Формирование самоорганизующихся карт Кохонена с применением эволюционного подхода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция «Математическое моделирование управления и оптимизации»

УДК 519.68

Д. В. Малухин Научный руководитель - В. В. Тынченко Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

ФОРМИРОВАНИЕ САМООРГАНИЗУЮЩИХСЯ КАРТ КОХОНЕНА С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИОННОГО ПОДХОДА

Рассматривается применение эволюционного подхода для формирования набора карт Кохонена, отображающего зависимости между параметрами системы с достаточной степенью достоверности. Предлагается генетический алгоритм расчета коэффициента корреляционных связей набора карт Кохонена.

При построении самоорганизующихся карт Кохонена нередки случаи, когда карты отображают зависимости между параметрами системы некорректно. Этот факт вводит аналитика в заблуждение и дает ему ложные представления о зависимостях, существующих между параметрами.

Для оценки корректности отображения зависимостей необходимо уметь рассчитывать коэффициент связи между картами определённого набора. Данный коэффициент позволит нам сравнивать два набора карт между собой и находить среднее значение связей между картами, соответствующее оптимальному набору.

В данной работе предлагается способ расчета коэффициента связи C¡J между картами i и , определённого набора. Коэффициент С, представляет собой вектор, состоящий из двух величин, описывающих силу положительной и отрицательной связей: С, =(+; Я):

' ХУ, ¡; УРХУ,,)

где отрицательный косинус равен нулю.

|СОБ^УРху ,■; УРху ,))

Я=£| СО8(ху,,. ; УРху ,„

2а2 (()

(с

12, С(ы_1)ы), где Ж =

т! (т - 1)т 2(т - 2)! = 2

количество параметров системы.

После нескольких итераций мы получим не-

С

к, С,,

сколько векторов уо12,...,с,И-1)И

). Таким образом, представляется возможным найти вектор средних значений корреляций каждой пары (С12,...,С(ЛЧ)Ж).

Вектор (С12,...,С,Ж-1)И) описывает связи между параметрами системы на порядок точнее, чем вектор, полученный от одной случайной итерации. Оптимальным решением будет набор карт, вектор связи (С12,. , С( N-1) N ) которого будет наиболее близок к

вектору средних значений (С12,..., С,ж-1) ж ).

Характер убывания параметров а и а зададим при помощи следующей формулы:

х(( )=1 - ^ * •к) - /)+/

1 (0 а = ао • %2(()

где положительный косинус равен нулю.

Здесь УРХУ ,, УРХУ , - проекции векторов градиента УР = (сх, Су, ск) (направление максимального возрастания «рельефа» карты) в точках с координатами ХУ карты ¡ и , соответственно. Положительная связь максимальна в точке, если вектора УРХУ обеих карт сонаправлены. Отрицательная связь максимальна в точке, если вектора УРХУ обеих карт противоположно направлены.

При организации карт используется функция соседства к1:

к1 = а(( )• ехр

а = ао •Х

Здесь п, к, I - коэффициенты, задающие характер убывания функции %((), г - время, которое при проведении итерации принимает значение в диапазоне [0.1]. В начале итерации t = 0 , в конце итерации t = 1.

Перебрав различные значения характеров убывания параметров а и а, мы найдём комбинацию карт, вектор связи (С12,...,С,Ж-1)Ж

) которых будет

Здесь г - евклидово расстояние от ближайшего вектора до текущего вектора ¡.

После одной организации карт (итерации) можно посчитать коэффициент связи карт С, для каждой пары карт. Получим вектор характеристик:

наиболее близок к вектору (С12,..., С, Ж-1) Ж).

Для однократного расчета целевой функции при одинаковом значении характеров убывания параметров а и а требуется порядка 2 минут работы одной машины средней мощности. Полный перебор всех вариантов займет порядка 60 лет, следовательно, использование такого способа в данном случае неприемлемо.

Поскольку целевая функция рассматриваемой оптимизационной задачи в многомерном пространстве характеров убывания параметров а и а ведет себя трудно прогнозируемым образом, есть смысл применения эволюционного подхода для нахождения оптимального сочетания характеров убывания параметров а и а .

т -

2

г

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Информационные технологии

Выполним адаптацию генетического алгоритма к решаемой задаче. Хромосома состоит из следующих

генов: а0 , Па , ка , 1а , ст0 , Пп , ка , 1а .

Значение функции пригодности рассчитывается следующим образом:

1. Производится декодирование хромосомы, определение характера убывания параметров а и ст .

2. Проводится N итераций с данным характером убывания параметров а и ст , каждая итерация вносит свой вклад в вектор (с12,...,С(N_1)ы). На каждой итерации получаем очередной вектор

(С12,К, С(N_1)N) .

3. Значением функции пригодности является минимальное евклидово расстояние между одним из векторов (С12,...,С^^), полученных в результате

выполнения шага 2, и вектором (с12,...,С(N_1)N). На-

бор карт, соответствующий минимальному расстоянию, сохраняется.

Применение предложенного алгоритма позволяет сформировать такой набор карт Кохонена, который с достаточной степенью достоверности будет отображать зависимости между параметрами системы.

Библиографические ссылки

1. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / Пер. с польск. И. Д. Рудинского. М. : Горячая линия. Телеком, 2006.

2. Kohonen, T. (1995c) Self-Organizing Maps. Springer, Berlin.

© Малухин Д. В., Тынченко В. В., 2010

УДК 62.506.1

В. Ф. Первушин Научный руководитель - А. В. Медведев Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

О НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Рассматривается задача идентификация в широком смысле линейных динамических объектов, характеризующихся произвольными начальными условиями.

Понятие идентификации можно условно поделить на два понятия. Такое разделение обусловлено различным уровнем априорной информации о структуре объекта. Идентификация в узком смысле предполагает наличие информации о структуре объекта с точностью до параметров, которые оцениваются по реализации входных - выходных переменных. Идентификация в широком смысле позволяет описывать характеристики, опуская стадию выбора структуры. Однако необходимо иметь в виду, что для решения задачи идентификации, в целом, необходимо привлечение информации о статических свойствах объекта, его стационарности и т. д.

В данной работе рассматривается задача идентификации в широком смысле, предполагающая, что информация о структуре объекта отсутствует.

Любую линейную динамическую систему можно описать при помощи линейного дифференциального уравнения:

х (»)(

(() + an-1 х(n 1) (() +... + a1 x'(t) + a0 x(t) =

= bm

(t) + bm-1u (m-l)(t)+... + b1u(t)+ b0u(t), (1)

здесь а1 е Я1, Ъ е Я1, i = 0, п, ] = 0, т - коэффициенты уравнения; х(() - выходная переменная; и(/) -входная переменная.

Идентификации объекта при помощи дифференциального уравнения предполагает наличие информации о степени объекта - то есть, необходима информация о структуре. Для того чтобы воспользо-

ваться непараметрическим подходом идентификации, применим к уравнению (1) непрерывное преобразование Лапласа и выразим отображения входного и выходного сигналов. После представленных преобразований отображение уравнения (1) можно представить в виде:

х(р ) = К (р )и(р )+ N (р), (2)

здесь х(р) - отображение выходной координаты, и(р) - отображение входной координаты, К (р) и N (р) - характеристики, которые определяют внутренние свойства объекта, причем N(р) = 0, если начальные условия нулевые х(0) = (0 0 ... 0).

Не трудно заметить, что характеристики К(р) и N (р) из (2) описывают реакции объекта на определенные входные сигналы, тогда (2) можно записать так:

х(р ) = рн(р Нр )+/(P), (3)

где Н(р) - переходная характеристика объекта при нулевых начальных условиях; / (р) - функция, описывающая свободное движение системы. Так же, переходная характеристика объекта Н(р) связана с реакцией того же объекта на единичное ступенчатое возмущение при произвольных начальных условиях

Н (р) следующим соотношением: Н(р ) = Н (р)_ / (р), здесь / (р) - свободное поведение системы с теми же начальными условиями.