CC BY
75
УДК 373.016:51 ББК 74.262
ФОРМИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ УМЕНИЙ УЧАЩИХСЯ В КОНТЕКСТЕ ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
FORMING CALCULATION SKILLS OF SCHOOLCHILDREN IN THE CONTEXT OF PSYCHOLOGICAL RESEARCH
Смирнова Альбина Алексеевна
Учитель математики ГБОУ школа № 519 г. Санкт-Петербурга, кандидат педагогических наук E-mail: Smirnovaalbina@mail.ru
Smirnova Albina A.
Mathematics teacher at school No 519, Saint-Petersburg, PhD in Education E-mail: Smirnovaalbina@mail.ru
Аннотация. В статье автор анализирует проблему формирования вычислительных умений учащихся. Предлагается система конструирования вычислительных упражнений по уровням осознанности знаний, разработанных автором статьи. Уровни осознанности знаний соотнесены с уровнями гибкости продуктивного мышления, обоснована их взаимосвязь. Выявлены возможности формирования элементов аналитического компонента системного мышления при обучении решению вычислительных заданий.
Ключевые слова: уровни осознанности знаний, генетические основания ошибок, гибкость мышления, аналитический компонент системного мышления.
Abstract. In this article the author analyzes schoolchildren's counting skills formation. A system of constructing calculation exercises according to the levels of cognitive awareness developed by the author of the article is offered. Levels of cognitive awareness are correlated with productive thinking flexibility, and their association is substantiated. The article elicits the opportunities to form the elements of the analytical component of the operational thinking while teaching how to solve calculation tasks.
Keywords: levels of cognitive awareness, genetic basis of errors, flexibility of thinking, analytical component of operational thinking.
Практика работы в школе, аналитические материалы результатов ЕГЭ и ОГЭ, результаты диагностических работ показывают, что за последние годы уровень вычислительных навыков школьников снижается. Особенно настораживает ухудшение вычислительных навыков у выпускников начальной школы, так как это приводит к снижению вычислительной культуры учащихся основной школы и математической культуры выпускников средней школы, и как следствие - их неготовность получать дальнейшее качественное образование. Такая ситуация предсказуема, так как в стандартах второго поколения для начальной школы предлагается выполнять письменно действия с многозначными числами в пределах 10 000 с использованием таблиц сложения и умножения.
Кроме того, следует отметить, что в учебниках по математике для начальной школы развивающие упражнения зачастую доминируют над заданиями с вычислительным компонентом, в результате такого построения учебного материала многие умения и навыки у учащихся общеобразовательных школ остаются не полностью сформированными. К сожалению, в учебных пособиях не всегда выделяются основные (базовые) вычислительные задания по теме, усвоение которых должно быть полным, что вызывает затруднения при отборе материала к уроку даже у опытных учителей. Не следует недооценивать значение решения вычислительных заданий для воспитания учащихся, так как безошибочное и аккуратное выполнение математических вычислений формирует трудолюбие, что переходит постепенно в добросовестное отношение к любой работе.
В ходе исследования выявлены противоречия в системе начального математического образования и математического образования в основной школе, одним из которых является следующее: между снижением когнитивных способностей детей (Д. И. Фельдштейн) и сокращением часов на изучение математики в начальной школе и в 5-6-х классах основной школы.
Сокращение часов математики в указанных классах не позволяет решать достаточное количество текстовых составных задач высокого уровня сложности. Заниженные требования к уровню владения техникой решения текстовых задач за начальную школу (2-3 действия) негативно сказывается на развитии навыков аналитико-синтетической деятельности. Данная ситуация непосредственно усугубляет готовность учащихся решать геометрические задачи. Мы считаем, что если дополнить методику формирования вычислительных заданий в начальной школе и на этапе обучения в 5-6-х классах основной школы предложенной в статье системой аналитических заданий, то это будет способствовать интеллектуальному развитию школьников.
Таким образом, необходимо проведение на уроках аналитико-синтетической деятельности не только при решении текстовых задач, но и при конструировании и решении цепочек усложняющихся вычислительных заданий.
Мы в своем исследовании, опираясь на метод варьирования текстовых задач [1] и используя рекомендации по конструированию вычислительных примеров в порядке нарастания трудностей в вычислениях и обоснования приемов вычислений [2], разработали принципиальные подходы к конструированию системы вычислительных примеров на множестве натуральных чисел и при изучении действий с десятичными дробями.
Такую систему упражнений распределили по уровням осознанности знаний через уровни трудностей выполнения упражнений с учетом количества операций и их
вычислительной насыщенности. Для этого рассмотрели генетические основания ошибок, возникающих при выполнении каждого арифметического действия с натуральными числами. Так, в качестве генетических оснований ошибок при выполнении действий сложения и вычитания многозначных чисел выделим следующие ошибки:
• в записи чисел столбиком;
• при сложении чисел с переходом через десяток;
• при вычитании в пределах 20 с переходом через десяток;
• в представлении чисел второго десятка в виде суммы разрядных слагаемых;
• в дроблении десятка в 10 единиц, сотни в 10 десятков;
• в составе чисел первого десятка;
• при запоминании суммы и разности в промежуточных рассуждениях.
При рассмотрении сложения и вычитания десятичных дробей добавятся ошибки в записи чисел столбиком с учетом запятой, а также ошибки в дроблении (представлении) одной целой в десятые доли, одной десятой в сотые доли и т. д., а также в обратном преобразовании.
Исходя из выявленных оснований ошибок, опишем уровни осознанности знаний через уровни трудностей при выполнении вычислений, которые не противоречат педагогическим и психологическим исследованиям в этой области: Е. Д. Божович, В. В. Краев-ский, Г. Ю. Ксензова, З. И. Калмыкова, И. Я. Лернер, М. Н. Скаткин, Е. Б. Шиянова, И. С. Якиманская [1, с. 39-40]. Осознанность, как характеристика качества усвоенных знаний, обладает степенью выраженности во внешней деятельности, что делает возможным применить категорию меры. Учитывая важность операции «преобразования» для формирования осознанных знаний, а также овладение приемами умственной деятельности как один из психологических критериев качества (осознанности) знаний [3, с. 9-10], мы разработали уровни осознанности знаний при решении вычислительных заданий. Задания для формирования и выявления различных уровней осознанности знаний конструируются с помощью преобразования (варьирования) вычислительного компонента. Следует заметить, что каждый последующий уровень осознанности знаний предполагает наличие умений предыдущих уровней.
Первый уровень осознанности (одна принципиальная трудность - правильная запись чисел столбиком): отрабатывается правило правильной и рациональной записи чисел столбиком, повторяется значение каждой цифры в обоих слагаемых (в уменьшаемом и вычитаемом) и в полученном результате. Нет перехода через десяток в соседний разряд при сложении и нет дробления единиц предыдущего разряда при вычитании.
Второй уровень осознанности (две принципиальные трудности): добавляется один переход через десяток: при сложении накапливается только единица предыдущего разряда (7 + 3) или при вычислении накапливается единица предыдущего разряда с остатком (7 + 5). Когда при вычитании мы занимаем единицу предыдущего разряда, может возникнуть ситуация, что от круглого десятка вычитаем число в пределах десяти (10 - 3) или возникает необходимость вычитать числа в пределах двадцати с переходом через десяток. Ученик использует операцию сравнения, обобщения при решении заданий данного уровня с предыдущим уровнем.
Третий уровень осознанности (три принципиальные трудности): добавляются случаи перехода через десяток в двух-трех случаях подряд. Задания на данном уровне осознанности содержат комбинированный материал.
Высокий уровень осознанности: задачи с элементами исследования на восстановление отсутствующих цифр: в слагаемых, в сумме, на восстановление отсутствующих цифр в уменьшаемом, вычитаемом и разности, причем целесообразно конструировать задания, предполагающие и неоднозначное решение. На данном уровне можно предлагать задания исследовательского вида, содержащие операцию «преобразования» (как изменится разность, если уменьшаемое увеличить на 20, а вычитаемое уменьшить на 15? и т. д.).
Представим систему упражнений в виде таблицы (табл. 1).
Таблица 1
Система вычислительных заданий
Уровни осознанности знаний Сложение многозначных чисел Вычитание многозначных чисел Примечания
1-й уровень а) 123 + 356; б) 3576 +123 а) 847 - 634; б) 3576 - 432 Устно проговорить, что означает каждая цифра в данных числах
2-й уровень а) 123 + 357; б) 132 + 597; в) 213 + 3759 а) 890 - 374; б) 829 - 374; в) 3576 - 632 Используется рациональная запись сложения столбиком (в)
3-й уровень а) 123 + 379; б) 132 + 598; в) 213 + 3989 а) 3576 - 687; б) 4237 - 3576; в) 8500 - 3576 В примере в) на вычитание сотню занимаем и дробим в десятки, а один десяток дробим в единицы
Высокий уровень а) 123 + 3*9 = *0*; б) 123 + 3*9 = *1*; в) Как изменится сумма двух чисел, если первое слагаемое увеличить на 200, а второе уменьшить на 54? а) 805 - 1*9 = *6*; б) 57*6 - *1* = *108; б) Как изменится разность двух чисел, если уменьшаемое увеличить на 20, а вычитаемое увеличить на 15? Задание а) и б) необходимо записать в столбик и подбирать значащие цифры справа налево
Одним из показателей осознанности знаний на всех уровнях является понимание учащимися характера связей между знаниями [1, с. 37]. Поэтому в левой части таблицы в сложении натуральных чисел выделены жирным курсивом те примеры, которые являются основополагающими для конструирования заданий на следующих уровнях осознанности, так как добавляются новые трудности за счет варьирования вычислительного
компонента. Первое слагаемое остается постоянным, сравнительный анализ затрагивает изменение цифр у второго слагаемого.
Мы соотнесли разработанные уровни осознанности знаний при сложении натуральных чисел (левый столбик примеров) с уровнями гибкости продуктивного мышления, разработанные Е. С. Ермаковой [4, с. 21-22].
Можно считать, что первый уровень осознанности соответствует первому уровню нормативной гибкости продуктивного мышления. Учащиеся осваивают алгоритм вычислений на первом уровне трудности, фиксируют единичные свойства и разрозненные представления в каждом конкретном примере.
Переходя на второй уровень осознанности, учащиеся сравнивают запись суммы в примере а) и подмечают, что при сложении единиц накапливается десяток, который надо не забыть добавить, когда сложим десятки в данных слагаемых. В примере б) при сложении единиц не возникает трудностей, а вот при сложении десятков накапливается десяток десятков, то есть сотня, и при сложении сотен нужно не забыть ее добавить. В примере в) желательно подметить, что для правильной записи рациональнее изменить порядок слагаемых при записи суммы столбиком, данный способ записи был отработан на первом уровне осознанности.
Таким образом, на втором уровне осознанности просматривается второй (абстрагирующий) уровень гибкости мышления, а именно: «преобладает ориентация на внешние признаки, иногда наблюдается адекватное изменение способа действия на оптимальный способ». Но если учитель обратит внимание учащихся, что в числе 356 (1-й уровень) еще изменилась цифра единиц с 6 на 7 (фиксация внешних изменений), а это приводит к переходу через десяток в вычислении суммы (выявление внутренних и скрытых свойств), на данном уровне осознанности проявляется и третий (обобщающий) уровень гибкости мышления.
Третий уровень осознанности (три принципиальные трудности) нацелен на выявление этих внутренних и скрытых трудностей, что соответствует третьему (обобщающему) уровню гибкости мышления, так как у учащихся создаются «устойчивые комплексные представления». Частично можно переходить на следующий, высокий уровень, формулируя дополнительные вопросы. А можно ли в примере б) сконструировать сразу три перехода через десяток? Какую цифру можно изменить во втором слагаемом? Какие значения может принимать цифра сотен?
Высокий уровень осознанности соответствует четвертому (уровню адекватной интерпретации) гибкости мышления, так как учащиеся, восстанавливая недостающие цифры, преобразовывая сумму в соответствии с заданными условиями, выделяют «латентные (скрытые) свойства и отношения». Скрытые свойства и отношения выявляются и при решении исследовательского задания в).
В данном случае на втором уровне осознанности могут проявляться элементы второго и третьего (абстрагирующего и обобщающего) уровня гибкости мышления. На третьем уровне осознанности с опережением можно конструировать и обсуждать задания для формирования четвертого уровня гибкости мышления в ходе установления вертикальных связей.
Выявление таких связей, аналитическая работа над структурой каждого задания, установление причинно-следственных связей между изменением (варьированием) даже одной цифры в примере и трудностью выполнения задания способствует не только формированию осознанных знаний учащихся, развитию гибкости продуктивного мышления, но и формирования аналитического компонента системного мышления.
Воспользуемся определением, данным в психолого-педагогическом исследовании Л. Шрагиной, для обоснования методики варьирования вычислительных упражнений по формированию элементов системного мышления: «Системное мышление - это мышление, уровень развития которого при познании человеком мира предметов и явлений объективной действительности позволяет:
• устанавливать взаимосвязи между ними;
• выявлять закономерности протекания процессов, их взаимодействия и развития;
• прогнозировать это развитие и эффективно решать возникающие при этом проблемы» [5].
При конструировании заданий при переходе на каждый последующий уровень осознанности мы подмечаем и устанавливаем с учащимися связи между примерами внутри каждого уровня. Усложняя структуру упражнений предыдущего уровня, выявляем и устанавливаем вертикальные связи (внутренние и внешние, комбинированные внешние, прогностические), формируем обобщенные приемы умственной деятельности аналитического компонента системного мышления разных уровней.
Сведем наши рассуждения в таблицу (табл. 2).
Такая целенаправленная работа по совершенствованию вычислительных умений учащихся, развития гибкости продуктивного мышления и аналитического компонента системного мышления, перенесенного на методику изучения вычислительных заданий, тождественных преобразований в основной школе, способствует созданию прочного фундамента для дальнейшего изучения математики и других учебных предметов учащимися.
В рамках экспериментальной площадки районного уровня «Системно-вариативная модель обучения математике в девятилетней школе при переходе к новым ФГОС» с 2012 по 2015 г. обучение в двух классах ГБОУ школы № 519 проводилось с использованием разработанной методики. Результаты ОГЭ по математике в блоке «геометрия» за 2017 г. в данных классах таковы: средний балл 6,3, что значительно выше среднего балла по Санкт-Петербургу в 2016 г. (5,04 балла). Стоит заметить, что 5,04 балла был получен с учетом результатов выполненной работы в лицеях, гимназиях и математических школах [6].
Таким образом, проведение на уроках математики в общеобразовательных школах аналитико-синтетической деятельности не только при решении текстовых задач, но и при конструировании и решении цепочек усложняющихся вычислительных заданий будет непосредственно иметь положительную тенденцию при освоении геометрии учащимися в основной школе.
Таблица 2
Уровни осознанности знаний, гибкости продуктивного мышления, аналитического компонента системного мышления
Осознанность знаний Гибкость продуктивного мышления Аналитический компонент системного мышления Приемы умственных действий (УУД)
Первый уровень (одна принципиальная трудность) Первый уровень (нормативный). Фиксируются единичные и разрозненные представления в каждом примере Первый уровень (внутренние связи). Правила записи, значение каждой цифры в примере Установление горизонтальных связей между примерами, рациональная запись столбиком
Второй уровень (две принципиальные трудности) Второй уровень (абстрагирующий). Ориентация на внешние признаки, изменение способа действий на рациональный способ Второй уровень (внешние связи). Фиксируем по внешним признакам трудности при вычислении, частичное обобщение Сравнение с заданием первого уровня, частичное обобщение, установление вертикальных связей
Третий уровень (три принципиальные трудности) Третий уровень (обобщающий). Выявление скрытых внутренних трудностей Третий уровень (комбинированные внешние связи). Выявление закономерностей возникновения трудностей С помощью анализа, синтеза, аналогии, установления причинно-следственных зависимостей, установления вертикальных связей создаются устойчивые комплексные представления
Высокий уровень осознанности (задачи с элементами исследования) Уровень адекватной интерпретации. Выявление латентных (скрытых) свойств и отношений Высокий уровень (прогностический). Выявление взаимодействия трудностей, их комплексное развитие в соответствии с заданным условием С помощью умственного и практического эксперимента, соотнесения, обобщения приходим к решению исследовательского задания
Список литературы
1. Смирнова А. А. Метод варьирования текстовых задач по математике как средство повышения качества знаний учащихся: дис... канд. пед. наук: 13.00.02. - СПб., 2007. - 168 с.
2. Стефанова Н. Л. Методика формирования вычислительных навыков учащихся 4-5 классов: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02. - Ленинград, 1983. - 205 с.
3. Смирнова А. А. Формирование осознанных знаний учащихся на уроках математики девятилетней школы с помощью метода варьирования текстовых задач: пособие для учителя. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2009. - 78 с.
4. Ермакова Е. С. Психологические закономерности формирования продуктивного мышления у детей дошкольного и младшего школьного возраста: автореф. дис. ... д-ра психол. наук. - СПб, 2006. - 43 с.
5. Шрагина Л. И. Системное мышление в контексте педагогики и психологии мышления. - URL: http://psyfactor.org/lib/shragina3.htm (дата обращения: 11.05.2013).
6. Аналитический отчет предметной комиссии о результатах государственной итоговой аттестации выпускников 9 классов по математике в 2016 году в Санкт-Петербурге. - СПб.: ЦОКОиИТ, 2016. - 48 с.
7. Основные итоги единого государственного экзамена по математике в 2012 году в Санкт-Петербурге. Аналитический отчет предметной комиссии. - СПб: РЦО-КОиИТ, 2012. - 16 с.
References
1. Smirnova A. A. Metod varyirovaniya tekstovykh zadach po matematike kak sred-stvo povysheniya kachestva znaniy uchashchikhsya. PhD dissertation (Education). St. Petersburg, 2007. 168 p.
2. Stefanova N. L. Metodika formirovaniya vychislitelnykh navykov uchashchikhsya 4-5 klassov. PhD dissertation (Education). Leningrad, 1983. 205 p.
3. Smirnova A. A. Formirovanie osoznannykh znaniy uchashchikhsya na urokakh matematiki devyatiletney shkoly s pomoshchyu metoda varyirovaniya tekstovykh zadach: posobie dlya uchitelya. St. Petersburg: Izd-vo RGPU im. A. I. Herzena, 2009. 78 p.
4. Ermakova E. S. Psikhologicheskie zakonomernosti formirovaniya produktivnogo myshleniya u detey doshkolnogo i mladshego shkolnogo vozrasta. Extended abstract of ScD dissertation (Psychology). St. Petersburg, 2006. 43 p.
5. Shragina L. I. Sistemnoe myshlenie v kontekste pedagogiki i psikhologii myshleniya. Available at: http://psyfactor.org/lib/shragina3.htm (data obrashcheniya: 11.05.2013).
6. Analiticheskiy otchet predmetnoy komissii o rezultatakh gosudarstvennoy itogovoy attestatsii vypusknikov 9 klassov po matematike v 2016 godu v Sankt-Peterburge. St. Petersburg: TsOKOilT, 2016. 48 p.
7. Osnovnye itogi edinogo gosudarstvennogo ekzamena po matematike v 2012 godu v Sankt-Peterburge. Analiticheskiy otchet predmetnoy komissii. St. Petersburg: RTsO-KOiIT, 2012. 16 p.
Интернет-журнал «Проблемы современного образования» 2017, № 5
