Фотофорез крупной аэрозольной сфероидальной частицы с учетом нелинейных характеристик среды Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.72

ФОТОФОРЕЗ КРУПНОЙ АЭРОЗОЛЬНОЙ СФЕРОИДАЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СРЕДЫ

А.А. Плесканев

Белгородский государственный университет 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14 pleskanev@bsu.edu.ru

Рассмотрено движение нагретой сплюснутой сфероидальной частицы, возникающее при неоднородном нагреве поверхности частиц внутренними источниками тепла, функция плотности распределения которых считается известной. Движение частицы происходит в вязкой, сжимаемой газообразной среде, коэффициенты молекулярного переноса которой, являются функциями температуры.

Ключевые слова: нагретая сфероидальная частица, функция распределения, коэффициенты переноса.

При взаимодействии электромагнитного излучения с аэрозольной частицей, внутри нее происходит выделение тепловой энергии, что приводит к неоднородному нагреву поверхности частицы. Газ, взаимодействуя с неоднородно нагретой поверхностью, начинает двигаться вдоль поверхности в направлении возрастания температуры (тепловое скольжение). Тепловое скольжение вызывает появление фотофоретической силы, под действием которой аэрозольная частица приходит в движение. Когда величина фотофо-ретической силы становится равной величине силы вязкого сопротивления среды, частица начинает двигаться с постоянной скоростью -скоростью фотофореза.

Рассмотрим установившееся фотофоретическое движение твердой нагретой аэрозольной частицы, форма поверхности которой представляет собой сплюснутый сфероид. Нагрев поверхности частицы осуществляется внутренними источниками тепла, объемная плотность распределения которых qp известна. Считается, что газообразная

среда занимает все пространство и на бесконечности покоится.

Температура поверхности частицы может намного превышать температуру среды, что приводит к необходимости рассматривать динамическую вязкость и , теплопроводность X я и плотность р я как функции температуры. В данной работе, зависимость динамической вязкости и теплопроводности от температуры рассматривалась как степенная:

и = и гр, X =Х Г“ и X =Х Гу, (1)

^00 £ Э Ъ£СО g > рс0 р) V /

где Мо=М£ (То), X£0 = X£ (То), Xро = Xр (То). Здесь и далее ^ = 7£ / 70 , гр = Тр / То -безразмерные температуры; индекс ‘^” указывает на газообразную среду, “ р ”- на частицу, “о” обозначает параметры газообразной среды вдали от частицы.

Свяжем систему отсчета с центром движущейся частицы, при этом положение декартовой системы координат фиксировано относительно частицы таким образом, чтобы ось z совпадала с осью симметрии сфероида. В этом случае задача сводится к анализу обтекания частицы бесконечным плоскопараллельным потоком газа со скоростью =-ир, где ир - скорость движения частицы). Решение проводится в сис-

теме координат сплюснутого сфероида (в, п, ф).

Обтекание твердого сфероида будет описываться линеаризованной системой уравнений:

д Р д

(

ди

+

ди к 2

—5,

ди,

д х, д х. 3 д х,.

Л

(І, к, у = 1,2,3),

div( ри ) = 0 .

¿ІЧХ уг) = 0, ¿ІЧХ ут„) = -«

(2)

(3)

(4)

с граничными условиями

V,

8 = 8о : ие= 0, ил= (УГЯ • ел),

£

Т = тр; X £ (У7; • е8) = х р (угр • е8)+оа (Т4 - О,

8 — °> : и £ — иш C0S Пе8- SІn П Є п » Р£ — Р . Т£ — Т» ,

8 —— 0: Т ^ оо.

(5)

(6) (7)

Здесь Г, Гр - температура газообразной среды и частицы соответственно; ЦУе и ип - радиальная и тангенциальная компоненты массовой скорости и в сфероидальной системе координат; и, - величина скорости набегающего потока; К^ - коэффициент теплового скольжения; о0 - интегральная степень черноты; о1- постоянная Стефана-Больцмана; е е и еп - единичные векторы сфероидальной системы координат.

В граничных условиях на поверхности частицы (5) учтено условие прилипания для нормальной и условие скольжения для тангенциальной компоненты массовой скорости, а также, равенство температур и непрерывность потоков тепла. В качестве граничных условий на бесконечности приняты условия (6). Конечность физических величин отражена в граничном условии (7).

Для нахождения силы, действующей на нагретую твердую аэрозольную частицу, и скорости ее движения, необходимо знать поле температуры, как вне частицы, так и внутри нее.

Поскольку при решении задачи предполагается малость числа Рейнольдса ^е, <<1), то можно считать, что набегающий поток оказывает лишь возмущающее воздействие. В связи с этим, решение системы уравнений теплопереноса будем искать в виде разложения по малому параметру £ :

^ = ^0 +^ ^1 + к , = *р0 +^ *р1 + к ,

где £ = Re, = р,и,а / = Г /Г,, ^ = Гр / Г,.

При решении задачи мы ограничимся поправками первого порядка малости по £ . С учетом степенной зависимости коэффициентов теплопроводности (1) уравнения (4) можно записать в виде:

А і £+а = 0, А і р+т=-^±1- „

£ 5 Р Л гр 1 Р -

рсо со

(8)

с граничными условиями: для нулевых приближений

К 0 = ^

д і„

дХ

* рсо р0

дХ

+ а0р0 - 1):

(9)

для первых приближений

120

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Д № 9 (49) 2008

'g1 lp1’ 'V'go

d t

g1 +a g1

5X t 0 5X

v g0 у

— X t y

^px'po

^ d t t d t ^

^*p1 'ol 17 'p0

—- + y—------------—

v^X 'tpo 5Xy

+ 4^ h0 Гш31 po 'pi. (10)

Общее решение уравнений (8) с учетом конечности физических величин (7) имеет вид:

^ ^0 +£ ^ = *р0 +£ ^ (11)

где нулевые приближения по £ :

'g0 -(Ho + roarcctg X)

1_ 1 + a

1

1 + Y

'p0

B0 +10 arcctg X + I arcctg X/o dX - arcctg X | /odX

4, Xo

и первые приближения по £ :

Xo у

t g1 — —cosn_ {H1X + r1(X arcctg X-1)},

(1 + a) tg

(12)

(13)

(14)

cos n

t , —

p1 (1+y) 'Y

p 0

B1X -11 (X arcctg X -1) - X | (X arcctg X -1) f1dX +

Здесь I0 —

1 + Y

4ncXpX ViV

+ (X arcctg X -1) IX /1 dX

Xo

I qpdV, I1 ——3(1 + Y)— I qpzdV, /0

J Mp 1 T j Mp 0

(15)

4пс Xршгш v

1+Y I c2(X2 + x2) qd x, 2X 71J V !Hp

px x —1

/1 — -

3(1+y)

2XpxTx -1

| с 2( X2 + x2) qp xdx, h0

1 +

ln J1 + ^2o + 1

1 + X2o - 1 у

z — cX x, x — cos n, X — sh s , значение X — X0 соответствует поверхности сфероида.

Постоянные интегрирования Bo, B1, Г0, Г1и H13 входящие в (12) - (15), определяются из граничных условий (3) - (4). В частности:

H —1 , H — 0,

(1 + Y)t

Y { po

(1 + a)t

g 0

1

X

Г1 arcctg X 0--------+11 arcctg X 0------------

Г1 —

g 0

0 у I1

1

X

0 у

1+ Y 'po Xo(1 + Xo)A

где

X 0

3>3

A — (1 -5)arcctg X 0 + 5- -f -^ +

1+ X0 X0

1 4°0°АТ°э'

0 1 0 x p0

X tY

/Lpx 'p 0

(X 0 arcctg X 0 -1),

X ta X

g — Лgx'g0 _ Ags

X tY0 X

*px p0 ps

X

X

X

X

0

X

a

a

Зная, поля температуры вне и внутри неравномерно нагретого сфероида можно найти фотофоретическую силу и скорость.

В [2] показано, что распределение скоростей имеет вид:

£/е(е,п)= ——— Ц G1 (Х)+А2 в2(Х)+о2 GJ(Х)]ссип,

и, (є, п) = - т%- [а^4 (X) + A2G5 (X)+с2 G6 (4ип П.

2 сн„

Вид функций Г приведен в [2]. Сила, действующая на сфероид, определяемая интегрированием тензора напряжений по поверхности частицы [1]:

17 Л М ¿и Л

F = -4П —----А2П *

с

Определяя А2 из граничных условий на поверхности частицы находим, что полная сила ^, действующей на сфероидальную частицу, нагреваемой внутренними источниками тепла qp, аддитивно складывается из силы вязкого сопротивления среды

^ и фотофоретической силы :

F = Fц+£Fpй, (16)

г'Г — гг'

где Fц = 4пм^ с Г-3-ГГ- п,, (17)

Г1 Г2 Г1Г2

F = 6м К Г1 (Х0агсс^ Х0 -1) Гп 7Ну. п (18)

рй м» ^ . г 'Г —ГГ' с 2Х Т X (1 + Х2)ЛЛ ^р г . ( )

^ ^ (Х 0агсс^ Х 0 - 1)

tg 0 а;а2 - ад о 2х Рлх 0(1+ х2)л V

Приравнивая полную силу (16) к нулю, получаем следующее выражение для фотофоретической скорости твердой нагретой сфероидальной частицы в вязкой газообразной среде:

и =?к —-------—-3(Х0 агсс1£ Х0 -1)— г ^ п (19)

рй % % ад-ад4по^тла+х2)лгЧр г, ( )

Значения функция G1 - G3, входящих в выражения (17) - (19) берутся при средней температуре поверхности частицы ts, которая связана с распределением плотности тепловых источников qp соотношением

‘‘ , Х - (К - 1)-Х+а (1 + Х20 Л^Л3 = 4 1+“ ГЧРЙУ. arcctgХ0 Х4поХу

Численные расчеты показали, что нагрев поверхности оказывает существенное влияние на силу и скорость фотофореза, при этом роль формы частицы (отношения полуосей сфероида) становится ощутимой лишь, когда она значительно отличается от сферической. На рис. 1 приведены кривые, построенные для случая, когда частица поглощает электромагнитное излучение интенсивностью I как абсолютно черное тело.

122

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

№ 9 (49) 2008

Рис. 1. Зависимость и рк (кривая 1) и ирк (кривая 2) от интенсивности падающего излучения для медной частицы в воздухе (Ь / а = 0,75)

В этом случае

Чр (s П) =

ch s cos n

c (ch s- sin n)5s

I ,n/2<n<n, s0-5s<s<s0;

0

0 <n<n/2.

I qpdV = n a21

и

I qpzdV = -—n Ia 2b J p 3

Кривая 2 соответствует оценке величины uph по формуле, полученной для случая

малых относительных перепадов температуры, в которой значения коэффициентов молекулярного переноса брались при средней температуре поверхности сфероида. Как видно из рисунка она дает завышенный результат. При сравнительно малой интенсивности падающего излучения нагрев поверхности частицы незначителен и кривые uph и

*

uph совпадают.

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. 1986. - 736 с.

2. Малай Н.В., Плесканев А.А. Применение обобщенных степенных рядов для получения точного решения линеаризованного уравнения Навье-Стокса с учетом сжимаемости газообразной среды и зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры// Деп. в ВИНИТИ. 2006. № 1053-B2006.

PHOTOPHORESIS OF LARGE AEROSOL SPHEROIDAL PARTICLE TAKING INTO ACCOUNT NONLINEAR MEDIUM CHARACTERISTICS

Â.Â. Pleskanev

Belgorod State University,

Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia pleskanev@bsu.edu.ru

The nascent motion of large spheroidal particle in the presence of inhomogeneous heating internal heat sources of particle surface is considered. Assume that, heat sources distribution function is known. The gaseous medium is viscous and molecular transport coefficients are functions of temperature.

Key words: heating spheroidal particle, distribution function, transport coefficients.

V