CC BY
31
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 6. ЭКОНОМИКА. 2008. № 5
ОТРАСЛЕВАЯ И РЕГИОНАЛЬНАЯ ЭКОНОМИКА
К.Б. Нуртазина
ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Введение. Рассмотрим модель фондового рынка. Действия участника рынка сводятся к формированию портфеля ценных бумаг и управлению им. При этом решения принимаются в условиях неполноты информации, обусловленной разнообразными объективными и субъективными причинами.
В истории развития математической теории финансов значима роль Л. Башелье (Louis Bachelier). В 1900 г. в Париже он представил докторскую диссертацию под названием «Théorie de la spéculation» («Теория спекуляции») и первым дал математическое описание броуновского движения. Цена производных инструментов в модели Башелье вычисляется как математическое ожидание. Базовая «эвристическая» вероятностная мера на пространстве событий в модели Башелье мартингальна, поэтому вычисляемые так цены оказываются безарбитражными. Расхождение движения цен активов в модели Башелье и на реальных рынках привели к уточнению модели.
Начало современным математическим методам исследований положили работы Марковица (1952)1, Келли (1956)2 и Тобина (1965)3.
Математические модели портфельной теории систематически активно и существенно совершенствуются. Интересен подход ученых из Новосибирска — А.А. Наумова и Ю.А. Мезенцева (2002)4.
В данной статье предлагается методология инвестирования, основанная на динамике развития.
1 Markowitz H. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. Vol. 7. N 1. P. 77-91.
2 Kelly J.L. A new Interpretation of Information Rate // Bell System Technical Journal. 1956. Vol. 35. N 4. P. 917-926.
3 Tobin J. The Theory of Portfolio Selection // The Theory of Interest Rate / Ed. by F.H. Hahn, F.R.P. Brechling. L., 1965. P. 3-51.
4 См.: Наумов А.А., Мезенцев Ю.А. Оптимальное управление инвестиционным портфелем. Новосибирск, 2002.
1. Описание фондового рынка. Участник рынка осуществляет принятие ответственного решения, т.е. решает некоторую экстремальную задачу: найти экстремум целевой функции при некоторых заданных ограничениях.
Доходность ценной бумаги за некоторый период измеряется в процентах годовых, и есть случайная величина математическое ожидание доходности — средняя доходность в процентах годовых — называется эффективностью и обозначается е. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины обозначаются соответственно V и ст.
Рассматривается п видов ценных бумаг. Через Н = обозначается вектор-столбец размерности п доходностей рассматриваемых ценных бумаг. Вектор-столбец Е = (е) размерности п есть вектор эффективностей ценных бумаг (средних доходностей рассматриваемых ценных бумаг). Подразумевается, что среди ценных бумаг есть бумаги с ненулевой эффективностью. _
Портфель ценных бумаг — это вектор-столбец X = (хг), г = 1, п, в котором х есть доля стоимости г-й ценной бумаги в стоимости всего портфеля. Стоимость всего портфеля принимается за единицу:
п
^ х1 = 1. Введем вектор-столбец Iразмерности п, все компоненты 1 = 1 Т которого есть 1, тогда последнее условие запишется как 1'Х = 1, где Т означает операцию транспонирования. Доходность портфе-
п
ля X есть случайная величина %Х = НТХ = ^ х1 . Эффективность
п
портфеля, т.е. его средняя доходность, есть вх = ^ в1х1 = ЕТХ.
I=1
п
Дисперсия портфеля vX = ^ х^V ^ х] = ХТУХ, где V — матрица
I=1
взаимных вариаций доходностей ценных бумаг. Среднее квадра-тическое отклонение доходности портфеля ах = -^Х отождествляется с риском портфеля и обозначается иногда гХ.
2. Постановка задачи формирования портфеля в условиях полной неопределенности. Предположим, что ожидается какое-нибудь крупное событие, способное сильно изменить рынок, например заседание ОПЕК, на котором будет обсуждаться политика этого объединения. До наступления этого события заранее известно, какие вопросы будут обсуждаться, например: повышение квоты на добычу и экспорт энергетического сырья на 1 млн баррелей в день в целях стабилизации цен на нефть; уменьшение квоты на 1 млн баррелей в день; Венесуэла предполагает уменьшение добычи нефти и т.д. Вполне возможно, что рынок после одного из этих событий станет другим. Ситуация неопределенна.
5 ВМУ, экономика, № 5
Речь идет о рынке, где активные инвесторы узнают новости мгновенно и осуществляют оптимальные действия. Такой рынок носит специальное название эффективного рынка. На таком рынке каждый из возможных вариантов просчитывается заранее с учетом того, какие изменения вызовет то или иное решение на фондовом рынке.
На эффективном рынке формируется портфель с учетом прогнозов к моменту формирования, причем этот портфель в случае любого варианта должен иметь достаточно высокую эффективность. Участник рынка — лицо, принимающее решение, — для подготовки к предстоящим событиям рассматривает возможные варианты j = 1, m . Прогнозируется, что рынок будет находиться в одном из этих m-состояний — вариантов, в каком — неизвестно (см. выше условный пример с ОПЕК). Пусть j-я ситуация характеризуется вектором Еу случайных величин (^у) — доходностей тех же самых ценных бумаг (j = 1, m, i = 1, n), но уже в новых условиях. Каждый из этих вариантов отражает прогнозируемые изменения эффективностей Е1, Ец. •••, Ет на финансовом рынке, причем Еу = (ej), (j = 1, m, i = 1, n).
Рассмотрим вектор-столбец Х, компоненты которого есть доли бумаг (х), сумма компонент равна единице. Мы хотим, чтобы портфель ценных бумаг Х имел эффективность (среднюю ожидаемую доходность) не ниже заданной границы 8, а заданную границу 8 мы хотим сделать как можно больше.
Математическая постановка задачи принимает вид:
Задача 1.
8 ^ max
eJ x > е, j = 1m IT X = 1 Х> 0.
Задача 1 есть задача линейного программирования (ЛП) и имеет оптимальное решение. Действительно, в рассматриваемой задаче 1 множество допустимых решений непусто (ясно, что при 8 = 0 имеем Х = 0, и это точка допустимого множества). Покажем далее, что целевая функция ограничена сверху на допустимом множестве.
n n n
Пусть q = maxetj . Тогда ^ вуХ{ < ^ qxt = q^ xt = q ■ 1 = q. l'j i=1 i=1 i=1
Решение задачи 1 дает портфель, который назовем портфелем максимально гарантированной эффективности.
Для примера рассмотрим рынок с двумя активами и прогнози-
руемыми эффективностями E1 =
E 2 =
, E з =
. Разуме-
ется, на реальном рынке не будут столь значительные колебания эффективностей. Мы рассматриваем такой пример для наглядности.
Тогда задача 1 принимает вид (поскольку актива два, то портфель
х{
отыскивается в виде X = Задача 1'.
Хл
8 ^ max 5х1 + х2 > 6 2x1 + 3x2 > 6 х1 + 4x2 > 6 x1 + x2 =1 x1 > 0, x2> 0.
Положим, что х1 = X, х2 = 1 6 ^ тах 5х + (1 - х) > 6 2х + 3 (1 - х) > 6 х + 4 (1 - х) > 6 0 < х < 1
- x, тогда задача принимает вид: 6 ^ max 4 х - 6 > -1 или х + 6 < 3 3х + 6 < 4 0 < х < 1.
Допустимое множество на плоскости Ох1х2 является многоугольником с вершинами:
(0; 0), (0; 1), (0,4; 2,6), (0,5; 2,5), (1,3; 0).
(0,41
Получаем х1 = х = 0,4; х2 = 1 — х = 0,6; X =
0,6
8 = 2,6.
В результате решения задачи найдено конкретное значение 8 = 2,6, позволяющее построить портфель с гарантированной эффективностью, не меньшей этого значения. Это означает, что уже заблаговременно до наступления изменений на рынке принято
решение сформировать портфель
0,6
. Такой портфель гаран-
тирует эффективность не менее 2,6 для двух рассматриваемых и прогнозируемых вариантов развития событий на рынке.
3. Формирование портфеля в условиях неопределенности и двойственная задача. Двойственность занимает центральное место в линейном программировании. Совместное изучение данной задачи
и двойственной к ней дает, как правило, больше, чем изучение каждой из них в отдельности. Линейное программирование в целом имеет большое теоретическое значение благодаря так называемым «теоремам двойственности»1. Так, во второй теореме двойственности доказывается, что наилучшему плану и только ему обязательно соответствует такая система цен, что рентабельными оказываются только те способы использования ресурсов, которые предусмотрены оптимальным планом. Опираясь на этот факт, академик Л.В. Канторович ввел понятие «объективно обусловленные оценки» (оно было введено взамен термина «цены»), которое выступает в качестве автоматического регулятора экономики.
Двойственные оценки ресурсов показывают степень ценности этих ресурсов для предприятия. Теория дифференциальной ренты Л.В. Канторовича основана на двойственных оценках. Рентные оценки позволяют измерять стоимость пользования природными ресурсами, в частности землей, водой, воздухом и т.п. Эта идея намного опередила свое время, предвосхитив современные исследования по экономико-экологическим проблемам.
С математической точки зрения двойственная оценка ресурса показывает, насколько возрастает максимальное значение целевой функции при дополнительном вовлечении в производство еще одной единицы рассматриваемого ресурса (в контексте данной статьи при увеличении доли данной ценной бумаги).
Пусть Ej j = 1, m, векторы-столбцы эффективностей при различных вариантах развития событий. Рассмотрим задачу формирования портфеля максимально гарантированной эффективности.
Задача 2-1.
81 ^ max
eJX > ei, j=im
fX = 1, X > 0.
В матрице Ej = (ej) обозначим i-ю строку W. Ясно, что эта строка есть вектор-строка эффективностей i-й ценной бумаги при различных вариантах развития событий. Рассмотрим следующую задачу:
Задача 2-2.
62 ^ min
ywT < e2, к = 1й __17=1, Y> 0.
1 См., например: Количественные методы в экономических исследованиях / Под ред. М.В. Грачевой, Л.Н. Фадевой, Ю.Н. Черемных. М., 2004.
Здесь Y — вектор-строка переменных размерности m. Y — это вероятностная стратегия на множестве векторов E.
Если все элементы матрицы E положительны (этого всегда можно добиться, добавив соответственно положительную константу ко всем элементам матрицы, которую при трактовке надо учитывать), то можно считать, что переменные 0j, 82 также положительны, более того, отделены от 0. Поделив переменные x, i = 1,...,n на 81 в задаче 2.1 и обозначив новые переменные s, а переменные y, i = 1,...,m на 82 в задаче 2.2 и, обозначив новые переменные через j, получим двойственную симметричную пару задач линейного программирования
n m
^ st ^ min ^ tj ^ max
i=i j=i
nm
^ej Si > 1, j = 1,...,m , ^etj tj < 1, i = 1,...,n .
i=i j=1
Si > 0,i = 1,...,n t: > 0, j = 1,.
,m
Любая из этих задач имеет непустое допустимое множество. Решение этой стандартной пары двойственных задач дает возможность оценить решения пары задач 2.1 и 2.2 и дать экономическую интерпретацию (обращаем внимание на сходство рассматриваемой ситуации с этой симметричной парой задач и доказательства основной теоремы теории матричных игр).
4. Экономический смысл задач 2-1, 2-2. Прямая задача есть результат моделирования конкретной ситуации на фондовом рынке, а двойственность и та информация, которую двойственность порождает, позволяют провести глубокий анализ моделируемой ситуации, тенденции динамики развития, выразив эти факторы в количественной форме.
Рассмотрим условный пример иллюстрации двойственности задач 2-1 и 2-2. Компании, участвующие на фондовом рынке, как правило, занимаются разнообразной деятельностью и взаимодействуют с разными компаниями. Например, крупный банк ведет множество финансовых операций: на межбанковском рынке кредитует другие банки и сам занимает деньги, принимает и выдает вклады физических лиц, продает и покупает акции и облигации1. При этом проигрыш по некоторым направлениям компенсируется выигрышем на других, что обеспечивает банку устойчивое финансовое положение. Такая стратегия работы банка представляет принцип диверсификации работы на финансовом рынке. Он
1 См.: Мальаин В.И. Математика в экономике. М., 2002.
означает, что нужно проводить разнообразные, не связанные друг с другом операции, тогда убытки от одних операций будут более или менее покрыты прибылью от других операций. Следование этому принципу не принесет максимально большого дохода, но зато обеспечит устойчивую работу, некоторый средний доход и убережет от больших убытков.
Мы рассматриваем две компании. Одним из звеньев их взаимодействия служит покупка и продажа акций. Вторая компания выступает в роли эмитента1. Первая компания покупает п видов акций. Вторая компания, согласно условиям эмиссии, выплачивает по этим акциям дивиденды. Первая составляет портфель максимально гарантированной эффективности. Вторая придерживается смешанной стратегии в выплате дивидендов по акциям — это означает, что она выплачивает дивиденды по каждому виду акций далеко не каждый раз, а случайно. Это происходит в реальности: история компаний в странах СНГ слишком коротка, у многих компаний выплата дивидендов иной раз совершенно необъяснима, а многие компании откровенно не любят выплачивать дивиденды. Заметим, что знаменитая теорема ММ (Франко Модильяни и Мер-тона Миллера) доказывает2, что дивидендная политика компании по большому счету мало на что влияет: при больших дивидендах уменьшаются инвестиционные возможности компании, а при малых дивидендах уменьшается доверие акционеров.
Таким образом, вторая компания фактически решает задачу 2-2: выплатить по каждому виду акций сумму, математическое ожидание которой не более некоторой и эту общую границу для всех акций сделать как можно меньше. Эту ее стратегию можно назвать стратегией гарантированных минимальных выплат.
При этом компоненты оптимального решения у*1, ... , у*т двойственной задачи численно выражают значимость для первой корпорации доли участия акций при оптимальной организации работы. В частности, если у* = 0, то это означает, что вторая компания не выплачивает дивиденды по этой ценной бумаге. В первом приближении это может заставить первую компанию уменьшить эту долю ценной бумаги.
Остановимся на экономическом смысле первой теоремы двойственности в данном контексте. Эта теорема устанавливает одновременную разрешимость двойственных задач и равенство
1 Эмитент — юридическое лицо, которое от своего имени выпускает ценные бумаги в обращение и обязуется выполнить обязательства, вытекающие из условий эмиссии этих ценных бумаг.
2 См.: Модильяни Ф., Миллер М. Сколько стоит фирма? Теорема ММ. М., 2001.
экстремальных значений их целевых функций: если одна из взаимно-двойственных задач имеет решение, то решение имеет и другая, причем оптимальные значения целевых функций этих задач равны.
Решение двойственной задачи — это наименьшие затраты второй компании на возможные выплаты дивидендов. Равенство полученных решений двойственных задач означает, что при осуществлении сделки купли-продажи акций на фондовом рынке по оптимальным ценам первая компания получит ровно ту максимальную прибыль, которую в данных условиях способно принести участие второй компании на рынке ценных бумаг.
Так как экстремальные значения целевых функций в двойственной паре задач (в нашем случае 2-1, 2-2) равны, то портфель максимально гарантированной доходности имеет эффективность, не меньшую этой самой максимально гарантированной эффективности 81max против любой стратегии второй компании, и в этом смысле его можно назвать оптимальным портфелем (по аналогии с оптимальной стратегией игрока в матричной игре). Мы предпочли его назвать портфелем максимально гарантированной эффективности.
5. Теоретико-игровая интерпретация предложенной модели. Приведенную в статье модель можно сравнить с известными играми с «природой». В теории игр1 и в теории статистических решений «природа» («nature»)2 — это некая незаинтересованная сторона, поведение которой неизвестно принимающему решение, но которое тем не менее не обязательно содержит элемент противодействия его намерениям. Играми с «природой» называются ситуации, при которых успех решения зависит не от сознательно противодействующего противника, а от объективной не враждебной, но и не благоприятной действительности. Однако имеются существенные отличия нашей модели от игры с «природой». В частности, вторая компания является сознательным игроком, хотя и не противодействующим первой компании, но преследующим свою собственную цель. А именно она придерживается стратегии гарантированно минимальных выплат против компании, составляющей портфель максимально гарантированной эффективности.
С этой точки зрения первый игрок — это инвестор, он решает, в каких долях вкладывать, причем работает в условиях неопределенности и пытается составить портфель максимально
1 См.: Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М., 1998.
2 См.: Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь / Под ред. Г.Б. Клейнера. М., 2003.
гарантированной эффективности. Первый игрок выбирает доли, обладающие свойствами вероятностей, т.е. выбирает смешанную стратегию в матричной игре. Второй игрок — это «природа». В нашем случае эта вторая компания не противодействует первой, а преследует собственные цели минимизации дивидендных выплат. Вторая компания («природа») выбирает смешанную стратегию (у). В этой матричной игре нужно найти равновесие. Оно существует, как в любой матричной игре. Для инвестора — это выбор портфеля максимально гарантированной эффективности (как определено выше), а для «природы» — вероятности появления вариантов ] = 1, т .
6. Формирование наиболее полезного портфеля в условиях полной неопределенности. Известно, что отношение к риску разных людей неодинаково. Существуют способы выявления и количественной оценки отношения к риску.
Выбор инвестором конкретной структуры портфеля зависит от его субъективной оценки полезности, получаемой от формирования портфеля с определенными эффективностью и риском. Полезность инвестора при формировании некоторого портфеля с определенной эффективностью обычно обозначается самим численным значением эффективности. Средством отношения инвестора к доходности и риску является функция полезности. Максимуму функции полезности на множестве допустимых вариантов портфелей и соответствует идеальный портфель, структура которого наилучшим образом удовлетворяет требованиям инвестора на эффективном рынке.
На множестве портфелей определим полезность портфеля Х как и(Х) = ф(е,г), где е — эффективность, г — риск портфеля. Функция
полезности ф должна подчиняться условиям > 0 , < 0 , ибо
де дг
эффективность приветствуется, а риск отвергается.
Теперь возникает задача формирования портфеля максимально гарантированной полезности (вполне логично связанная с задачей формирования портфеля максимально гарантированной эффективности).
Задача 3.
8 ^ тах и (X) > 9, ] = 1т Р X = 1 Х > 0.
Задача 3 имеет решение. В самом деле, поскольку допустимое множество ограниченно и замкнуто, а функцию полезности можно считать непрерывной функцией своих аргументов, то она достигает своего максимума на допустимом множестве, т.е. решение задачи существует.
Решение задачи 3 дает портфель, который назовем портфелем максимально гарантированной полезности.
7. Об ограничении риска и максимизации средней ожидаемой доходности. Пусть инвестор имеет безрисковый актив с безрисковой ставкой доходности а и рисковый актив со средней ожидаемой ставкой доходности р, которая в будущем периоде может принять одно из значений р, ] = 1,...,т, риск г этого актива зависит от р по формуле г = а + к|3, к > 0 . Требуется решить вопрос о формировании портфеля на будущий период, при этом нужно ограничить риск будущего актива и максимизировать его среднюю ожидаемую доходность. Точная постановка выражена следующей задачей.
Задача 4.
Весьма интересно, что даже в этом предельно простом случае формирование портфеля не сводится к перебору случаев. Для иллюстрации этого приведем простейший пример. Пусть данные таковы: а = 2, m = 2, = 3, в2 = 4, к = 1, b = 3. При таких данных задача такова: v ^ max
2х + 3(1 — х) > v v ^ max
2 + 4(1 — х) < 3
Окончательное решение этой задачи таково: х* = 3/4, v = 9/4 . В то же время перебор случаев дает две задачи:
2х + 3(1 — х) ^ max 2х + 4(1 — х) ^ max и
2 + 3(1 — х) < 3 2 + 4(1 — х) < 4,
решения которых таковы:
х* = 2/3, v* = 7/3 и х* = 3/4, v* = 10/4 .
Таким образом, мы можем заранее сформировать портфель гарантированной доходности 9/4. Это меньше, чем если бы мы
v ^ max
ах + в j (1 — х) > v
(а + квj)(1 — х) < b j = 1,...,m.
2х + 4(1 — х) > v или 2х + 3(1 — х) > v или 2 + 3(1 — х) < 3 2 + 4(1 — х) < 3
2х + 3(1 — х) ^ max 3/4 < х.
формировали портфель уже в будущем периоде, однако подчеркнем еще раз, что не всегда будет возможно сформировать портфель при наступивших условиях (без больших потерь).
Заключение. Любое действие участника фондового рынка обращено в будущее. В реальной повседневности финансовая деятельность заранее предполагает неопределенность будущего. Будущие курсы акций, поведение трейдеров и их влияние на изменение обстановки финансового рынка невозможно предсказать иначе, чем с большей или меньшей долей вероятности.
Вероятности использовались в качестве первых способов учета неопределенности. Однако следует отметить, что вероятность в ситуации де Мере, обоснованная Паскалем, отличается от неопределенности на фондовом рынке. Принятие экономическим субъектом решений в условиях неопределенности означает, что его благосостояние в будущем зависит от двух факторов: его решения в данный момент и от того, какое состояние мира реализуется в будущем. Что именно произойдет, человек, принимающий решение, не знает. Когда же определенное состояние реализуется, то принятое решение уже нельзя будет изменить. Поэтому следует сформировать такое решение, которое было бы пригодно для ключевых вариантов ситуаций, ибо при наступлении их уже трудно будет что-либо предпринять.
Предложенная статья фокусируется на проблемах портфеля ценных бумаг в условиях неопределенности. Даны новые постановки задач. Особый интерес может вызвать проблема двойственности, которая наполняется экономической содержательностью. Полученные результаты вносят определенный вклад в рассматриваемое направление финансовой математики. Поставленные в статье задачи могут быть использованы при решении таких экономических проблем, как управление недвижимостью, управление финансовыми потоками, управление страховыми проектами, управление инвестиционными проектами и т.д.
