арифметики треугольника Паскаля и выбора горизонтальной образующей. От того, каким образом будут сформированы горизонтальная и вертикальная образующие, будут зависеть свойства формируемой бинарной матрицы. Изменение всего лишь одного элемента в образующей или нарушение порядка следования уже изменит дробную размерность новой матрицы.
Уникальная структура, выявляемая в таких матрицах, может быть использована не только для обеспечения помехоустойчивых свойств, но и для криптографии и сжатии информации. Так, если следующие друг за другом бинарные слова при укладке в блок в целом удовлетворяют арифметике треугольника Паскаля и найдется оптимальное количество неудовлетворяющих этой арифметике позиций, то становится возможным сжатие информации.
Рис. 6. Уникальные строки
Заметим, что для УпеИ код треугольника типа Паскаля (бинарная матрица) длины 2" задает-
« о П п.П+1
ся подматрицей размерности 2 х 2 матрицы, построенной при помощи арифметики треугольника Паскаля.
Заключение
В данной статье приведены некоторые свойства бинарных матриц, построенных при помощи
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК
1. Кузьмин О.В., Оркина К.П. Построение кодов, исправляющих ошибки, с помощью треугольника типа Паскаля // Вестн. Бурят. гос. ун-та, 2006. № 13. С. 32-39.
2. Хэмминг Р.В. Коды, обнаруживающие и исправляющие ошибки // Коды с обнаружением и исправлением ошибок. М. : ИЛ, 1956. С.7-22.
3. Wolfram S. Geometry of binomial coefficients // American Mathematical Monthly,1984. Vol.91. No. 9. P. 566-571.
4. Кузьмин О.В. Обобщенные пирамиды Паскаля и их приложения. Новосибирск : Наука, 2000. 294 с.
5. Питерсон У.,Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М. : Мир,1976. 594 с.
6. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб : Юпитер, 2004. 364 с.
7. Бондаренко Б.А. Обобщенные треугольники и пирамиды Паскаля, их фрактали, графы и приложения. Ташкент : Фан, 1990. 192 с.
8. Ким Й., Джаггард Д.Л. Фрагментарно-самоподобные (фрактальные) случайные решетки // ТИИЭР. 1986. Т. 74, № 9. С. 124-126.
9. Кузьмин О.В., Старков Б.А. Бинарные матрицы, построенные при помощи треугольника Паскаля, и помехоустойчивое кодирование // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2016. № 1 (49). С. 112-117.
