Формула Фейнмана-Каца-Ито для бесконечномерного уравнения Шрёдингера со скалярным и векторным потенциалами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.987.4

Формула Фейнмана-Каца-Ито для бесконечномерного уравнения Шрёдингера со скалярным и векторным

потенциалами

Я. А. Бутко

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова 119992, Россия, Москва, ГСП-2, Ленинские горы E-mail: boutko@mars.rags.ru

Получено 8 февраля 2006 г.

Рассматривается уравнение Шрёдингера со скалярным и векторным потенциалами в гильбертовом пространстве. Векторный потенциал играет ту же роль, что и магнитное поле в конечномерном случае. Доказано существование решения задачи Коши. Решение является локальным по временной и пространственным переменным и представляется вероятностной формулой типа Фейнмана-Каца-Ито.

Ключевые слова: бесконечномерное уравнение Шрёдингера, стохастические интегралы, векторный потенциал, формула Фейнмана-Каца-Ито, функциональные интегралы.

Ya. A. Butko

The Feynman-Kac-Ito formula for an infinite-dimensional Schrodinger equation

with scalar and vector potentials

We consider an infinite-dimensional Schro dinger equation with scalar and vector potentials in a Hilbert space. The vector potential plays the same role as a magnetic field in the finite-dimensional case. We have proved the existence of the solution to the Cauchy problem. The solution is local in time and space variables and is expressed by a probabilistic formula of Feynman-Kac-Ito type.

Keywords: infinite dimensional Schro dinger equation, stochastic integrals, vector potential, Feynman-Kac-Ito formula, functional integrals.

Mathematical Subject Classifications: 28C20, 81Q05

1. Введение

Дифференциальные уравнения для функций бесконечномерного аргумента встречаются в различных разделах теоретической физики, в том числе в квантовой теории поля (например, в связи с процедурой вторичного квантования) и в теории суперструн. Систематическое математическое исследование таких уравнений было начато в 60-х годах (см., например, [8], [7], [33]). Существует множество работ, посвящённых формуле Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности (или в более общем случае для уравнения Колмогорова) в бесконечномерном пространстве (например, [9], [25]). Бесконечномерное уравнение Шрёдингера изучалось различными методами в работах С.Альбеверио, Ж. Бжезняка, Ю. Л. Далецкого, О. Г. Смолянова, А. Ю. Хренникова, Е. Т. Шавгулидзе и других авторов (например, [16], [23], [19], [20], [8], [18], [35]). Формула Фейнмана-Каца для уравнения Шрёдингера в бесконечномерном пространстве исследовалась в основном в работах [15], [34], [35], [21]. В этих работах был последовательно расширен класс потенциалов, для которых доказывается формула Фейнмана-Каца. В статье результаты, аналогичные результатам С. Альбеверио, О.Г. Смолянова и А.Ю. Хренникова [21], получены для бесконечномерного уравнения Шрёдингера, содержащего не только скалярный, но и векторный потенциал.

2. Уравнение Шрёдингера со скалярным и векторным потенциалами в гильбертовом пространстве

Пусть X — вещественное сепарабельное гильбертово пространство, (■, ■) и || ■ || — скалярное произведение и норма в X. Пусть B — симметрический ядерный оператор в X; a : X ^ X — векторное поле; V : X ^ C — скалярная функция. Обозначим через H — гамильтониан квантового поля в векторном потенциале a и скалярном потенциале V:

Hf(t, ж) = —|tr (Bf"(t, ж)) + 2i(a(x), f'(t, ж)) + i div a(x)f(t, ж) + V{x)f(t, ж). (2.1)

Символы f' и f" обозначают соответственно первую и вторую производные (по Фреше) функции f по переменной x £ X.

Рассмотрим задачу Коши для бесконечномерного уравнения Шрёдингера:

i^(t,x)=Hf(t,x), (2.2)

f (0,x) = fo (x). (2.3)

Введём следующие обозначения. Множества S(c, r) = {x £ X : ||x — c|| < r} и <S(c, r) = = {x £ X : ||x — c|| ^ r} — это соответственно открытый и замкнутый шары в X с центром в c £ X и радиусом r > 0. Рассмотрим ö, r > 0, c £ X. Обозначим символом C1'2([0, ö) х S(c, r)) класс функций f : [0, ö) х S(c, r) ^ C один раз непрерывно дифференцируемых по t и дважды непрерывно дифференцируемых (по Фреше) по переменной x.

Локальным решением задачи Коши (2.2), (2.3) называется функция f £ C1'2([0, ö) х S(c, r)) для некоторых r, ö > 0, c £ X, которая удовлетворяет уравнению (2.2) и limf (t, x) = f0(x) для любого ж £ S(c, г).

Мы построим локальное решение задачи (2.2), (2.3) при некоторых ограничениях на начальные условия, скалярный и векторный потенциалы и оператор B.

3. Формула Фейнмана-Каца-Ито для положительно определённого оператора B

Обозначим через Z комплексификацию X, то есть Z = X ф iX. Это комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением, являющимся стандартным продолжением скалярного произведения в X. Открытый и замкнутый шары в Z обозначим Sc(c,r), и Sc(c,r)

7Г .

соответственно. Символ y/i обозначает число е4 . В дальнейшем мы будем рассматривать следующие подмножества Z\ D(c, г) = S(c, г) х \ДХ, D(c, г) = S(c, г) х \/iX. Элементы множества D(c, г) имеют вид z = х + \/iy, х £ S(c, г), у G X. Для z = х + \/iy обозначим ж через R1/2Z, y через /1/2z.

Для банахова пространства E над полем K, K = R или C, пространство непрерывных n-линейных форм b : En ^ K обозначим символом Ln(E). Для b G Ln(E) введём норму ||b|| =

= suP||xj||<;i |b(xi> ...,xn)|.

Пусть O — открытое множество в E. Функция f : O ^ C называется аналитической тогда и только тогда, когда для любого z0 G O существуют r > 0 и последовательность |Bn}^=1 симметричных форм Bn G Ln(E) такие, что

те

f (z) = ^ Bn(z - Zo, ..., z - Zo), z G SC(zo, r),

n=0

где ряд сходится равномерно.

Обозначим через A2(D(c, r)) класс аналитических функций V : D(c, r) ^ C, удовлетворяющих следующему условию:

3 а ^ 0: |V(z)| < a(||/i/2z||2 + 1), z G D(c,r). (3.1)

Лемма 1 (см. [21]). Пусть V G A2(D(c, r)), s < r. Тогда первые две производные функции V удовлетворяют условиям:

3 ai > 0: ||V'(z)|| < ai(||/i/2z||2 + 1), z G D(c,s); (3.2)

3 a2 ^ 0: ||V"(z)|| < a2(||/i/2z||2 + 1), z G D(c,s). (3.3)

Обозначим через AEi (D(c, r)) класс аналитических функций f0 : D(c, r) ^ C, удовлетворяющих условию

3 в, y > 0: |fo(z)| < 7ee||/i/2z|1, z G D(c,r) (3.4)

Лемма 2 (см. [21]). Пусть f0 G AEi(D(c,r)), s < r. Тогда две первые производные функции f0 удовлетворяют соотношениям:

3 въ Yi ^ 0: ||f0 (z)|| < Yieei ||/l/2z||; z G D(c,s) (3.5)

3 в2,Y2 ^ 0: ||f0'(z)|| < Y2ee2||/l/2z||; z G D(c,s) (3.6)

Пусть B — положительно определённый симметрический ядерный оператор в X. Пусть для любого x G X векторный потенциал a(x) = Cx, где C — положительно определённый симметрический ядерный оператор в X, коммутирующий с B и такой, что Ran(C) С Dom(B-i/2).

Скалярное произведение (■, ■) в X имеет аналитическое продолжение по каждому из аргументов на пространство 2. Это аналитическое продолжение мы будем также обозначать символом (■, ■). Отметим, что получившаяся билинейная функция не является скалярным произведе-ниемв 2 и действует следующим образом: для Ж1, ж2, уъ у2 £ X (ж1 + ед ,ж2 + ¿у2) = (ж1 ,ж2) — - (У1 ,У2) + ¿(ж1 ,У2) + г(ж2,У1).

Винеровский процесс в X с ковариацией В обозначим символом £(£); предполагаем, что £(0) = 0. Математическое ожидание по вероятностной мере, соответствующей этому процессу, обозначим Е.

Теорема 1. Пусть В и С — коммутирующие положительно определённые симметрические ядерные операторы в X, причём Ran(C) с Dom(B-1/2). Пусть для любого ж £ X векторный потенциал а(ж) = Сж, V £ А2(^(с, г)) и /0 £ АЕ1 (^(с, г)). Тогда существует 5 = ¿(В, V, С, /0) > 0 такое, что функция /, заданная формулой Фейнмана-Каца-Ито

ь ь

/(¿, ж) = -Б | /о(ж + 0 е° х

4 2 4 4

2 гЦВ-1а(х+^Дйг))М^+^йг)))(1т — $ {В'1 а{х+^{т)) №{т)) , х е о елЛ о ) (37)

для t £ [0, и ж £ S(c, r) является локальным решением задачи Коши (2.2), (2.3).

Доказательство. Сначала покажем, что функция f, заданная формулой (3.7), корректно определена, принадлежит классу C1'2 ([0, х S(c, r)) и удовлетворяет начальным условиям. Далее с помощью формулы Ито для гильбертовых пространств ([9]) проверим (ср. [40]), что функция f удовлетворяет уравнению (2.2).

Обозначим через G(t, ж, £) выражение, стоящее в формуле (3.7) под знаком математического ожидания, то есть f (t, ж) = EG(t, ж, £).

t

Так как diva (ж) = trC, то / diva (ж + лА£(т))с?г = ЙгС, и значит

t

/ div

3 K1 ^ 0 : e°

< etKl. (3.8)

Поскольку f0 £ AE1 (D(c,r)), V £ A2(D(c,r)), то

3P, 7^0: + (3.9)

-г/У(ж+^(г))сгг ía(l+max ||£0)||2)

3 а ^ 0: |е 0 | < е ^^ . (3.10)

Напомним, что оператор А : X ^ X называется замкнутым, если из условий жп £ Dom(A),

жп ^ ж, Ажп ^ у следует, что ж £ Dom(A) и Аж = у. Так как В, С — ограниченные (а значит и замкнутые) операторы и Ran(C) с ^от(В-1/2) с ^от(В-1), то оператор В-1С определён на всём X и замкнут. Тогда по теореме Банаха о замкнутом графике [10]

оператор B lC является ограниченным. Следовательно, для x £ S(c, r) по неравенству Коши-Буняковского-Шварца

|(1ГУж + ^£(т)),а(ж + ^£(т)))| =

= \ (В~1Сх, Сх) + \Д(В~1Сх, С£(т)) + уД{В-1СЦт), Сх) + г{В~1СЦт), С£(т))| < < ||B-1Cx||-(||Cx||+||C|| rnax ||£(s)||)+||Cx|H|B-1C||-rnax ||£(s)||+||B-1C||-||C|| rnx^ ||£(s)||2

n^ s^t n^ s^t n^ s^t

И значит,

t

^ifiB-iafr+y/kWMv+VkfTmdT Ж2(1+ тах ||i(S)||+max ||i(S)||2)

3 K2 ^ 0: |e 0 | ^ e ^. (3.11)

Рассмотрим стохастический интеграл

t

^-j(B-la(x + ViaT)),daT)).

n

Для a(x) = Cx имеем:

t t t j(B~la(x + Vk(T)),d£(T)) = 2 j(B-lCt(T), d£(r)) + j(B~lCx, d£(r)).

n n ' n

t

Найдём каждое из слагаемых. Интегрируя f (B 1Cx, d£(r)) по частям, получим

-1

n

t

-1

J(B-1Cx,d£(r)) = (B-1 Cx,£(i))

для почти всех £ (напомним, что £(0) =0 почти наверное). Проверим с помощью формулы Ито ([9], [40]), что

I (В^сат),^)) = ^((В-'ст,^))-^ ТС). (3.12)

о

Для этого возьмём стохастический дифференциал от обеих частей (3.12).

í

(В-1С£(т М£(т))) = (В-1С£(^ВД).

о

Для функции д : X ^ Ж, д(ж) = (В-1Сж, ж) и Л2 € X выполняется д'(ж)Л1 = 2(В-1Сж, Л1) и5"(ж)/ц/12 = 2(В-1С/ц,/12). Тем самым, = 2(В"1С£(;£), -К + | • 2(В"1С-, =

= 2(В-1С£(;£), й£) + 1гС^. И значит,

-йгС)) = (В^стВД),

что доказывает равенство (3.12).

n

Таким образом, для некоторых ki, k2 > 0 имеем

f(B-ia(x+Vk(T)), rfi(r)) V« 0

< e'

ki |(B-1 C*,£(t))| efc2 |(||B-1 с |MIi(t)||2-ttr C)|.

И следовательно, для векторного потенциала a : a(x) = Cx , x G X верно следующее:

2 4

^ДВ-Чх+л/^т)),^))

ЗКя>0: е^

Таким образом, из оценок (3.8)—(3.13) получаем sup |G(i,x,0| < YetKieвIIí(t)IIeía(1+omаltI|í(s)I|2)х

x€S(c,r)

< eK3(||i(i)||2+||i(i)||+i).

(3.13)

х e

И следовательно,

:iK2(1+omax ||i(s)||+om?Xt||i(s)||2) • eK3(||i(t)||2+||i(i)||+i). (314)

(3.15)

tK4(1+ max ||£(s)||+max ||£(s)||2)

3 K4 ^ 0: sup |G(i,x,0| < Ye ^^

x£S(c,r)

e max ||£(s)||2

По теореме Ферника [28] для любого T > 0 существует е > 0 такое, что Ee ^< то. Тогда для t < § = е/(2К4) с помощью неравенства Коши-Буняковского-Шварца получаем:

4

E|G(i,x,f)| < Ye 4 Ee ^

2tK4 max ||£(s)

1/2

Ee

2tK4 max ||£(s)

1/2

< TO.

Таким образом, функция f, задаваемая формулой (3.7), корректно определена. Так как для почти всех £ limt^0 G(t, ж, £) = f0(x) и оценка G равномерна по t е [0, то по теореме Лебега о мажорированной сходимости получаем, что limf (t, ж) = f0(x). Следовательно, функция f, задаваемая формулой (3.7), удовлетворяет начальным условиям. Покажем существование первой и второй производной функции f по переменной ж. Обозначим

t t u(t, ж, £) = e 0 e 0 x

х e0

Jdiva(a;+Vii(r))dr — /(S-^^+Vi^r)),^))

Из оценок (3.8), (3.10) - (3.13) следует, что ЗК5 ^ 0 : |u

Пусть h G X. Обозначим

ЗК5 ^ 0: |u(i,x,£)| < K5t(1 + max ||£(s)|| + max ||£(s)||2

n< s<t n< s<t

(3.16)

= 2i

v(i,x,f,h) =

(S_1C/i, Сж + V^C£(r)) + (B~lCx + Viß-^^r), CK)

dr—

Jn Vi Jn

Тогда uX(t, x, £)h = u(t, x, £)v(i, x, h).

0

2

t

n

Оценим |v(t, ж, h)| для h G S(0,1).

{B~lCh, Cx + ViC^r)) + (В^Сж + уГгВ~1С^{т), Ch)

2iJ

0

dr

<

< 4t||B-iC|| ■ ||C|| ■ (||ж|| + max ||£(s)||) < M(1 + max ||£(s)||) (3.17)

o< s<t o< s<t

для некоторого к3 ^ 0.

Тогда по лемме 1 и оценке (3.17) для Н £ 5(0,1) существуют к3, к4 ^ 0 такие, что

К*,ж,£,Н)| < (¿«1(1 + тах ||£(в)||) + кз*(1 + тах ||£(в)||) + к4||)

о< п<

и, следовательно,

3 K6 ^ 0: |v(i,x,£,h)| < K61(1 + max ||f(s)||). (3.18)

o< s<t

Рассмотрим GX(t, ж, £)h.

G'x(t,x,£)h = /о(ж + Vi^(t))u(t,x,^)v(t, h) + u(t,x, По лемме 2 и из (3.16), (3.18) получаем:

^ 0: sup |GX(t,x,Oh| < Kri(1+max ||£(s)|| + max ||£(s)||2)eK8||i(t)|1. (3.19)

C помощью неравенства Коши-Буняковского-Шварца и теоремы Ферника также как и для E|G(t, ж, £)| показывается, что для h G S(0,1) выполнено условие E|GX(t, ж, £)h| < то.

Заметим, что линейный функционал [h ^ E(GX(t, ж, £)h)j является ограниченным. Поскольку оценка (3.19) равномерна по ж G S(c, r), то по теореме Лебега о мажорированной сходимости E(GX(¿,ж, £)h) = (EG(t, ж,£))Хh — производная по Фреше функции ЕС(4,ж,£)) по направлению h.

Теперь покажем, что существует вторая производная по переменной ж функции f (¿,ж) = = EG^i^^). Пусть hi, h2 G X. Тогда

ж, £)/ii/i2 = u(i, Ж, £){/о (ж + Vii{t))hih2 + /о(ж + Vif (i))/nr>(/i2)+ +/^(ж + (i))/i2v(/n) + /о (ж + ^(i))u(/ii)r;(/i2) + /о (ж +

где v(h) обозначает v(t, ж, h). Найдём и оценим v' (hi)h2.

t t

u'(/ii)/i2 = 2i J [(B-1Ch1,Ch2) + (B-1Ch2,Ch1)]dT-i J V'J.x(x + >/*£(т)/цМт.

00

Следовательно, по лемме 1 для hi; h2 G S(0,1) выполняется следующее

3Kg ^ 0: |v'(hi)h2| < Kgt(1 + max ||£(s)||2). (3.20)

o^ s^t

Тогда по лемме 2 и из оценок (3.16), (3.18), (3.20) получаем

|Gxx(t, ж, hi h2| ^ K51(1 + max (s)|| + max (s)||2

x6S(c,r)

sup h2| < K5t(1 + max ||£(s)|| + max ||£(s)||2)x

o< s<t o< s<t

72ee2||i(t)|1 +27iK6ieei||i(t)||(1+ max ||f(s)||) + Kg7i(1 + max ||£(s)||2)

o< s<t o< s<t

X

и значит

3Kic, K11 ^ 0 :

sup |GXx(t,x,£)hih21 < K101(1 + max ||f(s)|| + max ||£(s)||2)2eKl1 ||i(i)|1. (3.21)

Снова применяя неравенство Коши-Буняковского-Шварца и теорему Ферника, заключаем, что Е(£, ж, £)Л1 Л2)| < то, и по теореме Лебега непрерывная вторая производная функции / по переменной ж существует для £ £ [0,5).

Покажем теперь, что функция / = ЕС удовлетворяет уравнению (2.2). Найдём стохастический дифференциал функции ж, £). Введём обозначения: = /0(ж +

4

-г/У(ж+^(т))йт

и1 (£, ж,£) = е 0

4

П2 (£, ж,£) = е0

4

из (£,ж,£) = е 0

9 4

^ДВ-Чх+л/^т)),^))

и4 (£,ж,£) = 0 Тогда по формуле Ито для гильбертовых пространств (см. [9])

2

4

(£,ж,£) = —ге 0 V (ж + у

4

ж, £) = е° (сИу а (ж +

^и3 (£,ж,£) =

4

2г /(В-1а(ж+^(г)),а(ж+^(г)))сгг

= 2ге о (5"1а(ж ++

9 4

^и4 (£, ж, £) = г 0 х

х |-^(-В"1а(ж + -2г(В~1а(х + \Д^)),а(ж + .

И при и(£, ж, £) = П4=1 (£> ж, £) по формуле для стохастического дифференциала от произведения функций (см. [40] стр. 170) получим

сЮ(г,х,о = и(г,х,о {^(/¿(ж + у/1№),<%) + ^/¿'(ж + у/1^))<ы -г(У/о)(ж + + (/0с11уа)(ж +

+ >/*£(*)), <*£(*)) + 2(/о(ж + а(ж + >/?£ ф))сЙ I . (3.22)

'сн

'г

Заметим, что в правой части равенства в фигурной скобке при dt стоит выражение -i[-l\rBfH(x + y/i№) + V(x + ^(¿))/о(ж + Vk(t))+

2

+idiva(a: + ^(¿))/о(ж + V?f(i)) + 2г(/^(ж + Vi£,(t)),a(x + Vif(i)))] =

= —iHfo(x + Vi£(t)).

И следовательно, так как С(0, ж, £) = /о(ж) для почти всех имеем

г í

G(t,x,Z)=f0(x)-i I и(£,ж,£)Я/о(ж + у^(т)^т + (3.23)

оо

Определим (Qtfo)(x) = Еи(Ь, ж, £)/о(ж + = ЕС(Ь,х,£) = /(¿,ж). Пользуясь тео-

ремой Фубини и тем, что = 0, из равенства (3.23) получаем, что полугруппа операторов

О:, £ ^ 0 удовлетворяет соотношению

г

(О:/о)(ж) = /о(ж) - г у дя(Я/о)(ж)^в. (3.24)

о

Заметим, что полугруппа О = е-мЯ, 5 > 0 является решением уравнения (3.24). Тогда в силу единственности решения уравнения (3.24) функция /(£, ■) = (О/0)(-) = •,£) сов-

падает с е-гШ/0, а значит дифференцируема по £ и удовлетворяет уравнению Шрёдингера (2.2). Тем самым, теорема доказана.

4. Формула Фейнмана-Каца-Ито для оператора В с неопределённым знаком

Мы можем обобщить теорему 1 на случай ядерного симметрического оператора В с неопределённым знаком, КегВ = {0}. Для этого рассмотрим ортонормированный базис {еj собственных векторов оператора В, Bej = ej. Обозначим через Х+ подпространство X, порождённое векторами , отвечающими положительным собственным значениям оператора В. Ортогональный проектор на подпространство Х+ будем обозначать П+. И аналогично Х- — подпространство X, порождённое векторами , отвечающими отрицательным собственным значениям оператора В. Соответствующий ортогональный проектор: П_. Символ у/Тв обозначает оператор, действующий следующим образом: для ж = хзез £ X выполняется л/Тв ж =

= т0 есть лДв = + (считаем, что ^ = е 4 ).

Рассмотрим множества Б (с, г) = в (с, г) х \/гвХ = Б (с, г) х \Дх+ х Элементы

таких множеств имеют вид: г = х + \Ду+ + \[—1у~, где ж £ Б (с, г), £ Х+, у- £ Будем обозначать = ж, /+1/2<г = у+, = У-■ Также будем рассматривать Б(с, г) =

= Б (с, г) х у/гвХ.

Обозначим через А2(Б(с, г)) класс аналитических функций V : О (с, г) ^ С, удовлетворя-щих следующим условиям на рост:

3 а ^ 0 : IV(г)| < а[||/+1/2^||2 + ||/-1/2^||2 + 1], г € Б(с,г). (4.1)

Лемма 3 (см. [21]). Пусть V € А2(Б(с, г)), з < г. Тогда первые две производные функции V удовлетворяют условиям:

3 а1 ^ 0: ||V^(г)|| < «1[||1 +1/2^||2 + ||/-1/2*||2 + 1], г € Б(с,з). (4.2)

3 а2 ^ 0: ||V/7(г)|| < «2[||1 +1/2^||2 + ||/-1/2^||2 + 1], г € Б(с,з). (4.3)

Обозначим через АЕ1 (Б(с, г)) класс аналитических функций /0 : Б(с, г) ^ С, удовлетворяющих следующим условиям на рост:

3 в,7 ^ 0: |/о(*)| < 7ев[||/+1/2г||2+||/-1/2^||21, ^ £ Б(с,в). (4.4)

Лемма 4 (см. [21]). Пусть /0 £ АЕ1(Б(с,г)), в < г. Тогда первые две производные функции /0 удовлетворяют условиям:

3 вь71 ^ 0 : ||/0(*)|| < 71 е^11^г||2+||/-1/2г||21, * £ Б(с,в). (4.5)

3 в2,72 ^ 0: ||/0'(г)|| < 72ев2 Ш'+^Р+Н1 1/2*||21, ^ £ Б(с,в). (4.6)

Введём операторы sgnB = П+ — П- и |В| = BsgnB. Оператор |В| является положительно определённым симметрическим ядерным оператором и, следовательно, мы можем построить соответствующий ему Винеровский процесс £(£). Математическое ожидание по мере, порождённой этим процессом, обозначим Е|в|.

Теорема 2. Пусть В и С — симметрические ядерные операторы в X, причём ^гВ = = {0}, С — положительно определён, коммутирует с |В| и Ran(C) с Dom(|B|-1/2). Пусть для любого ж £ X а(ж) = Сж, V £ А2(Б(с, г)) и /0 £ АЕ1 (Б(с, г)). Тогда существует 5 = 5(В,^ С, /0) > 0 такое, что функция /, заданная формулой Фейнмана-Каца-Ито

(4 4

/о (х+лДвтУ 0

4 4 \

■ е 0 е 0 , (4.7)

для £ £ [0,5) и ж £ Б (с, г) является локальным решением задачи Коши (2.2), (2.3).

Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 1, c помощью лемм 4, 3 проверяется, что функция /, заданная формулой (4.7), принадлежит классу ^^([0,5) х Б(с, г)). Легко видеть, что начальные условия также выполняются. Пользуясь формулой Ито, покажем, что функция / удовлетворяет уравнению Шрёдингера (2.2). Как и прежде введём обозначения:

7оЦ,х,0 = /о(ж + >/гв£(*)),

4

-г / v(ж+V¿вí(т))<¿т u1 (£, ж,£) = е 0

4

/ сИу а{х+у^в ¿(г) )с1т

«2 (£, ж,£) = е0

4

из (£,ж,£)= е 0

4

и4 (£, ж, £) = е 0

Л=4

и(£,ж,£) = П «л (£,ж,£),

л=1

Тогда пользуясь тем, что (л/Тв)2\В\ = I sgnI?|I?| = гВ, получим: с1М1,х,0 = (л/г^/о (х + уД£(г)),<%) + 1\гВМ(х + уД№)М. Заметим, что (у/Тв)~2\В\~1 = —I sgnI?|I?|_1 = и следовательно,

йи^, х,0 = и4(Ь х,0 {2{{у/г^\В\)~1а{х + уД£(г)),(1£)+

+ 2^В~1а(х + а(ж + (¿)))сй} •

Таким образом,

ж,£) =

= ж, £){([...], +

+(/о (11уа)(ж + + 2(/д(ж + лД^т), а(х + у^СО))^} =

= и(г, х, о { -Ш7о(ж + ^^(¿М + ([•••], Это значит, что семейство операторов

Шо)(х) = Е1в1[и(г,х,ОМх + л/^ат = Щв\С(г,х,0

удовлетворяет уравнению (3.24), и следовательно, функция /(£, ж) = (О/0)(ж) является решением уравнения Шрёдингера (2.2). Что и требовалось доказать.

Благодарности

Автор выражает чувство глубокой признательности профессору Олегу Георгиевичу Смо-лянову за полезные дискуссии, внимание и поддержку. Также автор благодарит профессоров А. Ю. Хренникова и Жд. Бжезняка за любезно предоставленную возможность ознакомления с некоторыми их публикациями.

Список литературы

[1] Авербух В. И., Смолянов О. Г., Фомин С. В. Обобщённые функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах I // Труды Моск. Мат. Общества, 1971, т. 24, с. 133—174.

[2] Альбеверио С., Смолянов О. Г Бесконечномерные стохастические уравнения Шрёдингера-Белавкина // Успехи Математических Наук, 1997, т. 52, № 4, с. 197—198.

[3] Богачев В. И. Гауссовские меры // М.: Наука, Физматлит, 1997.

[4] Бутко Я. А. Функциональные интегралы для уравнения Шрёдингера в компактном римано-вом многообразии // Математические Заметки, 2006, т. 79, № 2.

[5] Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы //М.: Наука, 1986.

[6] Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов // М.: Наука, 1975.

[7] Гельфанд И. М., Яглом А. М. Интегрирование в функциональных пространствах и его применения в квантовой физике // Успехи Математических Наук, 1956, т. 11, № 1, с. 77—114.

[8] Далецкий Ю.Л., Стремский В. В. Фейнмановские интегралы для уравнений Шрёдингера в функциональных производных // Успехи Мат. Наук, 1969, т. 24, № 1, с. 191 — 192.

[9] Далецкий Ю. Л., Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах // М.: Наука, Физматлит, 1983.

[10] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа // М.: Наука, 1972.

[11] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного // СПб.: Издательство «Лань», 2002.

[12] РидМ., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1,2// M.: Мир, 1978.

[13] Смолянов О. Г Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения // М.: Издательство Московского Университета, 1979.

[14] Смолянов О. Г., Фомин С. В. Меры на топологических линейных пространствах // Успехи Математических Наук, 1976, т. XXXI, вып. 4(190), с. 3—56.

[15] Смолянов О.Г. Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы и квантование Шрёдингера // Доклады Академии Наук, 1982, т. 263, № 3, с. 558—562.

[16] Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т. Континуальные интегралы // М.: Издательство МГУ, 1990.

[17] Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям // М.:Мир, 1968.

[18] Albeverio S., Brzezniak Z. Oscillatory integrals on Hilbert spaces and Schrodinger equation with magnetic fields // Journal of Mathematical Physics, 1995, V. 36, № 5, p. 2135—2156.

[19] Albeverio S., Brzezniak Z. Finite Dimensional Approximation Approach to Oscillatory Integrals and Stationary Phase In Infinite Dimensions // Journal of Functional Analysis, 1993, V. 113, p. 177— 243.

[20] Albeverio S., Brzezniak Z., Haba Z. On the Schro dinger Equation with Potentials which are Laplace Transforms of Measures // Potential Analysis, 1998, V. 9, p. 65—82.

[21] Albeverio S., Khrennikov A., Smolyanov O. The Probabilistic Feynman-Kac Formula for an Infinite-Dimensional Schro dinger Equation with Exponential and Singular Potentials // Potential Analysis, 1999, V. 11, p. 157-181.

[22] Albeverio S., Hoegh-Krohn R. Mathematical Theory of Feynman Path Integrals // Lecture Notes in Math., V. 523. Berlin: Springer, 1976.

[23] Albeverio S., Hoegh-Krohn R. Oscillatory integrals and the method of stationary phase in infinitely many dimensions // Inv. Math., 1977, V. 40, p. 59-106.

[24] Albeverio S., Roeckner M. Stochastic differential equations in infinite-dimensions: solutions via Dirichlet forms // Prob. Theory and Related Fields, 1991, V. 89, p. 347-386.

[25] Da Prato G., Zabczyk J. Stochastic Equations in Infinite Dimensions // Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

[26] Doss H. Sur une Resolution Stochastique de l'Equation de Schr"odinger a Coefficients Analytiques // Communications in Math. Phys, 1980, V. 73, № 3, p. 247-264.

[27] Engel K. J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Operators // Graduate Texts in Mathematics, V. 194. Berlin: Springer-Verlag, 1999.

[28] Fernique M. X. Integrabilite des vecteurs Gaussienns // C. R. Acad. Sci. Paris, 1970, Serie A, t. 270, p. 1698-1699.

[29] Feynman R.P. Space-time Approach to Nonrelativistic Quantum Mechanics // Rev. Mod. Phys., 1948, V. 20, p. 367-387.

[30] Feynman R. P. An Operation Calculus Having Application in Quantum Electrodynamics // Phys. Rev., 1951, V. 84, p. 108-128.

[31] Ito K. Wiener integral and Feynman integral // Proc. 4-th Berkeley Symp. Math. Statist. and Probability, 1960, № 2. Berkeley-Los Angeles, Univ. California Press, 1961, p. 227-238.

[32] Glimm J., Jaffe A. Quantum Physics: A Functional Integral Point of View // New-York: Springer, 1987.

[33] Gross L. Abstract Wiener spaces //Proc. 5-th Berkeley Symp., Math. Stat. Prob., 1965, V. 2, p. 31-42.

[34] Khrennikov A. Yu. Infinite-dimensional pseudodifferential operators // Math. USSR Izv., 1988, V. 31, p. 576-601.

[35] Khrennikov A. Yu. An existence theorem for the solution of the infinite-dimensional Schrodinger equation with quadratic potential // Uspehi Mat. Nauk, 1984, V. 39, p. 163-164.

[36] Kuo H. H. Gaussian measures on Banach spaces // Berlin, Lecture Notes in Math., 1975, V. 463.

[37] Malliavin P. Hypoellipticity in Infinite Dimensions // Diffusion Processes and Related Problems in Analysis, Boston: Birkhauser Boston, 1990.

[38] Nelson E. Feynman Integrals and the Schro dinger Equation // J. Math. Phys., 1964, V. 5, № 3, p. 332-343.

[39] Roepstorff G. Path Integral Approach to Quantum Physics // B.: Springer, 1994.

[40] Simon B. Functional Integration and Quantum Physics // NY: Acad. Press, 1979.

[41] Smolyanov O. G., Shavgulidze E.T. The Feynman Formulas for Solving Infinite-Dimensional Schro dinger Equations with Polynomial Potentials // Doklady Acad. Nauk, 2003, V. 67, p. 369-373.

[42] Smolyanov O. G., Tokarev A. G., Truman A. Hamiltonian Feynman Path Integrals via the Chernoff Formula // J. Math. Phys., 2002, V. 43, № 10, p. 5161-5171.

[43] Smolyanov O. G., Weizsacker H. von. Change of measures and their logarithmic derivatives under smooth transformations // C. R. Acad. Sci. Paris, 1995, t. 321, Serie I, p. 103-108.

[44] Smolyanov O. G., Weizsacker H.von. Smooth Probability Measures and Associated Differential Operators // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 1999, V. 2, p. 5178.

[45] Smolyanov O. G., Weizsa cker H.von, Wittich O. Construction of Diffusions on Sets of Mappings from an Interval to Compact Riemannian Manifolds // Doklady Acad. Nauk, 2005, V. 71, p. 391396.

[46] Trotter H. F. On the Product of Semigroups of Operators // Proc. Amer. Math. Soc., 1959, V. 10, p. 545-551.