ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ И ЕЕ СВЯЗЬ С ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ И СТРУКТУРНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ Текст научной статьи по специальности «Технологии материалов»

УДК 54-169

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ И ЕЕ СВЯЗЬ С ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ И СТРУКТУРНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ

© М. Д. Мордасов1, Д. М. Мордасов1'2*

1Тамбовский государственный технический университет Россия, 392000 г. Тамбов, ул. Советская, 106.

Тел./факс: +7 (4752) 63 04 69.

*Етай: dmmordasov@rambler.ru

2Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова Россия, 308012 г. Белгород, ул. Костюкова, 46.

В работе рассмотрена специально созданная методика определения фрактальной размерности сыпучих материалов. С использованием разработанной методики определена фрактальная размерность сыпучих материалов различной природы и дисперсности. Установлено влияние на фрактальную размерность плотности упаковки неметаллических и металлических сыпучих материалов, фактора неравноосности их частиц и пористости. Результаты исследований могут найти применение при моделировании новых композиционных материалов с заданной структурой и свойствами и при создании методов неразрушающего контроля структуры и свойств гетерогенных материалов.

Ключевые слова: фрактальная размерность, кластер, гетерогенный материал, плотность упаковки, фактор неравноосности.

Научный подход к проблеме создания материалов с заранее заданными свойствами диктует необходимость разработки математических моделей гетерогенных систем, адекватно описывающих взаимосвязь их геометрических параметров со структурой, свойствами и эксплуатационными характеристиками готовых композитов. При этом актуальной является разработка подходов, позволяющих комплексно и на единой основе анализировать различные свойства композитов [1-3].

Большинство реальных дисперсных систем представляют собой неупорядоченные структуры, теоретическое описание которых может быть осуществлено с использованием теории фракталов [4-9].

Фрактальный анализ неупорядоченных структур позволяет получить их усредненные показатели, характеризующие степень заполнения пористого пространства, удельное содержание в них отдельных фаз и оценку площади взаимного контакта поверхностей их структурных составляющих [10-16]. При проведении фрактального анализа гетерогенной системы определяют ее фрактальную размерность и выявляют закономерности ее изменения под влиянием вариации структурных характеристик и физических свойств как отдельных компонентов, так и их совокупности.

Методы определения фрактальной размерности основаны на гипотезе самоподобия рассматриваемой системы, т.е. подобии ее структуры инвариантно изменению масштаба.

Для определения фрактальной размерности сыпучих материалов различной дисперсности нами были проведены исследования в соответствии с методикой, основанной на экспериментальном ус-

тановлении закона распределения агрегатов (кластеров) по размерам и массам [1; 17].

Характерной особенностью фрактального кластера является то, что концентрация твердой фазы в нем убывает по степенному закону с ростом его размера

" общ

= &)

d-D

(1)

где Утв - объем твердой фазы; Уобщ - общий объем, занимаемый кластером; dч - средний диаметр частиц; Ь - размер кластера; d- топологическая (евклидова) размерность физического пространства; Б -фрактальная размерность.

В связи с тем, что измерение концентрации твердой фазы в гетерогенной системе является сложной экспериментальной задачей в силу ее неупорядоченности и различных структурных особенностей частиц материалов, выражение (1) преобразуем к виду

Ркл Рч

=и

d- D

(2)

где ркл - плотность кластера; рч - плотность материала частиц кластера.

После совместного логарифмирования левой и правой частей выражения (2) получим

ш (рч)=(d-D) in (d-4)

откуда, с учетом статистики распределения плотностей ^кластеров по их размерам, получим

D = ^ ZiU |

d +

(3)

V

тв

и 10 м

Рис. 1. Зависимости плотностей фрактальных кластеров от их размера. Марки и характеристики исследуемых сыпучих материалов

Таблица 1

№п/п Материал Рист, г/см3 йч, мкм Форма частиц Фактор

неравноосности

1 ПМС-1 (Од)

2 ПНЭ-1 (N1)

3 ПК-1У (Со)

4 ПЖРВ 2.200.26 (Бе)

5 ПОЭ (8п)

6 Волластонит (Вл)

7 Песок (П)

8 Маршалит (Мш)

9 Тригидрат А1(А1(ОН)з)

10 Графит ГС

11 Шунгит (Шг)

12 Уголь АГ

13 Уголь БАУ-А

8.93 8.80 8.75 7.85 7.28

2.94 2.65 2.62 2.42 2.23 2.10 1.80 1.80

100 60 60 160 100 30 100 30 7 100 2000 1500 2000

дендритная сферическая неравноосная сферическая сферическая игольчатая округлая угловатая пластинчатая пластинчатая угловатая цилиндрическая угловатая

2.30 1.00 2.00 1.00 1.00 4.00

1.36 1.00 1.25 2.00 1.94

2.37 1.22

Зависимость (3) связывает плотность и диаметр частиц твердой фазы сыпучего материала, а также плотность и размер сформированного из него кластера с фрактальной размерностью. На основе полученной зависимости создана методика опреде-

ления фрактальной размерности, включающая в себя следующие основные этапы:

- формирование кластера заданного размера Ь^ путем свободной насыпки исследуемого материала в емкость объема ;

- измерение массы ткл. сформированного кла-

' те-

стера и вычисление его плотности рт. = —^;

- повторение предыдущих операций для ряда различных размеров ¿¡;

- вычисление фрактальной размерностиОпо формуле (3).

На рис. 1 показаны зависимости плотностей кластеров, сформированных из порошков различной природы, от их размера. Убывающий характер кривых в диапазоне размеров 1-3 мм свидетельствует о фрактальном поведении кластеров.

При проведении исследований были использованы неорганические и минеральные сыпучие материалы различной дисперсности, марки, характеристики и условные обозначения которых приведены в табл. 1. Массы насыпных объемов измерялись на электронных весахс погрешностью+0.01 г, форма частиц определялась согласно методике, рекомендованной ГОСТ 25849-83, фактор неравно-осности рассчитывался как отношение наибольшего линейного размера частицы к ее наименьшему размеру[18-20].

I 2.4-

=1,

5 2.1-

а;

| 1.8-I" 1.5-

Л! (ОН ■ « Вл Мш ■ ■

ГС Я "у Г

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Плотность упаковки ^кл/р

0.7

а)

4

I 2.7

5

I 2.44

I 1.8

1.5

С о .V; Fe Sn

Си

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Плотность упаковки 'клур

0.7

Рис. 2. Влияние плотности упаковки неметаллических (а) и металлических (б) сыпучих материаловна их фрактальную размерность

2.95

£ 2.85

2.75

2.7

2.65

,Sn\

ГС \

1.5 ;

Фактор иеравноосяости

2.5

Рис. 3. Влияние фактора неравноосности частиц порошков на их фрактальную размерность

На рис. 2 показаны результаты оценки влияния плотности упаковки исследуемых сыпучих материалов на их фрактальную размерность.

Согласно представленным на рис. 2 данным, изменение фрактальной размерности неметаллических и металлических сыпучих материалов в зависимости от плотности их упаковки имеет одинаковый характер: увеличение плотности упаковки приводит к увеличению фрактальной размерности.

На рис. 3 показана зависимость фрактальной размерности от формы частиц, характеризуемой фактором неравноосности, для построения которой были выбраны порошки различной природы с одинаковым средним диаметром частиц ёч = 100 мкм.

Таким образом, в результате проведенных исследований доказано, что:

- плотность ркл убывает при увеличении размера кластера, следовательно, исследуемые материалы проявляют фрактальные свойства;

- при одинаковом размере частиц, независимо от природы материала, фрактальная размерность увеличивается при приближении формы частиц к сферической и уменьшении фактора неравноосно-сти;

- фрактальная размерность сыпучих материалов, независимо от их природы и формы частиц, уменьшается с увеличением их пористости.

Результаты проведенных исследований могут быть использованы при разработке композицион-ныхпорошковых материалов с заранее заданными свойствами, выборе оптимального количества вводимых модифицирующих добавок и наполнителей, а также могут быть положены в основу новых методов контроля физико-механических свойств и структурных характеристик пористых материалов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кулак М. И. Фрактальная механика материалов. Мн.: Выш. шк., 2002. 304 с.

2. Хлюпин А. Н. Динариев О. Ю. Фрактальный анализ трехмерной микроструктуры пористых материалов // Журн. техн. физики. 2015. Т. 85. №6. С. 17-22.

3. Хайдаршин Э. А., Шаяхметов У. Ш., Халиков Р. М., Фахрет-динов И. А., Шаяхметов А. К. Физико-химические особенности твердения алюмофосфатной композиции // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №»1. С. 27-31.

4. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 260 с.

5. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютер. исслед., 2002. 656 с.

6. Шмидт Ф. К. Фрактальный анализ в физико-химии гетерогенных систем и полимеров. Иркутск: изд-во Иркут. унта, 2001. 180 с.

7. Иванова В. С., Баланкин А. С., Бунин И. Ж., Оксого-ев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994. 383 с.

8. Bunde A., Havlin S. Fractals and Disordered Systems. Berlin: Springer. 1996. 409 p.

9. Мордасов Д. М., Медведева А. В. Эволюция моделей пористой структуры материалов // Сб. трудов XXVII Ме-ждунар. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-27», 3-5 июня 2014 г. Тамбов: ТГТУ. 2014. Т. 1. С. 132-136.

10. Чернюк А. М. Анализ методов моделирования структурно-геометрических форм проводящих пористых сред // Энергосбережение. Энергетика. Энергоаудит. 2015. № . С. 46-53.

11. Мордасов Д. М., Медведева А. В.Моделирование слоя углеродных сыпучих материалов на основе теории фракталов // Сб. материалов 69 всероссийской научно-технической конференции студентов, магистрантов и аспирантов высших учебных заведений с международным участием, 20 апреля 2016 г. Ярославль: изд-во дом ЯГТУ. 2016. С. 792-795.

12. Мордасов Д. М., Медведева А. В. Определение фрактальной размерности порошковых материалов // Материалы VIII Междунар. науч.-инновацион. молодеж. конф. «Современные твердофазные технологии: теория, практика и инновационный менеджмент», 27-28 окт. 2016 г., Тамбов. С. 371-374.

13. Мордасов М. Д., Проценко И. Г., Мордасов Д. М. Влияние физико-механических свойств и структурных характеристик сыпучих мат-лов на их фрактальную размерность // Мат-лы II Всерос. науч.-практ. молодеж. конф. с между-нар. участием «Современные технологии композиционных материалов», 18-21 окт. 2016 г. Уфа. С. 98-102.

14. Мордасов Д. М., Медведева А. В., Мордасов М. Д. Исследование структурных характеристик и физико-механических свойств реальных фрактальных кластеров // Мат-лы Всерос. совещ. (с междунар. участием) зав. кафедрами материаловедения и технологий конструкц. материалов «Инновационное направление учебно-метод. и научной деятельности кафедр материаловедения и технологий конструкционных материалов», 26-29 окт. 2016, г. Саранск. С. 80-83.

15. Быков А. А., Терентьев К. Ю., Гохфельд Д. М., Петров М. И. Фрактальная размерность границ кластеров в пористых поликристаллических ВТСП-материалах // Физика твердого тела. 2012. Т. 54, №10. С. 1825-1828.

16. Корендясев С. П., Фирсова А. В., Мордасов Д. М., Мордасов М. М. Моделирование и фрактальный анализ молекулярных пленочных структур // Вестник ТГТУ. 2017. Т. 23. №3. С. 527-534.

17. Мордасов М. Д., Фирсова А. В., Мордасов Д. М. Влияние истинной плотности частиц порошковых систем на их фрактальную размерность // Вестник ТГТУ. 2017. Т. 23. №2. С. 348-355.

18. Ткаченко О. А., Мордасов Д. М. Определение размеров частиц минеральных порошков методом оптической микроскопии // Сб. материалов Юбилейной 70 всероссийской научно-техн. конф. студентов, магистрантов и аспирантов с межд. участием «Научно-технические и инженерные разработки - основа решения современных экологических проблем», 19 апреля 2017, г. Ярославль: изд-во дом ЯГТУ. Ч. 2. С. 329-332.

19. Kwan A.K.H., Mora C.F. Sphericity, shape factor, and convexity measurement of coarse aggregate for concrete using digital image processing // Cement and Concrete Research. 2000. V. 30. P. 351-358.

20. Kwan A.K.H., Mora C.F. Effects of various shape parameters on packing of aggregate particles // Magazine of Concrete Research. 2001. V. 53. №2. P. 91-100.

Поступила в редакцию 10.04.2018 г.

ISSN 1998-4812

BecTHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2018. T. 23. №2

309

FRACTAL DIMENSION AND ITS RELATIONS WITH PHYSICOMECHANICAL PROPERTIES AND STRUCTURAL CHARACTERISTICS OF BULK MATERIALS

© M. D. Mordasov1, D. M. Mordasov1'2*

1Tambov State Technical University 106 Sovetskaya Street, 392000 Tambov, Russia.

2Belgorod State Technological University named after VG. Shoukhov 46 Kostyukov Street, 308012 Belgorod, Russia.

Phone: +7 (4752) 63 04 69.

*Email: dmmordasov@rambler.ru

The authors of the article discuss a specially designed method of determining the fractal dimension of granular materials. The objects of the study were metal powders used in powder metallurgy, non-metallic bulk materials applied in the technology of new construction materials and also used as sorbents in the purification of liquids and gases. Using the developed technique, the fractal dimension of bulk materials of various nature and dispersion was determined. The dependence of the density of fractal clusters formed from powdered materials on their size was experimentally defined. The effect on the fractal dimension of the packing density of nonmetallic and metallic bulk materials, the nonequiaxiality of their particles and porosity was established. It is shown that irrespective of the material nature, the growth of fractal dimension is caused by the increase in packing density of the particles and by the decrease in nonequiaxiality factor with tending of the particle shape to the spherical. Results of studies can be applied in the modeling of new composite materials with specified structure and properties and in the creation of methods for nondestructive control of structure and properties of heterogeneous materials. Most bulk materials are disordered structures, the theoretical description of which can be carried out using the theory of fractals. It is shown that the density of a cluster decreases with increase of the cluster size; therefore, the studied materials exhibit fractal properties. With the same particle size, regardless of the nature of the material, the fractal dimension increases with the approach of the particle shape to spherical and the inequality factor reduces. Fractal dimension of bulk materials, regardless of their nature and particle shape, decreases with increase of their porosity.

Keywords: fractal dimension, cluster, heterogeneous material, packing density, non-equiaxiality factor.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Kulak M. I. Fraktal'naya mekhanika materialov [Fractal mechanics of materials]. Minsk: Vysh. shk., 2002.

2. Khlyupin A. N. Dinariev O. Yu. Zhurn. tekhn. fiziki. 2015. Vol. 85. No. 6. Pp. 17-22.

3. Khaidarshin E. A., Shayakhmetov U. Sh., Khalikov R. M., Fakhretdinov I. A., Shayakhmetov A. K. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2016. Vol. 21. No. 1. Pp. 27-31.

4. Feder E. Fraktaly [Fractals]. Moscow: Mir, 1991.

5. Mandelbrot B. Fraktal'naya geometriya prirody [Fractal geometry of nature]. Moscow: Institut komp'yuter. issled., 2002.

6. Schmidt F. K. Fraktal'nyi analiz v fiziko-khimii geterogennykh sistem i polimerov [Fractal analysis in physico-chemistry of heterogeneous systems and polymers]. Irkut-sk: izd-vo Irkut. un-ta, 2001.

7. Ivanova V. S., Balankin A. S., Bunin I. Zh., Oksogoev A.A. Sinergetika i fraktaly v materialovedenii [Synergetics and fractals in materials science]. Moscow: Nauka, 1994.

8. Bunde A., Havlin S. Fractals and Disordered Systems. Berlin: Springer. 1996.

9. Mordasov D. M., Medvedeva A. V. Sb. trudov XXVII Mezhdunar. nauch. konf. «Matematicheskie metody v tekhnike i tekhnologiyakh - MMTT-27», 3-5 iyunya 2014 g. Tambov: TGTU. 2014. Vol. 1. Pp. 132-136.

10. Chernyuk A. M. Energosberezhenie. Energetika. Energoaudit. 2015. No. . Pp. 46-53.

11. Mordasov D. M., Medvedeva A. V. Sb. materialov 69 vserossiiskoi nauchno-tekhnicheskoi konferentsii studentov, magistrantov i aspirantov vysshikh uchebnykh zavedenii s mezhdunarodnym uchastiem, 20 aprelya 2016 g. Yaroslavl': izd-vo dom YaGTU. 2016. Pp. 792-795.

12. Mordasov D. M., Medvedeva A. V. Materialy VIII Mezhdunar. nauch.-innovatsion. molodezh. konf. «Sovremennye tverdofaznye tekh-nologii: teoriya, praktika i innovatsionnyi menedzhment», 27-28 okt. 2016 g., Tambov. Pp. 371-374.

13. Mordasov M. D., Protsenko I. G., Mordasov D. M. Mat-ly II Vseros. nauch.-prakt. molodezh. konf. s mezhdunar. uchastiem «Sovre-mennye tekhnologii kompozitsionnykh materialov», 18-21 okt. 2016 g. Ufa. Pp. 98-102.

14. Mordasov D. M., Medvedeva A. V., Mordasov M. D. Mat-ly Vseros. soveshch. (s mezhdunar. uchastiem) zav. kafedrami materialove-deniya i tekhnologii konstrukts. materialov «Innovatsionnoe napravlenie uchebno-metod. i nauchnoi deyatel'nosti kafedr materialove-deniya i tekhnologii konstruktsionnykh materialov», 26-29 okt. 2016, g. Saransk. Pp. 80-83.

15. Bykov A. A., Terent'ev K. Yu., Gokhfel'd D. M., Petrov M. I. Fizika tverdogo tela. 2012. Vol. 54, No. 10. Pp. 1825-1828.

16. Korendyasev S. P., Firsova A. V., Mordasov D. M., Mordasov M. M. Vestnik TGTU. 2017. Vol. 23. No. 3. Pp. 527-534.

17. Mordasov M. D., Firsova A. V., Mordasov D. M. Vestnik TGTU. 2017. Vol. 23. No. 2. Pp. 348-355.

18. Tkachenko O. A., Mordasov D. M. Sb. materialov Yubileinoi 70 vserossiiskoi nauchno-tekhn. konf. studentov, magistrantov i aspiran-tov s mezhd. uchastiem «Nauchno-tekhnicheskie i inzhenernye razrabotki - osnova resheniya sovremennykh ekologicheskikh problem», 19 aprelya 2017, g. Yaroslavl': izd-vo dom YaGTU. Pt. 2. Pp. 329-332.

19. Kwan A.K.H., Mora C.F. Cement and Concrete Research. 2000. Vol. 30. Pp. 351-358.

20. Kwan A.K.H., Mora C.F. Magazine of Concrete Research. 2001. Vol. 53. No. 2. Pp. 91-100.

Received 10.04.2018.