CC BY
59УДК 69.04 ЭО! 10.24411/2686-7818-2020-10036
ФРАКТАЛЬНАЯ ПРИРОДА МАСШТАБНОГО ЭФФЕКТА ПРОЧНОСТИ БЕТОНА*
© 2020 В.П Селяев, П.В. Селяев, А.О. Горенков, Е.С. Безрукова, Е.Л. Кечуткина**
В предлагаемой статье рассматривается возможность описания масштабного эффекта на основе фрактальной геометрии Б. Мандельброта. Основываясь на гипотезе о масштабной инвариантности структуры разработана фрактальная модель, согласно которой прочность материала зависит от размера дефектов, масштабного фактора и фрактальной размерности. Предложен новый способ определения фрактальной размерности, как характеристики однородности, внутреннего порядка структуры материала.
Приведены данные анализа экспериментальных данных, опубликованных в научной литературе, которые подтверждают адекватность модели.
Ключевые слова: фрактал, модель, бетон, разрушение, фрактальная размерность, прочность, структура, дефект.
Прочность бетона обычно определяют в лабораторных условиях на образцах малых размеров по сравнению с действительными конструкциями. Эти данные используют для определения расчетных и нормативных сопротивлений бетона, для расчета элементов зданий и сооружений.
Однако экспериментально установлено, что существует расхождение прочностных свойств, определенных для конкретных конструкций и путем испытания стандартных образцов. Это явление объяснили масштабным эффектом. Очевидно, что проявление масштабного эффекта влияет на надежность, долговечность строительных конструкций и его необходимо учитывать в процессе расчета и конструирования зданий и сооружений. Для этого необходимо объяснить физи-
ческую сущность этого явления и предложить аналитические методы, позволяющие учитывать масштабный эффект при проектировании строительных конструкций.
В соответствии с законом подобия, установленным В. Кирпичевым, геометрически подобные тела из одинакового материала, изготовленные и испытанные в одинаковых условиях, должны иметь одинаковую прочность [2-3]. Однако многочисленными экспериментальными исследованиями установлено, что прочность геометрически подобных образцов может зависеть от их размеров. Это явление названо масштабным эффектом [4-11].
Природу масштабного эффекта объясняют прежде всего наличием дефектов в объеме и на поверхности твердых тел. А.Ф. Иоф-
* Работа представлена в качестве доклада на X! Академических чтениях РААСН - Международной научно-технической конференции «Долговечность, прочность и механика разрушения строительных материалов и конструкций», посвященной памяти первого Председателя Научного совета РААСН « Механика разрушения бетона, железобетона и других строительных материалов » Почетно -го члена РААСН, д.т.н., профессора Зайцева Юрия Владимировича (Саранск, ФГБОУ ВО "Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва", 2020 год).
** Селяев Владимир Павлович (ntorm80@mail.ru) - академик РААСН, доктор технических наук, профессор; Селяев Павел Владимирович (ntorm80@mail.ru) - кандидат технических наук; Горенков Александр Олегович (alexandr.gorenckov@yandex.ru) - аспирант кафедры строительных конструкций; Безрукова Евгения Сергеевна (eugenia.bezr@gmail.com) - аспирант; Кечуткина Евгения Львовна (kechytkina85@mail.ru) - инженер; все - Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева (Саранск, РФ).
ф
ЭКСПЕРТ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
2020. № 4 (7)
фе , А.П. Александров, С.Н. Журков объясняют природу масштабного эффекта наличием дефектов, которые провоцируют склонность материала к хрупкому разрушению. И.А. Одинг считает, что проявление масштабного эффекта зависит от технологии изготовления образцов различных размеров. Статистическая природа масштабного эффекта, основанная на модели слабого звена, рассматривается в работах М'.Д. Weibulla, В.В. Болотина [7, 11]. Г.П. Черепанов объясняет наличие масштабного эффекта размерами и количеством структурных элементов, образующих объем образца. М.И. Кайфман предложил различать масштабные эффекты двух видов: объемный, связан со структурной неоднородностью в объеме; поверхностный, связан с качеством обработки поверхности.
Предложено несколько аналитических функций, описывающих зависимость прочности R от масштабного размера (объема - v, диаметра - d).
В. Вейбулл предложил в 1939г. функцию вида:
R = сгв +
(1)
(3)
❖ большого размера д = Д, - ^А{дУ-Б. (5) М.М. Протодьяконов для описания масштабного эффекта горных пород предложил функцию:
где сгп -сог^материала (минимальная прочность); ст._-соп51:напряженного состояния; а - характеристика степени однородности материала.
В.В. Болотин развил модель В. Вейбулла и предложил функцию вида:
11
(2)
гДе Дед' Яеш#- прочность образца объемом V и стандартного уа - эмпирические коэффициенты.
А.П. Александров и С.Н. Журков для прочности волокон диаметром d предложили функцию вида:
Т.А. Конторова, Я.И. Френкель предложили для образцов:
❖ малого размера R — а л-
6
v:
(6)
где R т - прочностьтрещиноватого массива;
- эмпирические коэффициенты; т - коэффициент трещиноватости;d-диаметр образца.
Недостатком приведенных функций является то, что они получены из анализа моделей, не отражающих структурные и механические особенности строения и свойств материала.
Современные представления о принципах строения структуры сложных систем, основанные на аксиомах фрактальной геометрии природы, дают возможность описать масштабный эффект с учетом объективных детерминированных показателей свойств материала.
Б. Мандельброт в основу фрактальной геометрии природы заложил две аксиомы -о многомасштабности строения структуры сложных систем и о подобии структур на каж -дом масштабном уровне. Объективной оценкой подобия структур является фрактальная размерность D. Основной закон Мандельб-рота записывается в виде функции:
Lt = LB xd~D - (7)
где Li - характеристика структуры на /-ом масштабном уровне; £0 - значение характеристики в Евклидовой системе; d - размерность в Евклидовом пространстве; D - фрактальная размерность. Представим структуру бетона в виде фрактальной системы из структурных эле -ментов, в каждом из которых содержится дефект - трещина длиной ^ . Разрушение структурного элемента происходит при растяжении (1) и при сжатии (2) при выполнении условий соответственно: !) <|1 = f[0; а = Œ 90 Л т0; 2) 2 = CL0-, а = Œ453 т0 , (4) где^п -длинатрещины разрушения, которая зависит от технологии изготовления бе-
тона, крупности заполнителя, условий хранения и эксплуатации изделия; а -угол между осью трещины и силовыми линиями.
Учитывая, что трещина формируется в композите с фрактальной структурой, её длина будет равна.
(8)
где а - масштабный уровень структуры.
Тогда из анализа фрактальной модели Гриффитса [12] получим:
„С1-Д;
Я
Я —
^СЗтг/.,
4*2,
; я ¿¡с — ■
я
(9) (10)
где к^., - коэффициенты интенсивности напряжений при растяжении (1), сдвиге (2) бетона на /-ом масштабном уровне С=1. Предполагаем, что на стандартном масштабном уровне аа прочность при растяжении и сжатии определяются соответствующими функциями:
(11)
Масштабный уровень ^ представим отношением а = гДе " геометрические характеристики /-ого и стандартного /=0 масштабного уровня. Тогда зависимость прочности от масштабного фактора будем выражать функциям вида:
(12)
Полученные формулы дают возможность оценить прочность бетона при растяжении и сжатии на каждом /-ом масштабном уровне с учетом: размеров характерного дефекта (длины трещины ); структуры (образца); параметра структурной неоднородности (фрактальная размерность О); геометрических масштабных характеристик образцов (объем - V; диаметр - С; длина - ¿).
Если принять в качестве стандартного образца кубик с размером ребра ¿= 15 см и фрактальную размерность О=1,5 (по результатам экспериментальных исследований), то прочность на сжатие при условии ув = г, = 15 )У{= будет определяться по формуле:
д6[« = ■ 1.Ж?'2*-, Дего = ДеС15). (13) Если принять£0 = Ю см , то имеем
= (14)
Результаты определения прочности кубов из цементных композитов в зависимости от размера ребра приведены в таблице. Прочность на сжатие определялась по формулам (2), (13), (14).
В.В. Болотиным приведены результаты анализа экспериментальных данных, полученных Эмпергером, Бухгарцем, Гувером, Г.Д. Цискрелы [11] и определены значения коэффициентов а = 6 = 0,42 в уравнении (2). На рисунке 1 и в таблице 1 приведены значения относительной прочности, полученные по этой формуле. Сравнение ре-
А>£с
Изменение прочности -кубов из цементных композитов
КЫ0
в зависимости от размеров ребра (масштабного эффекта)
N п/п Вид и номер формулы Размеры куба, см
0,001 0,01 0,1 1,0 10 15 20 40
1 (13) 11,1 6,23 3,5 1,97 1,1 1,0 0,93 0,788
2 1 (14) 10,0 5,6 3,16 1,77 1,0 0,89 0,84 0,7
3 8.98 4.68 2,48 1,48 1,0 0,86 0,79 0,685
4 1,9 71~0'5 650 19,7 6,15 1,97 0,62 0,51 0,44 0,3
ü
ЭКСПЕРТ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
2020. № 4 (7)
Cïl
i 'о
Рис. 1. Зависимость прочности от размеров куба:
1 - по формуле (13); 2 - по формуле (14); 3 - по формуле (2); 4 - по формуле (12) при 0=2, V = Ьд = 15 см; 5 - по формуле (12) при 0=1
зультатов вычислений прочности по формулам (2), (13), (14) показывает, что они хорошо совпадают в диапазоне изменения ребра кубика от 10 до 40 см.
В формулах (12) однородность структуры материала оценивается фрактальной размерностью, значения которой зависят от принятой модели - линейной, плоской, объемной; от однородности структуры материала.
В предложенной модели, если 0 = 1, то структура материала однородна и прочность не зависит от масштабного фактора, если 0=2, то масштабный фактор проявляется более сильно (см. рис.1, строка 4).
В работе Г.Ф. Бабнюк, В.Ф. Пунтус [13] приведены экспериментальные данные о проявлении масштабного эффекта при оценке прочности модельных материалов, кото-
рые представляют собой цементные композиты с наполнителем из горелой земли, песка и гипса. Были испытаны образцы в виде призмы, цилиндров, кубов различных размеров и предложена аппроксимирующая функция вида:
х+ 6
у — а-
X — с
(15)
Результаты эксперимента (рис. 2), полученные в работе [13], были обработаны с применением аппроксимирующих функций (12) и (15). Установлено: результаты эксперимента, представленные в двойных логарифмических координатах, хорошо ложатся на прямую (см. рис. 3) при фрактальной размерности 0=1,4; фрактальную размерность можно определить по формуле
d = Д1°я(Л7д0)
,, - . ; апп
роксимиру-
Рис. 2. Изменение прочности от масштабного эффекта:
1 - экспериментальные данные (13), 2 - по формуле (12), 3 - по формуле (15)
Рис. 3. Линеаризация экспериг логарифмических координатах
ющая функция (12) достаточно точно описывает экспериментальные данные; функция (15) предполагает наличие затухающего характера падения прочности с увеличением размеров образцов, что не всегда подтверждается экспериментальными данными [14].
В работе Ильницкой Е.И. [14] приведены результаты испытаний образцов горных пород: габбро, мрамора, туфа. Были испытаны образцы: цилиндры с различной площадью поперечного сечения, высота кото-
лентальных данных в двойных в соответствии с функцией (12)
рых принималась равной ^ = 2\Т.Результаты эксперимента приведены на рис. 4. Обработка результатов эксперимента в двойных логарифмических координатах (см. рис. 5) позволила определить фрактальную размерность, характеризующую структуру габбро, мрамора, туфа, которая равна соответственно 1,24, 1,25, 1,6.
Так как фрактальная размерность является характеристикой беспорядка (неодно-родностей) в структуре материала и меня-
5
Ко 0,8 0,6 0,4 0,2
__I
0 1 2 3 4 5 6 7
9 10 А/А0
Рис. 4. Изменение прочности при сжатии: габбро (1), мрамор (2), туф (3) с учетом изменения площади поперечного сечения образцов
1од(б,/бо)
Рис. 5. Линеаризация графиков на рис. 4: габбро (1), мрамор (2), туф (3) © АНО "Институт судебной строительно-технической экспертизы", 2020
6
ется в пределах 1 < О < 2, то можно заключить, что наиболее однородную структуру имеют образцы из габбро, наиболее дефектная структура у туфа.
Применяя функции (12) с учетом соответствующих значений О произведено сопоставление экспериментальных и расчетных данных изменения прочности горных пород с увеличением площади поперечного сечения, которое показало хорошую сходимость.
Вывод.
Показана возможность объяснения масштабного эффекта на основе фрактальной геометрии Б. Мандельброта. Показано, что физическая сущность масштабного эффекта заключается в масштабной инвариантности строения структуры на каждом масштабном уровне структуры бетона, следовательно, подобны и свойства. Экспериментальные данные, опубликованные в научной литературе, подтверждают адекватность предложенной модели не только для бетона, но и для горных пород. Предложен новый способ определения фрактальной размерности, основанный на экспериментальных данных испытаний образцов различных размеров.
Библиографический список
1. Кирпичев В.П. О подобии при упругих явлениях. // Записки Русского технического общества. - 1876. - №3. - С. 162-165.
2. Давыденков Н.Н. Некоторые проблемы механики материалов. - М.: Газетно-журнальное издательство, 1943. - 312 с.
3. BamschingerJ. Mitt.Mech-Techn. LaboratoriumD .Techn. Schule. - München, 1884. 150 p.
4. Кайфман М.И. Главный масштабный эффект в горных породах и углях. // Проблема механизации горных работ. - М.: Изд-во АН СССР. 1963. - С. 39-56.
5. Иоффе А.Ф. Деформация и прочность кристаллов / А.Ф. Иоффе, М.В. Кирпичев, А.И. Левитская // Журнал русского физико-химического общества. - 1924. - №2. - С. 286-293.
6. Александров А.П. Явление хрупкого разрыва / А.П. Александров, С.Н. Журков. - М.: ГТТИИ, 1933. - 51 с.
7. Weibull W.A.A. Statistical theory of strength of materials // Ing. Vetengkamsakad. Hand. 1939. №151. P. 55-62.
8. Одинг И.А. Допустимые напряжения в машиностроении и циклическая прочность материалов. - М.: Машгиз., 1947. - 184 с.
9. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. - М.: Наука, 1974. - 640 с.
10. Протодьяконов М.М. Трещиноватость и прочность горных пород в массиве / М.М. Протодьяконов, С.Е. Чирков. - М.: Наука, 1964 г. - 69 с.
11. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. - М.: Наука, 1961. - 202 с.
12. Селяев В.П. Физико-химические основы механики разрушения цементных композитов / В.П. Селяев, П.В. Селяев. - Саранск: Изд-во Мор-дов. ун-та, 2018. - 220 с.
13. Шашенко А.Н. Масштабный эффект в гор -ных породах / А.Н. Шашенко, Е.А. Сдвиткова, С.В. Крушель - Донецк: Норд-Пресс, 2004. - 126 с.
14. Ильницкая Е.И. Влияние масштабного фактора на прочностные свойства горных пород. - М.: Изд-во АН СССР, 1972.
Поступила в редакцию 03.06.2020 г.
ЭКСПЕРТ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
2020. № 4 (7)
FRACTAL NATURE OF THE CONCRETE STRENGTH LARGE-SCALE EFFECT
© 2020 V.P. Selyaev, P.V. Selyaev, A.O. Gorenkov, E.S. Bezrukova, E.L. Kechutkina*
This article discusses the possibility of describing a large-scale effect based on B. Mandelbrots fractal geometry. Based on the hypothesis of scale invariance of the structure, a fractal model has been developed, according to which the strength of the material depends on the size of the defects, scale factor, and fractal dimension. A new method is proposed for determining the fractal dimension as a characteristic of homogeneity, the internal order of the structure of the material.
The data of analysis of experimental data published in the scientific literature, which confirm the adequacy of the model.
Keywords: fractal, model, concrete, fracture, fractal dimension, strength, structure, defect.
Received for publication on 03.06.2020
* Selyaev Vladimir Pavlovich - Academician of the Russian Academy of Architectural and Construction Sciences, Doctor of Sciences, Professor; Selyaev Pavel Vladimirovich - Candidate of Science; Gorenkov Alexander Olegovich - Postgraduate; Bezrukova Evgenia Sergeevna - Postgraduate; Kechutkina Evgenia Lvovna - Engineer; all - National Research Ogarev Mordovian State University (Saransk, Russia).
