Фрактальная размерность аттрактора динамической системы с запаздыванием и кусочно-линейным унимодальным отображением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 537.862

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ АТТРАКТОРА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМ УНИМОДАЛЬНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ

ЗЕМЛЯНЫЙ О.В., ЛУКИН К.А.______________

Описываются результаты оценки фрактальной размерности аттрактора нелинейной динамической системы: с запаздывающей обратной связью кольцевого типа. Устанавлиается взаимосвязь между величиной корреляционной размерности и соотношением характерных временных масштабов системы.

1. Введение

В последнее время возрос интерес к созданию и исследованию динамических систем с гиперхаосом [1,2], сигнал на выходе которых имеет сложную, нерегулярную структуру. Такие системы имеют более одного положительного показателя Ляпунова, что указывает на большую их сложность по сравнению с малоразмерными хаотическими системами. Генерирование сигналов со сложной структурой вызвано потребностями развивающихся в настоящее время шумовой радиолокации [3], шумовых измерительных систем [4,5], информационных технологий (обеспечение безопасности каналов связи [6], криптография).

Одним из подходов к созданию таких систем является усложнение традиционных хаотических систем с малой размерностью путем добавления дополнительных степеней свободы. Как указано в [7], одной из реализаций такого подхода может быть использование м независимых хаотических осцилляторов, у каждого из которых лишь один показатель Ляпунова положителен. Сигнал, получаемый из м сигналов всех осцилляторов, будет гиперхаотическим.

В данной работе рассматривается модель системы, состоящая из замкнутых в кольцо нелинейного элемента и однородной линии задержки. Исторически первым прибором, в котором использовался принцип хаотизации колебаний в динамической системе с запаздыванием, был генератор широкополосных шумов - шумотрон [8]. Динамические режимы в системах кольцевого типа изучались ранее, например, в работе [9]. Аналогичная динамическая система с кольцевой запаздывающей обратной связью без учета дисперсионных свойств линии задержки рассматривалась в работе [ 10].

Целью настоящей работы является исследование нелинейной динамической системы с запаздыванием и инерционным звеном, позволяющим учесть не только частотно-избирательные свойства нелинейного элемента, но и дисперсионные свойства линии

задержки. В ходе исследований решены следующие задачи: проведен расчет фрактальной размерности аттрактора системы; установлена взаимосвязь между величиной размерности и соотношением характерных временных масштабов системы. Исходя из анализа фрактальной размерности, предложен практический способ увеличения размерности аттракто -ра системы.

2.Дифференциально-разностное уравнение для кольцевой системы с инерционным звеном

Данная работа является продолжением исследований, представленных в [11], где авторами исследовалась нелинейная динамическая система с запаздывающей обратной связью и нелинейным элементом, реализующим асимметричное нелинейное отображение. Результаты были представлены без учета частотно-избирательных свойств элементов, входящих в систему. Однако реальные линии задержки обладают частотной дисперсией, а любой нелинейный элемент имеет частотную характеристику. Как будет показано в следующем разделе, дисперсионные свойства однородной линии задержки и частотно-избирательные свойства нелинейного элемента можно учесть введением в кольцевую систему инерционного звена 1 -го порядка (рис. 1). Подобная система, но содержащая резонансный фильтр и нелинейную функцию, аппроксимированную полиномом 4-й степени, изучалась в работе [10].

Рис.1. Структура нелинейной динамической системы с запаздыванием и инерционным звеном

Получим уравнения, характеризующие поведение данной системы во временной области при условии, что инерционные свойства ее элементов и д испер -сия в линии задержки не могут считаться пренебрежимо малыми. Как известно, телеграфные уравнения однородной линии передачи, обладающей частотной дисперсией, содержат коэффициенты, учитывающие потери в материале диэлектрика и проводниках. Эти уравнения для мгновенных значений напряжения и тока в линии при произвольном характере пространственно-временных зависимостей имеют следующий вид [12]:

= -Ri(x,t)-L

dx dt

= -Gu(x,t)(1)

dx dt

где l , C, R, G — первичные параметры линии (погонные индуктивность и емкость, сопротивление и проводимость). Данная система уравнений в

8

РИ, 2005, № 3

общем случае уже не сводится к разностному уравнению по методике, описанной в [11]. Однако, как будет показано ниже, для решения задачи, рассматриваемой в этой работе, дисперсия может быть учтена не в уравнениях для линии, а в граничных условиях. В этом случае задача для кольцевой системы сведется к дифференциальноразностному уравнению, которое можно проанализировать методами теории одномерных отображений [13].

Положим равными 0 параметры r и G в уравнениях (1), а дисперсионные свойства линии учтем позднее при записи граничных условий. При этом получим волновые уравнения для линии без потерь:

Su2(x,t)

дх2

Si2(x,t)

Эх2

_ LC би^хд) = 0,

dt2

- lc = о.

dt2

(2)

Общее решение волнового уравнения для тока и напряжения (решение Даламбера) имеет следующий вид:

u(x,t) = §i(t-х)+§2(t+-);

V V

i(x,t) = 1 Ki(t - x) -§2(t + -)], Z v v

(3)

і

где v = , — скорость распространения сигнала

VLC

в линии; Z =

L

— волновое сопротивление линии;

§1 и §2 — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Начальные условия будут определяться распределением токов и потенциалов в линии в момент времени t = 0 (рис. 2):

u(x,0) = U(x), i(x,0) = I(x), 0 < x < l. (4)

Как следует из рис. 1 и 2, граничные условия записываются следующим образом:

u(l,t) = Ri(l,t);

i(0, t) = |ш(0,1), (5)

где R — входное сопротивление элемента, реализующего функцию F(x).

i(0,t) i(x,t) i(l,t)

—► ж > > < А •—►

u(0,t) u(x,t) u(l,t)

'—►

0 1 x

Рис. 2. Распределение потенциала и тока в линии задержки

Так как u(0, t) = Zi(0, t), u'(0, t) = F{u(l, t)}, а напряжения на входе и выходе инерционного звена (см. рис. 1) связаны обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка:

R'C'du(0,t) + u(0, t) = u'(0,t) dt ’

второе граничное условие приобретает вид:

RC *(М + i(0,t) = |r{u(l,t)}. (6)

При равенстве сопротивления R и волнового сопротивления линии Z (в этом случае имеет место идеальное согласование линии с нагрузкой, что означает отсутствие отражений от входа нелинейного элемента) решение (3) при учете граничных условий (5), (6) принимает следующий вид:

^2(t + ~) - 0

RC d^t) +W) = F-k(t--?-)J. (7)

Поскольку §2 = 0 , из (3) следует, что x

u(x, t) = ^i(t —), поэтому (7) можно записать в виде:

Т dt+ u(D = F{u(t - T)}, (8)

где T = l/v — время распространения волны в линии; х = R C — постоянная времени инерционного звена.

Уравнение (8) аналогично полученному в работе [14] дифференциально-разностному уравнению, описывающему процессы развития колебаний в лавинном детекторе частиц высоких энергий, пред -ставляющем собойp-n-i-p-n структуру. В работах [15-17], которые во многом определили формирование фактического материала данной статьи, приведен способ описания автоколебаний в устройствах дифракционной электроники, базирующийся на методе решения начально-краевых задач электродинамики с нелинейными граничными условиями.

3. Частотный коэффициент передачи однородной дисперсионной линии задержки

В данном разделе обосновывается правомерность введения в систему инерционного звена для учета дисперсионных свойств линии задержки.

Реальная линия передачи характеризуется зависящим от частоты комплексным коэффициентом распространения у = а(ю) + jP(ra), где а(ю) — коэффициент ослабления, Р(ю) — коэффициент фазы [12]. В общем случае они связаны с первичными параметрами линии R,G,L,C следующим образом:

а(ю) =

^RG -ю2

LC + 7 (R2 +ro2L2)(G2 +ra2C2) 2

(9)

9

РИ, 2005, № 3

Р(ю) =

jn2LC - RG + 7 (R2 + n2L2)(G2 +a2C2) (10)

Комплексная амплитуда напряжения прямой волны в линии передачи имеет вид U(ro,z) = Ume_Y(ro)z • На входе имеем: U(ю,0) = Um , на выходе: U(ю,1) = Ume_Y(ro)l • Таким образом, частотный коэффициент передачи такого отрезка линии будет иметь вид:

K(ro,l) = = e_Y(ro)l

U (ю,0)

Для линии единичной длины

(11)

5у

1?

Рис.3. Коэффициенты ослабления и фазы однородной дисперсионной линии задержки

К(Ю) = e“Y(ro) = e“a(ro)e-jp(ro) •

Окончательно имеем, что отрезок реальной линии единичной длины характеризуется частотным коэффициентом передачи, модуль которого

|К(ю)| = e_a(ro) и аргумент фК(ю) = -Р(ю), где а и Р определяются из выражений (9) и (10).

Любая реальная линия передачи обладает дисперсией, что проявляется в искажении формы передаваемого негармонического сигнала. Хорошо известно, что в рамках спектрального подхода наличие дисперсии можно объяснить неодинаковостью фазовых скоростей различных спектральных составляющих передаваемого сигнала, что приводит, например, к “расплыванию” прямоугольного импульса из -за различия во времени перемещения от начала к концу линии различных спектральных составляющих исходного импульса. Фазовая скорость определяется Vph =ю/Р(ю) . Следовательно, наличие дисперсии означает, что закон изменения коэффициента фазы Р от частоты должен отличаться от линейной зависимости. Отсутствие дисперсии наблюдается лишь в случае, когда Р(ю) ~ ю ,

т.е. Vph = Const. Так, линия без неоднородностей с погонными значениями параметров R = 10 Ом/м,

G = 5.10_5 См/м, L = 1,8 мкГн/м, C = 80 пФ/м имеет типичные зависимости коэффициентов ослабления и фазы, представленные на рис.3.

ч |K|

t1 \

о 4-------------і-----------1------------1-----------1-----------1-----------1------------1-----------1-----------1-----------1-1 5

0 о 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 1 8 2

Рис. 4. Модуль и аргумент частотного коэффициента передачи инерционного звена

В качестве последнего можно использовать линейную динамическую систему первого порядка (инерционное звено), характер изменения модуля и аргумента частотного коэффициента передачи которого (рис.4) близок к аналогичным характеристикам для длинной линии (см. рис.3). Включение такого блока в кольцевую систему также позволяет учесть частотно-избирательные свойства нелинейного элемента, входящего в систему. Данный подход применим для случая, когда нет необходимости рассматривать пространственную структуру электромагнитного поля в линии передачи, а линия анализируется лишь с точки зрения преобразования сигнала.

Таким образом, для практически реализуемых линий передач общей закономерностью является такой характер проявления дисперсионных свойств, при котором коэффициенты ослабления а и фазы Р есть монотонно-возрастающими функциями частоты (см. рис. 3, функции этих величин — моно-тонно-убывающие).

При анализе такие линии удобно представлять последовательно включенными блоком идеальной задержки и блоком, проявляющим дисперсионные свойства, описанные выше.

Следует заметить, однако, что инерционное звено является сосредоточенным четырехполюсником (однозвенным RC -фильтром). Известно, что его коэффициент передачи (как и для любой динамической системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами) представляется дробно-рациональной функцией частоты. В то же время функция частотного коэффициента передачи длинной линии как распределенного четырехполюсника имеет экспоненциальный характер (11). Поэтому расчет дисперсии с помощью ее учета введением в систему инерционного звена может быть выполнен лишь приближенно.

10

РИ, 2005, № 3

4. Оценка корреляционной размерности по временной реализации

Для удобства последующего анализа перепишем уравнение (8) в виде г + u(t') = F{u(t'- T')} и

введем новые безразмерные величины: t = t' / т — безразмерное текущее время, TD = T' / т — отношение задержки сигнала в линии к постоянной времени инерционного звена. Приняв yx (t) = u(x t), после проведения преобразований получим:

^ydp + y X (t) = F{yx (t - Td)} , (12)

где yx (t) — решение уравнения при данном значении параметра т. Из (4) получаются следующие граничные условия для уравнения (12):

u(x,0) = U(x), i(x,0) = I(x), 0 < x < lTD . (13)

Поскольку характер решения определяется параметром Td , а от абсолютных величин T и т зависит лишь временной масштаб решения, в дальнейшем при описании типов решения индекс х будет опущен.

Однозначность приведения уравнения (8) к виду (12) позволяет сделать вывод о том, что свойства

решений определяются соотношением Td между параметрами t и х, а не их абсолютными величинами. Значение каждого из параметров будет определять скорость развития процессов во времени, но сам характер процессов будет определяться именно отношением т/х.

Дальнейшая задача сотоит в исследовании зависимости корреляционной размерности аттрактора от величины соотношения характерных времен системы TD = T' / х .

Полученное нелинейное дифференциально-разностное уравнение решалось численно методом последовательного интегрирования (метод шагов) [18] с заменой дифференциального оператора разностным по схеме Рунге-Кутта 4-го порядка на

каждом шаге. Задавалась точность 10-4 . Количество элементов в массиве составляло 30000. В качестве нелинейной использовалась кусочно-линейная функция вида “tent-map”:

F(y) = r(l-2|0.5 -y|) , y є [0,1]. (14)

В данной работе расчеты проводились для значений параметра r = 1, при котором последовательность

итераций отображения yn+1 = F(yn) полностью хаотична.

Характерный вид временных реализаций и фрагменты соответствующих им двумерных проекций фазовых портретов системы представлены на рис.

5. С увеличением параметра Td (что соответствует

уменьшению инерционности системы) наблюдается появление все более мелких масштабов движения. Это проявляется в усложнении аттрактора системы и возрастании уровня высокочастотных флуктуаций во временных реализациях. Интересно отметить, что при соизмеримых постоянной времени инерционного звена и времени задержки сигнала в линии, т.е. Td = 1 происходит затухание колебательного процесса (см. рис. 5,а,б).

Одной из количественных характеристик сложности процесса (степени хаотичности) является фрактальная размерность аттрактора в фазовом пространстве динамической системы, порождающей данный процесс. Существуют различные методики оценки ее величины, приводящие, вообще говоря, к различным, хотя и близким результатам (Хаус-

дорфова D0 (емкость), информационная D1, корреляционная D2). Установлена определенная взаимосвязь между различными типами оценок фрактальной размерности [19]. Она выражается в том,

что их можно упорядочить D2 < D1 < D0 . В данной работе используется вычисление корреляционной размерности по методу Грассбергера-Прокаччи [20], который сводится к изучению корреляций между случайными точками на аттракторе. Алгоритм вычисления корреляционной размерности состоит в следующем.

Производится реконструкция фазового пространства системы методом запаздывания. Для этого из временного ряда, состоящего из равноотстоящих по времени значений анализируемого сигнала

У1,У2,...Ук , формируется вектор размерности m :

yk = ^kAk-byk^’-'-ykH^m-pX k = m-N . Для каждого значения k вектор у задает точку на траектории динамической системы в m -мерном фазовом пространстве.

Вычисляется корреляционный интеграл Cm (r) -вероятность того, что две точки на восстановленном аттракторе в m -мерном пространстве находятся в пределах расстояния r друг от друга:

Cm(r) = Nm.Nit Є(r^Уі® ' °5)

Оказывается, что в большинстве случаев

Cm(r) ~ r ( ). Поэтому D(m) можно определить по наклону линейного участка на графике зависимости C(r), построенного в координатах (logr,logC(r)). Выполняя данную процедуру для последовательных значений m = 1,2,3,---, определяем, при каком уровне d происходит насыщение зависимости D(m). Величина D и будет искомой оценкой корреляционной размерности.

Результаты расчетов корреляционной размерности при различных значениях параметра Td (25) атт-

11

РИ, 2005, № 3

0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8

120 1 30 140 150 1 60 1 70 180 190 2С0

0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1

0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6

0 8 0 9 1

dky = p +

X

t

Ж

00 110 120 1 30 140 150 1 60 1 70 180 1 90 200

0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1

Рис.5. Временные реализации (а, в, д, ж, и) и двумерные проекции фазовых портретов (б, г, е, з, к) системы для различных значений параметра TD: а, б — TD = 1; в, г — TD = 2 ; д, е — TD = 5 ; ж, з — TD = 10 ; и, к — TD = 50

к

рактора, восстановленного по численному решению дифференциально-разностного (12) уравнения, представлены на рис. 6.

Для сравнения также приведены оценки корреляционной размерности, сделанные в соответствии с методом, предложенным в работе [21]. Видно, что в каждом случае насыщение зависимости наступает на уровне, соответствующем значению параметра TD. Таким образом, в диапазоне, где производилась оценка, величина размерности линейно возрастает с увеличением параметра Td . Этот результат находится в полном соответствии с результатами экспериментальных работ по изучению кольцевой системы с запаздывающей обратной связью, в которой использовался нелинейный элемент на основе p-n-p-n-структуры [9].

Приведенные результаты позволяют оценить количество положительных показателей Ляпунова исследуемой системы. По формуле Каплана-Йорке [22], связывающей величину ляпуновской размерности со спектром показателей Ляпунова, имеем: p

E^i

, (16) p+i|

где Xi — показатели Ляпунова, упорядоченные в порядке убывания; p — целое положительное число, определен-p

ное так, что Sp = Е ^i > 0, но i=1 pT1

Sp+1 = Е ^i < 0 . Из после-i=1

днего следует, что Sp +Xp+i <0, следовательно, всегда выполняется неравенство |Хp+i| > Sp . Таким образом, в формуле (16) второе слагаемое в правой части всегда меньше 1 и можно записать p = [Dky] . Согласно гипотезе Каплана-Йорке величина Dky равна информационной размерности Di, которая в свою очередь является нижней границей фрактальной размерности (т.е., например, ее оценки через корреляционную размерность D2). Поэтому можно записать p »[D2],

РИ, 2005, № 3

12

т.е. с увеличением D2 растет и количество показателей Ляпунова m, для которых их сумма Sp неотрицательна. Как следует из работы [23], для системы с одномерным унимодальным отображением основной вклад в рост суммы Sp дают именно показатели Ляпунова, величина которых неотрицательна. Исходя из приведенных рассуждений, можно сделать вывод о том, что рост корреляционной размерности исследуемой системы сопровождается появлением новых положительных показателей Ляпунова, т.е. возникновением новых направлений в фазовом пространстве, по которым происходит экспоненциальное разбегание первоначально близких траекторий.

5. Гиперхаос в нелинейной динамической системе с запаздыванием

Приведем качественные рассуждения, подтверждающие вывод, сделанный в предыдущем разделе. Представим непрерывное распределение потенциала в линии задержки набором из м дискретных отсчетов (при м ^ да получим исходное непрерывное распределение).

Как видно из рис. 7, каждый дискретный отсчет в момент времени t получается действием отображения на отсчет, существовавший в момент времени t - T. Таким образом, на любом интервале времени T имеем м отсчетов, эволюция которых определяется действием м одномерных отображений на дискретный набор м отсчетов, существовавших в

линии в момент времени t - T . Поскольку сигнал на выходе системы состоит из совокупности всех отсчетов, можно сделать вывод, что выходной сигнал является результатом одновременной работы м независимых одномерных систем. Каждая такая парциальная система непрерывно производит информацию [24] со скоростью, определяемой через показатель Ляпунова [25]. При устремлении м к бесконечности получим бесконечное число положительных показателей Ляпунова, что является предельным признаком гиперхаоса.

Рис. 7. Модель динамической системы с запаздывающей обратной связью кольцевого типа

Данный вывод подтверждается при определении фрактальной размерности аттрактора такой системы по выходной реализации с использованием алгоритма Грассбергера-Проккачи [20], который

позволяет оценивать корреляционную размерность аттрактора. На рис. 8 представлена зависимость величины корреляционного интеграла от размера r гиперкуба в двойном логарифмическом масштабе для различных значений размерности вложения, а на рис. сплошная линия корреляционная размерность аттрактора системы как функция размерности вложения m.

Видно, что с ростом m величина D2 не испытывает насыщения, что указывает на достаточно высокое значение размерности системы. Небольшое отклонение зависимости D2(m) от линейной в сторону 13

Рис. 6. Оценки корреляционной размерности для различных значений параметра Td • а Td = 2 ; б Td = 3 ; в Td = 4 ; г Td = 5

РИ, 2005, № 3

насыщения связано с погрешностью оценки больших размерностей при конечной длине выборки. Максимальная величина размерности, которую допустимо оценивать, имея в распоряжении Q точек, равна D]fax « 2lg(Q) [26]. В данном случае использовалась реализация длиной 100000, что

позволяет говорить о достоверности оценки D2 ВПЛОТЬ до 10.

Рис. 8. Зависимость величины корреляционного интеграла от размера г гиперкуба для различных значений размерности вложения

Л__________J_________L________J_________I_________

г $ 4 5 є т

embedding гп

Рис. 9. Оценки корреляционной размерности для нелинейной динамической системы и источника флуктуационного шума

Представленные на рис. 8 результаты аналогичны случаю, когда оценивается корреляционная размерность аттрактора источника флуктуационного шума (на рис.9 пунктирной линией обозначена оценка для случайного процесса с гауссовым законом распределения). Такая схожесть объясняется тем, что фактически обе системы — и рассматриваемая модель, и источник флуктуационного шума — являются бесконечномерными.

6. Выводы

Методами численного моделирования показано, что для аттрактора системы, описываемой дифференциально-разностным уравнением (12) с нелинейной функцией (14) и начальными условиями (13), величина фрактальной размерности пропорциональна отношению времени запаздывания сигнала в линии задержки к постоянной времени инерционного звена. В этом состоит научная новизна проведенного исследования. Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что определены условия, необходимые для достижения высоких значений размерности аттрактора системы. Как показано в работе, для этого требуется повышать величину указанного выше

отношения, что может быть достигнуто при фиксированном времени запаздывания расширением полосы рабочих частот элементов, входящих в систему.

Литература: 1.Elwakil A.S., Kennedy M.P. Inductorless hyperchaos generator // Microelectronics Journal. 1999. Vol.30. Р.739-743. 2.CenysA., TamaseviciusA., Namajunas

A. , Mykolaitis G. Synchronization of Hyperchaos // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 1998. Vol.1, No1. Р. 23-27. 3. Lukin K.A. The principles of Noise Radar Technology // Proc. of the First International Workshop on the Noise Radar Technology, 18-20 Sept. 2002, Yalta, Crimea, Ukraine. Р. 13-22. 4. Лукин K.A., Земляний О.В. Сверхширокополосный шумовой рефлектометр радиодиапазона // Украинский метрологический журнал. 1997. Вып.2. С. 14-18. 5. MogilaAA,^ Lukin K.A., Kulik V.V. Statistical Errors of Ranging in the Spectral Interferometry Technique // Telecommunications and Radio Engineering. 2001. Vol.55, No.10-11. Р. 67-77. 6. Kocarev L, Parlits U. General approach for chaotic synchronization with applications to communications // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74, No.25. Р. 5028-5031. 7. Cenys et al A. Hyperchaos with High Metric Entropy // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 1999. Vol.2, No.4. Р. 3640. 8.КислоеВ.Я., Мясин E.A., БогдановЕ.В. А.с. 1125735 (СССР). Способ генерирования электромагнитных шумовых колебаний. 9. Дмитриев A.C., Кислое В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. 280 с. 10. ДихтярВ.Б., КислоеВ.Я. Стохастические колебания в резонансных автогенераторах с запаздыванием //Нелинейные волны, стоха-стичность и турбулентность / Под. ред. М.И.Рабино-вича. Горький, 1980. 220 с. 11.Земляний О.В., ЛукинК.А. Корреляционно-спектральные свойства хаоса в нелинейной динамической системе с запаздыванием и асимметричным нелинейным отображением // Радиофизика и электроника. 2002. Т.7, №2. С.406-414. 12. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи с распределенными параметрами. М.: Высш.шк., 1980. 152 с. 13. Romanenko E. Yu., Sharkovsky A.N. From boundary value problems to difference equations: a method of investigation of chaotic vibrations // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1999. Vol. 9, No.7. Р.1285-1306. 14.Lukin K.A, Cerdeira H.A., Colavita A.A. Current Oscillations in Avalanche Particle detectors with p-n-i-p-n — Structure, IEEE Transactions on Electron Devices. 1996. Vol. 43, No.3. Р. 473-478. 15.Лукин К.А., Шестопалов В.П. Рассеяние электромагнитных волн на границе с нелинейным отражением // Препринт №288 АН УССР/ Ин-т радиофизики и электроники, Харьков, 1985. 16.Лукин К.А., Майстренко Ю.Л., Шарковский А.Н, Шестопалов

B. П. Одномерные начально-краевые задачи электродинамики с нелинейными граничными условиями // Препринт АН УССР / Ин-т математики; №87.39. Киев, 1987. 26 с. 17.Лукин К.А, Шестопалов В.П. Теория ГДИ с внутренней запаздывающей обратной связью // Квазиоптическая техника миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов волн: Сб. науч. тр./ Ан УССР. Ин-т радиофизики и электроники / Под ред. Е.М.Кулешова и др. Харьков, 1989. 164 с. 18.Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1964. 128 с. 19. Grassberger P, Proccacia I. Measuring the strangeness of Strange Attractors // Physica. 1983. Vol. 9D. Р. 189-208. 20. GrassbergerP, Proccacia I. Characterization of Strange Attractors // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol.50. Р. 346349. 21. Takens F. On the Numerical Determination of the Dimension of an Attractor // Lecture Notes in Mathematics / Edited by B.L.J.Braaksma, H.W.Broer, and F.Takens. Berlin: Springer-Verlag, 1985. 22.Kaplan J.L., Yorke J.A. A chaotic behavior of multi-dimensional differential equations

14

РИ, 2005, № 3

// Functional Differential Equations and Approximations of Fixed Points. Lecture Notes in Mathematics / Eds. H.O.Peitgen and H.O.Walther. Berlin, N.Y.: Springer, 1979. V.730 P.204-227. 23.Farmer J.D. Chaotic Attractors of an Infinite-Dimensional Dynamical System // Physica. 4D. 1982. P. 366-393. 24.ДмитриевA.C., Старков C.O. Передача сообщений с использованием хаоса и классическая теория информации / / Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998. №11. С.4-32. 25.Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. 240 с. 26. Eckmann J.P., RuelleD. Fundamental limitations for estimating dimensions and Lyapunov exponents in dynamical systems // Physica. 1992. Vol. D56, P.185-187.

Поступила в редколлегию 02.07.2005 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Чурюмов Г.И.

Земляный Олег Васильевич, м.н.с. отд. нелинейной динамики электронных систем ИРЭ НАН Украины. Научные интересы: динамический хаос в радиофизических системах, генераторы сверхширокополосных хаотических сигналов на основе систем с запаздывающей обратной связью, обработка и нелинейный анализ сложных сигналов.Е-mail: oleg@ire.kharkov.ua,тел.: 8-057-720-3371.

Лукин Константин Александрович, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. отд. нелинейной динамики электронных систем ИРЭ НАН Украины. Научные интересы: динамический хаос, нелинейная СВЧ электроника, генерация хаотических сигналов, обработка случайных сигналов, шумовая радиолокация и наземные шумовые РСА для дистанционного зондирования. Е-mail:lukin@ire.kharkov.ua, lndes@kharkov.com, тел./факс: 8-057-720-3349.

УДК 539.38

ЗАДАЧА ОБ УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЯХ УПРУГОГО ДВУСЛОЙНОГО ПРОСТРАНСТВА С ПОЛОСТЬЮ В ФОРМЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА

АФАНАСЬЕВ B.A., СОВА A.B., КЛИМОВА Н.П., НАТАЛУХА Ю.В.

Рассматривается применение формул переразложе-ния решений уравнения Гельмгольца в декартовых и эллиптических координатах к исследованию задачи об установившихся колебаниях упругого двуслойного пространства с полостью в форме эллиптического цилиндра. Задача сводится к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений.

1. Введение

В математической теории упругости одним из важных классов задач являются пространственные краевые задачи. К основным источникам принципиальных математических трудностей, возникающих при их решении, относятся геометрия граничной поверхности тела и упругие свойства деформируемых сред [7, 8]. Исследование установившихся колебаний упругих тел с неодносвязной границей является актуальным в связи с необходимостью анализа концентрации напряжений около полостей и включений, содержащихся в них.

Целью данной работы является изучение состояния установившихся колебаний в упругой среде, представляющей собой двуслойное пространство с полостью в форме эллиптического цилиндра. При этом основное внимание уделяется рассмотрению соответствующих математических вопросов. Применяются формулы переразложения решений уравнения Г ельмгольца в декартовых и эллиптических координатах [4], что позволяет точно удовлетворить граничным условиям на плоской границе раздела двух сред и на границе полости, имеющей форму эллиптического цилиндра. В результате этого нахождение характеристик напряжённого состояния сводится к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений второго

РИ, 2005, № 3

рода, приближённое решение которой можно осуществить методом редукции с использованием ЭВМ.

2. Постановка задачи и метод решения

Пусть (x,y,z) — прямоугольная декартова система координат. Свяжем с ней систему координат эллиптического цилиндра (q, 9,z) так, что x = hchq cos 9,y = hsh q sin 9 , где q> 0,0 <9< 2 n, h - параметр, h > 0. Два упругих полупространства с плотностями pj, р 2 и коэффициентами сдвига Р1, Ц2 жёстко сцеплены вдоль плоскости y = H, H > 0. В первом полупространстве, для которого y < H , имеется цилиндрическая полость, ограниченная поверхностью ц = Д0,Й0 > 0 . При этом предполагается, что hshЦ0 < H . Для постановки соответствующей краевой задачи учитываем то, что единственная отличная от нуля компонента вектора смещений uZj) = vj(x,y)eудовлетворяет уравнению движения Ламе:

d2uj + д24j) Рj д2uzj)

5x2 5y2 Fj d t2

0,j = 1,2.

(1)

Граничное условие может быть записано в виде

u

(1)

z

Л=Л0

v(9)e “irot

(2)

Поскольку полупространства жёстко сцеплены, то получаем, что

(1) = „(2) _(1) (2) y ^

Lyz Lyz

uz = u

2

y = H.

(3)

r\ О їЮ

Пусть k2 =

F і

Л =

h2k2

. Будем в дальнейшем

использовать эллиптические волновые функции [2, 3]:

МеП1) (г|, q)cen (9, q), Cen (q,q)cen (9, q) (n > 0), Nen1)(q,q)sen(9,q),Sen(q,q)sen(9,q) (n > 1).

Функции Vj(x,y) с учётом (1) представим в виде

V(x.y)=jn1(4e”x

-д/k^y

d^ +

15