CC BY
35ФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ СРЕДСТВАМИ ИНТЕРАКТИВНЫХ ГРАФ-СХЕМ В СРЕДНЕЙ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ1
Грушевский Сергей Павлович,
доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных образовательных технологий, декан факультета математики и компьютерных наук ФГБОУ «Кубанский государственный университет», г. Краснодар, e-mail: spg@kubsu.ru
Иванова Ольга Владимировна,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры информационных образовательных технологий факультета математики и компьютерных наук ФГБОУ «Кубанский государственный университет», г. Краснодар, e-mail: oviva75@mail.ru
В СТАТЬЕ ОПИСЫВАЕТСЯ ПРОБЛЕМА ФОРМИРОВАНИЯ СИСТЕМНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ. АВТОРЫ ПРЕДЛАГАЮТ ЕЁ РЕШИТЬ ЧЕРЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕРАКТИВНЫХ ГРАФ-СХЕМ. ПРЕДСТАВЛЕНЫ: МОДЕЛЬ ТЕХНОЛОГИИ ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕРАКТИВНЫХ ГРАФ-СХЕМ С ОПИСАНИЕМ КАЖДОГО БЛОКА ПОСТРОЕНИЯ, КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ИНТЕРАКТИВНЫХ ГРАФ-СХЕМ.
• системность знаний • интерактивные граф-схемы • математика • теория вероятностей
1 Статья поддерж екта №1 ние инт по мате образова! напьногс ваций»
В настоящее время ФГОСы предъявляют как никогда высокие требования к среднему и высшему образованию. Одна из задач преподавателей вузов и учителей — управление самостоятельной деятельностью обучающихся: школьников и студентов [2]. Важным условием правильной организации самостоятельной деятельности обучающихся является выбор рациональных методов и приёмов обучения для качественного овладения обучающимися системой знаний.
Проблемой системности знаний занимались ещё до нашей эры, она выражалась в аристотелевском положении: «Целое — больше суммы его частей». В середине прошлого столетия австрийский биолог Людвиг фон _ Берталанфи, первооснователь обобщённой системой концепции, совершенно чётко указал: «Порядок или организация у целого или системы выше,
подготовлена при финансовой <е РФФИ в рамках научного про-5-413-230033/18 «Конструирова-ерактивной обучающей среды матике для общего и высшего ния как основы создания регио-кластера педагогических инно-
чем у изолированных частей», что отразилось и в сфере образования. Отдельными методическими аспектами формирования системности математических знаний занимались многие учёные: Н.Я. Виленкин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Коля-гин, Г.И. Саранцев, и др. На наш взгляд, абсолютно точно охарактеризовал проблему формирования системности знаний Б.П. Эр-дниев [1]. Пюрвя Мучкаевич писал, что при условии одних и тех же программ и учебников возникают разные «системы знаний с разной устойчивостью к сохранению во времени, с разным уровнем обобщённости и с разными потенциями к саморазвитию (отвлекаясь от способностей учащихся)» [1]. К сожалению, очень часто знания, получаемые как школьниками, так и студентами, могут не обрести системного качества и оставаться неорганизованным набором сведений, вследствие чего память обучающихся переполняется осколками разрозненных знаний. Учёные и методисты утверждают, что качество системности математических знаний (в рамках данной статьи не берём
Нонет тодш, прошы
во внимание способность обучающихся) зависит:
• от порядка расположения изучаемых тем и их представления в учебно-методических пособиях, учебниках;
• от структуры предложенных задач на уроке или на практическом занятии и наличия связей между задачами;
• от плана урока или лекции;
• от логики объяснений педагога, от используемых им приёмов и методов.
Советский математик Александр Яковлевич Хинчин указывает на другую причину отсутствия системности математических знаний, а именно — расплывчатое усвоение понятий [3]. Заметим при этом, что одним из методических приёмов формирования математических понятий, представляющих ядро математических знаний, является акцентирование на содержательно-логических связях знаний. Например, при изучении элементов теории вероятностей, в частности при решении следующей задачи на нахождение вероятностей некоторого события:
Задача. В квадрат со стороной 6 см случайным образом вбрасывается точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется в правой верхней четверти квадрата или не далее чем в 1 см от центра квадрата (рис. 1).
Только в одной такой задаче используются следующие понятия: 1) геометрическая вероятность, 2) совместные события, 3) сложение совместных событий, 4) объединение множеств, 5) площадь квадрата и круга. Определение каждого из представленных здесь понятий обучающиеся знают, но те самые «мостики» перехода от объединения множеств, к сложению совместных событий, а затем к нахождению геометрической вероятности они не замечают; но именно при раскрытии этих «мостиков» и формируется системность знаний. Демонстрацию «мостиков» или, по-другому, представление в виде содержательно-логических связях знаний мы видим в использовании интерактивных граф-схем. Активно пользовался схемами В.Ф. Шаталов, отмечая, что «они значительно упрощают процесс восприятия за счёт компоновки материалов во взаимосвязанные блоки» [8]. В своё время известный этнолог и философ Л.Н. Гумилёв писал, что «схема — это скелет работы, без которого она превращается в медузу...» [9].
Под понятием граф-схемы мы понимаем такие схемно-знаковые модели представления учебной информации, которые представляют собой связанные стрелками или отрезками блоки конкретных понятий [4]. Интерактивные граф-схемы (ИГС) — это электронные образовательные ресурсы (ЭОР) с поэтапным представлением учебной информации в виде граф-схем:
• с гиперссылками на определения понятий, которые обучающийся должен запомнить, и /или примеры и задачи, которые позволяют усвоить указанное понятие;
• с логическими связями между ними в виде стрелок.
Так как ИГС — это ЭОР, то при их построении необходимо соблюдать ряд дидактических принципов: принцип наглядности, принцип целенаправленности, принцип ведущей роли теоретических знаний, принцип творческой роли учителя (преподавателя) в компьютерном обучении, принцип доступности, принцип открытой системы, — которые мы разработали и описали для интерактивных интеллект-карт в статье [5]. На рис. 2 представлена ИГС по разделу «Случайные величины» по теории вероятностей, состоящая из 10 понятий. Стрелками показаны содержательно-логические связи, а каждый прямоугольник, в котором указано понятие, — гиперссылка на определённое понятие, на примеры и задачи с указанным понятием.
На первый взгляд, возможно, покажется, что на рис. 2 достаточно простая схема, но изучение случайных величин в высшей школе без её использования показало, что студенты не видели и не придавали значений тому, что:
• под величиной понимают свойства объектов, которые допускают сравнение и которым можно поставить в соответствие некоторую количественную характеристику;
ГШ
Рис. 1. Операции над событиями в виде диаграмм Эйлера-Венна
• в курсе школьной математики имели дело в основном с переменными величинами, а с постоянными — в основном курсе физики;
• случайная величина — это в первую очередь переменная величина;
• функция распределения случайных величин — это тоже способ задания случайных величин, но любых типов;
• плотность распределения случайных величин — это тоже способ задания случайных величин, но только для непрерывных.
На рис. 3 представлена ИГС с понятиями и их определениями в символьном виде по одному из разделов дискретной математики, что способствует формированию системности математических знаний [7]: исходным понятием является понятие декартова произведения множеств, соответствие — подмножество декартова произведения множеств, бинарные отношения — частный случай соответствия, заданного на одном и том же множестве, отображение и функция — частный случай соответствия при единственном образе или вовсе без него.
Технология построения ИГС (рис. 4) похожа на технологию построения скрайб-презен-тации [6]: первый блок — сбор математической информации и её структурирование для аудиторного занятия; второй блок — создание граф-схемы: выделение главных понятий структурированной математической информации и связи между ними; третий блок — выбор программного обеспечения для отражения интерактивности граф-схемы; четвёртый блок — описание алгоритма проведения аудиторного занятия с ИГС.
Рассмотрим каждый блок на примере построения ИГС «Классификация событий и действия над ними» (рис. 5) раздела «Случайные события» учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для будущих социологов.
Блок 1. Структурирование учебной информации. Составляется лекция по заданной теме, обычно в линейной форме записи и иерархической последовательности с определениями понятий и примерами на эти понятия. Примеры необходимо подобрать такие, которые могут вызвать эмоции для активизации работы мозга. Например, после определения понятий невозможного, достоверного и случайного событий можно привести следующие примеры событий, определив, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:
• из 25 студентов в группе двое справляют день рождения: а) 30 января; б) 30 февраля;
• сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферное давление, при этом: а) вода в кастрюле закипела при 1 = 800С; б) когда температура упала до -50С, вода в луже замёрзла;
• измерены длины сторон треугольника, при это оказалось, что длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.
Блок 2. Создание граф-схемы. В составленной лекции выделяется главная мысль, выписываются ключевые понятия, сопоставляются стрелками логические связи между ними. Например, на рис. 1 ключевыми понятиями являются случайная величина, дискретная и непрерывная величины; на рис. 3 ключевыми понятиями являются
Рис. 2. Граф-схема «Случайные величины»
Нонет тодш, прошы
/<=ЛхВ = {(х,у)\хеА у е В}^
Инъективна (но) О каждый у е В имеет не более одного прообраза х е А Сюрьективна (но) О каждый у е В имеет не менее одного прообраза х е А Биективна (но) О каждый у е В имеет единственный прообраз х е А
Рис. 3. Граф-схема «Соответствия
соответствие и бинарное отношение; на рис. 5 ключевыми понятиями являются события и случайные события. Затем для уточнения понятий добавляются ещё понятия, которые завершают основную цель лекции. При создании граф-схемы желательно использовать
цвета, поскольку у каждого цвета разная скорость восприятия [10].
Блок 3. Цифровая оболочка. На этом этапе выбирается программное обеспечение, чтобы придать графе-схеме интерактивность.
Рис. 4. Модель технологии построения интерактивной граф-схемы
С^ПОЛНАЯ ГРУППА
<P(A)=f
Рис. 5. Классификация событий и действия над ними
Вполне подходит для ИГС MS PowerPoint или SMART Notebook, главное условие — чтобы была возможность создавать гиперссылки и поэтапное отражение граф-схемы. Гиперссылки необходимы для открытия различных ассоциаций, визуальных образов, примеров конкретных понятий, отражённых в граф-схеме. Например, событию «Мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня» можно продемонстрировать противоположное событие. Это новое событие можно представить в виде двух событий А и В. А: «Мою новую соседку по парте зовут Аня» и В: «Мою новую соседку по парте зовут Таня». Исходное событие А v В, а противоположное ему событие А v В = А л В. Таким образом получим следующее противоположное событие: «Мою новую соседку по парте зовут не Таня и не Аня». В каждом примере желательно отражать такие примеры, в которых имеются различные связи с другими понятиями.
Блок 4. Организация обучения. Лекция с использованием ИГС проводится с помощью интерактивной доски: вначале открывается ключевое понятие, приводятся определение и примеры, затем постепенно открываются остальные понятия, логически связанные с ключевыми. После знакомства со всеми понятиями, когда перед обучающимися откроется вся граф-схема,
разбираются более сложные задания с указанными понятиями. При подведении итогов лекционного занятия вновь необходимо обратиться к ИГС, к гиперссылкам ключевых понятий.
Нами было составлено несколько ИГС для лекционных занятий по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»: «Классификация событий и действия над ними», «Различные подходы к определению вероятности», «Основные теоремы теории вероятностей», «Повторные независимые испытания», «Случайные величины», «Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин», «Функции и плотности распределения вероятностей случайных величин», «Основы измерения и количественного описания данных». Некоторые из них вначале были представлены в учебно-методическом пособии [11], а затем им придавалась цифровая оболочка. Для того чтобы ИГС способствовали формированию системности математических знаний, необходимо:
1) использовать ИГС как при объяснении нового учебного материала, так и при его закреплении;
2) регулярно направлять обучающих на чтение самих ИГС в случае возникновения вопросов или ошибок при ответах и при решении задач;
ноне uli и, твдили, првеиты
3) предлагать обучающимся самостоятельно составлять ИГС в специально заготовленных шаблонах средствами html;
4) при подведении итогов занятия пользоваться ИГС;
5) в каждом модуле дисциплины иметь такие ИГС. □
Литература
1. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрепление дидактических единиц в обучении математике: книгадляучителя/П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев. — М.: Просвещение, 1986. — 255 с.
2. Закон 273-Ф3 «Об образовании в РФ» 2017 / Глава V / Статья 48. URL: https:// www.assessor.ru/zakon/273-fz-zakon-ob-obrazovanii-2013/48/ (Дата обращения: 04.0818).
3. Хаджарова И.М. Комплексный подход к обучению математике в основной школе как фактор формирования системностью знаний учащихся. автореф. дис.... канд. пед. наук. — Саранск, 2015. — 18 с.
4. Грушевский С.П., Иванова О.В. Крупномодульные опоры как средство повышения самостоятельности студентов при обучении высшей математике // Историческая и социально-образовательная мысль. Том. 9. — 2017. — № 2. — Часть 2. — C. 217-228.
5. Иванова О.В. Интерактивные интеллект-карты как средство обобщения учебной информации// Школьные технологии. — 2018. — № 1. — С. 46-58.
6. Иванова О.В. Скрайбинг как средство модульной визуализации при обучении математическим дисциплинам в средней и высшей школе // Школьные технологии. — 2018. — № 4. — C. 72-80.
7. Гоушевский С.П., Иванова О.В., Остапенко А.А. Модульная визуализация учебной информации в профессиональном образовании: Монография. — М.: НИИ школьных технологий, 2017. — 200 с.
8. Шаталов В.Ф. Педагогическая проза. — Архангельск: Сев.Зап.кн.изд-во, 1990. — 383 с.
9. Гумилёв Л.Н. Поиски вымышленного царства. — М.: ГРВЛ, 1970. — 432 с.
10. Основные принципы работы интеллект-карт. URL: http://www.cfin.ru/management/ controlling/mind_map. shtml.
11. Высшая математика в схемах и таблицах: учеб.-метод. пособие / С.П. Грушевский, О.В. Засядко, О.В. Иванова, О.В. Мороз. — Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 2016.
References
1. Ehrdniev P.M., Ehrdniev B.P. Ukreplenie di-dakticheskih edinic v obuchenii matematike: kniga dlya uchitelya / P.M. Erdniev, B.P. Erd-niev. — M.: Prosveshchenie, 1986. — 255 s.
2. Zakon 273-FZ «Ob obrazovanii v RF» 2017 / Glava V / Stat'ya 48. URL: https://www. assessor.ru/zakon/273-fz-zakon-obobra-zovanii-2013/48/ (Data obrashcheniya: 04.0818).
3. Hadzharova I.M. Kompleksnyj podhod k obucheniyu matematike v osnovnoj shkole kak faktor formirovaniya sistemnost'yu zna-nij uchashchihsya. avtoref. dis.... kand. ped. nauk. — Saransk, 2015. — 18 s.
4. Grushevskij S.P., Ivanova O.V. Krup-nomodul'nye opory kak sredstvo povysheni-ya samostoyatel'nosti studentov pri obuche-nii vysshej matematike // Istoricheskaya i social'no-obrazovatel'naya mysl'. Tom. 9. — 2017. — № 2. — CHast' 2. — C. 217-228.
5. Ivanova O.V. Interaktivnye intellektkarty kak sredstvo obobshcheniya uchebnoj informa-cii// SHkol'nye tekhnologii. — 2018. — № 1. — S. 46-58.
6. Ivanova O.V. Skrajbing kak sredstvo modul'noj vizualizacii pri obuchenii matem-aticheskim disciplinam v srednej i vysshej shkole // SHkol'nye tekhnologii. — 2018. — № 4. — C. 72-80.
7. Grushevskij S.P., Ivanova O.V, Ostap-enko A.A. Modul'naya vizualizaciya uchebnoj informacii v professional'nom obrazovanii: Monografiya. — M.: NII shkol'nyh tekhnologij, 2017. — 200 s.
8. Shatalov V.F. Pedagogicheskaya proza. — Arhangel'sk: Sev. Zap. kn. izd-vo, 1990. — 383 s.
9. Gumilyov L.N. Poiski vymyshlennogo carst-va. — M.: GRVL, 1970. — 432 s.
10. Osnovnye principy raboty intellektkart. URL: http://www.cfin.ru/management/con-trolling/mind_map.shtml.
11. Vysshaya matematika v skhemah i tablicah: ucheb.-metod. posobie / S.P. Grushevskij, O.V. Zasyadko, O.V. Ivanova, O.V. Mo-roz. — Krasnodar: Kubanskij gos. un-t, 2016.
