CC BY-NC
12Программные системы и вычислительные методы
Правильная ссылка на статью:
Мясоедова Т.М. — Формообразование семейства кривых смещения с выявлением их нерабочих участков // Программные системы и вычислительные методы. - 2020. - № 1. DOI: 10.7256/2454-0714.2020.1.32235 URL: https;//nbpublish.com'library_read_article.php?id=32235
Формообразование семейства кривых смещения с выявлением их нерабочих участков
Мясоедова Татьяна Михайловна
старшей преподаватель, кафедра Инженерная геометрия и САПР, Омский государственный
технический университет
644050, Россия, Омская область, г. Омск, пр. I\4ipa, 11 El [email protected]
Статья из рубрики "Автоматизация проектирования и технологической подготовки производства"
DOI:
10.7256/2454-0714.2020.1.32235
Дата направления статьи в редакцию:
26-03-2020
Аннотация.
Объектом исследования является формообразование семейства кривых смещения, применяемых при проектировании траектории инструмента, обрабатывающего карманные поверхности. Предметом исследования являются рабочие кривые смещения в случае многосвязных областей. Рабочие кривые смещения- это линии, из которых удалены нерабочие участки. К нерабочим участкам относятся петли самопересечений кривых смещения и участки, образованные при пересечении кривых смещения встречных фронтов. В работе приведены способы анализа и отсечения нерабочих участков для случаев самопересечения и пересечения кривых смещения встречных фронтов. В основу пространственной геометрической модели формообразования кривых смещения положен циклографический метод отображения пространства. В качестве инструмента, выявляющего нерабочие участки для случая встречных фронтов, предложен способ тестирующего луча. В случае самопересечений кривых смещения нерабочие участки отсекаются по параметру этих линий в точках самопересечения. Новизна исследования заключается в том, что полученная математическая модель формообразования кривых смещения для многосвязных областей с контурами кривых сложной форы позволяет получать на выходе вычислительного алгоритма параметрические уравнения рабочих линий, более надежным и простым способом. Это существенно упрощает решение задачи автоматизированного проектирования траектории режущего инструмента. В работе выполнена сравнительная оценка предложенного метода формообразования
семейства кривых смещения с отсечением нерабочих участков и известных методов, использующих функцию расстояний.
Ключевые слова: формообразование, отсечение, параметрическое представление кривой, многосвязная область, циклографический метод отображения, Медиальная Ось Преобразования, Медиальная Ось, Кривая смещения,аналитический метод, кривая сложной формы
1. Введение
В CAD/CAM системах расчет траектории режущего инструмента является важной задачей. Карманные поверхности, как правило, обрабатываются по контурно-параллельном траекториям. Для расчета траектории движения инструмента, обрабатывающего эти поверхности, необходимо строить семейство контурно-параллельных линий, т.е. кривых смещения OC ("Offset Curve ") исходного контура карманной поверхности. Семейства OC многосвязных областей образуются, когда область кармана включает в себя острова. Оптимизация семейства OC многосвязных областей сопряжена с анализом OC и удалением нерабочих участков линий семейства OC .Нерабочие участки линий семейства ОС - это линии- шумы. Они формируются как петли самопересечений ОС связных областей (локальные пересечения ОС ) и как участки, которые образуются при пересечении встречных фронтов ОС (глобальные пересечения ОС ) многосвязных областей (рисунок 1).
а) б) в)
Рисунок 1. Построение семейства ОС для многосвязной области: а) локальные пересечения семейства ОС , б) глобальные пересечения семейства ОС , б) итоговый результат.
Анализ существующих методов оптимизации семейства OC многосвязных областей по критерию отсутствия линии-шумов позволяет выделить следующие основные направления решения задачи оптимизации:
1.1. Анализ и отсечение нерабочих участков линий семейства OC по функции расстояний
Выявление нерабочих участков линий семейства OC сводится к решению полиномиальных уравнений. Если кривая исходного контура многосвязной области имеет порядок выше второго, для отыскания корней приходится решать уравнения высоких
степеней, что приводит к не простой вычислительной задаче -Ш.
1.2. Анализ и отсечение нерабочих участков линий семейства OC с использованием МАв качестве инструмента отсечения
В работах задача этого направления решается на плоскости для односвязной области с применением MA ("М edial A xis" ). На плоскости каждая точка МА является центром диска максимального радиуса, вписанного в граничный контур. МА в сочетании с функцией радиуса называется "Medial Axis Transformation " (MAT ). Анализ и отсечение нерабочих участков OC осуществляется с применением сложного математического
аппарата, вычислительные алгоритмы не устойчивы и имеют высокую временную сложность. Алгоритмы нахождения М A для области, граница которой состоит из дуг окружностей и отрезков прямых работают стабильно. Однако, если граница области имеет сложную криволинейную форму, поиск МА становится сложной задачей [2-11].
В работе в качестве граничных линий области используются PH -curves (Pythagorean
- Hodograph curves ). Семейство ОС c шагом d относительно граничных кривых PH
определяется по уравнению: ^^ r(t) + dn(t) ^ в котором r^ - исходный контур,
- функция расстояния по нормали. В работе i13 на основе свойств PH -curves линии семейства ОС представлены как множество рациональных кривых. Представление PH -curves в метрике Минковского вместе с леммой о разложении области делает вычисляемым процесс отсечения линий семейства ОС для многосвязной области с криволинейным контуром. Процедура для получения усеченных линий семейства ОС, то есть ОС без линий-шумов, осуществляется в терминах функции радиуса кривизны PH -curves и MAT . Это позволяет получать семейства ОС в виде рациональных кривых Безье,
поскольку единичная нормаль имеет рациональную зависимость от параметра
кривой t .
В работах [14-16] представлен алгоритм попарного смещения для замкнутых двумерных кривых точечной последовательности для многосвязной области с криволинейным контуром, состоящим из PS- curves (Point - S equence curves ). В этом подходе петли самопересечений и пересечения встречных фронтов удаляются по тесту попарного обнаружения нерабочих участков линий семейства ОС . Алгоритм может работать за линейное время. Однако для предлагаемого алгоритма входными данными являются точечные последовательности. Предложенный алгоритм работает только с классом кривых PS , что ограничивает его возможности.
В работе предложен алгоритм, который может автоматически соединять острова с внешним контуром на ближайшем расстоянии. Но общее время расчета минимального расстояния между двумя кривыми зависит от общего количества кривых, включая контур
области и контуры островов. В работе t16 семейства OC всех островов и OC контура области объединяют в единую связную PS -кривую с помощью триангуляции Делоне. Предложенные алгоритмы работают за почти линейное время, но результат работы предложенных алгоритмов представляет собой точечные данные.
Из краткого обзора следует очевидная необходимость в разработке модели формообразования семейства ОС с более простыми алгоритмами отсечения нерабочих участков для многосвязных областей с криволинейными контурами.
2. Постановка задачи
Предложить геометрическую модель формообразования семейства ОС с линейными алгоритмами отсечения их нерабочих участков.
3. Геометрическая модель формообразования семейства O Cна основе циклографического метода отображения
3.1. Анализ и отсечение нерабочих участков встречных линий семейств OC контура области и контуров островов
В концепции циклографического метода формообразования семейства ОС
dn(t)
получаются путем рассечения а -поверхностей пучком горизонтальных плоскостей вдоль оси z с шагом Zj = const . Линии сечений образуют семейства LOC ("L evel Offset Curves "
) относительноостровов и контура области, принадлежащих одной плоскости уровня в пучке плоскостей. Семейства ОС образуются путем ортогонального проецирования семейства LOC на плоскость z =0 (рисунок 2). Для определения нерабочих участков линий семейства OC выполняется анализ семейств LOC контура области и LOC встречных контуров островов. Линии семейства L OC в плоскостях пучка пересекаются в точках
AjeMAT (рисунок 2а). Точки Aj делят линии семейства L OC на рабочие и нерабочие
участки. Линия MAT в циклографической модели -этопространственная кривая, которая образуется в результате попарного пересечения а - поверхностей, построенных по составным контурам области и островов в ней. Линия MAT , а - поверхности, построенные по составным контурам области и островов, образуют в пространстве а -оболочку (рисунок 3а). На а - оболочке формируются рабочие участки линий семейства LOC в плоскостях своего уровня. Если участок линии не попадает на а - оболочку, то он нерабочий. а - оболочка, как геометрический объект, не моделируется, но используется для определения признаков принадлежности ейучастков линий семейства LOC .
а) б)
Рисунок 2. Построение семейства ОС для многосвязной области: а) последовательность построения семейства ОС ; б) формирование LOC .
Точки делят линии семейства ШС на участки. Для анализа и выявления рабочих
и нерабочих участков предлагается в качестве инструмента использовать тестирующий луч . Работу тестирующего луча продемонстрируем на примере. Для анализа рассматриваются семейство LOC пересекающихся а - поверхностей контура области и контура острова в каждой плоскости пучка горизонтальных плоскостей (рисунок 3б).
а) б) в)
Рисунок 3. Фрагмент работы тестирующего луча: а) а - оболочка, б) формирование семейств LOC , в) отсечение нерабочего участка линии семейства LOC .
Линии семейств LOC контура и LOC острова пересекается в точках 1 и 2. Выполним анализ линии семейства LOC острова. Эта линия в точках пересечения разделяется на участки (1-2) и (2-1). Выбрав направление обхода этой линии, например,по часовой стрелке, анализируем участки (1-2) и (2-1). Рассмотрим участок (1-2). Проведем тестирующий луч г 1 из любой точки участка (1-2). Луч г 1 пересекает линию семейства
L О С контура области в одной точке, значит участок (1-2) находится в зоне, ограниченной линией семейства LOC контура области. Следовательно, участок (1-2) принадлежит а - оболочке и поэтому он является рабочим участком. Рассмотрим участок (2-1). Проведем тестирующий луч г 2 из любой точки участка (2-1). Луч г 2 пересекает линию семейства LOC контура области в двух точках. Следовательно, участок (2-1) не находится в зоне, ограниченной линией семейства LOC контура области. Поэтому участок (2-1) не принадлежит а - оболочке. Участок (2-1) - нерабочий и подлежит отсечению.
Анализу подвергаются все возможные пересечения линий семейств LOC встречных фронтов с отсечением нерабочих участков. В общем случае, если тестирующий луч, проведенный из любой точки участка линии семейства LOC , имеет нечетное количество точек пересечения с линией семейства LOC встречного фронта, то участок принадлежит а - оболочке. Следовательно, он рабочий участок. Если тестирующий луч, проведенный из любой точки участка линии семейства LOC , имеет четное количество точек пересечения, либо не имеет пересечений с линией семейства LOC встречного фронта, то участок не принадлежит а - оболочке поэтому он нерабочий участок.
В работе ^^ приведен укрупненный алгоритм анализа глобальных пересечений линий семейства ОС .
3.2. Анализ и отсечение петель самопересечения линий семейства LOC.
Петли самопересечения образуются в том случае, когда эволюта, участвующая в формировании а -поверхности, имеет особую точку (рисунок 4а). Точки
самопересечения А^ определяются из уравнения 1 а 1 ь где ta \л - значение
параметра t /' -го сегмента контура области или контура острова, где ^[^Л]
(решением указанного векторного уравнения являются два корня tg = а и tb =Ь . Тогда для устранения петли самопересечения выполняем разбивку линии семейства LOC на три участка с параметрами 1 е\-аМ и £ участок линии семейства ШС с
параметром отсекается. Рабочий участок линии семейства ШС составляется из
двух сегментов ^ОС - ЬОС^ ЬОСь ^
У
/
У
а) б)
Рисунок 4. Последовательность анализа и исключения локальных пересечений: а) петли самопересечений, б) итоговый результат.
В работе [18] подробно описан способ анализа локальных пересечений на основе циклографического метода отображения. Следует отметить, что входными данными предлагаемого алгоритма являются массивы точек контуров области и островов. Дискретное множество точек интерполируется замкнутой кривой линией. Интерполяция может выполняется сегментами кривых Безье третей степени, дробно-рациональными кривыми Безье второй степени, либо по массиву точек строится обвод из сегментов
кривых второго порядка [19].
Выходными данными алгоритма являются параметрические уравнения рабочих линий семейств ОС :
ос(1)
^^Шапац)
ос(2) ■
г(1) = 7(1)
гх1ам10) ~~ 'гЛапаЩ,}) VI ) и 'хйтй^ ,))\12 ) и ■ ■ ■ и 'ЫсюйЦ^,}) Уи > >
ос{Щ ■
ОС,
VI ) и г:
V 2
V _у
(О и
(Г),
¿¡отсепСк^,;) (О,
где параметрические уравнения, 1-го сегмента линии ОС первого острова с параметром ¿1 е[0.1] в j -ой плоскости уровня:
параметрические уравнения, последнего сегмента линии ОС первого острова с параметром в ] -ой плоскости уровня:
параметрические уравнения, первого сегмента линии ОС последнего острова с
лт
параметром ^ в -ой плоскости уровня:
параметрические уравнения, последнего сегмента линии ОС последнего острова с параметром г™ в -ой плоскости уровня:
'•■''—J"- Л1» ) l^iiíorai^.j) V'M V'M /J'
is!and(k,¡, f)
параметрические уравнения, 1-го сегмента линии ОС контура области с параметром е[0,1] в j -ой плоскости:
domainal, j) ^ 1
(0 = к
'domainal, j)
Л)
(A)};
параметрические уравнения, последнего сегмента линии ОС контура области с параметром гя в -ой плоскости:
domain(kx, j)
(ü=k
domain()r^, /)
Ю>Ул
bmesn^kg,])
(Ob
где j - номер плоскости в пучке горизонтальных плоскостей; N =1,2,...- номер острова; n
¿(W
= 1,2,... - номер криволинейного сегмента в контуре области или острова; " - параметр n -го криволинейного сегмента в контуре N -го острова; tn -параметр n -го криволинейного сегмента области.
4. Обсуждение результатов
Авторами работы выполнено сравнение предложенного метода оптимизации семейств OC по критерию отсутствия нерабочих участков с методом, близким ему по логике
выявления этих участков и основанном на функции расстояния И2!. Сравнительный анализ методов показал определенные преимущества предложенного метода. Метод оптимизации с использованием функции расстояния при исходных данных со сложными контурами области и островов ведет к вычислению корней высоких степеней, что ограничивает возможности этого метода. Предложенный авторами метод позволяет решить задачу оптимизации для многосвязных областей с контурами кривых сложной форы. Он позволяет получать на выходе вычислительного алгоритма параметрические уравнения рабочих линий семейств ОС . Это существенно упрощает решение задачи автоматизированного проектирования траектории режущего инструмента.
5. Выводы
Основная проблема предложенного метода оптимизации для семейств ОС - это подготовка исходных данных. В работе для формирования исходных контуров области и островов использованы несколько типов кривых: кривые Безье третей степени, дробно-рациональные кривые Безье второй степени, кривые второго порядка. Очевидно, что использование PH -кривых для формообразования исходных контуров позволит усовершенствовать предложенный метод оптимизации семейств ОС .
Библиография
1. Farouki, R .T. Pythagorean-Hodograph Curves: Algebra and Geometry Inseparable.
Berlin: Heidelberg Springer Verlag, 2008. - 732 p.
2. Blum, H. A transformation for extracting new descriptors of shape, in Models for the Perception of Speech and Visual Form. Cambridge: MIT Press, 1967. - 380 p.
3. Persson, H. NC machining of arbitrary shaped pockets. // Computer Aided Design, 1978. - 3(10). - P. 169-174.
4. Lee, D. Medial axis transformation of a planar shape. // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1982. - 4(4). - P. 362-369.
5. Srinivasan, V. and Nackman, L. R. Voronoi diagram for multiply-connected polygonal domains I: Algorithm. // IBM Journal of Research and Development, 1987. - 31(3). - P. 361-372.
6. Choi, H. I., Choi, S. W. and Moon, H. P. New algorithm for medial axis transform of plane domain. // Graphical Models and Image Processing, 1997. - 59 (6). - P. 463-483.
7. Kim, D., Hwang, I. and Park, B. Representing the Voronoi diagram of a simple polygon using rational quadratic Bezier curves. // Computer Aided Design, 1995. - 27(8). - P. 605-614.
8. Held, M. Voronoi diagram and offset curves of curvilinear polygons. // Computer Aided Design, 1998. - 30(4). - P. 287-300.
9. Choi, H. I., Han, C. Y., Moon, H. P., Roh, K. H. and Wee, N. S. Medial axis transform and offset curves by Minkowski Pythagorean hodograph curves. // Computer Aided Design, 1999. - 31(1). - P. 59-72.
10. Held, M., Lukacs, G. and Andor, L. Pocket machining based on contour-parallel tool paths generated by means of proximity maps. // Computer Aided Design, 1994. -26(3). - P. 189-203.
11. Cao, L. and Liu, L. Computation of medial axis and offset curves of curved boundaries in planar domain. // Computer Aided Design, 2008. - 40(4). - P. 465-475.
12. Farouki, R. T. and Nittler, K. M. Efficient high-speed cornering motions based on continuously-variable feedrates. I. Real-time interpolator algorithms. // The International Journal of Advanced Manufacturing, 2016. - 87(9-12). - P. 3557-3568.
13. Kim, H. C. Tool path generation for contour parallel milling with incomplete mesh model. // International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2010. - №48. -P. 443-454.
14. Park, S. C. and Choi, B. K. Uncut free pocketing tool-paths generation using pair-wise offset. // Computer Aided Design, 2001. - №33. - P. 739-746.
15. Wong, T. N., Wong, K. W. NC toolpath generation for arbitrary pockets with islands. // The International Journal of Advanced Manufacturing, 1996. - №12. - P. 174-179.
16. Zhiwei, L., Jianzhong, F. and Wenfeng, G. A robust 2D point-sequence curve offset algorithm with multiple islands for contour-parallel tool path. // Computer Aided Design, 2013. - 45(3). - P. 657-670.
17. Панчук, К. Л. Циклографическая начертательная геометрия : монография / К. Л. Панчук, Н. В. Кайгородцева; Минобрнауки России, ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2017. - 232 с.
18. Myasoedova ,T. M. and Panchuk, K. L. Analysis and trimming operations in the problem of spatial formation of a family of offset curves given an area with islands. // Journal of Physics: Conference Series, 2020. - №1441. - pp 012069.
19. Panchuk, K. L., Myasoedova, T .M. and Odinets, M. N . Construction of a discrete planar contour by fractional rational Bezier curves of second order. // Journal of Physics: Conference Series, 2020. - №1441. - pp 012072.
