CC BY
126
УДК 37.013.75
ФОРМИРОВАНИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ АКТИВНОСТИ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ ЧЕРЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ПРОБЛЕМНОГО ОБУЧЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
© Р. Н. Валиуллина
Муниципальное образовательное учреждение № 4 г. Туймазы Россия, Республика Башкортостан, 452750 г. Туймазы, ул. Луначарского, 24.
Тел.: +7 (34782) 52 512.
Е-шаИ: [email protected]
На конкретных примерах рассматриваются создание и решение проблемных ситуаций на уроках алгебры и геометрии в средней школе, а также взаимосвязь этих дисциплин.
Ключевые слова: проблемное обучение, преподавание математики, логическое творческое мышление.
Первые исследования в области проблемного обучения датированы серединой прошлого века. Идея и принципы проблемного обучения были сформулированы в работах советских психологов С. Л. Рубинштейна [1], Н. А. Менчинской [2], А. М. Матюшкина [3]. Приложение методов проблемного обучения к школьному образованию получило развитие в исследованиях М. Н. Скат-кина [4], Т. В. Кудрявцева [5], Д. В. Вилькеева [6], Ю. К. Бабанского [7], М. И. Махмутова [8] и И. Я. Лернера [9].
Неослабевающий интерес к этим работам объясняется необходимостью постоянного повышения эффективности усвоения знаний учащимися. Поскольку объем знаний по каждому предмету неуклонно возрастает, экстенсивные методы их усвоения теряют свою актуальность. Становится очевидным, что большую часть информации учащийся может и должен усвоить самостоятельно. В этой связи задача учителя видится автору в умении эффективно организовать учебную деятельность таким образом, чтобы знания, полученные учащимися на уроке, были результатом их собственных поисков. Умение (и готовность) мыслить самостоятельно является ключевым при рассмотрении обучения в таком аспекте. Стандартные задания (пересказ текста, решение типовых задач по шаблону или готовой формуле и т.п.) также необходимы в этом случае, поскольку развивают мнемонические навыки обучающегося, однако они имеют весьма отдаленное отношение к навыкам самостоятельного мышления.
Опыт работы в средней школе показывает, что глубокие, прочные, и главное, «осознанные» знания могут получить практически все школьники, не зависимо от их психологических, социальных и других особенностей, если одновременно развивать их способность к логическому и творческому мышлению. Это возможно, если учащиеся будут увлечены процессом поиска решения поставленной перед ними задачи (пробле-
Я слышу — я забываю, я вижу - я запоминаю, я делаю - я усваиваю. Китайская мудрость мы). Это возможно, если начальным моментом мыслительного процесса становится проблемная ситуация. Мыслить человек начинает, когда у него появляется потребность что-то понять: мышление начинается с проблемы или вопроса, с удивления, недоумения или противоречия, то есть такой ситуации, в которой человек понимает, в чем состоит проблема, и осознает, что известными ему методами она не решается [10].
Формирование логического творческого мышления связано с разрешением проблемных ситуаций, поэтому выделение путей их создания в ходе образовательного процесса является важной задачей методики преподавания математики. В работе представлены возможности использования проблемных ситуаций на уроках алгебры и геометрии.
Разрешение проблемной ситуации опирается на ее преобразование. Умение переформулировать содержание задачи является важнейшим элементом творческого мышления, необходимое условие которого - наличие в памяти большого объема понятий, теорем, приемов, фактов. Чем больше связей объединяет перечисленные элементы, тем быстрее они восстанавливаются в памяти при необходимости. Цельное восприятие проблемной ситуации возможно при наличии в памяти крупных блоков знаний и умений. Поэтому выявление логических связей между теоремами, систематизация понятий, обобщение изучаемых понятий и суждений являются важными условиями творческого мышления. Нами был разработан комплекс упражнений, имеющих для школьника характер проблемных ситуаций. Выполнение одного такого упражнения должно занимать не менее 10 минут, в противном случае новое упражнение вызовет сбой фазы. Этот вывод подтверждает положение о нецелесообразности использования перед решением задачи большого числа вспомогательных задач, являющихся элементами основной. Такое дробление снижает творческий потенциал, а использование большого числа задач-элементов, как правило, препятст-
ISSN 1998-4812
Вестник Башкирского университета. 2O12. Т. 17. №4
1887
вует протеканию творческой фазы мышления, если она и будет вызвана выполнением какого-либо упражнения этой серии. Отсюда следует «ограничение по времени сверху»: не следует часто использовать упражнения, выполнение которых занимает более 20 минут [11].
При выполнении упражнений на усвоение алгоритмов целесообразно прибегать к специальным приемам, организующим проблемную ситуацию в сознании школьников. Это можно достигнуть разнообразием в формулировках задач, использованием упражнений на выполнение обратных действий, выполнением упражнений различными методами, упражнениями на самостоятельное составление задач. Например, упражнение, суть которого состоит в решении уравнения х2 - 5х + 6 = 0 [12], можно предложить в различных формулировках:
1. Решить уравнение х2 - 5х + 6 = 0.
2. Найти корни уравнения х2 - 5х + 6 = 0.
3. При каких значениях х значение трехчлена х2 - 5х + 6 равно 0.
4. Найти корни трехчлена х2 - 5х + 6.
5. Определить значение аргумента, при котором функция Д(л) = х2 - 5х + 6 принимает значение равное нулю.
Обилие формулировок может потребовать дополнительного времени на уяснение учеником формулировки. Полезно предлагать самим школьникам составлять эквивалентные формулировки данных задач.
Создание проблемной ситуации - это лишь начало проблемного обучения. Далее учащиеся сами, под контролем своего преподавателя должны пройти ряд этапов:
- проанализировать ситуацию;
- точно сформулировать учебно-познавательную проблему;
- грамотно выдвинуть гипотезу;
- проверить, хватит ли ему знаний для решения проблемы.
Следующий шаг - это доказательство гипотезы на основе полученных знаний. Задачи можно объединить вокруг понятия алгоритма, вокруг конкретного алгоритма, вокруг известных или открываемых эвристик, идей, методов, алгоритмов решений. На этом пути возможны самые неожиданные союзы. В качестве примера приведем следующее задание. Найти наименьшее значение функции [12]
f (л) = -\/ л 2 — 2>/2л + 4 + -\/ л 2 — 3>/2л + 9 Каждый решающий сначала предполагает, что пример этот представляет функциональное направление и к свойству геометрических фигур никакого отношения не имеет. Пример этот служит темой диалога, если потребует знаний, лежащих в области ближайшего развития школьника. Чтобы достичь этого, рассматриваем с учащимися вспомогательную задачу [13]. На рисунке изображен четырехугольник ЛБСБ с прямым
углом Л и биссектрисой ЛС. Стороны ЛБ и ЛБ равны соответственно 2 и 3. Найти длину суммы отрезков БС и БС (рис.).
Обозначив длины отрезков БС и БС через к ир соответственно, по теореме косинусов:
к2 = л2 + 22 — 2л ■ 2со$ 450 = л2 — 2лр2л + 4 ,
р 2 = л 2 — зV2 л + 9 ,
откуда
к + р — д/ л 2 — 2 д/ 2 л + 4 + д/л 2 — 3 4~2л + 9 .
Таким образом, учащиеся обнаруживают «тайну происхождения» функции Д(л) из предыдущего примера. Истолковав переменную х как длину отрезка ЛС, замечаем, что при изменении переменной х получаются разные значения суммы к + р, т.е. функции Дл). Остается ответить на вопрос о том, когда эта сумма будет наименьшей. Учащим дается подсказка: точки Б и Б не меняют своего положения при изменении длины отрезка ЛС, тогда как точка С меняет. Сумма к + р будет наименьшей, если ломаная БСБ превратится в отрезок ББ. Значит, наименьшее значение функции Д(л) равно >/13 .
С
Рис. Пример задачи по геометрии (пояснение в тексте).
В порожденной теоремой косинусов задаче не сказано, что аргумент x всегда положителен. Предполагается, что у школьников возникнет вопрос, не принимает ли fx) минимальное значение при x < O? После чего учителю необходимо вновь рассмотреть исходную функцию fix), выполнив преобразования:
д/ x 2 - 2ур2 л + 4 = д/ x 2 - Зд/2x + 9
x 2 - 2д/2x + 4 = x 2 - Зд/2x + 9
x 2 - 242x + 4 = (x - V2) + 2 > O
x 2 - Зл/2x + 9 = (x - 42 )2 + 7 - -x/2x > O .
Далее следует обратить внимание учащихся на два факта: 1) f(O) = 5 и 2) 5 > л/ІЗ . При переходе к отрицательному аргументу значения обоих корней, входящих в fix), увеличиваются, поэтому значения fix) при отрицательных значениях аргумента будут больше 5. Значит, при отрицательных x функция не принимает наименьшего значения. Этот пример можно ошибочно принять за задание повышенной сложности. Однако совместное рассмотрение геометрической и алгебраической задач обладают высокой эффективностью в развитии навыков самостоятельного решения. В подобных примерах, от-
сутствует элемент искусственности, которого, к сожалению, не лишены многие задачи, связанные с исследованием функций. Геометрическая интерпретация сложной функции позволяет учащимся самостоятельно решить другую проблемную ситуацию, начав ее решение с анализа и построения пробной функции. Неожиданность в проблемной ситуации играет столь существенную роль, что ею не следует пренебрегать. Школьник чувствует прелесть открытия и соприкосновения с живой математикой [11].
Проблемную ситуацию можно организовать, предложив ученикам задачу, для решения которой нужны новые знания. Возможно также использование домашних заданий, которые позволяют выдвинуть на следующем уроке учебные проблемы, поставившие школьника в тупик. Например, перед изучением темы об одном замечательном свойстве окружности, ученики получают практическое задание на дом. Дана прямая I и две точки А и В вне нее [13]. С помощью угольника найти на прямой I такую точку С, чтобы угол АВС был прямой. Задача имеет несколько решений - об этом заранее предупреждают школьников и предлагают рассмотреть различные положения точек А и В и прямой I. Дома учащиеся, взяв в помощь угольник и сопоставляя его стороны с точками А и В, пытаются найти нужную точку на прямой. В зависимости от расположения точек А, В и прямой I, они ее либо найдут, либо - нет. При проверке домашнего задания, классу задается вопрос: «Нельзя ли решить эту задачу с помощью циркуля и линейки?» Этот вопрос побуждает ребят проанализировать действия, совершенные при попытке решения задачи. Некоторым из них придет в голову мысль, что сами того не зная, они воспользовались свойством циркуля. Далее учащиеся приступают к изучению новой темы, урок проходит в форме беседы. В конце урока ученикам дается возможность четко ответить на поставленный ранее вопрос.
Перечисленными примерами не ограничиваются варианты приложения методов проблемного
обучения к методике преподавания математики. Из всего многообразия методических приемов создания проблемной ситуации были приведены наиболее наглядные и поэтому часто используемые при обучении математики в средней школе. Важно отметить, что проблемное обучение реализуется успешно лишь при определенном стиле общения между учителем и учащимися, когда возможна свобода выбора выражения своих мыслей и диалог между учителем и учащимися осуществляется в доброжелательной обстановке.
Рассматриваемый метод проблемного обучения способствует формированию и проявлению творческих возможностей обучаемых. Именно к достижению этой цели должен стремиться учитель при организации и проведении занятий с помощью методов проблемного обучения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии. СПб.: Питер, 2002. 720с.
2. Менчинская Н. А. Проблемы учения и умственного развития школьника. М.: Педагогика, 1989. 218 с.
3. Матюшкин Л. М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М.: Педагогика, 1972. 168 с.
4. Скаткин М. Н. Совершенствование процесса обучения. М.: Педагогика, 1971. 208 с.
5. Кудрявцев В. Т. Проблемное обучение: истоки, сущность, перспективы. М.: Знание, 1991. 80 с.
6. Вилькеев Д. В. Методы научного познания в школьном обучении: индукция, дедукция, гипотеза. Казань: Татарское книжное изд-во, 1975. 160 с.
7. Бабанский Ю. К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе. М.: Просвещение, 1985.—208 с.
8. Махмутов М. И. Проблемное обучение: Основные вопросы теории. М.: Педагогика, 1975. 364 с.
9. Лернер И. Я. Проблемное обучение. М.: Знание, 1974. 62с
10. Махмутов М. И. Организация проблемного обучения в школе. М.: Просвещение, 1977. 160 с.
11. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995. 239 с.
12. Глазков Ю. А. Математика. Решение задач группы В. М.: Экзамен, 2009. 382 с.
13. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия 7-9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений, М.: Просвещение, 2007. 384 с.
Поступила в редакцию 10.09.2012 г.
