CC BY-NC
29Формирование топологии радиосети с размещением подвижных радиостанций при минимизации мощности излучения радиосигналов
Демичев Максим Сергеевич
студент, Сибирский государственный университет науки и технологии им. МФ. Решзтнева 660000, Россия, Красноярский край, г. Красноярск, ул. Красноярский Рабочий, 31
И mdemichev@yandex.ru
Гаипов Константин Эдуардович
кандидат технических наук
доцент, Сибирский государственный университет науки и технологий им. академика МФ. Решетнёва 660000, Россия, Красноярский край, г. Красноярск, ул. Красноярский Рабочий, 31
И cyberjam@yandex.ru Королев Евгений Михайлович
старший преподаватель, кафедра Военный учебный центр, Сибирский государственный университет
науки и технологий имени академика Решетнева МФ.
660037, Россия, Красноярский край, г. Красноярск, ул. Пр. Красноярский Рабочий, 31
И boxkem@mail.ru
Демичева Алёна Алексеевна
студент, Сибирский государственный университет науки и технологий им. академика МФ. Решетнёва 660031, Россия, Красноярский край, г. Красноярск, ул. Красноярский Рабочий, 31
И DemichevaAlena@yandex.ru
Наражный Артём Ц-оревич
студент, Сибирский государственный университет науки и технологий им. академика МФ. Решзтнёва 660000, Россия, Красноярский край, г. Красноярск, ул. Красноярский Рабочий, 31
И artem_narozhnyi@mail.ru
Статья из рубрики "Автоматизированные системы управления технологическими процессами"
Аннотация. Предметом исследования является формирование топологии радиосети с размещением подвижными радиостанций, при которой суммарная мощность излучения сигналов для радиостанций будет минимизирована. В работе определяются мощности излучения сигналов для всех радиостанций и координаты для подвижных радиостанций, также предполагается, что передающие антенны всех радиостанций имеют круговую диаграмму направленности. Для решения поставленной задачи строится математическая модель, имеющая ряд допущений, которые предполагают идеальные условия распространения радиоволн, а также расположение радиостанций в декартовой системе координат. Разработка алгоритма осуществлялась экспериментально-теоретическим методом, на основе известных фактов радиопередачи и математического решения
задачи Штейнера для четырех и пяти вершин. Новизна исследования заключается в разработанном алгоритме определения координат подвижных радиостанций, а также мощности излучения сигналов для стационарных и подвижных радиостанций с круговой диаграммой направленности. Результат работы алгоритма сводится к определению топологии сети и дальности действия каждой радиостанции, при котором затрачивается наименьшая мощность излучения передающих антенн радиостанций.
Ключевые слова: Мощность излучаемого сигнала, Топология связной сети, Стационарная радиостанция, Подвижная радиостанция, Алгоритм, Координаты, Радиосеть, Передача данных, Диаграмма направленности, Декартова система координат
DOI: 10.25136/2306-4196.2018.1.24983
Дата направления в редакцию: 09-01-2018
Дата рецензирования: 05-01-2018
Дата публикации: 10-01-2018
Введение
Быстрое развитие беспроводных технологий, привело к появлению нового типа организации сетей, сетей типа mesh. Mesh узлы как правило располагаются в беспорядочном состоянии, их позиции могут быть как зафиксированными или же могут перемещаться в пространстве. Применение таких сетей нашло в системах умный дом, IoT(internet of thing), по этому принципу строятся сети стандарта zigbee, IEEE 802.15. Также организация таких сетей будет выгодна при организации взаимодействий между созвездием спутников или группы беспилотных дронов. Как правило, в таких сетях полагают, что часть или даже все беспроводные mesh узлы являются автономными, со своим внутренним источником электроэнергии, поэтому для таких сетей одним из основных требований к их функционированию является время автономной работы. В связи, с чем при развертывании беспроводной mesh сети, необходимо располагать mesh узлы таким образом, чтобы энергия, затрачиваемая на поддержание связи, была минимальной, но достаточной для поддержания соединения между парами mesh узлов. Одним из ограничений такой задачи является то, что часть mesh узлов должна быть зафиксирована в пространстве, а другая часть произвольно располагаться, так чтобы суммарная энергия излучения всех mesh узлов была минимальна.
Поставленная задача, очевидно, сводится к поиску некой древовидной топологии. Анализ существующих алгоритмов на графах для решения поставленной задачи показал, что алгоритмы по поиску минимальных остовных деревьев, работают только в том случае если позиции всех узлов считать фиксированными в связи, с чем они и не подходят.
Алгоритмы построения дерева Штейнера [1, c- 1813-18441, является наиболее подходящими алгоритмами, так как позволяет определить дополнительные узлы в графе, обеспечивая самую минимальную сумму длин всех расстояний между узлами, проблема заключается в том, что число дополнительных узлов, которое требуется для построения дерева Штейнера, может оказаться больше чем имеется подвижных mesh узлов, таким образом, данный алгоритм не полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Отмети также, что задача Штейнера относится к классу так называемых NP-полных задач, поэтому алгоритмы, дающие точные решения, как правило, не могут быть использованы в САПР из-за неприемлемой временной сложности [3, Ci 96]. Также известно достаточно
большое количество подходов к решению задачи о построении связной топологии сети,
однако многие из известных результатов, как показано в работе [4, Сш 465-5081 не лишены
недостатков. Данная статья является дополнением к статье [5, Сш 1-231, вместе с которой производится формирование топологии сети, а также распределение частотного ресурса оптимальным способом.
Постановка задачи
Пусть имеется N стационарных радиостанций (далее - СРС), где для каждой РС известны координаты, а также имеется М подвижных радиостанций ретрансляторов (далее - ПРС), причем М + 2 < N. Все РС имеют круговую диаграмму направленности. Необходимо оптимально распределить мощность излучения сигналов от СРС и ПРС, а также определить оптимальное месторасположение П РС, где под оптимальностью понимается минимизация затраченной мощности для передатчиков. Требуется получить топологию радиосети, при которой передача от любой РС к другой может осуществляться посредством ретрансляции.
Ход работы
Данная статья описывает математическую модель, в которой не учитывается рельеф местности, диаграмма направленности каждой РС представляет собой окружность. Также предположим, что все РС расположены на плоскости в декартовой системе координат.
Основные этапы алгоритма:
1. Построение матрицы Я;
2. Составление первичных соединений;
3 . Нахождение координат для ПРС, а также распределение мощности излучения сигналов для ПРС.
4. Построение матрицы А.
5. Нахождение мощности излучения сигналов от рассчитанного радиуса действия. Построение матрицы R
В матрице Я описываются расстояния от СРС; до СРС|, а также расстояния от СРС; до ПРС<, с использованием координат, по формуле (1).
гч = - У] г (1) г 1
% , где I, - номера СРС (I, л'е х^ у^ х^
Уj - координаты СРС; и СРС| (или ПРС<) соответственно. к - номера ПРС (ке Г1. М1). На
данном этапе рассчитываются только расстояния от СРС до СРС, расстояния от СРС до ПРС и от ПРС до ПРС рассчитываются в других этапах.
Результат записывается на пересечении строк I и столбцов матрицы Я. Шаблон матрицы представлен на рисунке 1. Ячейки главной диагонали не вычисляются и не заполняются.
Рисунок 1. Шаблон матрицы Я Составление первичных соединений
В результате составления первичной топологии формируется матрица V, в заголовках матрицы указывается номер СРС или ПРС, ячейки у где I - номер СРС или ПРС (I е^1
Й+Ш). Значение У| соответствует максимальному назначенному расстоянию передачи для СРС| или ПРС|, до выполнения алгоритма матрица V заполняется нулями.
Введем понятие группа СРС - Ск, где к - номер группы. Элементы Ск состоят из номеров СРС таких, что осуществима передача от СРС до СРС|, входящих в С^ Формирование групп происходит в процессе работы алгоритма составление первичной топологии. До начала выполнения алгоритма количество групп равно количеству СРС.
Так как ПРС выполняет роль ретранслятора, то ее использование способно уменьшить потребляемую мощность при передаче от одной СРС к другой. Алгоритм построения первичной топологии, описанный ниже, основывается на соединении СРС с минимальными расстояниями согласно матрице Я. Наилучшим вариантом соединения является объединение СРС с минимальными расстояниями в группы, и последующее соединение групп с использованием ПРС. В связи с этим возникает вопрос о необходимом количестве Ск, используемых для оптимального расположения ПРС.
Наихудшим случаем является соединение одной ПРС только двух групп, следовательно необходимое количество групп равно М + 1.
Алгоритм составления первичных соединений:
1. В матрице Я выбирается ячейка с наименьшим значением, где рассматривается соединение СРС (СРС и СРС|), соответствующих индексу этой ячейки, при выполнении следующего условия: СРС| и СРС| находятся в группах Сх и Су соответственно, где х ^ у переходим в п. 2, иначе данное соединение игнорируется, ячейки г- и г- не учитываются при дальнейшей работе алгоритма, выполняем пов то рно п. 1.
2. В матрицу V на позиции I и - записывается значение ячейки г- и г- . Ячейки г- и г- не учитываются при дальнейшей работе алгоритма.
3. При соединении СРС| и СРС- находящихся в группах Сх и Су соответственно, где х ^ у, элементы данных групп объединяются в единую группу. При этом общее количество групп сокращается на единицу.
Нахождение координат для ПРС, а также распределение мощности излучения сигналов для ПРС
Введем матрицу GD, которая описывает минимальные расстояния от группы С до С-, а также пара СРС, входящие в данные группы, которые соответствуют данным расстояниям. Заголовки матрицы формируются из номеров групп Ск, полученных после
выполнения алгоритма составления первичной топологии, главная диагональ заполняется нулями.
Введем матрицу К, которая определяет отношения для расстояний от СРС, входящей в группу до ПРС, элементы матрицы рассчитываются по формуле (2, 3).
кц=Г (2) ]
- , где к- - элемент матрицы К, у - ребра маршрута, ^ - ближайшее
расстояние от СРС до ПРС для ребра I, t - ближайшее расстояние от СРС до ПРС для ребра gd¡ - расстояние ребра согласно матрице gd, В - количество ПРС, назначенных на ребро I. ^ рассчитывается по формуле (3).
С точки зрения затрачиваемой мощности оптимальное расположения ПРС между двумя СРС должно быть таким, чтобы ПРС находилась на одинаковом расстоянии от СРС. Это можно доказать следующим образом - пусть расстояние между двумя СРС равно х, при этом расстояние от одной из СРС до ПРС равно у, тогда расстояние от второй СРС до ПРС равно х - у. Исходя из формулы (5), затрачиваемая мощность пропорциональна квадрату расстояния, тогда:
Для поиска минимального значения выражения, приравняем его к нулю и возьмем пе рв ую произ в о дную по у, то гда :
Расположение s штук ПРС между двумя СРС должно быть таким, чтобы каждая ПРС находилась на одинаковом расстоянии от СРС и друг от друга. Исходя из предыдущего доказательства, данное расстояние будет иметь значение у = х / ^ + 1).
Матрица К предназначена для выявления ПРС, которые необходимо перераспределить с одних ребер другим. Таким образом, значение к- не должно превышать значения 2 для
оптимального распределения ПРС между двумя СРС.
Введем, матрицу Р, которая определяет принадлежность ПРС к соответствующему ребру маршрута. Матрица представлена в виде двух столбцов: первый содержит номера ПРС, второй - определенное ребро маршрута (соединения СРС и/или ПРС).
Алгоритм нахождения координат для ПРС, а также распределение мощности излучения сигналов для ПРС:
1. Составление матрицы GD. Заголовками матрицы являются номера групп С. Находим минимальное значение в матрице г- на пересечении строк, соответствующих СРС,
входящих в группу G¡, со столбцами, соответствующих СРС, входящих в группу
значение записываем в gd¡j, а также пары СРС, соответствующие записанным
расстояниям. В случае, если минимальному значению соответствуют несколько пар СРС, тогда в соответствующей ячейке будет содержаться значение расстояния, а также пары СРС, соответствующие им. Добавляем в матрицу дополнительные столбцы, заголовки которых соответствуют номерам ПРС, ячейки которых остаются незаполненными.
2. Из матрицы GD формируем первичный маршрут между группами, где маршрут представлен в виде ребер: СРС;- СРС|, СРС;- СРС<, ..., СРСр- СРСГ, где I, л', I, к, р, г -номера СРС. Формирование маршрута осуществляется с помощью поиска минимумов в матрице GD, минимальные расстояния не рассматриваются повторно после внесения ребра в маршрут. Пусть первое минимальное расстояние найдено между группами G¡и Gj,
тогда второе минимальное расстояние ищется на пересечении строк групп G¡и Gj, со столбцами, номера групп которых отличны от рассмотренных групп G¡и Gj. Пусть столбец, соответствующий второму минимальному расстоянию, соответствует группе Gk, тогда поиск третьего минимального расстояния будет осуществляться на пересечении строк групп G¡, Gjи Gk, со столбцами, номера групп которых отличны от рассмотренных групп G¡, Gjи Gk. Поиск других минимальных расстояний осуществляется аналогично. Построение маршрута заканчивается, когда количество ребер в маршруте равно М. Полученный маршрут записывается в список маршрутов МЯ.
3. На каждое ребро маршрута выделим по одной ПРС^, где d - номер ПРС. В матрицу принадлежности Р вписываем номер d и номера СРС. Координаты ПРСрпределяются по формуле (4), где принадлежность ПРС какому либо ребру определяется по матрице Р, и в матрицу V, добавляется максимальное назначенное расстояние передачи для ПРСd.
4. Рассчитываем матрицу Я для ячеек, содержащих в своих заголовках ПРС. Пересчитываем матрицу GD для внесенных ПРС. Расстояние от СРС до ПРС осуществляется по формуле (1), где хт, ути х<, Ук - координаты СРСт и ПРС<соответственно. Область ПРС в матрице GD заполняется по столбцам, причем ячейки, соответствующие группам, ребро которых принадлежит ПРС по матрице Р, не заполняются. Составляем вторичный маршрут по аналогии с п. 2, узлами которого помимо СРС рассматриваются и П РС. Полученный маршрут дополняется в список маршрутов МЯ, причем маршруты, записанные ранее, сохраняются в списке.
5. Сравниваются последний тг и предпоследний тг-1 маршруты в списке МЯ, где тг -количество маршрутов в списке МЯ. Если ребро маршрута тг и маршрута тг-1 не совпадают, то в данное ребро маршрута тпереносится ПРС из ребра маршрута тг-1. В матрице принадлежности Ризменяются номера СРС для соответствующей ПРС, координаты ПРС определяются по формуле (4), где принадлежность ПРС какому либо ребру определяется по матрице Р. При не совпадении, какого-либо из ребер маршрута тг и маршрута тг-1, п. 4 выполняется повторно. Если все ребра маршрута тг и маршрута тг-1 совпадают, то маршрут тг удаляется из списка МЯ, количество маршрутов становится равным п, и выполняем п. 6.
6. Рассчитаем матрицу К по формулам (2, 3), где заголовки матрицы К определяются по ребрам последнего маршрута. Обращение к матрице К и выполнение данного пункта осуществляется до тех пор, пока все значения ее элементов меньше 2 тогда переходим в п.7 . Находим максимальное значение, которое превышает значение 2, в матрице К - к„.
Из ребра, соответствующего л', убираем ПРС (количество ПРС ребра]' уменьшается на 1) и переносится в ребро, соответствующему I (количество ПРС ребра I увеличивается на 1). Данные изменения также вносятся в матрицу принадлежности Р. В матрице К удаляется столбец у пересчет значений матрицы осуществляется с учетом перераспределенных ПРС. Координаты ПРС] определяются по формуле (4), где принадлежность ПРС какому либо ребру определяется по матрице Р, и в матрицу V, добавляется максимальное назначенное расстояние передачи для ПРС]:
6.1 Если от ПРС] не исходит никаких ребер, то Vd=r¡j/(B¡j +1), где гу - расстояние между СРС и СРСу, на ребре которых расположена ПРС], В ¡у - количество ПРС, также расположенных на рассматриваемом ребре.
6.2 Если от ПРС] исходит ребро, то Vd=rd|У(Bdk +1), где - расстояние между ПРС] и СРС<, с которой соединяется ребром, - количество ПРС на ребре ПРС] и СРС<.
6.3 Если от ПРС] исходит несколько ребер, то для каждого из них вычисляется значение V], как в п. 3.2, и выбирается наибольшее значение.
С известными координатами ПРС выполняем с п.4.
7. Все ПРС в конечном маршруте считаем СРС, которые дополняются в матрицуЯ. Дальности ПРС рассчитываются в соответствии с п. 6.
- X.) * к ХК = х■+——Ц— ] п + 1
(4)
К " ' 71+1
, где Х|, Yk - координаты ПРС, Ху, XI, Yj, Y¡ - координаты вершин ребра,! е п1, где п - число ПРС размещенных на ребре.
Построение матрицы А
Матрица А, заполняется 0 и 1, где 1 показывает взаимосвязь между СРС и СРСу, 0 -отсутствие взаимосвязи между СРС и СРСу. Шаблон матрицы А аналогичен шаблону матрицы Я.
Для СРС, где I е [1, N+14!, в матрице V выполняется условие: если значение VI > гу
(проверяется строка I в матрице Я), при ' е М+М1, то в матрице А в ячейку ау записывается 1.
Нахождение мощности излучения сигналов от рассчитанного радиуса действия
Нахождение мощности излучения сигналов от рассчитанного радиуса действия выполняется по формуле (5), представленной на рисунке 4. Следует отметить, что мощность сигнала на входе радиоприемника и коэффициенты усиления являются регулируемыми параметрами за счет выбора антенн приема и передачи для каждой СРС на момент проектирования радиосети, получение длины волны передающей СРС рассчитывается в [5, С- 1-231.
Р =-*-
'■сгс* ': СРС
(5)
где Рсро - мощность сигнала на выходе радиопередатчика СРС (ПРС¡), Рсрс - мощность сигнала на входе радиоприемника СРС- (ПРС-), Ссрс - коэффициент усиления антенны радиопередатчика СРС; (ПРС¡), Ссрц - коэффициент усиления антенны радиоприемника СРС- (ПРС)I - длина волны радиосигнала, VI - назначенное расстояние из матрицы V.
Пример
Постановка задачи: пусть имеется 15 шт. СРС, где для каждой СРС известны координаты, согласно рисунку 2, а также имеется 4 шт. ПРС (ретрансляторы). Все РС имеют круговую диаграмму направленности. Необходимо оптимально распределить мощность для передающих антенн СРС и ПРС, а также определить оптимальное месторасположение ПРС, где под оптимальностью понимается минимизация затраченной мощности для передатчиков. Требуется получить топологию радиосети, при которой передача от любой РС к другой может осуществляться посредством ретрансляции.
Рисунок 2. Расположение СРС на координатной сетки
При решении примера, более детально рассмотрим этап «Нахождение координат для ПРС, а также распределение мощности передающих антенн для ПРС», так как он представляет набольшую сложность, остальные этапы представим в виде результатов.
Этап «Построение матрицы Я», из координат, представленным из рисунка 2. Результат представлен на рисунке 3.
Рисунок 3. Матрица Я, без заполнения области ПРС
После получения матрицы Я, выполняем этап «Составления первичного соединения», где результатом является формирование групп G и составление матрицы V, результаты представлены на рисунке 4 и рисунке 5 соответственно.
- [СРС4; СРС5, СРС6] йЗ - [СРС?, СРСд. СРС?] = |СРСк>:СРС,,,ОРСп| = [СРСи. СРСы. СРС15]
Рисунок 4. Группа G 6 I 7 I 8 I 9 I 10 I И I 12 I 13
14
15
1 1 1 2 1 2 1,41 1,41 1,41 1,41 1.41 1,41 1,41 224 2.24
Рисунок 5. Матрица V
Этап «Нахождение координат для ПРС, а также распределение мощности передающих антенн для ПРС».
Согласно п. 1 алгоритма данного этапа, рассчитаем матрицу GD, в которой отображается кратчайшее расстояние между группами и задействованные на данных значениях расстояние СРС (ребро). Пересечения строк СРС и столбцы ПРС отставляем в матрице GD не заполненными, результат представлен на рисунке 6.
в2 вз 04 ПРС] ПРС: ПРСз ПРС:,
61 С14 Ь - СРС4 = 8.06 СРСз - СРС7 = 8.94 СРСз - СРСю = 17.03 СРС5 - СРС 1} =33,84
Э2 СРС2 - С'РС4 = 8,06 СРС;-СРС? = 10,3 СРСб - СРС 10 = 13 СРСи-СРС6 = 24,17
03 СРСз - СРС? = 8.94 СРСз - СРС? = 10.3 СРС я - СРС ш = 7.62 СРС 13 - СРС о = 29
в4 СРСз - СРС ю = 17,03 СРС6 -СРСю = 13 СРС9-СРСю = 7,62 СРС 13 - СРС 11 = 20.22
СРСз-СРС» = 33,84 СРС 13 - СРС( = 24.17 СРС» -СРС;. = 29 СРС»- СРСи = 20,22
Рисунок 6. Матрица GD, без заполнения ПРС
П. 2. Найдем первичный маршрут, согласно алгоритму получим результат, представленный как:
СРС9 - СРС10, СРС2- СРС4, СРС3 - СРС7, СРС13 - СРС12. Полученный маршрут запишем в матрицу МЯ.
П. 3. Выделим ПРС на каждое ребро. Заполняем матрицу принадлежности Р. Результат представлен на рисунке 7.
Рисунок 7. Матрица принадлежности Р Рассчитаем координаты ПРС1, согласно формуле (4), зная координаты для СРС ребра:
П.4. пересчитываем матрицу Я и GD с учетом внесенных ПРС,результатпредставлен на рисунке 8 и 9 соответственно..
СРС ПРС
о та О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 1 2 3 4
1 1 9.055 11 11,05 9.849 10.44 11,7 17,8 19,21 19.1 34,79 35,44 37 14.58 5,025 5,385 26.17728
г 1 1.414 8.062 10 10,05 9,487 10.2 11,4 17,2 18.6 18,44 33,84 34,48 36,06 14.09 4,031 5,099 25.30316
3 1 1.414 9 11.05 11 8.944 9.487 10.77 17.03 18.44 18.38 34.48 35.17 36.69 13.73 5.025 4.472 25.71478
4 9.055 3.062 9 2.236 2 9,434 10.82 11.18 13.15 14.32 13,6 26 26.57 28.23 11.6 4.031 3.062 18.11767
11 10 11.05 2.236 1 11.4 12.81 53.04 14 15.03 14.14 24.6 25.05 26.33 12.98 6.021 10.3 17.32772
6 11.05 10.05 11 2 1 10.63 12.04 ¡2.21 13 14.04 13.15 24.17 24.7 26.4 12.02 6.021 9.849 16.62077
7 9.849 9.487 8.944 9.434 11.4 10.63 1.414 2 8.602 10 10.3 29.07 30.02 Л,14 4.95 8.559 4.472 19.31968
8 10,44 10,2 9.487 10.82 12.81 12.04 1.414 1.414 8.944 50.3 10.77 30.02 31 32.06 5.148 9.708 5.099 20.15564
9 11,7 11,4 Ш.77 11.18 13.04 12.21 2 1.414 7.616 8.944 9.487 29 30,02 31.02 3.808 10.55 6.325 19.05912
10 17.8 17,2 17.03 13,1! 14 13 8.602 8.944 7.616 1.414 2 22.2 23,35 24.08 3.808 14.77 12.73 12.09339
11 19,21 18,6 18,44 14,32 15,03 14,04 10 10,3 8.944 1,414 1,414 21,38 22,56 23,19 5,148 16,1 14.14 11,28051
12 151.1 18.44 18.38 13,6 14,14 13,15 10.3 10,77 9.487 2 1.414 20,22 21,38 22.09 5.701 15.69 14.21 10,11187
13 34,79 33,84 34.48 26 24.6 24,17 29.07 30.02 29 22.2 21,38 20,22 1.414 2.236 25.54 29.9 31.58 10.11187
14 35,44 34.48 35.17 26,57 25,08 24,7 30,02 31 30.02 23.35 22,56 21,38 1.414 2.236 26.62 30.52 32,39 11.28051
15 37 36,06 36,69 28,23 26,53 26,4 31,14 32.06 31.02 24.08 23,19 22,09 2,236 2.236 27,5 32,13 33,73 12,01041
пгс 1 14,58 14,09 13,73 11,6 12,98 12,02 4,95 5,148 3,808 3,808 5,148 5,701 25,54 26,62 27,5 12,26 9,301 15,5
г 5.025 4.031 5.025 4.031 6.021 6.021 8.559 9,708 10.55 14.77 16.1 15.69 29.9 30.52 32.13 12.26 5.408 21.63331
3 5.385 5.099 4.472 8.062 10.3 9.849 4,472 5.099 6.325 12.73 14.14 14.21 31.58 32.39 33.73 9.301 5.408 22.2991
4 26.18 25,3 25.71 15.12 17,33 16.62 19.32 20.16 19.06 12.09 11.28 10.11 10.11 11.28 12.01 15.5 21.63 22.3
Рисунок 8. Матрица Я, с заполненой областью ПРС
С1 в2 вз 04 ПРС] ПРС: ПРСз ПРС4
01 СРО> - СРС4 = 8,06 СРСз - СРС7 = 8.94 СРСз - СРСю = 17,03 СРСз — СРС13 Щ33,84 СРСз = 13,73 СРС2 = 25.3
СРСз - СРС-1 = 8,06 СРС; — СРС? = 10,3 СРСб-СРСк = 13 СРСи-СРСб = 24,17 СРС4 = 11.6 СРС4 = 8,06 СРС« = 16,62
вз СРСз - СРС? = 8,94 СРС5 - СРС7 = 10.3 СРС» - СРС 10 = 7.62 СРС 13 - СРС.) = 29 СРС7 = 8.56 СРС9 = 19.06
СРС3 - СРСю = 17,03 СРСб-СРСю = 13 СРС<|-СРСю = 7,62 СРСи-СРСп - 20,22 СРСщ-14,77 СРС ю = 12,73
05 СРСз-СРС» - 33.84 СРС 13 - СРСс = 24.17 СРС 13-СРС9 = 29 СРС13 - СРС 12 - 20.22 СРС 13 = 25.54 СРС 13 -29.90 СРС 13 = 31.58
Рисунок 9. Матрица GD, с заполненой областью ПРС
А также составим вторичный маршрут по аналогии с п. 2. Результат представлен в виде:
СРС9 - СРС10, СРС2- СРС4, ПРС2 - СРС7, СРС13 - СРС12, который запишем в матрицу МЯ. Вид матрицы МЯ представлен на рисунке 10.
1. СРС9 - СРСю, СРС2- СРС4, СРСз - СРС7; СРС 13
2. СРС<> - СРСю, СРСз- СРС4: ПРС2 - СРС7, СРСВ
СРС12 СРС 12
Рисунок 10. Список МЯ, не удовлетворяющий условию совпадения последнего и
предпоследнего маршрута
П. 5. Сравниваем последний и предпоследний маршруты, видим, что ребра последнего и предпоследнего маршрута не совпадают, следовательно выполняем с п. 4 повторно.
После повторного выполнения п. 4 матрица GD не изменилась, а матрица МЯ пре дс та в ле на на рисунке 11.
1. СРС9 - СРСю, СРС2- СРС4; СРСз - СРС7, СРС13 - СРС 12
2. СРС9 - СРСю, СРС2- СРС4; ПРС2 - СРС7: СРС 13 - СРС 12
3. СРС9 - СРСю, СРС2- СРС4; ПРС2 - СРС7: СРС 13 - СРС 12
Рисунок 11. Список МЯ, удовлетворяющий условию совпадения последнего и
предпоследнего маршрута
Из рисунка 11 видим, что последний и предпоследний маршруты совпадают, следовательно переходим в п. 6, а последний маршрут (под номером 3) удаляем.
П. 6. Рассчитаем матрицу К по формулам (2, 3), результат представлен на рисунке 12.
СРС9 - СРСЮ СРС2 - СРС4 ПРС2-СРС7 СРС 13 - СРС 12
СРСЗ СРСЮ 1 0.944620396 0.889836431 0,376575744
СРС2 - СРС4 1,058626306 1 0.942004254 0,398652989
СРСЗ - СРС7 1Д23802044 1,061566332 1 0,423196591
СРС 13 - СРС 12 2,655508264 2.503447267 2,362967995 1
Рисунок 12. Матрица К
Видим, что в матрице К имеются элементы, значения которых превышают 2. На пересечении строки СРС13-СРС12 и столбца СРС9-СРС10, располагается максимальное значение матрицы К, тогда с ребра СРС9-СРС10 переносим одну ПРС на ребро СРС13-СРС12, изменения в матрицу Р, рассчитываем координаты ПРС в соответствии с формулой (4), далее выполняем с п. 4.
После выполнения некоторого количества итераций, значения в матрице К будут не превосходить 2, тогда переходим к выполнению п. 7. Все ПРС считаются стационарными, а матрицу Я пересчитываем с учетом новых СРС и их координатами.
После завершения данного этапа будут сформированы матрицы: V, Р, М - а также координаты ПРС и топология сети с связями между станциями, которые представлены на рисунках 13 - 17 соответственно.
СРС1 СРС2 СРСЗ СРС4 СРС5 СРС6 СРС7 СРС8 СРС9 СРСЮ СРС 11 СРС 12 СРС 13 СРС 14 СРС 15 ПРС1 ПРС2 ПРСЗ ПРС4
1 4,03 1 4,03 1 2 4,28 1,41 7,62 7,62 1,41 6,75 6,75 1,41 2Д4 6,75 4,28 4,28 6,75
Рисунок 13. Итоговая матрица V
Рисунок 14. Итоговая матрица Р
1. СРС9 - СРС ш, СРС:- СРС4; СРСз - СРС7, СРСп - СРС о
2. СРС9 - СРСю, СРС:- СРС4: ПРС: - СРС7, СРСв - СРС 12
3. СРС9 - СРСю, СРС:- СРС4: ПРС: - СРС7, СРС13 - СРС12
Рисунок 15. Итоговый список МЯ
Рисунок 16. Итоговые координаты ПРС
Рисунок 17. Полученная топология Этап «Построение матрицы А».
Результат построения матрицы А представлен на рисунке 18.
СРС ПРС
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 li 1 2 3 4
1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 0 0 0 Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
5 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
б 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
п 7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
о Б 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
9 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0
12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
с 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Рисунок 18. Матрица А
Этап «Нахождение мощности излучения сигналов от рассчитанного радиуса действия».
По условию задачи не были заданы: мощность сигнала на выходе радиопередатчика, мощность сигнала на входе радиоприемника, коэффициент усиления антенны радиопередатчика, коэффициент усиления антенны радиоприемника, а длина волны радиосигнала будет рассчитываться согласно [5, Ci 1-23"". Поэтому формулу (5) можно представить как произведение данных параметров и коэффициента (4*пи^)2, который можно вычислить и сравнить для каждой рассмотренной антенны.
Вывод
Результатом работы алгоритма является формирование связной радиосети, с минимизацией передаваемой мощности сигнала, где для каждой радиостанции будет назначаться необходимая мощность излучения, а также определены координаты подвижных mesh узлов. Как отмечалось во введении, что данный алгоритм является
дополнением к статье [5, c' 1-23"", где связующим элементом является формирование матрицы А. Стоит выделить, что этап данного алгоритма «Нахождение мощности излучения сигналов от рассчитанного радиуса действия» будет выполняться после
выполнения алгоритма из статьи [5, Ci 1-23"", так как согласно формуле (5), необходима длина волны, которую можно найти, зная частоту излучаемого сигнала. В численном примере не рассмотрен этап «Нахождение координат нераспределенных ПРС», так как нераспределенные ПРС отсутствуют. Поэтому переходим к этапу «Нахождение мощности излучения сигналов от рассчитанного радиуса действия». Для выполнения данного этапа необходима воспользоваться формулой 4, однако для расчета необходима длина
радиоволны, которая рассчитывается в [5, Ci 1-23"", где для расчета используется матрица А, полученная в данной работе. Остальные переменные используются исходя из типа антенны СРС.
Библиография
1. А. О. Иванов, А. А. Тужилин, Задача Штейнера на плоскости или плоские минимальные сети, Матем. сб., 1991, том 182, номер 12, с. 1813-1844.
2. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительна геометрия: Введение. М.: Мир, 1989, с. 478.
3. Н.В. Рыженко. САПР. Задача построения дерева Штейнера для этапа глобальной трассировки, с. 96-105 .
4. Кормен Т. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО, 2001, с. 958.
5. Демичев М.С., Гаипов К.Э., Демичева А.А., Нарожный А.И. Радиочастотное планирование радиосети с исключением интерференции радиоволн // Кибернетика и программирование. — 2017. - № 4, с.1-23.
6. Н. В. Рыженко. Алгоритм построения минимальных связывающих деревьев с дополнительными вершинами (деревьев Штейнера) для случая прямоугольной метрики. Труды ИМВС РАН, 2002, с. 48-61.
7. А. О. Иванов, А. А. Тужилин, "Геометрия минимальных сетей и одномерная проблема Плато", УМН, 47:2(284) (1992), с. 53-115.
