Формирование точностной модели механической цепи манипулятора Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Елисеев С.В., Хоменко А.П.

УДК 519.95

ФОРМИРОВАНИЕ ТОЧНОСТНОЙ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЦЕПИ МАНИПУЛЯТОРА

Под точностной моделью будем понимать уравнения, определяющие ошибки положения и ориентации звеньев, обусловленные первичными ошибками обобщенных координат и геометрических параметров системы. В отличие от известных методов построения точностных моделей механизмов [1,2], основанных на линеаризации функций положения, в настоящей статье будет выведен алгоритм, учитывающий также члены второго порядка малости и построенный на основе теории конечных поворотов [3].

Рассмотрим две конфигурации свободной от связей системы:

фД(ф 1,ф 2,...,ф к )т и ф'=ф+Дф, (1)

где

ДФ=(ДФ 1,Дфк )Т, ДФ1 =л< ДЦх +(1 )ДРх , ДЦх —ошибки обобщенных координат, Дрх — ошибки параметров.

В конфигурации ф 'ориентации систем координат, задаваемые векторами Т'к,..., Т'к, находятся из рекуррентных соотношений ТI = Т*, ФФ[

Т< = Т*, фф, = Т*' +Ф' +Т_* хФ' , Т0 = о, (2)

1 -Т*' Ф'

где Ф' = ё^' /2ДФ, (ё/,ф;).

Символ е введен для обозначения операции сложения конечных поворотов. В классической механике векторы конечных поворотов определяются для углов 0 < ф { < *. Для учета произвольных углов поворота в [4] рассмотрены необходимые частные случаи применения формулы.

Введем в неподвижной системе координат вектор р = йг. 1 / 2 конечного поворота, совмещающего системы координат в и в', такой, что Т'. = Т. еР..

В силу ассоциативности конечных поворотов будем иметь Ф .(е.,ф.)еР. = Р*. ФФ'..

Действительно, с одной стороны, Т'. = Т'.ФР. = Т*. ФФ . ФР., а с другой -

Т'. = Т' ФФ'. =Т ФР ФФ'..

I *. I *. *. I

Учитывая далее, что при повороте Р* вектор ё переходит в ё/, и применяя теорему Лурье о переставимости конечных поворотов, получим

р*. фф.(е.,ф'.)=ф.(е.,ф'.)фр*,

ëí Дф' ,

Ф'(ё ,ф'! ) = ф!.(в!. ,ф! ) д(ф' /2) ГДф'

сов

сов

;(ф'/2)

ё +0.

;(ф'/2)

(Дф3)ё.

(3)

Поскольку с точностью до малых второго порядка включительно справедливо тождество Ф'(ё ,ф'') = Ф'ФДФ', где

ДФ, =5' в1 Дф' / 2, в силу ассоциативности конечных поворотов будем иметь Р1 = ДФ . Ф Р* .

Используя в качестве характеристики точности ориентации системы координат в, вектор угла поворота 9 = и,%,, такой, что с точностью до малых второго порядка включительно 9' = 2Р' и, представляя 9,, в виде

9'=19'+ 29,, где 19, и 29, соответствуют

ошибкам первого и второго порядков малости, получим рекуррентные формулы прямого прохода для определения ошибок ориентации: 19=10*'+5'Дф'ё', 19о = 0,

2= 29*. +119*. х5.Дф, 29о = 0. (4)

При исследовании ошибок позиционирования дополнительно, в качестве первичных ошибок, будем учитывать неточность задания вектора 01 в осях г-й системы координат:

2

символом А об-

ОЛ (г }Д{ДOR }(г \ где

означен относительный дифференциал в осях подвижной системы координат. Для построения рекуррентных соотношений построим формулу, связывающую абсолютные и относительные дифференциалы с точностью до членов второго порядка малости включительно.

Пусть некоторый постоянный вектор р, поворачиваясь на угол Дг относительно вектора U, переходит в р'. Применяя формулу Род-рига, получим выражение для приращения вектора р:

Др = sin Дг( й хр)+(1 - cos Дг ){й х ( й х р ) j.

Полагая, что с точностью до малых второго порядка включительно приращение угла поворота, рассматриваемого как функция некоторого параметра t, есть частичная сумма дифференциалов Дг = 1 Дг + 2 Дг, и учитывая,

что вектор угла поворота 6 = 16 + 2 6 = Дг • U, для

составляющих Др разложением в ряд будем иметь:

1 Ар = 10хр, 2Ар = 20хр +110х

2

( 10хр).

Вводя далее переменный вектор а ^ ) = ах ^ ) ^ ) + а, ^ ) + а, ^ )к (t), заданный в подвижной системе координат с ортами г, ], к ,и вычисляя с точностью до малых второго

порядка его абсолютные дифференциалы, после преобразований получим:

1 да =1 да +19ха, 2да =2да +

+2 а х а +11 а х ( 1 а х а) + 1 а х 1 ~ а •

Дa — относительные дифференциалы, учитывающие изменения a только в подвижной системе координат.

Пусть в инерциальном пространстве задана точка Rm и известны проекции вектора

---(m)

OmRm на оси базиса sm = OmRm = const.

Требуется найти координаты этой точки в

-( o )

базисе so: OoRm . Как следует из рис. 1, в зависимости от направления прохода дерева цепи вектор OoRm определяется последовательным

применением рекуррентных формул прямого (вдоль пути от so к sm)

i = п +(1 "8г )ф/ ei , O0Rm = O0Om = O^m

(5)

или обратного (вдоль пути от sm к sn и т. д. к so)

OiR m =(1 -5 i > e +O~Rm (6)

прохода дерева цепи. Проецируя (5) на оси so или же (6) на оси п i -й системы координат, получим рекуррентные формулы для определения функций положения точки Rm в базовой системе. Кроме того, проецируя ( 5 ) на оси i-й системы координат или же (6) на оси m-й системы координат, образуем рекуррентные формулы для вычисления вектора O0 Rm в осях

связанной системы координат sm .

Применяя формулы (2), (3), (4) к соотношениям (5) и учитывая, что по определению первичных ошибок Дф i = 1 Дф, ДOiRi = 1ДO(R(,

запишем рекуррентные формулы прямого прохода для ошибок позиционирования:

Рис. 1. Цепочка систем координат.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

1 ДОоО' =1 ДОоО* +(1 -Д' ){19*'ф'в' +Дф'в' },

2 ДО оО' = 2 ДО оО *' +(1 -5' )•

29*( хфё + 219*' хфё + 19*' хДфё К

(7)

1 ДО Я = 1 ДО О + 1 9 х О Я + ДО Я ,

О ' О ' ' ' ' ' ' '

2ДООЯ. = 2ДООО. + 29 хО~Я +11 9 ( 1 9 хО~Я )х

о ' о ' ' '' 2 'V' ' ' /

х 1 9 х ДОЯ .

' ' '

Аналогичным образом при рассмотрении уравнений (6) получаются рекуррентные формулы обратного прохода для ошибки позиционирования и ориентации системы координат

1{*' 9т } = 1{ ' 9т }+5' Дф'ё , 1{ т 9т }= о.

2{*' 9т } = 2{ ' 9 т }+ 1 5' Дф'ё х 1{ ' 9т },

2{ " 9т }= о,

1 ДО* Я =(1 -5 )Дф ё + 5.ДФ.ё хОЯ + 1 ДОЯ ,

*' т V ' / *' ' 'Т'' ' т ' т '

1 ДО-Я = ДО~Я ,

т т т т

" -2аОЯ + 5. Дф.ё х 1_____

' т ' ' ' т

ДО* Я = 2ДОЯ +5 Дф ё х 1 ДО Я +

*' т ' т ' ' ' т

1 _

+ - 5Дф2 ё х(ё х О Я ).

г-, ' ' у ' 'ту

(8)

Далее, введем в рассмотрение дополнительный набор коэффициентов влияния второго порядка. Применяя правила дифференцирования векторов, связанных с подвижными системами координат, в контексте выбранного способа формализации кинематических цепей, получим следующие выражения:

с ы

dlk1 =

Г =

к!

К =

(1о)

Здесь ' 9т = 1{ ' 9т }+ 2{ ' 9т } — вектор

угла поворота системы координат в'т относительно вт, вычисляемый в предположении, что условно неподвижна (принята за стойку), ДО~Ят =1 ДО~Ят + 2 ДО~Ят. При реализации вычислительных алгоритмов уравнения (7) проецируются на оси систем координат вО или , а уравнения (8) на оси в* или вт .

Для выражения в замкнутой форме точностных характеристик как квадратичных функций ошибок обобщенных координат и параметров, расширим набор векторных коэффициентов влияния первого порядка аналогами вектора бесконечно малого поворота системы координат и вектора линейной ошибки позиционирования

=5{ООЯ' }/дрк точки Я{ по к-му параметру. Аналогично ак и Ьк имеют место формулы с' = С 5 ё

Ск Чи ,ц ки ц к ц к' (9)

¿к =С',цк {(1 -5ц к )ёц к + 5ц А к хОЦкЯ' }.

|СкС; при Цк < Ц1, [о при цк - Ц1, с к х при Ц к < Ц1, [с' х й1к при Цк >Ц 1,

\с'к ха1 при Цк <и 1, о при цк > и 1,

\а'к х с1 при и к < Ц1,

о при и к >ц 1, ск х Ь при Цк <и 1, [а/ х¿к при цк -и 1,

причем, как нетрудно убедиться, для данных коэффициентов справедливы следующие тождества:

1 . _ 1 . — . — . _ — . — . Г . 11 _ —. -I

ак1 = а1к ' Ск1 - С1к = Ск х С1 ' / к1 - П1к = Ск х ®1 '

Для определения характеристик точности в замкнутом виде поступим следующим образом. Раскладывая выражение для в ряд Тейлора и удерживая в нем члены не выше второго порядка малости, будем иметь

п

Ш (д + Дд, р + Др) = Ш (д,р) + Х(дШ /ддк )ДЦк +

т т п ( ЯЯ-?

1-Х дрк )ДРк X -к=1 к=1 1=1 I

тп

^ X

2 к=1 /=1

2

д2 Ш

'

дЦкдд,

дркдд,

^ 1 т п (

ДЦк Дд1 +1XX

2 к=1 I=1

рк ДЦ1

Кдркдр,)

ДркДр ,. (11)

Используя известные в кинематике твердого тела соотношения

о(а'С)) = ШТ Ш , ^(ё()) = ШТ ШЯ' + ШТ ШЯ',

нетрудно показать, что частные производные матрицы ориентации Ш1 выражаются через коэффициенты влияния первого и второго порядков:

Ш, =

к

к=1

д% / дцк = % 0(ак ), д% / дРк = % П(ск ),

52 % / ддк дд, =% {о(~к,)о(ак )}, д2%/дРкдд, = % )+п(~ )о(ск )}, 52 %/дРк дд, =и{п(4 ) + п(а/ )о(ск )},

(12)

где{ак }( ) Д а'к ит.д. Подставляя (10) в (11), найдем матрицу ориентации N. системы координат в'. относительно такую, что %(д + Дд, р + Др) = %(д, р. Она имеет вид

N. = Е + П(ак )Ддк П(ск )ДРк +

2 X X )+п(~ )} Ддк Дд,

2 к = 1 ,=1

2 X X ))} ДРк др,

2 к=1 ,=1

(13)

__Л ^ Л ^ 1 л ^ л ^

А =Х ак ддк +Е ск ДРк +1XX < ддк Дд, к=1 к=1 2 к=1 ,=1

1 тт 1 _ __

+1XX ск, ДРк ДР, +1 ЕЕ{к, + К }дРк дд,.

2 к=1 ,=1 2 к=1 ,=1

(15)

дад/ ддк = Ьк, ОЛ/ дРк = ¿к,

д2 ОД. / ддк дд, = Ь'к,, д2 ОД. / дРк дР, = ¿к,,

д2 оо Щ/ дРк дд, = йк,, и принимая во внимание первичные ошибки ДО. Я. , будем иметь

до0рг =до1я1 +XЬк Ддк +Е¿к Др

к=1 к=1 1 ____1 т т

1XX Ьк, ддк дд, +1XX ¿к, ДРк Др, + (16

2 к = 1 ,=1 2 к=1 ,=1

^XX йк, дРк дд, ^ ак Ддк +X ск дРк Д0.Щ.

)

+2 X XX {п(~) М~к )}ДРк Дд,.

Соответствующий матрице N. вектор конечного поворота в осях системы координат запишется формулой [5]

Р. (< )=( N. - N. )Т/ (1 + Ш1) .

Сохраняя в этом выражении члены второго порядка малости и заменяя при данном предположении вектор конечного поворота на вектор угла поворота, будем иметь 0() = ^ 1 - NТ )/ 2. Вычисляя N. и учитывая,

что

20(ак,) + 0(а/ )-П(ак )п(а/ ) =0(ак + ак ), 20(4 ) + 0(с/ )0(ск )-0(ск )0(с/ )=п(с. + с к ), (14) 20( 1>) + 0(а/ )0(ск ) -0(ск )0(а/ ) =0(£ + Л,к),

переходом от записи в проекциях к векторной записи получим окончательное выражение для ошибки ориентации:

Вывод уравнений для ошибок позиционирования гораздо проще. Складывая 00Я. в ряд

Тейлора до членов второго порядка малости, учитывая, что

Данные формулы могут использоваться для оценки характеристик точности, аттестации и калибровки геометрических параметров, статистического исследования уровня технологических ошибок, а также для решения в приращениях обратной задачи кинематики о положении звеньев механизма. Учет в них членов второго порядка дает эффект, например, при слишком больших длинах звеньев или же в вырожденных конфигурациях, т. е. тогда, когда диапазон изменения первичных ошибок не настолько мал, чтобы в его пределах функции положения и ориентации могли быть с достаточной степенью точности линеаризованы.

Рассмотрим далее автоматизированный способ получения оценок, позволяющих по заданной структуре свободной от связей ма-нипуляционной системы и предельным первичным ошибкам определять границы применимости той или иной (линейной или квадратичной) модели точности. Оценки будем строить на основе анализа нормы остаточного члена в соответствующем тейлоровском разложении.

Для простоты изложения, избегая излишних загромождений текста, исследуем только ошибки отработки обобщенных координат Дд; распространение полученных формул на случай ошибок параметров Др не составляет принципиальных трудностей.

В рамках линейной модели точности выражения для полных ошибок ориентации и позиционирования записываются следующим образом:

--Xак (д)Ддк +х

ДО 0 Щ =x Ьк (д )Ддк +р 1,

(17)

л

т

к=1 1=1

к=1

к=1

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

где остаточные члены

1 п п

%1 =1XX ак1 (д+ЛДд )ДЦк ДЦ1,

2 к=1 1=1

1 п п__

р1 =1XX Ьк1 (д+ЛДд )ДЦк ДЦ1,

2 к=11=1

Л = йшд{Х 1,Х2,...,Хп}, о<Х' < 1, ' = 1л, ||% 11| = О(||Дд||2), Цр,11| = О(||Дд||2), ||Дд|| = ^ДдТДд.

Для оценки остаточных членов построим оценки для норм коэффициентов влияния будем иметь [6]

г,ук Да 'к ,

n n II • II 1 n n || ||

Z Z ОИ I ^k 11-^ I = ö Z Z ak x a1\\\АУк 11 Aq, |,

k=1;=1 2 k=1;=1

1

1ZZ akx a AqkllAq,| -

2 t=i ,=i

(21)

bi

-t^ ( "8^ )+t^S,

(18)

Обозначим r* A

i * A OiKj

Oi R. . Из рекуррентных

формул OVkOt = OVkO„t+(1 "8i )фiei следует, что ||O^^i||< r* + Z(1 "8 j )|ф j |, где множество

= {j: sj G Pik }, Pik вект°р пути

,. Учитывая, что

из

индексов Мкк = вершины в вк

ф' = ЛЦX' +(1 )рX', |ф' <ф * \ где, ф * =(1 -Л' )|рх'| + Л тах{|д^ |,ЦХГ } получим окончательный вид для коэффициентов первого порядка:

Р|| <Рк ^ {(1 -5) +

+8,

(19)

V X(1 -5,>; )[.

Для коэффициентов второго порядка Ьк1 определим N1 = агдтт у1 , N 2 = агдтах у1 .Тогда Ьгы = ^^ х ЬN2, и'ддл\кя любой конфигурации д манипуляционной системы справедлива оценка Ць^Ц <Ри = аN -р^. Кроме того,

\ак]\ =а к, где а к =а^а 1 при ук < у1 и а к = о

при Ук - у1 .

Располагая данными оценками и учитывая, что соотношения (17) справедливы для произвольной конфигурации д, запишем:

1 п п

р 1 < 1 XXP!kl |ДЦк| |Дд11,

2 к=1 1=1

1 п п

И < 1 XXа'к!|ДЦк||ДЦ11, (2о)

2 к=1 1=1

Последнюю оценку можно легко расписать через структурные коэффициенты. Действительно, так как

- Z Z ||ak IK 11Aqk 11^1" ZI|ak I Aqk,

k = 1 1=1 k = 1

то в силу (17) получим

И -1 iZZt^ ti,v,Svk Svi |Aqk||Aq| "Zti^S^k Aqk j. (22)

4 (k = 11 = 1 k=1 J

В рамках квадратичной модели точности выражения для полных ошибок ориентации и позиционирования записываются следующим образом:

_ n 1 n n

0 i =Z ak Aqk + - ZZ aki Aqk Aq, +X?,(23)

k=1 2 k=1 1=1 _ n __1 n n _

AO 0 R =Z bk Aqk + - ZZ b'u Aqk Aq, +p f,

k=1 2 k=1 1 = 1

где остаточные члены

1 n n n

X2 —ZZZ akis (q +AAq)Aqk Aq, Aqs,

6 1 = 1 k = 1 s = 1 1 n n n

p2 =rZZZ bk1s (q+AAq )Aqk Aq1 Aqs,

6 1 = 1 k = 1 s = 1

IX2II = O(||Aq||3), ||p2|| = O(||Aq||3) .

Векторные коэффициенты влияния третьего порядка bk1s можно определить следующим образом:

Ks = aN 1 x(aN 2 x b'N 3),

N1 = argminvi, N2 = argmidvi. N3 = argmax,

i = 1, k, s i = 1, k, s i = 1, k, s

mid(a,b,c) есть среднее из трех чисел.

Найдем далее по (10) скалярные коэффициенты ^ks =а N1« N 2 ßN 3 и «'us = 0 пРи

(v1 ^ vs )v(v1 < vs - vk ),

а k1s i,v1 С i,vk С i,v. 8 v1 8 vk 8 v. - в противном случае.

Учитывая, что для произвольной конфигурации q справедливо||b^^|| - ß'k1s и|- а 1k1s, получим

II II 1 n n n

pi2 Z Z Z ßks |Aqk |lAq111Aqs |,

6 k=1 1=1 s=1 II II 1 n n n

X2 -1Z Z Z а ^s \Aqk ||Aq111Aqs |.

6 k=1 1=1 s=1

Аналогичным способом можно не только построить оценки норм остаточных членов, но и непосредственные оценки норм ошибок позиционирования и ориентации. На основании теоремы Лагранжа, распространенной на многомерный случай, будем иметь

оо оо

_ л

0 =X ак (д+лде)ддк,

к = 1

ДО 0 яи = £ Ьк (д+ЛД9)Ддк.

(24)

к=1

Тогда, как следует из оценок норм коэффициентов первого порядка, для произвольной конфигурации д манипуляционной систе-

мы

л

'к\Ддк I

до0 Щ

л

<Xp,k |Ддк|. (25)

Возьмем в качестве примера манипулятор с п вращательными кинематическими парами и л ненулевыми звеньями, формализованная схема замещения которого показана на рис.2.

В данном случае Ф 2. = Я. , Ф 2. = ,г , ^2.-1 =1, ^2. = 0 5 2. =1, Х 2.-1 = .

I, V

(1,3,5,...,2л-1) ,ц=(2,4,...,л) ,

матрица путей — нижняя треугольная матрица с единичными элементами. Рассматривается точность позиционирования и ориентации схвата манипулятора, ющенного в точку О2п. Учитывая, что в данном примере

ак = е2 к-1, Ьк = е2 к-1 х 0 2 к-1 0 2 л , получим следующую оценку для коэффициентов первого порядка:

__л _

М <Рк =£ ,: , к =1, л.

. = к

Пусть приводы всех кинематических пар одинакового типа такие, что шах|Дд. I = Д.

■Т-, . =1, л 1 1

Тогда, расписывая для данной структуры выражения (23), получим ||р< Д25"/2 , где

л

5 " = ]Г ( 2 к -1)р к.

к=1

л л л л

Учитывая, что XPк = XX, = Xк,к и, что

к = 1 к = 1. = к к = 1

лл

Xкрк =Xкх(к +1),к /2, получим окончатель-

к = 1 к = 1 ный вид оценок

р 1 <Д2 IX к2 ,к /2, Щ1 < Д2 л(л -1)/4. (26)

V к = 1 у/

Далее, расписывая для данной структуры выражения (24) будем иметь ||р11| < Д3 5"'/6, где,

как нетрудно показать непосредственными

л

вычислениями, 5= £((2к -1)(к -1) + к2}рк.

к=1

Учитывая, что

л л л л

X к2 р к =XX к2 ,к =! к( к +1)( 2 к +1) ,к/6,

к = 1 к = 1. = к к = 1

после несложных преобразований запишем окончательный вид оценок:

р 2 <д3

^к3,к ^6,

(27)

||х2 < Д3л(л-1)(2т-1)/36.

Кроме того, из (25) нетрудно получить

лл

<д£рк =д| Xк,к

0 2 „ < Дл,

О 0 О 2 л

(28)

Введенные оценки не зависят от конфигурации манипуляционной системы и определяются лишь ее структурой и размерами предельных первичных ошибок. Таким образом, они являются интегральными характеристиками, использование которых особенно важна на ранних стадиях проектирования манипулятора. Сам процесс вычисления структурных коэффициентов а и р по заданной кинематической схеме достаточно просто алгоритмизируется и не требует значительных ресурсов памяти и времени ЭВМ.

При алгоритмизации ряда задач, таких как линеаризация уравнений движения в окрестности программной траектории, расчет |стандартных режимов и анализ свободных колебаний, построение модели чувствительности для идентификации параметров и т. д., требуется предварительно провести линеаризацию кинематических уравнений. Опреде-

Рис. 2. Механическая цепь с вращательными парами V класса.

к = 1

к=1

2.

к = 1

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

лим с этой целью ошибки скоростей и ускорений систем координат, обусловленные первичными ошибками обобщенных координат скоростей и ускорений, а такжо геометрических параметров цепи.

Как и прежде, будем оперировать с деревом систем координат, свободной от связей системы, предполагая заданным в некоторой системе координат вт постоянный вектор и

д{Ют } = Д{! Ют } + 5.. Дф. е. + 5. Дф. е. х

Дт Ют = 0,

Д{ Пт } = Д{ ! Пт } +(1 -5 )Дфе + 5.. {Дф.. е х

хО, +ф г дФг ех (ех Окт)+ф.. ех д{°Ж}+ + ДфД х! }, ДтУ^ = 0,

Д{ Ёт } = Д{ ! Б т } + 5 {Д(.. е + Дф. е х ! 1 т +

ОтЯт и относя его к первичным ошибкам +Дф.е. х. Ют +фхд{; Ют } + ф. ДфД. х(е. х. Ют )},

ДОХ.

Вычисляя на каждом шаге рекуррентных соотношений: абсолютные дифференциалы кинематических характеристик учтем, что при прямом проходе система координат вк условно неподвижна, - относительное движение, а при обратном проходе система координат вк условно принимается за неподвижную, система координат совершает переносное движение, вк - относительное движение. В результате применения правил дифференцирования векторов, связанных с подвижными системами координат, получим после преобразований рекуррентные формулы

ДЮ =ДЮг1 +5. Дере. +5.0 хер.ё., 5Ю = 0,

ДУО. =

= дУо„ +(1 ){ДфА + (Дюш ф.. + Ю дфг +ёЯ! Ф.. )х хё. +Ю х(0п. хф е )}, ДУЯ. = ДУО. +ДЮ хО.Я, +Ю х(0. хО~Ё~) +

- ^ 1= 0, Д{, } = Д{ Шт } + (1 -5. )Дфе +

+5. {(Дф. -ф г2 дф .)х (е х ОЯт ) +ф. е

хДО~Ёт +(ф.Дф).)[е х(е. + ОЁт)]+ +ф2е х(е. хДО.Ят) + дф.е х +

(30)

+ 2Дфе хУт + афф.е. хД.Ут + + 2ф.дф.е. х(е. х' %т),

для обратного (вдоль пути от 8ш к и т. д. к 8С) прохода. Здесь

Дф. =л.ддх.; Дф. =л. дд)х.;

+Ю х ДО. Я., ДУ0 = 0,

ДБ. = дё™ +5. {Ю х(0,.хф е)+ (29)

+(0,.ф. + дЮ ф. + Юг. дф.)х е +дф. е}, д 10 = 0

дШО!=дШО„ +(1 -5. ){Ю х[ю х(ёш хфД )] + +(Дб ф + б . Дф + 2ДЮ . ф + 2 Ю . Дф. +9 ф )х е +

\ Л т I Л1 ~ I Л т I Л1 ~ I Л т I у I

+(Бл. ф . + Щи ф . )х(9л. х ё. )+(ДЮ ф . + Ю Дф . )х

х(юЛ. х е. )+юЛ. х(ДюЛ. хФ е )+Дф е}, ДШ. =ДШ +ДБ хОЁ +Б. х(0 хО Щ ) + ДЮ х

К1 О1 I II I \ I II у I

х (ю х О. ) + ю х (ДЮ. х О. ) + Ю. х [ДЮ. х

х (9 х о Щ )] + б х Да к +ю х (ю х ДО К ),

\ г г г /I г II г \ I г г /'

дШ0 = 0,

для прямого (вдоль пути от 80 к эш) прохода и

дф . = л. дд х. +(1 - л. )др х.;0., до. Ят

линейные составляющие выражений (15),(16).

При реализации вычислительных алгоритмов проецированием (29) на оси системы координат 8о или же (30) на оси системы координат получим рекуррентные формулы для определения ошибок скоростей и ускорений в осях базовой системы координат. Проецируя (29) на оси системы координат 81 или же (30) на оси системы координат эш, найдем формулы для тех же величин в осях связанной системы координат 8ш. Таким образом, имеем четыре типа, удобных для программирования рекуррентных соотношений.

Вычисляя далее абсолютные дифференциалы выражений с учетом свойств коэффициентов влияния первого и второго порядков, применением правил дифференцирования векторов, связанных с подвижными системами координат, получим выражения, характеризующие ошибки скоростей и ускорений как линейные формы ошибок обобщенных координат, скоростей, ускорений, а также геометрических параметров цепи [6]:

n n n n n _

A®i =Z ak Aq k +ZZ ak1q 1 Aqk +ZZ fk1q 1 APk ,

k=1 k=1 1=1 k=1 1 = 1 n __n n __m n

AVi =Z bkAq k +ZZ ь'иЯ 1 A?k +ZZ uki<j 1 APk, +

+ю. x AO R ,

i i i

n nn

Ae i =Z ak A(b +ZZ(ak + a1k )q 1Aq k

k=1 k = 1 1=1 n f n л n

-ZlZ ak1q 1 +ZZ ^ s[Aqk + (31)

k=1 i1=1 1=1 s=1 J

m Г n _ n n _

+ZiZ+ZZfLqqs jAPk,

k=1 (1=1 1 = 1 s=1 J

_ n __n n _

AWi =Zbk Aqk + 2ZZAqk +

k = 1 k=1 1=1 n f n __л n _

+ZlZbkjq1 +ZZbksq 1qs \Aqk +

k = 1 (1=1 1=1 s=1 J

+si xAO'R' +Ш'. x(roi. xAO'R' )-

mn

ZiZ "¿q 1+ZZ ukisq 1q s \APk.

матриц

ev ещ ev rj3xn

i i

8q 8q 8q

e RJ

вычисляются с помощью коэффициентов влияния первого и второго порядков следующим образом:

0, (v1 > vs )v(v1 - vs - vk ),

a x aks = a x(ak x ^ ), v1 - vk - vs , ak x a!s = ak x(a1! x as! ) , vk - v1 - vs , a (v1 > vs )v(v1 < vs k ), a! x fks = a! x(Ck x ^ ), v1 k - vs , (32)

Ck x a1!s = Ck x(a x ^ ) , Ц k - v1 - vs ,

x bl + a1 x ^ , v1 - vs ,

iaks x ^ + ^ x К , v1 > vs , 1 fkl x К +a x Uks , v1 - vs ,

f =

k1s

Альтернативная форма записи Д Ю, Д V , Дё', Дпомимо введенных ранее матричных аналогов скоростей Л1 В, предусматривает использование функциональных

и

дю де' дУ' дШ, л3хт ^

——,—-,—-,-- е Я , столбцы которых

дд дд др др

определяются по (31) и являются комбинациями векторных коэффициентов влияния, образующими соответствующие формы обобщенных скоростей и ускорений.

Введенныев (31) векторные коэффициенты влияния третьего порядка

Д^ - Д^ Ь' Д^ Д^

ак1в Д . ' 1к1в Д . ' Ьк1в Д . ' иЫв Д . '

~дЦк ~дрк ~дЦк ~дрк

Ь' =

uk1s

, — , _ , _ , _ ,

[4 х Ь' + ав х , VI - ^.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Бруевич И.Г. Точность механизмов. - М.: ГИИТЛ, 1946. - 342 с.

2. Овакимов А.Г. Аналог скоростей и ускорений пространственных механизмов с несколькими степенями свободы // Машиностроение. - 1969. - №6. - С. 51-58.

3. Лурье А.И. Аналитическая механика. Гос. изд-во физ.-мат. литературы. Москва: 1961. - 823 с.

4. Кирпичников С.И., Новоселов В.С. Математические аспекты кинематики твердого тела. - Л. Изд-во ЛГУ. - 1986. - 252с.

5. Виттебург И. Динамика систем твердых тел. - М. Мир. 198о. - 224 с.

6. Елисеев С.В. Построение математических моделей многозвенных шарнирных цепей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - №3(7). Иркутск. ИрГУПС. - 2оо5. - С. 6-13.

k=1

k=1 1=1

nn

k=1 i 1=1

1=1 s =1